二次函数中面积最值问题导学案
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
人教版九年级数学上教案初三第一学期实际问题与二次函数最大面积问题导学案课堂练习配套作业每课一测含答案
第11课时 实际问题与二次函数（2）（最大面积问题）【教学目标】1．从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并利用二次函数的图象和性质求实际问题中的图形的最大值或最小值面积.2．体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型，并获得解决问题的经验.【要点呈现】1．对于面积最值问题应该设图形一边长为 量，所求面积为因变量建立 函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 二次函数中的几何图形问题常见的有：几何图形中面积的最值、用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论.【新知探究】例1．（几何图形的面积与二次函数）给你长8m 的铝合金条，设问：①你能用它制成一矩形窗框吗？ ②怎样设计，窗框的透光面积最大？变式1：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？．变式2：某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)? 此时，窗户的面积是多少?变式3：分别用定长为L 的线段围成矩形和圆．哪种图形的面积大?为什么?A B D EF xxyy例2．（几何图形的分割与二次函数）如图所示．从一张矩形纸较短的边上找一点E ，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE ．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处?为什么?变式：一块三角形废料如所示，∠A =30°，∠C =90°， AB =12，用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、AC 上，要使剪出的长方形CDEF 面积最大.点E 应选在何处?A D E A BFCDE301.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为l米的通道及在左右花圃各放一个l米宽的门(如图所示)．花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?2．（2010安徽芜湖中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm,当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积.3．用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=x m，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．一、选择题（每题5分，共10分）1．设一扇形周长为4cm ，若要使其面积最大，则半径应为（ ）A ．1cmB ．2cm C．12cm D ．32cm 2．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0＜x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是 ( )二、填空题（每题5分，共10分）3．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．4．某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长），另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如下左图）；②围成一个半圆形（如下右图）．设矩形的面积为S 1平方米，宽为x 米，半圆形的面积为S 2平方米，半径为r 米，农场主想选择一个围成区域面积最大的方案，他应选择方案 （π3 ）．三、解答题（第5、6、 7、8小题各15分，第9小题各20分，共80分） 5．（2010山东潍坊中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD ，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ （2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？x 1S 2S6．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 米2． （1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．7．某人定制了一批地砖，每块地砖（如图 (1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材 料费用最省？(2)(1)D8．学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．9．如图，要在底边BC = 10CM ，高AD = 120c M 的△ABC 铁皮余料上截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 和F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AD AM =BCHG． (1)设矩形EFGH 的长HG = y ，宽HE = x ，确定y 与x 的函数关系式．（2）当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？（3）以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶． 怎 样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由．（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另有材料配备）A B CEF G H D M【参考答案】【要点梳理】1．自变 因变 二次 【问题探究】例1．解：①能用它制成一矩形窗框；②设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x )米，再设面积为y m 2，则它们的函数关系式为y =-x 2+4x =-（x +2）2+440x x >⎧⎨->⎩，∴0＜x ＜4 当x =2时（属于0＜x ＜4范围），y 最大=4，即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)变式1：解：设矩形窗框的一边AB 长为x 米，则另一边长AD 的长为823x-米，再设面积为y m 2，则它们的函数关系式为y =823x -·x =22833x x -+=228(2)33x --+，8230x x >⎧⎪⎨>⎪-⎩，∴0＜x ＜4，当x =2时（属于0＜x ＜4范围），y 最大=83，即当设计为AB =4米时，面积最大=83(m 2)．变式2：分析：①窗户通过的光线最多实际上是要求窗户的面积尽可能大． ②图中y 的长度可求，由4y +6x +πx =15得y = 1564x xπ--．③窗户的面积为S m 2，则S =12πx 2+2x ·1564x x π--= -3x 2+215x ．④对于S 关于y 的二次函数，可用顶点坐标公式确定其相应最大值，即当x =-15152 1.252(3)12==⨯-（m ）时．S 最大=22150()2252 4.69().4(3)412m -=≈⨯-⨯ 解：由题意可知:4y +21·2π·x +6x =15，化简得y = 1564x x π-- ．设窗户的面积为S m 2，则S =12πx 2+2x ·1564x x π--= -3x 2+215x ．因为a =-3<0，所以S 有最大值．所以当x =-15152 1.252(3)12==⨯-（m ）时，S 最大=22150()2252 4.69()4(3)412m -=≈⨯-⨯．即当x =1.25m 时．窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积是4.69m 2． 变式3：解：分两种情况进行讨论，再比较．(1)当用定长为L 的线段围成矩形时．设矩形的宽为x ．则长为(L 21-x ) ，那么面积S 1为： S 1=x ·(L 21-x )= -x 2+L 21，根据顶点坐标公式求得 x = - )1(221-⨯l= 41L 时，S 1的最大值=22161)1(4)21(0)1(4L L =-⨯-∙-⨯(2)用定长为L 的线段圈成圆形时，设圆形面积为S 2，半径为r ． 那么 r =π2L ，S 2=πr 2=π·（π2L ）2=π4L L 2．因为π4L >161，所以：S 2>S 1，即用定长为L 的线段围成矩形和圆时，圆的面积较大． 例2．分析：将DE 的长设为x ，两正方形的面积和为y ，寻找出y 与x 间的函数关系．再求解．解：不妨设矩形纸较短边长为a ，设DE =x ，则AE = a -x . 那么两个正方形的面积和y 为y =x 2+（a -x ）2=2x 2-2ax +a 2.当x = -222⨯-a = a 21时，y 最小=2×（a 21）2-2a ·a 21+ a 2= a 212.即点E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小．变式：解：由题意知∠A =30°，∠C =90°， AB =12，∠B =60°．设剪出的长方形CDEF 的面积为S ，AE 长为x ，则BE =12-x ，EF)2x =-DE =12x ，21(12)224S x x x =-∙=-+那么，因为：x==6时，S最大=3664-+=，所以当点E 选在AB 的中点处，剪出的长方形CDEF 的面积最大，最大面积是93．【课堂操练】1．解：设AD =x ．则AB =32一4x +3=35一4x ，从而花圃的面积S =x (35—4x )一x ×1= —4x 2+34x ， 因为AB ≤10⇒35-4x ≤10，所以 x ≥6.25． S =一4 x 2+34x ．对称轴x =4.25．开口向下． 所以 当x ≥4.25时S 随x 的增大而减小．故当x=6．25米时．S 取最大值56．25米． 2．解：x m,矩形的一边长为2x m.其相邻边长为20(410(22xx -+=-+.所以，该金属框围成的面积S=1210(22x x ⎡⎤∙-++⎣⎦=2(320x x -++ (0<x<10-5)，当30x ==-时，金属框围成的面积最大，此时矩形的一边长260x =-m ），相邻边长为10(210(310-+∙-=（m ）S 最大=100（）m 2）.3．分析：本题已经给出了以五边形的边长为自变量，因此只要能够用x 来表示出S 即可．观察图形，连结EC ，可以将五边形的面积分割成△CDE 与四边形ABCE 的面积之和来求． 解：连结EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F .∵五边形ABCDE 的内角和为（5-2）×180°=540° 又∵∠DCB =∠CDE =∠DEA ，∠EAB =∠CBA =90°， ∴∠DCB =∠CDE =∠DEA =120°，∵DE =CD ∴∠DEC =∠DCE =30°，∴∠CEA=∠ECB =90°， ∴四边形EABC 为矩形， ∵CD =DE =x m ，∴AE =BC =2212x-=6-x ，∵AE >0 ∴0<x <6． 在Rt △CFD 中，∵∠DCE =30°∴ DF =12x ，EC∴ S =21CE ·DF +AE ·CE=2x + (0<x <6)． ∴ 当x =4m 时，S 最大m 2．【每课一测】1．A 提示： 设半径为x cm ，则弧长为(4-2x )cm ，面积21=42)22S x x x x -=-+（，当2=22(1)b x a --⨯-==1时，面积最大． 2．D 提示：根据题意，得y =x 2，且0＜x ≤10，∴函数图象是y =x 2的图象的第一象限中的部分．故应选D ．3．252 提示：设一段铁丝的长度为x cm ，两正方形的面积之和为y cm 2，则222044x x y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，21550822y x x =-+，所以215054()258221248y ⨯⨯-==⨯最小. 4．② 提示：S 1=x (30-2x )=-2x 2+30x 215225222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．当152x =米时，S 1取大值2252平方米．由30=πx ，得x =10米，2211π310015022S x ==⨯⨯=平方米．