中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质练习含解析

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【复习指导】2020年中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质练习含解析

第六章圆第26课时圆的基本性质基础过关1. (2016济宁)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°第1题图第2题图2. (2016张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°3. (2016自贡)如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 75°第3题图第4题图4. (2016陕西)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为( )A. 3 3B. 4 3C. 5 3D. 6 35. (2016毕节)如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝( )A. 100°B. 72°C. 64°D. 36°第5题图第6题图6. (2016聊城)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°7. (2016南宁)如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为( )A. 140°B. 70° C ．60° D. 40°第7题图第8题图8. (2016泰安)如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O于点F ，则∠BAF 等于( )A. 12.5°B. 15°C. 20°D. 22.5°9. (2016达州)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A. 13B. 2 2C. 24D. 223第9题图第10题图10. (2016杭州)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( )A. DE＝EBB. 2DE＝EBC. 3DE＝DOD. DE＝OB11. (2016黄冈)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝________．第11题图第12题图12. (2016娄底)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是________．13. (2016贵阳)如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值是________．第13题图第14题图14. (2016长春)如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵上一点，若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC的大小为________度．15. (2016永州)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD ∥AB ，连接AC ，则∠BAC ＝________度．第15题图第16题图16.(2016南京二模)如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB＝4，则AD的长为________．17. (2016宁夏)已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．第17题图满分冲关1. (2016泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( ) A. 38 B. 34 C. 24 D. 282. (2016安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC .则线段CP 长的最小值为( ) A. 32 B. 2 C. 81313 D. 121313第2题图第3题图︵3. (2016海南)如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧ABC上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________．4. (2016威海)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为____________．第4题图第5题图5. (2016雅安)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为________．6. (2016株洲)已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝7AF，求证CF⊥AB.第6题图答案基础过关1. C 【解析】如解图，连接CO ，∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB ＝40°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝12×40°＝20°.第1题解图2. D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°.3. C 【解析】∵∠C ＝∠AMD －∠A ＝30°，又∵∠C 与∠B 为同弧所对的圆周角，∴∠B ＝∠C ＝30°.4. B 【解析】如解图，延长CO 交⊙O 于点A ′，连接A ′B .设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC ＝2α，∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.又∵∠BAC 和∠BA ′C 都为BC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠BA ′C ＝60°.∵CA ′为直径，故∠A ′BC ＝90°，则在Rt △A ′BC 中，由勾股定理得：BC ＝A ′C ·sin∠BA ′C ＝2×4×32＝4 3.第4题解图5. C 【解析】如解图，设OB 与AC 的交点为E ，∵∠A ＝36°，∴∠O ＝72°，∴∠AEB ＝∠OEC ＝180°－72°－28°＝80°，∴∠B ＝180°－80°－36°＝64°.第5题解图6. B 【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝105°，∴∠ADC ＝75°，∵¼»DFBC ，∴∠DCF ＝∠BAC ＝25°，∴∠E ＝∠ADC －∠DCF ＝50°.7. B 【解析】由题知，∠DCE ＝40°，在四边形CDOE 中，∠CDO ＝∠CEO ＝90°， ∴∠DOE ＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠P ＝12∠AOB ＝12×140°＝70°.8. B 【解析】如解图，∵四边形ABCO 是平行四边形，OA ＝OC ，∴四边形ABCO 是菱形，连接OB ，则△OBC 和△OAB 是等边三角形，∴∠COB ＝∠AOB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OF ⊥OC ，∴∠AOF ＝30°，∴∠BOF ＝∠AOB －∠AOF ＝30°，根据圆周角定理得：∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.第8题解图第9题解图9. C 【解析】如解图，设⊙A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，则∠OBC ＝∠ODC ，∴tan ∠OBC＝tan ∠ODC ＝OC OD ＝2CD 2－OC 2＝262－22＝24. 10. D 【解析】如解图，连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB ，∵∠AOB ＝∠OBE ＋∠ADB , ∠AOB ＝3∠ADB ，∴∠OBE ＝ 2∠ADB ，∴∠OEB ＝2∠ADB ，∵∠OEB ＝∠D ＋∠DOE ，∴∠D ＝∠DOE ，∴DE ＝OB ，D 选项正确；若EB ＝OE ＝OB ，即△OBE 是等边三角形时，DE ＝EB 才成立，∴A 选项错误；若∠BOE ＝90°，即△OBE 是等腰直角三角形时，BE ＝2OE ，则2DE ＝EB 才成立，所以B 选项错误；若OD ＝3OE ＝3OB ，则3DE ＝DO 才成立，∴C 选项错误，故选D.第10题解图11. 