构造函数法证明不等式的八种方法
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是数学中非常重要的两个概念，它们可以帮助我们证明不等式，优化函数等问题。
接下来将分别介绍导数与构造函数在证明不等式时的技巧。
一、导数在证明不等式中的应用导数是函数的重要特征之一，它可以表示函数在某个点的变化率。
在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来帮助我们证明某个不等式是否成立。
1. 利用导数判断函数在某个区间的单调性假设函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶导数，则f(x)在区间[a,b]上为单调递增的条件是：f'(x)>0，而在区间[a,b]上为单调递减的条件则是：f'(x)<0。
如果我们需要证明某个不等式在某个区间上成立，可以通过证明函数的导数在该区间上的符号，从而得出原函数在该区间上的单调性，从而得出结论。
例如：证明当x>0时，e^x>x+1证明：考虑函数f(x)=e^x-x-1如果x>0，则f'(x)>0，因此函数f(x)在(0,∞)上单调递增。
又f(0)=e^0-0-1=0，因此当x>0时，f(x)>f(0)=0即e^x-x-1>0，即e^x>x+1。
2. 利用导数求函数的极值导数可以帮助我们求出函数的极值，例如函数的最大值和最小值。
如果我们需要证明某个不等式的最大值或最小值，可以通过推导函数的导数，找出函数的极值，从而得出结论。
f'(x)=2x-2/x^3，因此f(x)在x=1处取得极小值。
又因为当x>0时，x^2+1/x^2≥2 |x=1，因此当x>0时，x^2+1/x^2≥2。
3. 利用导数证明柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中的重要不等式之一，它可以用来计算向量的点积的上界。
柯西-施瓦茨不等式的表述为：对于任意两个n维实向量a和b，有|a·b|≤|a|·|b|其中a·b为向量a和b的点积，|a|和|b|为向量a和b的模。
灵活运用构造函数法，提升证明不等式的效率
设 0 < x1 < x 2 ，
æx
ö
2 ç 1 - 1÷
x1 2 ( x1 - x 2 )
è x2
ø
=
③ 可变形为 ln <
④，
x2
x1
x1 + x 2
+1
x2
令 t=
x1
( 0 < t < 1 )，
x2
可得 h( t ) = ln t -
2
2 ( t - 1)
，
t+1
( t - 1)
即需证
数学篇
42
首先将要证明的不等式进行移项、作差，使所有
则函数 h( x) 单调递减且 h(1) = 0 ，
1 ·h( x) > 0
所以当 x ∈ ( 0,1) 时，h( x) > 0 ，
；
1 - x2
1 ·h( x) > 0
当 x ∈ (1, +∞) 时，h( x) < 0 ，
；
1 - x2
综上所述，当 x > 0 且 x ≠ 1 时，
所以当 x > 0 时, h′(x) < 0 , h(x) 单调递减,
1
1
1
1 ö,
因为 >
,所以 hæ ö < hæ
n n+1
è n ø è n + 1ø
1 ö > n ln æ1 + 1 ö
故 (n + 1)ln æ1 +
.