2251502<，∴S 1< S 2，应选择方案②．5．解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意，得：4x 2＋（100－2x ）（80－2x ）＝5200，整理得，x 2－45x ＋350＝0，解得x 1＝35，x 2＝10，经检验x 1＝35，x 2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米． （2）设铺设矩形广场地面的总费为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则y ＝30[4x 2＋(100－2x )(80－2x )]＋20[2x (100－2x )＋2x (80－2x )]，即是y ＝80x 2－3600x ＋240000，配方得y ＝80（x －22．5）2＋199500，当x ＝22．5时，y 的值最小，最小值为199500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，所铺设设铺设矩形广场地面的总费最小，最少费用为199500米． 6．解：（1）S =（24－3x ）·x =－3x 2+24x ；（2）由45=－3x 2+24x ，解得x =5，即AB 长为5米;（3）S =-3（x -4）2+48，由8314<≤x ．所以当314=x 时，S 有最大值． 48-3（3246)43142=-．所以能围成．围法：24-3×314=10，花圃的长为10米，宽为324米，这时面积最大为3246平方米．7．解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE =CF =CG=CH ．∴△CEF 、△CFG 、△CGH 、△CHE 是四个全等的等腰直角三角形.因此EF =FG =GH =HE ，∠FEH =∠EFG =∠GHE =∠FGH =90°，因此四边形EFGH 是正方形.(2)设CE =x ，则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y ,那么y =21x 2×30+21×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x )] ×10=10(x 2-0.2x +0.24)=10(x -0.1)2+2.3(0＜x ＜0.4) ．当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1. 答:当CE =CF =0.1米时总费用最省.8．解：（1）方案1：长为917米，宽为7米． 方案2：长为9米，宽为917米．方案3：长=宽=8米．（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米． 由题意，得长方形长与宽的和为16米．设长方形花圃的长为x 米，则宽为（16-x ）米．S 长方形=x (16-x )=-x 2+16x =-(x -8)2+64．∴在长方形花圃周长不变的情况下，长方形的最大面积为64平方米，因此不能增加2平方米． 9．解：（1）∵AD AM =BC HG ，即 120120x -=160y ，∴y =－34x ＋160． （2）∵S = xy ，∴S =x ·（－34x ＋160）=－34x 2＋160x =－34（x －60）2＋4800．所以当x = 60时，矩形EFGH 的面积S 最大，即S = 4800cm 2．（3）围成圆柱形铁桶有两种情形：①以矩形EFGH 的宽HE = 60cm 作为铁桶的高，长HG = 80cm 作为铁桶的底面周长，则底面半径为R =802π．故铁桶的体积为V1=л·（802π）2·60 =96000πcm3．②以矩形EFGH的长HG = 80cm作为铁桶的高，宽HE = 60cm作为铁桶的底面周长，则底面半径为r =602π．故铁桶的体积为V2=л·（602π）2·80 =72000πcm3．由V1> V2，所以以矩形EFGH的宽HE = 60cm作为铁桶的高，长HG = 80cm作为铁桶的底面周长，围成的圆柱形铁桶的体积较大．第11页。
22.3.1--利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题
的 因此，当 t ＝ - =- ＝ - 时，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值 。
2．已知 0≤x≤ ，那么函数 y ＝－2x 2＋8x －6 的最大值是（B ） 4．二次函数 y ＝2x 2－6x ＋1，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围是- ≤y≤21 . 第 1 课时 利用二次函数求几何面积的最值问题1.二次函数的最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之 间的关系式是 h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最 大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题．画出函数 h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)图象(如图)． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值． b 30 2a 2 ⨯ (-5)= 3 时，h 有最大值 4ac - b 2 = -302= 45. 4a 4 ⨯ (-5)也就是说，小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是 45 m.一般地，当 a>0(a<0)时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低(高)点，也就是说，当 xb 2a 4ac - b 2 4a例题：1．二次函数 y ＝x 2－4x ＋c 的最小值为 0，则 c 的值为（B ）A.2B.4C.-4 D .161 2A. -6B.-2.5C.2 D ．不能确定3．已知 y ＝－x （x ＋3－a ）＋1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围在 1≤x≤5 时，若 y 在 x ＝1 时取得最大值，则实数 a 的取值情况是（D ）A.a=9B.a=5C ．a≤9D ．a≤57 25．若二次函数 y ＝x 2＋ax ＋5 的图象关于直线 x ＝－2 对称，且当 m≤x≤0 时，y 有最大值 5， 最小值 1，则 m 的取值范围是－4≤m≤－2 .所以另一边长⎛ 60 2 - l ⎪ 因此，当 l ＝ - =- = 15 时， 2.几何面积的最值问题：总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是 多少米时，场地的面积 S 最大？解：矩形场地的周长是 60 m ，一边长为 l m ，⎫ ⎝ ⎭ 为 m ． 场地的面积 S ＝l(30－l)，即 S ＝－l 2＋30l(0<l<30)．b 30 2a 2 ⨯ (-1)4ac - b 2 -302 = = 225. 4a 4 ⨯ (-1)S 有最大值也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同. 利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.例题：1．已知一个直角三角形两直角边长之和为 20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（B ） A ．25cm 2 B ．50cm 2 C ．100cm 2 D ．不确定2．用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm 2 的长方形，a 的值不可能为（D ）A.20B.40C.100 D .1203．如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，从较短边 AD 上找一点 E ，过这点剪下两个正 方形，它们的边长分别是 AE ，DE 的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选 在（A ）A ．AD 的中点B.AE:ED=( 5 -1):2C.AE:ED= 2 :1D.AE:ED=( 2 -1):24．（2016 兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠 墙（墙长 50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m 2．5．如图，线段 AB ＝6，点 C 是 AB 上一点，点 D 是 AC 的中点，分別以 AD ，DC ，CB 为边作正方形，则当 AC ＝4 时，∵a=-2＜0，- =- = . ∴当 x ＝ 时，y 有最大值，y 三个正方形的面积之和最小。
二次函数背景下的面积问题
二次函数背景下的面积问题教学环节教学活动教学策略设计意图（一）微课引入，温故知新播放微课视频，让学生再次回顾二次函数的相关知识点以及一次函数、反比例函数的面积问题。
学生观看微课视频通过微课回忆相关知识点，做到“脑中有图，心中有数”，为本节课顺利开展提供了充足的知识储备。
（二）分类讲解，变式提升1.类型一：抛物线与坐标轴交点构成的三角形面积问题例 1 如图 1 ，抛物线y = ax2 + bx + c经过点 A（-1，0），B(4，0),交 y 轴于点 C（0,2）；图 1(1)求抛物线的解析式（用一般式表示）；(2)求△ABC 的面积。
解题分析：这里学生只需要用交点式法求出抛物线的表达式，进而求出AB，CO，即可求出△ABC 的面积。
解：(1)设抛物线表达式为：y=a(x+1)(x-4)把（0，y)代入，得：2=a×1×(-4)a=12，则：y=- 12（x-1)(x-4)(2)S△ABC=AB·CO2= [4−(−1)]×22=5变式 1：在例 1 中，点 D 为 y 轴右侧抛物线（ 1 ）让学生独立做例1，总结出类型一的题型特点和所运用的方法。
（1）二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，要求学生能够熟练地掌握用待定系数法、顶点式、交点式法求函数解析式。
由简单题入手，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和信心参与本节课的数学学习。
2.类型二：抛物线顶点与坐标轴交点构成的三角形面积问题（二）分类讲解，变式提升例2 如图2 ，抛物线y = x2 − 2x− 3的顶点为A，交 x 轴于 B,D 两点，与 y 轴交于点 C.图 2(1)求线段 BD 的长；(2)求△ABC 的面积。
解题分析：第 1 问相对简单，只需求出抛物线与 x 轴的交点即可。
在第二问中，学生可以通过“补”的方法，把△ABC 补成梯形 BCMN，SΔABC= S梯形BCMN−SΔAMC−SΔABN（图3）。
二次函数中面积最值问题导学案
二次函数中面积最值问题导学案九年级数学学科导学案班级：小组：学号：姓名：编号：10学习流程：课题:二次函数中面积最值问题学习目标：利用二次函数的最值求三角形面积最大问题。
课前训练：用适当方法要求二次函数y＝-x2＋4x的顶点坐标，对称轴及最值。
课堂训练：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．其中AB和AD分别在两直角边上．设长方形的一边AB＝x，那么AD边的长度如何表示?设长方形的面积为y2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?课后反馈：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．其中AB和AD分别在两直角边上．AE=50c,AF=120c 设长方形的一边AB＝xc，那么AD边的长度如何表示?设长方形的面积为yc2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．设长方形的一边AB＝x，那么AD边的长度如何表示?设长方形的面积为y2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．设长方形的一边AB＝x，那么AD边的长度如何表示?设长方形的面积为y2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?如图，已知Bc=120c,Bc边上的高A=80c,在三角形的内部作一个长方形DEGF．设长方形的一边DG＝xc，那么DE边的长度如何表示?设长方形的面积为yc2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABcD的边上，若AE＝x，正方形EFGH的面积为y。
求出y与x之间的函数关系式；正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。