35° 【解析】先根据“同弧所对圆周角是圆心角的一半”得∠BCA ＝12∠AOB ，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCA ＝12∠AOB ＝35°.12. 平行【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠D ＝∠C ，∴∠A＋∠D ＝180°.∴AB ∥CD .13.53【解析】如解图，连接OB ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵OA ＝OB ＝6 cm ，OM ⊥AB , ∴在等腰△OAB 中，BM ＝AB 2＝12×8＝4 cm.∴在Rt △BOM 中，OM ＝62－42＝2 5 cm.PM ＝BM ＋BP ＝6 cm ，∴在Rt △OPM 中，tan ∠OPA ＝OM PM ＝256＝53.第13题解图14. 30 【解析】∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OAB ＝25°，∠OAC ＝∠OCA ＝40°，∴∠AOB ＝180°－2×25°＝130°，∠AOC ＝180°－2×40°＝100°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝130°－100°＝30°.15. 35 【解析】∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B ，∵∠AOB ＝40°，∴∠B ＝70°，∵CO ∥AB ，∴∠B ＝∠COB ＝70°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝35°.16. 6 【解析】如解图，连接OB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，∠BAO ＝∠CDO ＝90°，∵OB ＝5，∴AO ＝52－42＝3，同理可得：DO ＝3，∴AD ＝3＋3＝6.第16题解图17. (1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠EDA ＝180°，又∵∠EDA ＋∠EDC ＝180°，∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；(2)解：如解图，连接AE ，第17题解图∵AB 为直径，∴AE ⊥BC ，由(1)知AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3，∵∠B ＝∠C ，∠C ＝∠CDE ，∴∠B ＝∠CDE ，∴△CED ∽△CAB ，∴CE CA ＝CD CB，即CE ·CB ＝CD ·CA ，又∵AC ＝AB ＝4，∴3·23＝4CD ，∴CD ＝32.满分冲关1. D 【解析】半径为1的圆内接正三角形的边心距为12，内接正方形的边心距为22，内接正六边形的边心距为32，由12、22和32为边组成三角形时，由(12)2＋(22)2＝(32)2可得该三角形是直角三角形，所以该三角形的面积为12×22×12＝28.2. B 【解析】如解图，∵∠PAB ＝∠PBC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAP ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 始终在以AB 的中点O 为圆心，OA ＝OB ＝OP ＝12AB ＝3为半径的圆上，由解图知，只有当点P在OC 与⊙O 的交点处时， PC 的长最小，即为P ′C .在Rt △OBC 中，OC ＝OB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴P ′C ＝OC －OP ′＝5－3＝2，∴线段CP 长的最小值为2.第2题解图3. 5.5 【解析】∵AB 和DE 都是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ＝OD ＝4，∠C ＝90°，又∵DE ⊥AC ，∴OP∥BC ，∴△AOP ∽△ABC ，∴OP BC ＝AO AB ，即OP 3＝48，∴OP ＝1.5.∴DP ＝OP ＋OD ＝5.5. 4. 2 6 【解析】如解图，连接AC 、OF ，正方形ABCD 的边长为4，AC ＝42＋42＝42，即直径是42，∴半径OF ＝2 2.过点O 作OM ⊥EF ，∵△FGE 是等边三角形，∴FG ＝FE ，又∵OF 过圆心，∴OF 平分∠GFE ，∴∠OFM ＝12∠GFE ＝12×60°＝30°， ∴OM ＝12OF ＝12×22＝2(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∴MF ＝OF 2－OM 2＝（22）2－（2）2＝6，∴EF ＝2MF＝26，∴正三角形EFG 的边长是2 6.第4题解图第5题解图5. 8 【解析】连接AD ，如解图，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴DO ＝12AC ，点M 是BE 的中点．∴MD 是△BCE 的中位线，∴CE ＝2MD ＝4，∵AC ＝10，∴AE＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.6. (1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∵∠AEF＝∠CED＝60°，AC⊥DB，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△DFB是等腰三角形；(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，连接OC，如解图，则△AOC是等边三角形，第6题解图由题意得，BF ＝2－a ＝DF ，∴DE ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ()271a -271a - 在△DCE 中，tan30°＝CE DC ＝271a -＝33，解得，a ＝－2(舍去)或a ＝12，在△AOC 中，OA ＝1，∴AF ＝12＝12OA ，则根据等边三角形的性质可得CF ⊥OA ，即CF ⊥AB .。

4.中考数学一轮复习教材梳理第六单元圆含答案精品

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，连接BC ，OA ，OD .若∠BCD ＝25°，CD ＝OD ，则∠AOD 的度数是( )A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 3 2第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O中，弦BC、DE所对的圆周角分别是∠A、∠F，且∠A＋∠F＝90°.若BC＝4，则DE的长为()A. 13B. 4C. 5D. 2 5第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE ＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5.174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图第六单元圆第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线的条数为( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条2. (2019重庆B 卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为( )第2题图A. 60°B. 50°C. 40°D. 30° 点对线·板块内考点衔接60分钟1. (2019哈尔滨)如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A. 60°B. 75°C. 70°D. 65°第1题图2. (2019舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B 、C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 2第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P ＝30°，则AC的长度是()A. 5 3B. 5 2C. 5D. 5 2第3题图4. (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P 的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第4题图5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第5题图6. (2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 3第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝43，则OE的长度为()第7题图A. 3B. 2C. 2 3D. 48. (2018益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．