nø
n + 1ø
è
è
运用函数最值法证明数列不等式时，同学们需依
不等式证明中的几种新颖方法
不等式证明中的几种新颖方法
以下是 8 条关于不等式证明中的新颖方法：
1. 放缩法简直太神奇啦！比如说，要证明
1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)，咱就可以通过巧妙地放大或缩小一些项
来达到目的。
这就好像建房子，一点一点把合适的材料放上去就能建成稳固的大厦呀！
2. 构造函数法真的是绝了！像证明x²+5>2x+3 ，咱可以构造函数
f(x)=x²-2x+2 ，通过研究函数的性质来得出不等式的结论，这多像给不等
式穿上了一件量身定制的衣服！
3. 数学归纳法也很厉害的哟！比如要证明一个关于 n 的不等式，先证
明当 n=1 时成立，然后假设 n=k 时成立去推出 n=k+1 时也成立。
这就像爬楼梯，一步步稳稳地往上走！“嘿，这不就证明出来啦！”
4. 利用均值不等式来证明，哇哦，那可太好用啦！例如证明
(a+b)/2≥√(ab) ，这就像是给不等式找了个平衡的支点！
5. 换元法也有意思呀！把复杂的式子通过换元变得简单明了，再去证明。
就好像把一团乱麻理清楚，然后就能看清它的真面目啦！“哇，原来这么简单！”
6. 反证法也超棒的呢！先假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原来的不等式是对的。
这不是和找错一样嘛，找到错的就知道对的在哪啦！
7. 排序不等式更是一绝！在一堆乱序的数中找到规律证明不等式，就像在一堆杂物中找到宝贝一样让人惊喜！
8. 柯西不等式也是很牛的哦！通过它独特的形式来证明不等式，真的是让人眼前一亮呀！“哇塞，还有这种神奇的方法！”
我觉得这些新颖的方法就像是一个个神奇的工具，能让我们在不等式的证明中如鱼得水，轻松搞定各种难题！。
高中数学解题方法-----构造函数法证明导数不等式的八种方法
高中数学解题方法构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：1.移项法构造函数 2、作差法构造函数证明3、换元法构造函数证明4、从条件特征入手构造函数证明5、主元法构造函数6、构造二阶导数函数证明导数的单调性7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）8.构造形似函数1.移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+−=−+=′x x x x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+−+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
证明不等式的八大绝招
证明不等式的八大绝招高考数学的压轴题常以不等式为背景，而不等式的证明因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，本文给同学们介绍不等式证明中的八大绝招：“变形法、拆项法、添项法、放缩法、构造法、换元法、导数法、数形结合法”，希望对同学们的学习有所禅益。
一、变形法例1、已知121212101010,,,:a b c a b c R a b c bc ca ab+∈++≥++求证 证明：原不等式等价于：131313101010a b c a b c abc ++≥++()131313101010a b c abc a b c ⇔++≥++ （*）1313112211a b a b a b +≥+ ， 1313112211b c b c b c +≥+， 1313112211c a a c a c +≥+， ()()()()1313131122112211222a b c a b c b a c c a b ∴++≥+++++()1111111010102222a bc b ac c ab abc a b c ≥++=++。
从而()131313101010a b c abc a b c ++≥++；所以（*）式成立，故原不等式成立。
二、拆项法例2、已知,,,1a b c R a b c +∈++=且 ，求证：231.432ab c ≤证明：122333b b c c c a b c a =++=+++++ 66≥=232362316432ab c ⋅∴≤=。
三、添项法例3、【第36届IMO 试题】设,,a b c 为正数，满足1abc =，求证：()()()33311132a b c b a c c a b ++≥+++.证明：()()3114b c a b c bc a ++≥=+ , ()3114a c b a c ac b++≥=+,311()4a b c a b ab c++≥=+, ∴()()()33311111114b c a c a b a b c b a c c a b bc ac ab a b c+++⎛⎫+++++≥++ ⎪+++⎝⎭.从而()()()33311111111112a b c b a c c a b a b c a b c ⎛⎫++≥++-++ ⎪+++⎝⎭1111322a b c ⎛⎫=++≥= ⎪⎝⎭. 故∴原不等式成立. 四、放缩法 例4、【1998年全国高考试题】求证：())*111111114732n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>∈ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中，我们经常需要保留部分项，将函数近似表示，而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法，其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度，涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法，通过寻找适当的函数，将展开式转化为极限形式或积分形式，然后进一步证明不等式的成立。
总之，泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具，它们不仅有着重要的理论价值，在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率，也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$，如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0，说明它在该区间上单调递增；如果导数$f'(x)$小于0，则说明它在该区间上单调递减。