如图，在△ABc中，AB=Ac=10，Bc=12，矩形DEFG的顶点位于△ABc的边上，设EF=x，写出y关于x的函数表达式，列出表格，并画出相应的函数图象。
根据这三种表示方式回答下列问题：自变量x的取值范围是什么？图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？如何描述y随x的变化而变化的情况？。
人教版九年级数学上册《二次函数与实际问题(1)--面积最值问题》导学案
《面积最值问题》数学学习材料
问题：
为了改善小区环境，某小区决定要在一块足够大的空地
上，用长40m的栅栏围成一个矩形.
（1）请你设计一种方案，并计算这个矩形的面积？
（2）围成矩形的面积最大是多少？
变式延伸：
如果在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩
形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边Array用总长为40m的栅栏围住（如下图）. 若设绿
化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值
范围；
（2）当BC为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少？
（3）如果墙长是18m，当BC为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少？
（4）当这个矩形绿化带的面积不小于87.5m2时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
效果检测姓名成绩
１.如图，用总长为40m的篱笆（虚线部分），借助两面成直角且足够长的墙，围城矩形苗圃。
（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
（3）当这个苗圃的面积不小于12m2时，写出x的取值范围？。
二次函数综合(动点)问题——四边形面积最值存在问题培优学案(横版)
学习过程一、复习预习（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：（二）相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（三）相似三角形模型探究与解题技巧：1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
2、几种常见的相似三角形模型①直角三角形相似的几种常见模型②非直角三角形相似的几种常见模型3、解题技巧函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形可能对应边成比例进行分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程。
初中数学_二次函数中的面积计算教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数中的面积计算》教学设计一、教学目标1、使学生熟练掌握抛物线中特殊点的求法，体会数形结合、方程等数学思想。
2、引导学生会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。
3、培养学生发散思维，力求做到一题多解，多题归一。
二、教学重难点分析及解决措施1、教学重点：会利用直角坐标系中二次函数相关特殊点求几何图形的面积。
2、教学难点：对数形结合的数学思想的理解。
3、解决措施：本节课重在通过学习总结解决二次函数中面积计算问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果以及让学生更好的理解方法，辅以信息技术。
三、教学过程尝试求解∆ABC 的面积。
1、2、3、归纳总结：1、一般取在坐标轴上的线段作为底边。
2、三边均不在坐标轴上的三利用几何画板，让B、C 两点在抛物线上运动形成不同的图形，引导学生观察总结，只要是抛物线上的点，出现求解面积，找到特殊点之后，用点的坐标去表示线段的长，一般选取在坐标轴上的线段当成底边去解决，动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。
同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点，化特殊的形式为一般的形式进而总结规律方法。
已知二次函数32xy2--=x与X轴交于A、B 两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.1、求出A、B、C、P的坐标。
2、你能求出哪些图形的面积?3、在抛物线上1问求特殊点的坐标学生基本上都可以完成，在步骤上可能存在个别问题，运用希沃手机助手投影几份学生作品，让学生找出差别，选择最佳步骤进行整改。
2问的学生交流之后进行展示可以借助希沃白板进行书写。
3问学生在展示不同的答案之后可以借助几何画板构造S △NAB = S△ABC（三）拓展提高，体验中考进一步了解在找面积相等的点的时候可以用计算的方法也可以借助图形。
难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略(学生版+解析版)
难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0．，点B的坐标为3,0(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0点，点P是直线BC，与y轴交于C0,-4下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y =-x 2+bx +c 经过B 3,0 、C 0,3 两点，点P 是抛物线上一点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1个单位每秒的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2个单位每秒的速度移动．如果P ，Q 两点在分别到达B ，C 两点后就停止移动，设运动时间为t 秒(0<t <6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-1，0，与y轴交于点C．，B3，0(1)求b，c的值；(2)已知P为抛物线y=-x2+bx+c一点(不与点B重合)，若点P关于x轴对称的点P 恰好在直线BC上，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y=-x2+bx+c，使其顶点始终在直线y=x上，且与PP 相交于点Q，求△QBP 面积的最小值．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为3,0，连接AC，BC．动点P从A点出发，在线，B点坐标为-1,0段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)b=，c=；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段MA+MP的值最小，则试求出点M的坐标．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段OE上，E10,0(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y=a-1x+a2-4(a为常数，a>0)x2+2a-7的图象经过原点，点A在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．和点Q t-4，r(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y= ax2+c交于A8,6、B两点，点B的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点四利用二次函数求周长最小值问题】1(2023秋·安徽·九年级阶段练习)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若OA =1，OB =3，抛物线的对称轴为直线x =1.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，使得△PAB 周长最小，求出△PAB 最小周长．【变式训练】1(2023秋·云南临沧·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线x =2，点B 坐标为3,0 ，D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)P为该抛物线对称轴上一动点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标．(3)当函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为3，求m的值．2(2023秋·全国·九年级专题练习)综合与探究如图，经过B3,0两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A．，C0,-3(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求D的坐标；(3)已知点M在抛物线上，求S△ABM=8时的点M坐标；(4)已知E2,-3，请直接写出能以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标．3(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．4(2023春·山东东营·九年级校考阶段练习)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1, 0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0，点B的坐标为3,0．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【答案】(1)y=x2-2x-3(2)278(3)a =6或a=-3【分析】1 用待定系数法即可求解；(2)先求直线BC的表达式，过点P作PH∥y轴交BC于点H,由S△PBC=S△PHC+S△PHB,即可求解.(3)当a+1≤1时, 即a≤0, 则x=a+1时, 抛物线取得最小值;当x=a-2≥1时, 即a≥3, 则x=a-2时, 抛物线取得最小值，进而求解；【详解】(1)设抛物线的表达式为：y=a x-1,x-3又∵a=1∴y=x+1x-3=x2-2x-3；(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,当x =0时，y =-3,∴点C 0,-3 ,设直线BC 的表达式为y =mx +n ，把3,0 和0,-3 代入得：3m +n =0n =-3 ，解得m =1n =-3 ∴直线BC 的表达式为y =x -3,设点P x ，x 2-2x -3 , 则点H x ，x -3 ,∴S △PBC =S △PHC +S △PHB =12×PH ×OB =12×3x -3-x 2+2x +3 =-32x -32 2+278，∵a =-32<0，∴S △PBC 有最大值，最大值为278；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，即x =a -2和x =a +1不可能在抛物线对称轴两侧；当a +1≤1时, 即a ≤0,则x =a +1时，抛物线取得最小值，即y =a +1 2-2a +1 -3=5,解得:a =3(舍去)或a =-3,即a =-3；当x =a -2≥1时, 即a ≥3,则x =a -2时, 抛物线取得最小值,即y =a -2 2-2a -2 -3=5,解得:a =6或a =0(舍去)，综上,a =6或a =-3；【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为4,0 ，与y 轴交于C 0,-4 点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【答案】(1)y=x2-3x-4(2)P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；(2)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【详解】(1)解：将B、C两点的坐标代入得，16+4b+c=0c=-4，解得：b=-3 c=-4，所以二次函数的表达式为：y=x2-3x-4；(2)解：如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，P x,x2-3x-4，设直线BC的解析式为：y=kx+d，则d=-44k+d=0 ，解得：k=1 d=-4，∴直线BC的解析式为：y=x-4，则Q点的坐标为x,x-4；当0=x2-3x-4，解得：x1=-1，x2=4，∴AO=1，AB=5，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB⋅OC+12QP⋅BF+12QP⋅OF=12×5×4+124-xx-4-x2-3x-4+12x x-4-x2-3x-4=-2x2+8x+10=-2x-22+18，当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18．