第8题图9.(2019南京)如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝________°.第9题图10. (2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．第10题图11.(2019陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第11题图12.如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.(1)求证：OM∥BC；(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．第12题图13.如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点F .(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BF ＝4，CF ＝2，求AD 的长．第13题图14. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 为直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F .(1)求证：EF ⊥CD ；(2)若AC ＝10，cos A ＝56，求线段DF 的长．第14题图15. (2019黄冈改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE .(1)求证：△DBE 是等腰三角形；(2)求证：CA ·CE ＝CO ·CB .第15题图16. (2019凉山州)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．第16题图17. 如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF .(1)求证：DF ＝2CE ；(2)若BC ＝3，sin B ＝45，求线段BF 的长．第17题图18. (2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第18题图参考答案第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B 【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝50°. 点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°.第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，∵∠AOC 与∠ABC 是AC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1·tan60°＝ 3.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠BOC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝5 3.第3题解图4. A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC ，CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是圆内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan ∠OAD ＝ODAD. ∴ OD ＝AD ·tan30°＝1.第5题解图6. A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33.∴∠A ＝30°.∴∠AOD ＝60°.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，AB ＝12，∴BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝6×33＝2 3. 7. B 【解析】如解图，连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∵CD ＝BD ＝43，∴∠C ＝∠B ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∴∠DOE ＝∠B ＋∠ODB ＝2∠B ＝2∠C ，在Rt △OCD 中，∠DOE ＝2∠C ，则∠DOE ＝60°，∠C ＝30°，∴OD ＝CD ·tan C ＝43×33＝4，∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，在Rt △ODE 中，OE ＝OD ·cos ∠EOD ＝4×12＝2.第7题解图8. 45 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∵AD ＝CD ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.9. 219 【解析】如解图，连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12(180°－102°)＝39°，∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠P AD ＋∠C ＝∠P AB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°.第9题解图10. 23 【解析】如解图，连接OQ ，则PQ ＝OP 2－OQ 2，根据题意可知OQ 长为定值，若使得PQ 最小，只要OP 最小即可，当OP ⊥AB 时能取得最小值．∵OA ＝OB ＝42，∴AB ＝8，∴OP ＝4，∴PQ ＝42－22＝2 3.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3； ∵OA ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ；第11题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△BOD中，有OD2＋BD2＝OB2，即r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴⊙O的半径为3.12.证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，∴OM⊥MP，又∵AC∥MP，∴OM⊥AC，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OM∥BC；(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2BC，又∵AB＝2OB，∴BC＝OB＝OM，∵OM∥BC，∴四边形BCMO为平行四边形，又∵OB＝OM，∴四边形BCMO为菱形．13. (1)证明：如解图，连接AE.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴E为BC边的中点，∴BE＝CE；第13题解图(2)解：如解图，连接BD ，设⊙O 的半径为r . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABF ＝90°.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，即(2r )2＋42＝(2r ＋2)2，解得r ＝32.∴AB ＝AC ＝2r ＝3，AF ＝2r ＋2＝5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ABF ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠F AB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △AFB . ∴AB AF ＝AD AB ，即35＝AD3. ∴AD ＝95.14. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCA ， ∴∠OEA ＝∠DCA ， ∴OE ∥CD ， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ， ∴EF ⊥CD ；第14题解图(2)解：∵cos A ＝56，∴AC AB ＝56， ∵AC ＝10， ∴AB ＝12，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AB ＝6，由(1)可得，OE ∥CD ，∴AE ＝12AC ，△OEA ∽△DCA ，∴AO AD ＝AE AC ＝12， ∴AE ＝EC ＝12AC ＝5，∵cos A ＝cos ∠DCA ＝CFCE ，∴CF ＝256，∴DF ＝CD －CF ＝6－256＝116.15. 