最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组分类汇编及答案解析

最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组分类汇编及答案解析
一、选择题
1．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0
-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨
=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
注意到22x xy 2y --可分解为
，从而将原高次方程组转换为两个二元一次
方程组求解.
【详解】
解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0
-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩
. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22
x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.
2．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩
由②得，()2
24x y -= ③，
把①代入③，得 ()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是
1 14 3
x y =-
⎧
⎨
=-⎩，2
2
1
x
y
=⎧
⎨
=⎩
【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组. 3．计算：
（1
（2）解方程组：
353
4106
x y
x y
-=-
⎧
⎨
-+=
⎩
（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
6234 211
1 32
x x
x x
-≥-
⎧
⎪
--
⎨
-<⎪⎩
【答案】（1）
1
2
-；（2）
3
5
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
；（3）
211
37
x
-≤≤.
【解析】
【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.
【详解】解：（1）原式=-3+4-3
2
=
1
2
-
（2）
353 4106
x y
x y
-=-
⎧
⎨
-+=
⎩
①
②
①×2+②，得x=0
把x=0代入①式 y=3 5
所以，方程组的解是
3
5 x
y
=⎧
⎪
⎨
=⎪⎩
（3）
6234 211
1
32
x x
x x
-≥-
⎧
⎪
⎨--
-<
⎪⎩
①
②
由①式得，x≥-2 3
由②式得，x＜11 7
所以，不等式组的解集是
211 37
x
-≤≤，
把解集在数轴上表示：
【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.
4．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩
【答案】1113x y =⎧⎨
=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.
【详解】
解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪
⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），
把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，
解这个方程，得121,4x x ==，
把11x =代入（3），得13y =，
把24x =代入（3），得29y =，
所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.
5．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
【答案】1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.
【详解】
由②得：()()20x y x y +-=
所以200x y x y +=-=或
44200
x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】
考查二元二次方程组的解法，把方程22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.
6．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩
． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩
， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，
故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩
解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．
7．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
． 【答案】14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631
x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,
x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可． 【详解】
解：2226691,x y x xy y +=⎧
⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，
x-3y=1或x-3y=-1，
所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以原方程组的解为14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【点睛】
此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．
8．解方程组：2220334
x y x y y -=⎧⎨+-=⎩.
【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②
, 由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
9．解方程组：226021
x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩ 【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩
， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩
∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
10．解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩
【答案】1184x y =⎧⎨
=⎩或22
93x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解法求22560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.
【详解】
解：由（1）得20x y -=或30x y -=， 2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，2293
x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨
=⎩和 2293
x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
11．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.
【详解】
22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②
, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩
或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，
33
22x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
12．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.
【答案】12cm 、16cm 、20cm.
【解析】
【分析】
设两直角边为a 、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．
【详解】
设该直角三角形的两条直角边为a 、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩
， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12
a b ⎧⎨⎩
cm.
答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.【点睛】
此题运用三角形面积表示出1
=96
2
ab ，然后由勾股定理导出22
a b
+是关键．
13．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？
【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.
【解析】
试题分析：根据题意，设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.
试题解析：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.
14．解方程组：
2
22
449 x xy
x xy y
⎧+=
⎪
⎨
++=⎪⎩
【答案】
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
⎧⎧=-=
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
==-=-=⎩
⎩
⎪⎪
⎩⎩
【解析】
【分析】
由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y1=3
2
,y2=−
3
2
；
②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，
解得：
3
3
x
y
=-
=
⎧
⎨
⎩
或
3
3
x
y
=
=-
⎧
⎨
⎩
.
综上可得,原方程组的解是
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
⎧⎧=-=
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
==-=-=⎩
⎩
⎪⎪
⎩⎩
.
【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
15．已知正比例函数()()249m n y m n x
m -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比
例函数的解析式.
【答案】19y x =-
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.
【详解】 解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩
， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩
， ∴函数解析式为：19y x =-.
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.
16．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】
【分析】
将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．
【详解】
解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
①②③ 由①得：12y x y -=-④
由②得：382
y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：
1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，
∴2(3)(25)0y y --=，
3y ∴=或52
=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52
y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．
17．解方程组：22+2-0110
x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②
由②得:x=y-1
代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
故原方程组的解为：
2 1
1
2
1
13
,
02
3
x
x
y
y
⎧
=-
⎪
=-
⎧⎪
⎨⎨
=
⎩⎪=
⎪⎩
【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
18．如图在矩形ABCD中，AB= n AD,点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合，AEF BCE
∠=∠, 圆O过A、E、F三点。

（1）求证：圆O与CE相切于点E.
（2）如图1，若AF=2FD，且30
AEF
∠=︒，求n的值。

（3）如图2，若EF=EC，且圆O与边CD相切，求n的值。

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）
7
4
【解析】（1）由四边形ABCD是矩形证明∠FEC=90°即可；（2）在直角三角形中利用三角函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n n的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，
∠BCE+∠BEC=90°，
又∵∠AEF=∠BCE，∵∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，∴⊙O与CE相切．
（2）∵AF=2FD,设FD=a。

则AF=2a，
在直角三角形AEC中，∵∠AEF=30°，
∴∠BCE=30°．
∴EF=4a，由勾股定理：AE=23，
．
∴BC=3a，又在直角三角形EBC中，
3
EB a
∴=，
233
3
AB AE EB a a
n
AD AD
++
====
过E 作EM DC 于M,因为圆O 与CD 相切，设切点为N ，连接ON,又过F 作FQ EM 交ON 于H ， Q FE=EC, EF ⊥EC, ∴ AEF CBE ∆≅∆，
根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD= y ，AF=QE=EB= x ，
易证明OH 为EFQ ∆的中位线，OH=22EQ x =， 2ON=EF=
，
由勾股定理和题意可列方程： 222
2){y x x y x y ny
-=++=（， 化简：
74
n ∴= ． “点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
19．()28024
x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
运用代入法进行消元降次，即可得解.
【详解】
()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩
①
② 由①，得8x y +=-③
将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④
将④代入①，得22y =
∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.
20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 22
11x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】
解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=
原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩
解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 22
11x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 22
11x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。