【点睛】此题考查了二次函数综合应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y=-x2+bx+c经过B3,0、C0,3两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)P 32,154(3)直线PC 的解析式为y =-2x +3【分析】(1)根据待定系数法可进行求解；(2)过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，由题意易得直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，然后根据铅垂法可进行求解；(3)设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由题意易得△BOC 为等腰直角三角形，△EFB 为等腰直角三角形，△AOC ∽△EFC ，然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】(1)解：由题意可得：-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，如图所示：设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：3k +b =0b =3，解得：k =-1b =3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，∴PH =-a 2+2a +3--a +3 =-a 2+3a ，点C 与点B 的水平距离为3，∴S △BCP =12×3×-a 2+3a =-32a -32 2+278，∵0<a <3且-32<0，∴当a =32时，△BCP 的面积最大，最大值即为278，此时∴P 32,154 ；(3)解：设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图所示：由(1)及题意可得：OC =OB =3，当y =0时，则有-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1,x 2=3，∴△BOC 为等腰直角三角形，即∠OBC =45°，BC =2OB =32，OA =1，∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EF =BF ，∵∠PCB =∠ACO ，∠AOC =∠EFC =90°，∴△AOC ∽△EFC ，∴AO EF =OC CF ，即AO OC =EF CF =13，∴CF =3EF =3BF ，∴CF +BF =4BF =BC =32，∴BF =324，∴BE =2BF =32，∴OE =OB -BE =32，∴E 32,0 ，设直线PC 的解析式为y =kx +b ，则有：32k +b =0b =3，解得：k =-2b =3 ，∴直线PC 的解析式为y =-2x +3．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【答案】(1)y =12x 2-32x -2(2)S △BCP 最大值为4(3)点P 坐标为173,509【分析】(1)先求出点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，求解即可；(2)过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，令y =0，得12x 2-32x -2=0，求解得B 4,0 ；再用待定系数法求出BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，所以PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，由三角莆面积公式得S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，然后根据二次函数最值求法求解即可；(3)根据点P 在第一象限，所以设CP 交x 轴于点H ，根据等腰三角形的判定与勾肌主得BH =CH =52，从而求出点H 32,0 ．再用待定系数法救是直线CH 解析式为y =43x -2，然后求出直线CH 与抛物线在第一象限的交点坐标即可得解．【详解】(1)解：∵OC =2，∴点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，得1=12-b +c-2=c，解得b =-32c =-2，∴抛物线的解析式为y =12x 2-32x -2；(2)解：过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，如图：令y =0，则12x 2-32x -2=0解得x 1=-1，x 2=4，∴B 4,0设BC 的解析式为y =kx +b ，把C 0,-2 ，B 4,0 代入得b =-24k +b =0，解得k =12b =-2，，∴BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，∴PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，∴S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，0<a <4 ，-1<0，∴当a =2时，S △BCP 取最大值，最大值为4；(3)解：∵点P 在第一象限，∴设CP 交x 轴于点H ，如图：∵∠PCB =∠ABC ，∴CH =BH ，∵CH 2=OC 2+OH 2，∴BH 2=CH 2=OC 2+OB -BH 2=22+4-BH 2，解得BH =52，∴OH=OB-BH=4-52=32，∴点H32,0．设直线CH解析式为y=kx+b，将点C0,-2，点H32,0代入得-2=b0=32k+b，解得k=43b=-2，∴直线CH解析式为y=43x-2，联立解析式得y=43x-2 y=12x2-32x-2，解得：x1=0y1=-2或x2=173y2=509，∴点P在第一象限，∴点P坐标为173,509．【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0<t<6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72，当t=3时，S最小=63【分析】(1)设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由三角形面积公式即可求解；(2)由S=S矩形ABCD-S△PBQ即可求解．【详解】(1)解：设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由题意得126-t×2t=8，整理得：t 2-6t +8=0，解得：t 1=2，t 2=4，答：运动开始后第2秒或4秒时△PBQ 的面积等于8．(2)解：S =S 矩形ABCD -S △PBQ=6×12-126-t ×2t=t 2-6t +72，=t -3 2+63，∵1>0，0<t <6，∴当t =3时，S 最小=63；答：S =t 2-6t +72，当t =3时，S 最小=63．【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据图形找出等量关系式，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，与y 轴交于点C ．(1)求b ，c 的值；(2)已知P 为抛物线y =-x 2+bx +c 一点(不与点B 重合)，若点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y =-x 2+bx +c ，使其顶点始终在直线y =x 上，且与PP 相交于点Q ，求△QBP 面积的最小值．【答案】(1)b =2c =3 ；(2)P -2，-5 ；(3)S △QBP的最小值为1358．【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)求得直线BC 的解析式为y =-x +3，设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，解方程a -3=-a 2+2a +3，即可求解；(3)由顶点始终在直线y =x 上，推出c =-b 24+b 2，由三角形面积公式得S △QBP=5PQ 2，当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，求得P Q 关于b 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，∴-1-b +c =0-9+3b +c =0，解得b =2c =3 ；(2)解：由(1)得抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，令x =0，则y =3，∴C 0，3 ，设直线BC 的解析式为y =kx +3，则0=3k +3，解得k =-1，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∵点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，∴设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，即点P a ，a -3 在抛物线y =-x 2+2x +3上，∴a -3=-a 2+2a +3，整理得a 2-a -6=0，解得a 1=-2，a 2=3，∵点P 不与点B 重合，∴P -2，5 ，P -2，-5 ；(3)解：抛物线y =-x 2+2x +3的顶点坐标为b 2，b 24+c ，∵顶点始终在直线y =x 上，∴b 2=b 24+c ，即c =-b 24+b 2，由(2)知直线PP 的方程为x =-2，∵抛物线y =-x 2+bx +c 与PP相交于点Q ，∵S △QBP=5PQ2，∴当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，∵P Q =5--4-2b +c =9+2b -c=9+2b --b 24+b 2 =b 24+3b 2+9=b 2+32 +274，∵1>0，∴当b 2=-32即b =-3时，P Q 的最小值为274，∴S △QBP的最小值为=52×274=1358．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为3,0 ，B 点坐标为-1,0 ，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC 上以每秒2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b =，c =；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA +MP 的值最小，则试求出点M 的坐标．【答案】(1)2，3(2)当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4(3)M 1,23 【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)直接利用对称点的性质得出M 点位置，进而得出答案．【详解】(1)∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A 3,0 ，B -1,0 ，则-9+3b +c =0-1-b +c =0 ，解得：b =2c =3 ；故答案为：2；3；(2)令x =0，则有y =3，即有C 0,3 ；∵C 0,3 ，A 3,0 ，B -1,0 ，∴OC =OA =3，OB =1，即AB =4，AC =OC 2+OA 2=32，∴△OAC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，由点P 、Q 的运动可知：AP =2t ，BQ =t ，结合B -1,0 ，可得：Q -1+t ,0 ，即：AQ =AB -BQ =4-t ，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，如图，∴AH =PH =2t2=t ，即H 3-t ,0 ，∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×OC ×AB -12×AQ ×PH=12×3×4-12×4-t ×t =12t -2 2+4，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且AC =32，∴0≤t ≤322即，0≤t ≤3，∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4；(3)由(2)可知，当t =1时，可得点P 的坐标为(2，1)，根据抛物线的对称性可知，点A ，B 关于对称轴：x =1对称，连接BP ，与抛物线对称轴交于点M ，点M 即为所求，∵P 2,1 ，B -1,0 ，∴利用待定系数法可得直线BP 的解析式为：y =13x +13，当x =1时，y =23．