证明：(1)如解图，连接OD 、CD ， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD OE ＝OE ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)， ∴DE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CDE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ECD ＝∠CDE ， ∴∠BDE ＝∠B ， ∴BE ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形；第15题解图(2)由(1)可得，BE ＝DE ＝CE ， ∴点E 是BC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AB ， ∴△COE ∽△CAB . ∴CO CA ＝CE CB， ∴CA ·CE ＝CO ·CB .16. (1)证明：如解图，连接OD ，BD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC ⊥OB ， ∴∠OBC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴∠CDB ＝90°. ∵E 是BC 的中点， ∴ED ＝EB ＝12BC ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠ODF ＝∠OBC ＝90°， ∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第16题解图(2)解：由(1)知∠ODF ＝90°，∵OD ＝OB ＝BF ， ∴sin F ＝OD OF ＝12，∴∠F ＝30°，∵∠DOB ＋∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝60°， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°， ∴tan ∠OBD ＝ADBD ＝3，∴AD ＝3BD . ∵BC ⊥AF ， ∴BE EF ＝sin F ＝12. ∵EF ＝4， ∴BE ＝2，∴BF ＝EF 2－BE 2＝23＝OB ＝DB ， ∴AD ＝3BD ＝6.17. (1)证明：如解图，连接OE 交DF 于点G ， ∵AC 切⊙O 于点E ， ∴∠CEO ＝90°，又∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝∠DFB ＝90°， ∵∠C ＝90°，∴四边形CEGF 为矩形， ∴CE ＝GF ，∠EGF ＝90°， ∴DF ＝2CE ；第17题解图(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，sin B ＝45，∴AB ＝5，设OE ＝x ，∵OE ∥BC ， ∴△AOE ∽△ABC ，∴OE BC ＝AO AB， ∴x 3＝5－x 5， ∴x ＝158，∴BD ＝2OE ＝154，在Rt △BDF 中，∵∠DFB ＝90°，sin B ＝45，∴cos B ＝35＝BF BD ＝BF154，∴BF ＝94.18. (1)证明：如解图，连接OC ，AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，又∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACO ＝∠BCD . ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ABC ＝90°. ∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A . ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCD . ∴∠BCE ＝∠BCD ；第18题解图(2)解：如解图，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，得△BFD ∽△CED . 由(1)得∵BC 平分∠ECD ，∴BF ＝BE . ∵CE ＝2BE ， ∴BD CD ＝BF CE ＝BE CE ＝12. 即CD ＝2BD .∵∠BCD ＝∠A ，∠CDB ＝∠ADC ， ∴△CBD ∽△ACD ， ∴BD CD ＝CD AD. ∵AD ＝10， ∴BD ＝52，∴AB ＝152，∴OA ＝154.∴⊙O 的半径为154.第六单元圆第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固5分钟1. (2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π2. (2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )第2题图A. 4π3 B. 8π3C. 23πD. 2π3. (2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A. 8－πB. 16－2πC. 8－2πD. 8－12π第1题图2. (2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵的长为( ) A. π B. 2π C. 2π D. 22π第2题图3. (2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π第3题图4. (2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A. 6πB. 33πC. 23πD. 2π第4题图5. (2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.534－π2 B. 534＋π2C. 23－πD. 43－π2第5题图6. (2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为( ) A. 12π B. π C. 2π D. 3π第6题图7. (2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．第8题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)第1题图参考答案第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62360＝12π.2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3.第2题解图3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18180＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝12×AB 2－45π×AB 2360＝12×42－45π×42360＝8－2π.2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180＝π.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180＝2π.第3题解图4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝60360×π×62＝6π.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180＝2π.第6题解图7. 23－2π3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3. 8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.第8题解图点对面·跨板块考点迁移1. 2π－23 【解析】如解图，连接OD 、AB ，∵∠AOB ＝90°，A 、O 、B 在⊙D 上，∴AB 是⊙D 的直径，∵∠OCA ＝30°，∴∠ODA ＝60°，∠ABO ＝30°.∴△AOD 为等边三角形，∴OD ＝OA ＝OB ·tan30°＝23×33＝2.∴S 阴影＝12S ⊙D －S △AOB ＝12π×22－12×2×23＝2π－2 3.第1题解图。

中考数学总复习第六单元圆第27课时圆的基本概念和性质

1
AE= AB=5 寸,在 Rt△AEO 中,由勾股定理,
2
得 AE2+EO2=AO2,即 52+(R-1)2=R2.解得
R=13(寸),所以 CD=2R=26 寸.