因此，如果要证明一个不等式在某个区间上成立，可以先求出函数在该区间上的导数，确定其单调性，然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<2$时，$f(x)<f(2)$，当$x>2$时，$f(x)>f(2)$，即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$，因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$，即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$，如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，且$f^{''}(x_0)>0$（即$f(x)$的二阶导数大于0）则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值；如果$f^{''}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此，如果要证明一个不等式最值的存在性，可以先求出函数的导数，再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式，可以考虑构造一个较为特殊的函数，来证明不等式的成立性。
例如，对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$，我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$，并证明$f(x)\leq 0$。
构造函数证明不等式的八种方法
构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。
例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。
例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。
例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。
7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。
例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。
构造函数法证明不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。
下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。
此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧在高中数学中，不等式是经常会遇到的题目类型，也是数学竞赛中经常涉及到的一类题目。
在证明不等式的过程中，我们可以运用导数与构造函数等技巧来简化证明难度，提高证明效率。
一、运用导数证明不等式当我们需要证明一个函数的值在某个范围内时，我们可以考虑用导数来帮助我们进行证明，具体可分为以下步骤：1、确定函数的定义域和值域，并确定要证明的不等式形式。
2、通过求导得到函数的单调性或极值点。
3、根据函数的单调性或极值点，利用数轴或图象来确定函数的取值范围及是否满足要证明的不等式。
例如，要证明关于 $x$ 的不等式 $\frac{3}{2}x^2-6x+5>0$ 成立，可按以下步骤进行证明：1、由不等式左边的式子可得到 $f(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+5$，其定义域为实数集，值域为 $[0,\infty)$。
2、对 $f(x)$ 求导，得到 $f'(x)=3x-6$。
当 $f'(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调上升，当$f'(x)<0$ 时，$f(x)$ 单调下降。
当 $f'(x)=0$ 时，$f(x)$ 有极值，即当 $x=2$ 时，$f(x)$ 取得极小值 $-1$。
3、据此得到 $f(x)$ 的图象如下图所示，可知在 $x<2$ 和 $x>2$ 的区间内，$f(x)$ 的取值为正，因此原不等式成立。
构造函数法是一种运用代数方法构造一个函数来满足指定条件的证明方法。
具体可分为以下步骤：1、根据不等式的形式或特点，分析解析式中可能出现的约束条件或不等式关系。
2、构造一个函数并确定其满足条件的范围。
3、证明所构造的函数满足所要证明的不等式条件。
1、根据不等式的形式，可考虑构造分式函数。
2、构造函数 $f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}$，其定义域为$D=\{(x,y)\mid x\neq0,y\neq0,x\neq y\}$。
构造函数法在不等式证明中运用
构造函数法在不等式证明中运用构造函数法在不等式证明中运用不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。
不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。
本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。
一、构造函数利用判别式证明不等式①构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。
一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。
例1.设：a、b、c∈R，证明：成立，并指出等号何时成立。
解析：令⊿＝∵b、c∈R，∴⊿≤0即：，∴恒成立。
当⊿＝0时，，此时，，∴时，不等式取等号。
例2.已知：且，求证：。
解析：消去c得：，此方程恒成立，∴⊿＝，即：。