即点M 的坐标为1,23．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O 0,0 ，E 10,0 ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧)，点C ，D 在抛物线上，设B t ,0 ，当t =2时，BC =4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)y =14x 2-52x(2)当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ，则AB =10-2t ，再得出BC =-14t 2+52t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；(3)连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ =CH ，PQ =12OA ．求出t =2时，点A 的坐标为8,0 ，则CH =12OA =4，即可得出结论．【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ．∵当t =2时，BC =4，∴点C 的坐标为2,-4 ．将点C 坐标代入表达式，得2a 2-10 =-4，解得a =14．∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x ．(2)解：由抛物线的对称性得：AE =OB =t ，∴AB =10-2t ．当x =t 时，BC =-14t 2+52t ．∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412．∵-12<0，∴当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．(3)解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ =CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴PQ =12OA ．当t =2时，点A 的坐标为8,0 ，∴CH =12OA =4．∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y =a -1 x 2+2a -7 x +a 2-4(a 为常数，a >0)的图象经过原点，点A 在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s和点Q t-4，r都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)a=2；(2)t<6；(3)存在，当x=12时，四边形ABCD的周长最大为13 2．【分析】(1)将坐标0,0代入抛物线计算求值即可；(2)由a的值可得抛物线解析式，从而可得s，r的表达式，再根据s>r解不等式即可；(3)由y=x2-3x可得函数的对称轴，根据A、D两点的对称性设A m，m2-3m，D n，m2-3m，再由两点的中点坐标在对称轴上可得n的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答；【详解】(1)解：将原点坐标代入抛物线可得：0=a2-4，a=±2，∵a>0，∴a=2；(2)解：把a=2代入抛物线可得：y=x2-3x，点P和点Q代入抛物线解析式可得：s=8-t2-38-t=t2-13t+40，r=t-42-3t-4=t2-11t+28，∵s>r，∴t2-13t+40>t2-11t+28，∴-2t>-12，∴t<6；(3)解：由抛物线解析式y=x2-3x可得对称轴为x=--32=32，AD平行于x轴，设A m，m2-3m且0<m<32，D n，m2-3m，由抛物线的对称性可知A、D两点的中点坐标在对称轴x=32上，∴m+n2=32，∴n=3-m，∵AB和DC都和x轴垂直，AD平行于x轴，∴四边形ABCD 是矩形，由函数图象可知A 点纵坐标m 2-3m <0，∴四边形ABCD 的周长为：2AB +2AD =2m 2-3m +2n -m =-2m 2-3m +23-2m =-2m -12 2+52，∴当m =12时四边形周长有最大值52；【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx 与抛物线y =ax 2+c 交于A 8,6 、B 两点，点B 的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)y =34x ，y =18x 2-2(2)①当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9【分析】(1)利用待定系数法求解析式；(2)①当△POC 是等腰三角形时，判断出只有OC =PC ，设出点P 的坐标，用OC =PC 建立方程组求解即可；②先表示出PC ,OC ,OP ，然后建立△POC 的周长p 关于m 的函数关系式，确定出最大值．【详解】(1)解：将点A 8,6 代入y =kx ，得8k =6，解得k =34，∴直线AB 的解析式为y =34x ；当x =-2时，y =34x =34×-2 =-32，∴B -2,-32 将点A 8,6 ，B -2,-32代入y =ax 2+c ，得64a +c =64a +c =-32，解得a =18c =-2 ，∴抛物线的解析式为y =18x 2-2；(2)①设P m ,n ，则18m 2-2=n ，∵过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，∴C 43n ,n ，∴PC =m -43n ，当点P 在x 轴上方时，m >0，∠OCP 是钝角，∴OC <OP ,PC <OP ，∵△POC 是等腰三角形，∴OC =CP ，∵OC =53n ，∴m -43n =53n ，∴m =3n ，∵18m 2-2=n ∴m =318m 2-2 ，∴m =4+4103或m =4-4103(舍去)，∴当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当点P 在x 轴下方时，-2<m <4，∴n <0∵P m ,n ，则18m 2-2=n ，点C 43n ,n ,∴OC =-53n ，OP =m 2+n 2=m 2+18m 2-2 2=18m 2+2，∵PC =m -43n ，18m 2-2=n ，∴p =OP +PC +OC=18m 2+2+m -43n +-53n =18m 2+m -3n +2=18m 2+m -318m 2-2 +2=-14m -2 2+9，∴当m =2时，p 最大，最大值为9，∴当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出PC ,OC ,OP 的长度．3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)10(3)存在；32，3+322，3-322【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，利用m 的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论；(3)利用(2)的结论求得点N 的坐标，可得点N 与点A 重合，设点P 的坐标为n ,-n 2+2n +3 ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AC 于点E ，利用含n 的代数式表示出FE ，利用S △PNC =S △PNE +S △PCE =12×PE ⋅OC ，求得△PNC 的面积，利用已知条件得到关于n 的方程，解方程即可求得n 值；再利用平行线的距离相等，当直线AC 向下平移94个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．【详解】(1)设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，∵二次函数图象过A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点，∴c =3a -b +c =09a +3b +c =0，解得a =-1b =2c =3，即二次函数解析式为y =-x 2+2x +3．(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，∴MN =m -2+m =2m -2，GM =-m 2+2m +3，矩形MNHG 的周长C =2MN +2GM ，=2(2m -2)+2-m 2+2m +3=-2m 2+8m +2，∵-2<0。
初中数学_二次函数应用面积最值问题教学设计学情分析教材分析课后反思
二次函数的应用—面积最值问题教学设计【学习目标】：1、能根据不同的实际问题，建立二次函数数学模型，进一步发展数学建模应用意识；2、会求几何图形面积的最值，并能注意到自变量对最值的影响；3、体会数学建模、转化、数形结合等数学思想方法。
【学习重点】：应用二次函数数学模型解决实际问题中的面积最值问题。
【学习难点】：把实际问题转化成二次函数的数学模型；自变量对最值的影响。
【学习过程】：一、热身展身手（学好数学，用好数学）问题1：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）若设AB=x，则BC=花园面积y= （写顶点式），x的取值范围是，当x= 时，y有最值是㎡。
问题:2：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），求运动过程中，△CPQ 的面积最大值。
.二、动手又动脑 （合作探究，体验成功）例题学习：例1、如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点M 是第四象限抛物线上一点，求四边形MAOC 的面积的最大值．A B 213222y x x =--自变量的取值范围对最值的影响问题1的变式训练：例2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是6m 和15m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y的最大值和最小值．巩固练习：问题2变式训练如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=4cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），若运动时间为t ，求运动过程中，△CPQ 的面积y 最大值.*2. 巩固提升已知：如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ．点P 由B 出发沿BA 的方向向点A 匀速平移，速度为1cm/s ；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ,当其中一点停止，另一点也停止运动．⑴求△APQ 面积的最大值；C A B⑵求四边形BPQC 面积的最小值.三、总结见提升 （分享所得，提高更大！）你在知识和方法上有哪些收获和提高？你还有什么需要继续请教的地方？四、成果展示 （收获硕果，满载而归！）1、如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值. C A BPQ*2、如图,现要用长度为6m的材料制作上部为两个正方形，下部为一个矩形组成的矩形窗户，求窗户的最大面积.五、课后作业整理补充导学案.二次函数的应用面积最值问题学情分析1、学生年龄特点：初四学生具有丰富的想象力、好胜心理。
二次函数的应用——面积最大问题教学设计
二次函数的应用——面积最大问题教学设计各位评委：你们好！我是良乡三中的杨素芳，很高兴有机会参加这次说课比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：二次函数的应用——面积最大问题。
所用教材是北京市义务教育课程改革实验教材九年级上第20章第五节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。
下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二次函数中的面积问题优秀教案