答:直径 CD 的长是 26 寸.
图 27-6
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高频考向探究
明考向
1. [2013·徐州 5 题] 如图 27-7,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 P.若 CD=8,OP=3,则☉O 的半径为( C )
例 3 下列四个命题中,正确的一个是
(
[答案] C
)
A.过两点一定可以确定一个且只可以确定一个圆
[解析] 经过两点可以作无数个圆,故选
B.过三点一定可以确定一个且只可以确定一个圆
项 A 不正确;过同一直线上的三点不能作
C.过不在同一条直线上的三点一定可以确定一个且只可以确定一
圆,故选项 B 不正确;过不在同一直线上
的弧③ 相等
半圆(或直径)所对的圆周角是④
直角
;90°的圆周角所对的弦是⑤ 直径
,所
对的弧是半圆
直角
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是⑥
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三角形
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)七
定义
性质
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圆的内接四边形
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫
证明命题
(2)从假设的结论出发,推出矛盾;
的步骤
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(3)由矛盾的结果说明假设不成立,从而肯定原命题的结论正确
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圆的基本性质练习(含答案)

圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。

它的对称中心是_ ④ _____________________ 。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

中考数学考点跟踪训练26-圆的基本性质

考点跟踪训练26 圆的基本性质一、选择题1．(2011·上海)矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内答案 C解析如图，AB ＝8，BP ＝3AP ，得BP ＝6，AP ＝2.在Rt △APD 中，PD ＝ 3 52＋22＝7>BP ，所以点B 在圆P 内；在Rt △BPC 中，PC ＝ 3 52＋62＝9>PD ，所以点C 在圆P外．2．(2011·凉山)如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为( )A ．50°B ．80°或50°C ．130°D ．50° 或130° 答案 D解析当点C 在优弧上，∠ACB ＝12∠AOB ＝50°；当点C 在劣弧上，∠ACB ＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB ＝50°或130°.3．(2011·重庆)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° 答案 B解析在△OBC 中，OB ＝OC ，∠OCB ＝40°， ∴∠BOC ＝180°－2×40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．6 答案 A解析在Rt △OBC 中，OB ＝10，OC ＝6，∴BC ＝102－62＝8. ∵OC ⊥AB ， ∴AC ＝BC.∴AB ＝2BC ＝2×8＝16.5．(2011·嘉兴)如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 答案 A解析作弦心距OC ，得AC ＝BC ＝12×16＝8.连接AO ，在Rt △AOC 中，OC ＝102－82＝6.二、填空题6．(2011·扬州)如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝__________度．答案 40解析 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠B ＝90°－∠BAD ＝90°－50°＝40°. ∴∠ACD ＝∠B ＝40°.7．(2011·安徽)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________________．答案 5解析画OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，连接OD.∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.易证四边形OMEN 是正方形．∵CN ＝DN ＝12CD ＝12×(1＋3)＝2，∴EN ＝CN －CE ＝2－1＝1. ∴ON ＝1.∴在Rt △DON 中，OD ＝12＋22＝ 5.8．(2011·杭州)如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，CD 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.答案 48°解析 ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO. 又∵∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＋∠CAO ＝∠ACD ＋∠ACO ＝∠DCO.在△CDO 中，OC ＝OD ，∠COD=====mCD ＝84°，∴∠DCO ＝180°－84°2＝48°，即∠ABD ＋∠CAO ＝48°.9．(2011·威海)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.答案 30°解析连接DO ，画OF ⊥CD ，垂足是F.∴CF ＝DF ＝12CD ＝12×4 2＝2 2.∵AB ＝AE ＋BE ＝5＋1＝6，∴DO ＝12AB ＝3.在Rt △DFO 中，OF ＝32－ 2 22＝1，在Rt △OFE 中，OE ＝3－1＝2，OF ＝1.∴∠AED ＝30°.10．(2011·舟山)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE·AB.其中正确结论的序号是_______．答案 ①④解析 ∵OC ⊥AB ，∴A C ＝B C ＝90°. ∵AD 平分∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝BD ＝45°. ∴∠CAB=====m 12BC ＝45°，∠DOB=====mBD ＝45°，∴∠CAD ＝∠DOB ，AC ∥OD ；在△ACO 中，AC>AO ，AE 平分∠CAO ，∴CE≠EO；由AC ∥OD ，得△ODE ∽△CAE ，而∠CAD ＝∠BAO ，∠ACE≠∠AOD ，∠AEC≠∠AOD.