同理可求得②构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：由，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。
例3.设且，求证：﹤6。
解析：构造函数：＝由，得⊿≤0，即⊿＝.∴﹤6.例4.设且，求的最小值。
解析：构造函数＝由，得⊿≤0,即⊿＝144-4≤0∴当时，二、构造函数利用函数有界性证明不等式例5.设﹤1，﹤1，﹤1，求证：﹥-1.解析：令为一次函数。
由于﹥0，且﹥0，∴在时恒有﹥0.又∵，∴﹥0，即：﹥0评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为。
三、构造函数利用单调性证明不等式例6.设，求证：﹥解析：设，当﹥0时，是增函数，又＝﹥＝，而，∴﹥，∴﹥故有：﹥例7.求证：当﹥0时，﹥。
解析：令，∵﹥0，∴﹥0.又∵在处连续，∴在上是增函数，从而，当﹥0时，﹥＝0，即：﹥成立。
构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理
构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理1.构造多项式函数法：通过构造一个多项式函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$x^3+x^2+x+1>0$，我们可以构造多项式$f(x)=x^3+x^2+x+1$，然后证明$f(x)$的系数全为正数，从而得到结论。
2. 构造变形函数法：通过构造一个特定的变形函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$x+\frac{1}{x}>2$，我们可以构造变形函数$f(x)=x+\frac{1}{x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。
3. 构造反函数法：通过构造一个特定的反函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}>2$，我们可以构造反函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。
4. 构造积分函数法：通过构造一个特定的积分函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt<x$，我们可以构造积分函数$f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt-x$，然后证明$f(x)$的取值范围为负数，从而得到结论。
5. 构造递推函数法：通过构造一个特定的递推函数来证明不等式。
例如，要证明$n$个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，我们可以构造递推函数$f(n)=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}-\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}$，然后证明$f(n)$关于$n$的递推关系为非负数，从而得到结论。
6. 构造交换函数法：通过构造一个特定的交换函数来证明不等式。
例如，要证明当$x,y,z>0$时，$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$，我们可以构造交换函数$f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz$，然后证明$f(x,y,z)$在$x,y,z$的任意交换下都保持不变或增加，从而得到结论。
导数构造函数解不等式的方法
导数构造函数解不等式的方法不等式是数学中常见的一种关系，解不等式可以帮助我们求出变量的取值范围，从而更好地理解数学问题。
导数构造函数是解不等式的一种重要方法，本文将介绍导数构造函数的原理、方法和应用，帮助读者更好地理解和应用它解决不等式问题。
一、导数构造函数的原理在了解导数构造函数的方法之前，我们需要先了解它的原理。
导数构造函数的基本思想是利用函数的导数来构造一个函数，该函数在某些区间内单调递增或者单调递减，从而可以对不等式进行分析。
具体来说，如果我们需要解一个形如f(x)>0的不等式，我们可以先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后找到f'(x)的零点和断点，将区间分成若干段，然后分别对每个区间进行单调性的判断，找到f(x)>0的取值范围。
同理，如果我们需要解一个形如g(x)<0的不等式，可以按照类似的方法构造一个新的函数h(x)=-g(x)，然后再对h(x)>0的不等式进行求解。
二、导数构造函数的方法基于导数构造函数的原理，我们可以采用如下的步骤来解不等式：Step 1: 求出函数的导数。
Step 2: 解方程f'(x)=0，找到导数的零点和断点。
Step 3: 根据导数的符号和临界点的性质判断原函数的单调性。
Step 4: 找到f(x)>0或者f(x)<0的取值范围。
举个例子，假设我们需要解如下的不等式：x^3-3x^2+2x>0首先，求出函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数f'(x)=3x^2-6x+2。
然后，解方程f'(x)=0，得到临界点x=1/3和x=2。
接下来，根据f'(x)的符号和临界点的性质可以得到如下的单调性分析表：x<1/3: f'(x)<0, f(x)递减1/3<x<2: f'(x)>0, f(x)递增x>2: f'(x)<0, f(x)递减最后，我们可以看出f(x)>0的解集为x∈(-∞,1/3)∪(2,+∞)，即函数f(x)在这些区间内是正的。
构造函数法证明不等式的八种方法.doc
构造函数法证明不等式的八种方法.doc构造函数法是一种证明不等式的有效方法。
构造函数法是通过构造函数来证明不等式的真实性。
构造函数是函数的一种特殊形式，它是根据不等式中的条件和限制而构造出来的函数。
构造函数法的基本思路是，通过构造函数将原不等式转化为更容易证明的形式，进而通过对构造函数的研究来证明原不等式的真实性。
本文将介绍构造函数法证明不等式的八种方法。
一、线性函数法线性函数法是基于线性函数的构造函数法，它是构造函数法中最简单的方法之一。