二次函数专题--面积问题二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用,其本质特征是变化与对应,它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具.作为刻画变量变化规律的工具,二次函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一.二次函数既是初中数学的核心内容、重要的基础知识，也是初中与高中知识衔接的重要部分.它与数学其他知识有着更为广泛的联系.因此成都市的中考数学试题的压轴题都是以二次丽数为题材设置的二次丽数综合题.二次兩数综合题除了考查二次丽数的相关的基础知识外，还特别注重考查考生的分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题,常涉及方程(组)、不等式(组)及几何的许多知识,是中考命题的热点.备受命题者的青睐。
【知识回顾】1、二次函数)0(2≠++=acbxaxy图像的顶点坐标⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22，当0>a时，当abx2-=时，=最小值y；当0<a时，当abx2-=时，=最大值y；2、“铅垂高，水平宽”面积法三角形面积：S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．【课前热身】1、已知二次函数1632+--=xxy，当=x时，=最大值y。
2、如图，二次函数342+-=xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点是D，则=∆DCBS。
【例题精讲】例1如图，抛物线322++-=xxy与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC。
使得△PBC 面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．变式1 如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．过点P 作PH⊥CB 交CB 于H 点，求PH 最大值及此时P 点坐标。
[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题
![[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/fe4d68aa970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed429.png)
利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。
2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当 的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.简析 设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ，则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4）， 易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y .且有NP BC CN-＝BFAF（作辅助线构造相似三角形），即34y x --＝12，所以y ＝－12x +5，S ＝xy ＝－12x 2+5x （2≤x ≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值S 最大＝－12×42+5×4＝12.说明 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.例2（2006年南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？简析 因为矩形MFGN ∽矩形ABCD ，所以MNAD＝MF AB，因为AB ＝2AD ，MN ＝x ，所以MF ＝2x ，所以EM ＝EF －MF ＝10－2x ，所以S ＝x (10－2x )＝－2x 2+10x ＝－2(x －52)2+252，所以当x ＝52时，S 有最大值为252.说明 本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例3（2006年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD .（1）当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.①求隧道截面的面积S （米）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.（π取3.14，结果精确到0.1米）简析（1）当AD ＝4米时，S半圆=12π×22AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12π×22＝2π(米2).（2）①因为AD ＝2r ，AD +CD ＝8，所以CD ＝8－AD ＝8－2r ，所以S ＝12πr 2+AD ·CD ＝12πr 2+2r (8－2r )＝(12π－4)r 2+16r ；②由①知CD ＝8－2r ，又因为2米≤CD ≤3米，所以2≤8－2r ≤3，图 2 图1所以 2.5≤r ≤3，由①知S ＝(12π－4)r 2+16r ＝(12×3.14-4)r 2+16r ＝－2.43r 2+16r ＝－2.43(r －82.43)2+642.43，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r ＝82.43≈3.3.又2.5≤r ≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值，S最大值＝(12π－4)×32+16×3≈(12×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S 的最大值约为26.1米2.说明 本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.例4（2006年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点.（1）求FC 的长；（2）利用如图5求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x (cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？图3（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.简析（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，FC DF ＝CGDE，即603060=-FC FC ， 所以FC ＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x ＝60，y 的最大值为60×30＝1800(cm 2)；②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M .根据题意，得△GFC ∽△GPN ，所以CGFG NG DF =，所以NG ＝23x ，所以BN ＝120－23x ，所以y ＝x (120－23x )＝－23(x －40)2+2400，所以当x ＝40时，y 的最大值为2400(cm 2)；③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40＝2400(cm 2).综合①②③，得x ＝40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm 2.（3）根据题意，正方形的面积y (cm 2)与边长x (cm)满足的函数表达式为： y ＝－23x 2+120x .当y ＝x 2时，正方形的面积最大，所以x 2＝－23x 2+120x .解之，得 x 1＝0（舍去），x 2＝48(cm).图4图5所以面积最大得正方形得边长为48 cm.说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.。
二次函数与几何专题一 面积问题 教案
二次函数与几何专题一 面积问题一、学习目标1、 学生学会在二次函数中解决简单的与二次函数有关的面积问题2、 学生会用代数、几何的方法解决面积最大问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化三、学习过程（一）基础训练1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= 此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 .2、已知二次函数y=x 2–21x-23与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则△ABC 的面积为 . 3、已知二次函数y=-21x 2+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与y 轴交点为C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积.4、已知抛物线y=x 2–4x+1, 与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上有一点N,使△ABN 的面积为43，求点N 的坐标.5、 已知一次函数y=kx+m 的图象与二次函数y=a x 2 +bx+c 相交于A(-2，-1)，B(6，3)两点，且二次函数图象与y 轴的负半轴交于C 点，若△ABC 的面积为12，求一次函数及二次函数解析式.（二）能力提升（2011•清远）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．二次函数与几何专题二直角三角形一、学习目标1、学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的直角三角形问题2、学生会用勾股定理、相似的方法解决直角问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形三、学习过程1、如图，抛物线y=（x-1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．2、（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——相似一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的相似问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形1、（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C （0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——全等一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的全等问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形1、（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．2、（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——等腰三角形一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的等腰三角形问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形三、学习过程3、（2012•龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——平行四边形 4月16日一、学习目标学生学会在二次函数中解决与平行四边形有关的问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数图象中找到几何的基本图形三、学习过程活动一：1、若抛物线y ＝x 2－bx ＋16过点（1，10），则b 的值为____ __2、抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点，则这个二次函数的解析式_________________________。
二次函数全章导学案(史上最全!)