∴△ACE 与△ADO 不相似，即△ODE 与△ADO 不相似；连接BD ，有BD ＝CD ，可求得∠B ＝67.5°，又∵∠CED ＝∠AEO ＝67.5°，∴∠B ＝∠CED.又∵∠CDE ＝∠DOB ＝45°，∴△CDE ∽△DOB ，CD DO ＝CE DB ，CD·DB＝CE·DO，∴CD 2＝CE·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ，即2CD 2＝CE·AB.故结论①、④正确．三、解答题11．(2011·上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与A B 相交于点M 、N.(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．解 (1)∵CD ∥AB ，∴∠OAB ＝∠C ，∠OBA ＝∠D. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠C ＝∠D. ∴OC ＝OD.∵OA ＝3，AC ＝2， ∴OC ＝5. ∴OD ＝5.(2)过点O 作OE ⊥CD ，E 为垂足，连接OM.在Rt △OCE 中，OC ＝5，tan ∠C ＝12，设OE ＝x ，则CE ＝2x.由勾股定理得x 2＋(2x)2＝52，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)．∴OE ＝ 5.在Rt △OME 中，OM ＝OA ＝3，∴ME ＝OM 2－OE 2＝32－52＝2.∴MN ＝2ME ＝4.12．(2011·江西)如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin60°＝32，cos30°＝32，tan30°＝33.)解 (1) 解法一：连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于点E(如图)．∵OE ⊥BC ，BC ＝2 3， ∴BE ＝EC ＝ 3.在Rt △OBE 中，OB ＝2，∵sin ∠BOE ＝BE OB ＝32，∴∠BOE ＝60°， ∴∠BOC ＝120°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝60°.解法二：连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD.(如图)∵BD 是直径，∴BD ＝4，∠DCB ＝90°. 在Rt △DBC 中，sin ∠BDC ＝BC BD ＝2 34＝32，∴∠BDC ＝60°，∴∠BAC ＝∠BDC ＝60°.(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处．如图，过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点．连接AB 、AC ，则AB ＝AC ，∠BAE ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ABE 中，∵BE ＝3，∠BAE ＝30°，∴AE ＝BEtan 30°＝3，∴S △ABC ＝12×2 3×3＝3 3.答：△ABC 面积的最大值是3 3. 13．(2011·德州) ●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________；当a ＝4，b ＝4时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b.(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b2与ab 的大小关系是：________________________.●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．解观察计算： a ＋b 2>ab ；a ＋b2＝ab. 探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝2OC ，∴OC ＝a ＋b 2.∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ACD ∽△CBD. ∴AD CD ＝CD BD . 即CD 2＝AD·BD ＝ab ， ∴CD ＝ab.(2)当a ＝b 时，OC ＝CD, a ＋b2＝ab ；a≠b 时，OC>CD, a ＋b2>ab.结论归纳： a ＋b2≥ab.实践应用：设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x 米，设镜框周长为l 米，则l ＝2(x ＋1x ) ≥4x·1x＝4 . 当x ＝1x，即x ＝1(米)时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4 米．14．(2011·肇庆)已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值．解 (1)证明：∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD. ∴∠DAC ＝∠DBA.(2)证明：∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°. ∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP.∴PD ＝PA.又∵∠DFP ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF.∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)解：∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ， ∴AD DB ＝AF AB. ∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD DB ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.15．(2011·广州)如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．解 (1)证明：∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°. ∵ ∠DCE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝180°， ∴ B 、C 、E 三点共线．(2)证明：如图，连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F.∵ ∠ABC ＝45°，∠ACB ＝90°，∴ BC ＝AC. 又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，DC ＝EC ， ∴ △BCD ≌△ACE.∴ BD ＝AE ，∠DBC ＝∠CAE.∴∠DBC ＋∠AEC ＝∠CAE ＋∠AEC ＝90°. ∴ BF ⊥AE.∵ AO ＝OB ，AN ＝ND ，∴ ON ＝12BD ，ON ∥BD.∵ AO ＝OB ，EM ＝MB ，∴ OM ＝12AE ，OM ∥AE.∴ OM ＝ON ，OM ⊥ON. ∴ ∠OMN ＝45°.又 cos ∠OMN ＝OMMN ，∴ MN ＝2OM.(3) M 1N 1＝2OM 1成立，证明同(2)。