线性函数法的思路是，构造一个线性函数，使得该函数在不等式限制下达到最大值或最小值。
例如，证明如下不等式：$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq\frac{3}{2}$$将不等式两边都乘以$2(b+1)(c+1)(a+1)$得：$$2a(c+1)(b+1)+2b(a+1)(c+1)+2c(b+1)(a+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)$$此时，可以构造如下的线性函数$f(x,y,z)$:容易发现，$f(x,y,z)$在限制条件$x,y,z\geq 0$，$xy+yz+zx=3$下，达到最大值$\frac{3}{2}$。
因此，原不等式成立。
二、对数函数法对数函数法是基于对数函数的构造函数法，它常用于证明形如$a^x+b^y+c^z\geq k$的不等式，其中$a,b,c,x,y,z,k$均为正实数。
对数函数法的思路是，构造一个对数函数，使得该函数满足$g(x,y,z)\leq\ln(a^x+b^y+c^z)$，进而证明$g(x,y,z)\leq\ln k$，从而得到原不等式的证明。
例如，证明如下不等式：考虑构造如下的对数函数：$$g(x)=\ln\left(\frac{4a^3x+6}{5a^2x+2ax+5}\right)-\frac{3}{4}\ln x$$不难证明，$g(x)$在$x\geq 1$时单调递减且$g(1)=0$，因此$g(x)\leq 0$。
构造函数法证明不等式
构造函数法证明不等式要证明一个不等式，一种常见的方法是使用构造函数法。
构造函数法是通过构造一个满足不等式的函数来证明不等式的正确性。
下面我们来具体说明如何使用构造函数证明一个不等式。
首先，我们需要明确待证明的不等式是什么。
假设我们需要证明的不等式是:f(x) \leq g(x)\]其中，f(x)和g(x)是关于x的函数。
接下来，我们需要构造一个满足不等式的函数h(x)。
我们的目标是证明h(x)满足:f(x) \leq h(x) \leq g(x)\]通过这个中间函数h(x)，我们可以将不等式分解成两个更简单的不等式。
为了构造适当的函数h(x)，我们可以考虑函数的性质，例如导数、零点、拐点等。
以下是几种常见的构造函数的方法:1. 加减常数法: 可以通过给f(x)或g(x)加减一个适当的常数来构造函数h(x)，使得f(x) \leq h(x) \leq g(x)。
例如，如果我们想证明 x^2 \leq x^3，我们可以通过构造一个函数h(x) = x^2 + 1来证明。
显然，对于任意的x，x^2 + 1 \geq x^2，并且x^2 + 1 \leq x^3（因为x^2 \leq x^3对于所有的x成立）。
2. 乘除法: 可以通过乘以或者除以一个适当的函数来构造函数h(x)。
例如，如果我们想证明 x^2\leq x^4，我们可以通过构造一个函数h(x)= \frac{1}{x^2}来证明。
当 x>0时，显然x^2 \leq \frac{1}{x^2}，而当 0\leq x \leq 1时， x^4 \geq x^2、因此，对于所有的x，\frac{1}{x^2} \geq x^2\leq x^43.对函数取导数:如果我们可以找到f(x)和g(x)的导数，并证明导数的关系成立，则可以通过证明导数的关系来证明原始函数的关系。
例如，如果我们想证明 x \leq e^x，我们可以比较两个函数的斜率。
我们知道导数表达式 d/dx(x) = 1 小于 d/dx(e^x) = e^x。
构造函数法证明不等式的八种方法
导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有【解】1111)(+-=-+='x xx x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则xx x x F 12)(2--='=x x x x )12)(1(2++-当1>x 时，)(x F '=xx x x )12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。
构造函数证明不等式
突破疑难点1构造函数证明不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x＜x＜e x(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．突破疑难点2利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．突破疑难点3两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.突破疑难点4两法破解由零点个数确定参数问题已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧数学中，不等式是一种非常重要的工具，可以用来证明和描述各种性质和现象。
在证明不等式时，我们常常需要运用导数和构造函数的技巧。
下面，本文将介绍导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、导数证明不等式当我们需要证明一个函数的某个性质或者不等式时，可以通过计算其导数来得到一些有用的信息。
具体来说，如果一个函数在某一点的导数为正数，则意味着函数在该点的值越大，导函数也就越大；而如果函数在某一点的导数为负数，则意味着函数在该点的值越大，导函数也就越小。
考虑一个简单的例子：证明二次函数 $f(x)=x^2+4x+3$ 在 $x\geqslant-2$ 的区间内严格单调递增。
我们首先计算 $f(x)$ 的导数：$$f'(x)=2x+4$$然后，我们发现，在 $x\geqslant-2$ 的区间内，$f'(x)$ 是恒正的，因此$f(x)$ 在该区间内是严格单调递增的。
因此，不等式 $f(x_1)<f(x_2)$ 成立当且仅当$x_1<x_2$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 均在 $x\geqslant-2$ 的区间内。
另一种证明不等式的常用技巧是构造函数。
具体来说，我们可以构造一个新的函数$g(x)$，使得 $g(x_1)<g(x_2)$ 成立当且仅当 $f(x_1)<f(x_2)$ 成立。