导学案【2 】26.1.1二次函数（第一课时）一．预习检测案一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数.个中x是________,a是__________,b是___________,c是_____________．二．合作探讨案：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,假如正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系. 问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有如何的关系?提醒：多边形有n条边,则有几个极点？从一个极点动身,可以连几条对角线？问题3: 某工场一种产品如今的年产量是20件,筹划往后两年增长产量.假如每年都比上一年的产量增长x倍,那么两年后这种产品的数目y将随筹划所定的x的值而定,y与x之间的关系如何表示?问题4：不雅察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特色?小组交换.评论辩论得出结论：经化简后都具有的情势.问题5：什么是二次函数？形如.问题6：函数y=ax²+bx+c,当a.b.c知足什么前提时,(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？例1: 关于x的函数mmxmy-+=2)1(是二次函数, 求m的值.留意:二次函数的二次项系数必须是的数.三．达标测评案：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2;(4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x);(6)y=x-2+x.2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )A.a＝1B.a＝±1C.a≠1D.a≠－13.必定前提下,若物体活动的路段s(米)与时光t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经由的旅程为A.28米B.48米C.68米D.88米4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.5．一个圆柱的高级于底面半径,写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式.6.n支球队参加竞赛,每两支之间进行一场竞赛.写出竞赛的场数m与球队数n之间的关系式.7.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.26.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象与性质（第二课时）一．预习检测案：画二次函数y ＝x 2的图象．【提醒：绘图象的一般步骤：①列表;②描点;③连线（用腻滑曲线）．】由图象可得二次函数y ＝x 2的性质： 1．二次函数y ＝x 2是一条曲线,把这条曲线叫做______________．2．二次函数y ＝x 2中,二次函数a ＝_______,抛物线y ＝x 2的图象启齿__________． 3．自变量x 的取值规模是____________．4．不雅察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y 值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称．5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ , ）叫做抛物线y ＝x 2的_________． 是以,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ．二．合作探讨案：例1 在统一向角坐标系中,画出函数y ＝12x 2,y ＝x 2,y ＝2x 2的图象．y ＝x 2的图象刚画过,再把它画出来．归纳：抛物线y ＝12x 2,y ＝x 2,y ＝2x 2的二次项系数a_______0;极点都是__________;对称轴是_________;极点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12x 2 ……x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2……例2 请在统一向角坐标系中画出函数y ＝－x 2,y ＝－12x 2, y ＝－2x 2的图象．归纳：抛物线y ＝－x 2,y ＝－12x 2, y ＝－2x 2的二次项系数a______0,极点都是________, 对称轴是___________,极点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ． 总结：抛物线y ＝ax 2的性质1．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称,是以,抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______ 对称,启齿大小_______________．2．当a ＞0时,a 越大,抛物线的启齿越___________; 当a ＜0时,｜a ｜ 越大,抛物线的启齿越_________;是以,｜a ｜ 越大,抛物线的启齿越________,反之,｜a ｜ 越小,抛物线的启齿越________．三．达标测评案：1．填表：2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1,－2）,则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象启齿向下,则m____________． 4．如图,① y ＝ax 2② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比较a.b.c.d 的大小,用“＞”衔接． ___________________________________x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y ＝-x 2… … y=－12x 2… … y ＝－2x 2 ……图象(草图) 启齿偏向 极点 对称轴 有最高或最低点 最值a ＞0当x ＝____时,y 有最___值,是______. a ＜0当x ＝____时,y 有最____值,是______.启齿偏向极点 对称轴 有最高或低点 最值y ＝23x 2当x ＝____时,y 有最_____值,是______. y ＝－8x 25．函数y ＝37x 2的图象启齿向_______,极点是__________,对称轴是________,当x ＝___________时,有最_________值是_________． 6．二次函数y ＝mx22 m 有最低点,则m ＝___________．7．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示,则k 的取值 规模为___________．8．写出一个过点（1,2）的函数表达式_________________．26.1.3二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质(第三课时)一．预习检测案：在统一向角坐标系中,画出二次函数y ＝x 2＋1,y ＝x 2－1的图象. 解:先列表描点并绘图1.不雅察图像得：2.可以发明,把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位,就得到抛物线y ＝x 2＋1;把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位,就得到抛物线y ＝x 2－1. 3.抛物线y ＝x 2,y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的外形_____________.二．合作探讨案：1. y ＝ax 2y ＝ax 2＋k启齿偏向 极点 对称轴有最高(低)点最值a ＞0时,当x ＝______时,y 有最____值为________; a ＜0时,当x ＝______时,y 有最____值为________.增减性2.抛物线y ＝2x 2向上平移x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1……启齿偏向极点 对称轴 有最高(低)点 最值3个单位,就得到抛物线__________________;抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.是以,把抛物线y ＝ax 2向上平移k(k ＞0)个单位,就得到抛物线_______________; 把抛物线y ＝ax 2向下平移m(m ＞0)个单位,就得到抛物线_______________. 3.抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是经由过程平移得到的,从而它们的外形__________, 由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的外形__________________. 三．达标测评案：1.填表函数 草图 启齿偏向 极点对称轴 最值 对称轴右侧的增减性y ＝3x 2y ＝－3x 2＋1 y ＝－4x 2－52.将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________. 3.写出一个极点坐标为(0,－3),启齿偏向与抛物线y ＝－x 2偏向相反,外形雷同的抛物线解析式____. 4.抛物线y ＝－13x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的.5.抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________,与x 轴的交点坐标为_________.26.1.3二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质（第四课时）教授教养目的:会画二次函数y ＝a(x-h)2的图象,控制二次函数y ＝a(x-h)2的性质,并要会灵巧运用.一．预习检测案：画出二次函数y ＝－12(x ＋1)2,y －12(x －1)2的图象,并斟酌它们的启齿偏向.对称轴.极点以及最值.增减性.x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……先列表:描点并绘图. 请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去(草图).①抛物线y ＝－12(x ＋1)2 ,y ＝－12x 2,y ＝－12(x －1)2的外形大小____________.②把抛物线y ＝－12x 2向左平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2 ;把抛物线y ＝－12x 2向右平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2 .总结常识点：函数启齿偏向极点对称轴 最值增减性y ＝－12(x ＋1)2y ＝－12(x －1)21. y＝ax2y＝ax2＋k y＝a (x-h)2启齿偏向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)3.对于二次函数的图象,只要｜a｜相等,则它们的外形_________,只是_________不同.三．达标测评案：1.抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.2.把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.3.将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.4.抛物线y＝2 (x＋3)2的启齿___________;极点坐标为____________;对称轴是_________; 当x＞－3时,y______________;当x＝－3时,y有_______值是_________.26.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质（第五课时）一．预习检测案：画出函数y＝－12(x＋1)2－1的图象,指出它的启齿偏向.对称轴及极点.最值.增减性.列表二．合作探讨案2.把抛物线y＝－12x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y＝－12(x＋1)2－1.总结常识点： 1.填表（a>0)函数关系式图象(草图) 启齿偏向极点对称轴最值对称轴右侧的增减性y＝1 2 x2y＝－5 (x＋3)2 y＝3 (x－3)2x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 …y＝－12(x＋1)2－1 ……函数启齿偏向极点对称轴最值增减性y＝－12(x＋1)2－12.用配办法求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的极点与对称轴.二．教室探讨案：(a>0)y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 启齿偏向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)三.常识点运用例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标.3.a.b.c以及△＝b2－4ac对图象的影响.(1)a决议:启齿偏向.外形 (2)c决议与y轴的交点为(0,c) (3)a与－b2a配合决议b的正负性 (4)△＝b2－4ac⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx例3 如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9.①当k为何值时,对称轴为y轴;②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.四．达标测评案：1. 用极点坐标公式和配办法求二次函数y＝12x2－2－1的极点坐标.2.二次函数y＝2x2＋bx＋c的极点坐标是(1,－2),则b＝________,c＝_________.3.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;当x＝________时,y 有______值是_____.4.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.5.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.6.抛物线y＝4x2－2x＋m的极点在x轴上,则m＝__________.26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时）3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),设两根式:y＝a(x－x1)(x－x2) .(个中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)现实问题中求二次函数解析式：例4 要建筑一个圆形喷水池,在池中间竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中间的程度距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中间3m,水管应多长？