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

2024年中考数学一轮复习考点精析与真题精练—圆的基本性质

2024年中考数学一轮复习考点精析与真题精练—圆的基本性质→➊考点精析←一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ，圆锥的侧面积为S 圆锥侧=12ππ2l r rl ⋅=．圆锥的表面积：S 圆锥表=S 圆锥侧+S 圆锥底=πrl +πr 2=πr ·（l +r ）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．→➋真题精讲←题型一圆周角和圆心角1．（2023·云南·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点．若66BOC ∠=︒，则A ∠=（）A．66︒B．33︒C．24︒D．30︒【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵ BCBC =，66BOC ∠=︒，∴1332A BOC ∠=∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A．12πB．6πC．4πD．2π【答案】B 【分析】根据圆周角定理求得60AOB ∠=︒，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵ AB AB =，30ACB ∠=︒，∴60AOB ∠=︒，∴260π66π360S =⨯=．故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，连接BD ，41DCA ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A．41︒B．45︒C．49︒D．59︒【答案】C【分析】由CD 是O 的直径，得出90DBC ∠=︒，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出41ABD ACD ∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】解：∵CD 是O 的直径，∴90DBC ∠=︒，∵ AD AD =，∴41ABD ACD ∠=∠=︒，∴904149ABC DBC DBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点．若35BAC ∠=︒，则AOB ∠等于（）A．140︒B．120︒C．110︒D．70︒【答案】A 【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点，BC AC ∴=，12BOC AOC AOB ∴∠=∠=∠， 35BAC ∠=︒，根据圆周角定理可知270BOC BAC ∠=∠=︒，2140AOB BOC ∴∠=∠=︒，故选：A．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，BC AD ∥，AC BD ⊥．若120AOD ∠=︒，AD =CAO ∠的度数与BC 的长分别为（）A．10°，1C．15°，1【答案】C 【分析】过点O 作OE AD ⊥于点E ，由题意易得45CAD ADB CBD BCA ∠=∠=︒=∠=∠，然后可得30OAD ODA ∠=∠=︒，1602ABD ACD AOD ∠=∠=∠=︒，122AE AD ==，进而可得122CD CF CD ====，最后问题可求解．【详解】解：过点O 作OE AD ⊥于点E ，如图所示：∵BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠，∵CBD CAD ∠=∠，∴CAD ADB ∠=∠，∵AC BD ⊥，∴90AFD ∠=︒，∴45CAD ADB CBD BCA ∠=∠=︒=∠=∠，∵120AOD ∠=︒，OA OD =，3AD =∴30OAD ODA ∠=∠=︒，1602ABD ACD AOD ∠=∠=∠=︒，1322AE AD ==∴15CAO CAD OAD ∠=∠-∠=︒，1cos30AE OA OC OD ====︒，105BCD BCA ACD ∠=∠+∠=︒，∴290,18030COD CAD CDB BCD CBD ∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒，∴1222,22CD OC CF CD ====∴21BC CF ==；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．6．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ∠=︒∠=︒，，则B ∠的度数为（）A．32︒B．42︒C．48︒D．52︒【答案】A 【分析】根据圆周角定理，可以得到D ∠的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出B ∠的度数．【详解】解：48A D A ∠=∠∠=︒ ，，48D ∴∠=︒，80APD APD B D ∠=︒∠=∠+∠ ，，804832B APD D ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出D ∠的度数．7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=︒，则BAC ∠=（）A．23︒B．24︒C．25︒D．26︒【答案】D 【分析】根据,OA OB 互相垂直可得 ADB 所对的圆心角为270︒，根据圆周角定理可得12701352ACB ∠=⨯︒=︒，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，半径,OA OB 互相垂直，∴90AOB ∠=︒，∴ ADB 所对的圆心角为270︒，∴ ADB 所对的圆周角12701352ACB ∠=︒=︒，又 19ABC ∠=︒，∴18026BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒，故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，圆的半径为7，60BAC ∠=︒，则弦BC 的长度为___________．