考虑一个简单的例子：证明当 $a>1$ 时，有 $a^2>a+\sqrt{a}$。
我们首先构造一个函数 $f(x)=x^2-x-\sqrt{x}$，并计算其导数：$$f'(x)=2x-1-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$接下来，我们构造一个新的函数 $g(x)=af(x)+(a-1)x$。
由于 $a>1$，因此$g'(x)=af'(x)+(a-1)>0$，因此 $g(x)$ 在 $x>1$ 的区间内是严格单调递增的。
构造函数法证明不等式的常见方法
构造函数法证明不等式一、教学目标：1.知识与技能：利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性和最值来证明不等式.2.过程与方法：引导学生钻研教材，归纳求导的四则运算法则的应用，通过类比，化归思想转换命题，抓住条件与结论的结构形式，合理构造函数.3.情感与态度：通过这部分内容的学习，培养学生的分析能力（归纳与类比）与推理能力（证明），培养学生战胜困难的决心和解题信心。
二、教学重难点：解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
难点：将命题的结论进行转化与化归，变成熟悉的题型。
三、教法学法：变式训练 四、教学过程： （一）引入课题：1.复习导数的运算法则：2.问题探源：（教材第32页B 组题第1题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证(3)1(0)(4)ln 1(0)x e x x x x x >+≠≤->3.问题探究：1、直观感知（几何画板演示）；（2）推理论证 4高考探究：例1、(2013年北京高考）设L 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求L 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方.若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．()af a >b )(b f变式练习2：证明：对任意的正整数n ，不等式11ln(1)111nn+>-+ 都成立（类似还有2012年湖北高考题第22题）变式练习3：已知m 、n 都是正整数，且,1n m <<证明：mnn m )1()1(+>+思考题5．（全国卷）已知函数()ln g x x x = 设b a <<0,证明 ：()()()22g a g b a bg ++>（1）知识点：（2）解题步骤：（3）数学思想方法高考真题训练：1.【2015年新课标Ⅰ文21】. （本小题满分12分）设函数()2ln xf x e a x =-.证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 分析：利用函数最值和不等式单调性证明.2.【15北京理科】已知函数()1ln 1x f x x +=-，求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； 分析：移项构造函数利用函数单调性求证。
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构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则x x x x F 12)(2--='=x x x x )12)(1(2++- 当1>x 时，)(x F '=xx x x )12)(1(2++- 从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F ∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。
读者也可以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法。
3、换元法构造函数证明【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(nn n ->+ 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。
【解】令)1ln()(23++-=x x x x h ， 则1)1(31123)(232+-+=++-='x x x x x x x h 在),0(+∞∈x 上恒正， 所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h即0)1ln(23>++-x x x ，∴32)1ln(x x x ->+对任意正整数n ，取3211)11ln(),0(1nn n n x ->++∞∈=，则有 【警示启迪】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f【解】由已知 x )(x f '+)(x f >0 ∴构造函数 )()(x xf x F =，则=)('x F x )(x f '+)(x f >0， 从而)(x F 在R 上为增函数。
b a > ∴)()(b F a F > 即 a )(a f >b )(b f【警示启迪】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，求导即可完成证明。
若题目中的条件改为)()(x f x f x >'，则移项后)()(x f x f x -'，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