三．达标检测案：1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.2.已知二次函数的图象的极点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的极点坐标.4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开端沿边AB向B以2mm/s 的速度移动,动点Q从点B开端沿边BC向C以4mm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,那么△PBQ的面积S随动身时光t若何变化？写出函数关系式及t的取值规模.26.2 用函数的不雅点看一元二次方程（第八课时）教授教养目的:1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式△＝b 2－4ac 断定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点的个数. 一．预习检测案：1.问题:如图,以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的偏向击出时,球的飞翔路线将是一条抛物线.假如不斟酌空气阻力,球的飞翔高度h(单位:m)与飞翔时光t(单位:s)之间具有关系h ＝20t －5t 2.斟酌以下问题:(1)球的飞翔高度可否达到15m ？如能,须要若干飞翔时光？ (2)球的飞翔高度可否达到20m ？如能,须要若干飞翔时光？ (3)球的飞翔高度可否达到20.5m ？为什么？ (4)球从飞出到落地要用若干时光？2.不雅察图象:(1)二次函数y ＝x 2＋x －2的图象与x 轴有____个交点,则一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的判别式△＝_______0;(2)二次函数y ＝x 2－6x ＋9的图像与x 轴有_ __个交点,则一元二次方程x 2－6x ＋9＝0的根的判别式△＝_____0;(3)二次函数y ＝x 2－x ＋1的图象与x 轴________公共点,则一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式△_______0.二．合作探讨案：1.已知二次函数y ＝－x 2＋4x 的函数值为3,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x 2＋4x ＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x 的值.一般地:已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝m.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值为m 的自变量x 的值.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的地位关系:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式△＝b 2－4ac.(1)当△＝b 2－4ac ＞0时 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点; (2)当△＝b 2－4ac ＝0时 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点; (3)当△＝b 2－4ac ＜0时 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点.QPCBA用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化,当l 是若干4．一块三角形废料如图所示,∠A ＝30°,∠C ＝90°,AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形何订价才能使利润最大？剖析：调剂价钱包括涨价和降价两种情形,用如何的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元,则每礼拜少卖_________件,现实卖出_________件,设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元,则每礼拜多卖_________件,现实卖出__________件．四.达标测评案：1．某种商品每件的进价为30元,在某段时光内若以每件x元出售,可卖出（100－x）件,应若何订价才能使利润最大？2．蔬菜基地栽种某种蔬菜,由市场行情剖析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时光x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时光x/（月份）1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这种蔬菜每千克的栽种成本y（元/千克）与上市时光x（月份）知足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时光x（月份）的一次函数关系式;（2）若图中抛物线过A.B.C三点,写出抛物线对应的函数关系式;（3）由以上信息剖析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为若干？（收益＝市场售价－栽种成本）3. 某宾馆客房部有60个房间供旅客栖身,当每个房间的订价为天天200元时,房间可以住满．当每个房间天天的订价每增长10元时,就会有一个房间空间．对有旅客入住的房间,宾馆需对每个房间天天支出20元的各类费用．设每个房间天天的订价增长x元,求：（1）房间天天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式;（2）该宾馆天天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式;（3）该宾馆客房部天天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式,当每个房间的订价为若干元时,w有最大值？最大值是若干？。
2022年初中数学《二次函数在面积最值问题中的应用》精品教案
21.4二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用 教学目标1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。
教学重难点【教学重点】利用二次函数求实际问题的最值。
【教学难点】对实际问题中数量关系的分析。
课前准备课件等。
教学过程一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】利用二次函数求最大面积例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝ －x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件例3 现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B 场地宽为(30－x )m ，∴y ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30；(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，当x ＝15m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m 2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如以下图)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16， 所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ； (3)设OB ＝m ，那么点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )， 所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m . 根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15. 所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．第2课时利用移项解一元一次方程教学目标1．掌握移项变号的根本原那么；2．会利用移项解一元一次方程。
《二次函数最值问题》导学案
二次函数最值问题 导学案【学习目标】1.结合二次函数的图像回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点，说明二次函数在什么情况下取得最大（小）值.2.通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的研究，知道如何分析、解决这类问题.【课前梳理】名称一般式 顶点式 交点式 二次函数解析式（a ≠0）轴对称性对称轴顶点坐标y 随x 的增大 如何变化在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；最值当x =_____时，y 最小值=_____；当x =_____时，y 最大值=_____；【启导探究】一、 复习导入，自主发现1.如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上， 请比较：(1) B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y . 2.根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值. （2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.3.通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？方法归纳1：对称轴和m x n ≤≤的相对位置影响了二次函数的最值.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在 处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在 和 处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析. 二、问题剖析，合作探究 探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值.探究2：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最大值.方法归纳2：求含参二次函数在m x n ≤≤内最值时：我们一般先确定 与m x n ≤≤的相对位置关系，通过分析画出示意图，确定分类标准，再进行 .m x n ≤≤变式一：求二次函数2134y x tx =---（21x -≤≤）的最小值. 变式二：求二次函数2134y x tx =---（21x -≤≤）的最大值.方法归纳3：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅要看 与m x n ≤≤的相对位置， 还要看 .开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论. 三、拓展应用若223(0)y mx mx m =++≠当32x -≤≤时有最大值4，求m 的值.四、归纳总结（1）本节课我们研究了哪些问题？ （2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？五、课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.。
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二次函数中面积最值问题导学案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址九年级（上）数学学科导学案
班级：
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编号：
学习流程：
课题:
二次函数中面积最值问题
学习目标：利用二次函数的最值求三角形面积最大问题。
课前训练：
用适当方法要求二次函数y＝-x2＋4x的顶点坐标，对称轴及最值。
课堂训练：
、如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．其中AB和AD分别在两直角边上．
设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示?
设长方形的面积为ym2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
课后反馈：
、如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．其中AB和AD分别在两直角边上．AE=50cm,AF=120cm 设长方形的一边AB＝xcm，那么AD边的长度如何表示?
设长方形的面积为ycm2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
2、如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．
设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示?
设长方形的面积为ym2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
2、如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABcD．
设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示?
设长方形的面积为ym2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
3.如图，已知Bc=120cm,Bc边上的高Am=80cm,在三角形的内部作一个长方形DEGF．
设长方形的一边DG＝xcm，那么DE边的长度如何表示?
设长方形的面积为ycm2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?
3、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABcD 的边上，若AE＝x，正方形EFGH的面积为y。
（1）
求出y与x之间的函数关系式；
（2）
正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。
4、如图，在△ABc中，AB=Ac=10，Bc=12，矩形DEFG的顶点位于△ABc的边上，设EF=x，写出y关于x的函数表达式，列出表格，并画出相应的函数图象。
根据这三种表示方式回答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是什么？
（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？
（3）如何描述y随x的变化而变化的情况？。