5、主元法构造函数例．（全国）已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+= (1) 求函数)(x f 的最大值；(2) 设b a <<0,证明 ：2ln )()2(2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<. 分析：对于（II ）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对x x x g ln )(=求导,则1ln )('+=x x g . 在)2(2)()(b a g b g a g +-+中以b 为主变元构造函数, 设)2(2)()()(x a g x g a g x F +-+=,则2ln ln )]2([2)()('''x a x x a g x g x F +-=+-=. 当a x <<0时，0)('<x F ,因此)(x F 在),0(a 内为减函数.当a x >时,0)('>x F ,因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数.从而当a x =时, )(x F 有极小值)(a F .因为,,0)(a b a F >=所以0)(>b F ,即.0)2(2)()(>+-+b a g b g a g 又设2ln )()()(a x x F x G --=.则)ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x x a x x G +-=-+-=. 当0>x 时,0)('<x G .因此)(x G 在),0(+∞上为减函数.因为,,0)(a b a G >=所以0)(<b G ,即2ln )()2(2)()(a b b a g b g a g -<+-+. 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数21()2x f x ae x =- (1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围;(2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x解：(1)f ′(x)＝ ae x －ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f ′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e -x ，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a ≥1/e,即a 的取值范围是[1/e, + ∞)(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =)0(1212>---x x x e x 则F ′(x)=e x -1-x,令h(x)= F ′(x)=e x -1-x,则h ′(x)=e x -1当x>0时, h ′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0即F ′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x ．小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)恒成立，于是m 大于)(x f 的最大值（或m 小于)(x f 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当2111)1(,0xx e x x ++<+>时8.构造形似函数例：证明当ab b a e a b >>>证明,例：已知m 、n 都是正整数，且,1n m <<证明：m n n m )1()1(+>+【思维挑战】1、（2007年，安徽卷） 设x a x x x f a ln 2ln 1)(,02+--=≥求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x ，2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 ,ln 3)(,221)(22b x a x g ax x x f +=+=其中a >0，且a a a b ln 32522-=， 求证：)()(x g x f ≥3、已知函数x x x x f +-+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ， 恒有.1ln ln ab b a -≥- 4、（2007年，陕西卷）)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a < b ，则必有 （ ）（A ）af (b )≤bf (a )（B ）bf (a )≤af (b ) （C ）af (a )≤f (b )（D ）bf (b )≤f (a )【答案咨询】1、提示：x a x x x f 2ln 21)(+-='，当1>x ，0≥a 时，不难证明1ln 2<xx ∴0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调递增，故当1>x 时，0)1()(=>f x f ，∴当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x 2、提示：设b x a ax x x f x g x F --+=-=ln 3221)()()(22则xa a x x F 232)(-+=' =xa x a x )3)((+- )0(>x 0>a ，∴ 当a x =时，0)(='x F ， 故)(x F 在),0(a 上为减函数，在),(+∞a 上为增函数，于是函数)(x F 在),0(+∞上的最小值是0)()()(=-=a g a f a F ，故当0>x 时，有0)()(≥-x g x f ，即)()(x g x f ≥3、提示：函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，22)1()1(111)(x x x x x f +=+-+=' ∴当01<<-x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为减函数当0>x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为增函数因此在)(,0x f x 时=取得极小值0)0(=f ，而且是最小值 于是x x x f x f +≥+=≥1)1ln(,0)0()(从而，即xx +-≥+111)1ln( 令a b x b a x -=+->=+1111,01则 于是ab b a -≥1ln 因此a b b a -≥-1ln ln 4、提示：x x f x F )()(=，0)()()(2'≤-='x x f x xf x F ，故x x f x F )()(=在（0，+∞）上是减函数，由b a < 有b b f a a f )()(≥⇒ af (b )≤bf (a ) 故选（A ）。