【答案】73【分析】连接,OB OC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，先根据圆周角定理可得2120BOC BAC ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一可得60BOD ∠=︒，2BC BD =，然后解直角三角形可得BD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接,OB OC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒ ，2120BOC BAC ∴∠=∠=︒，,OB OC OD BC =⊥Q ，1602BOD BOC ∴∠=∠=︒，2BC BD =，∵圆的半径为7，7OB ∴=，7sin 6032BD OB ∴=⋅︒=，23BC BD ∴==故答案为：73【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ∠=︒，则ABC ∠=________︒．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得55,A CDB ∠=∠=︒再根据直径所对的圆周角为直角，得90ACB ∠=︒，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．10．（2023·上海·统考中考真题）如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ∠==．(1)求O 的半径；(2)求BAC ∠的正切值．【答案】(1)5(2)94【分析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ∠=︒，再解直角三角形可得10BD =，由此即可得；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，先解直角三角形可得6BE =，从而可得2AE =，再利用勾股定理可得92CE =，然后根据正切的定义即可得．【详解】（1）解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，由圆周角定理得：90BAD ∠=︒，弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ∠=，845AB BD BD ∴==，解得10BD =，O ∴ 的半径为152BD =．（2）解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E ，O 的半径为5，5OB ∴=，12OC OB =，31522BC OB ∴==，4cos 5ABC ∠=，45BE BC ∴=，即41552BE =，解得6BE =，2AE AB BE ∴=-=，2292CE BC BE =-=，则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．题型二切线定理11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，AB 切O 于点B ，连接OA 交O 于点C ，BD OA ∥交O 于点D ，连接CD ，若25OCD ∠=︒，则A ∠的度数为（）A．25︒B．35︒C．40︒D．45︒【答案】C【分析】如图，连接OB ，证明90∠=︒ABO ，25CDB ∠=︒，可得250BOC BDC ∠=∠=︒，从而可得40A ∠=︒．【详解】解：如图，连接OB ，∵AB 切O 于点B ，∴90∠=︒ABO ，∵BD OA ∥，25OCD ∠=︒，∴25CDB ∠=︒，∴250BOC BDC ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒；故选：C.【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于点C ，连接AC ，若50ACD ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【答案】B 【分析】连接OC ，先根据圆的切线的性质可得90OCD ∠=︒，从而可得40OCA ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC ，直线CD 与O 相切，OC CD ∴⊥，90OCD ∴∠=︒，50ACD ∠=︒ ，40OCA ∴∠=︒，OA OC = ，40BAC OCA ∴∠=∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．13．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点A 是O 外一点，AB ，AC 分别与O 相切于点B ，C ，点D 在 BDC上，已知50A ∠=︒，则D ∠的度数是___________．【答案】65︒【分析】连接,CO BO ，根据切线的性质得出90ACO ABO ∠=∠=︒，根据四边形内角和得出130COB ∠=︒，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图,CO BO ，∵AB ，AC 分别与O 相切于点B ，C ，∴90ACO ABO ∠=∠=︒，∵50A ∠=︒，∴360909050130COB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，∵ BCBC =，∴1652D BOC ∠=∠=︒，故答案为：65︒．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得130COB ∠=︒是解题的关键．14．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，BC 与O 相切于点B ，连接OB ，若65ABC ∠=︒，则BOD ∠的大小为__________．【答案】50︒【分析】证明90OBC ∠=︒，可得906525OBD ∠=︒-︒=︒，结合OB OA =，证明25A OBA ∠=∠=︒，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：∵BC 与O 相切于点B ，∴90OBC ∠=︒，∵65ABC ∠=︒，∴906525OBD ∠=︒-︒=︒，∵OB OA =，∴25A OBA ∠=∠=︒，∴22550BOD ∠=⨯︒=︒，故答案为：50︒【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．15．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，且56APB ∠=︒．若点C 是O 上异于点,A B 的一点，则ACB ∠的大小为___________．【答案】62︒或118︒【分析】根据切线的性质得到90∠=∠=︒PAO PBO ，根据四边形内角和为360︒，得出AOB ∠，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接,AC BC ，当点C 在优弧 AB 上时，∵,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∵56APB ∠=︒．∴360909056124AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒∵ AB AB =，∴1622ACB AOB ∠=∠=︒，当点C '在 AB 上时，∵四边形AC BC '是圆内接四边形，∴180118C C '∠=︒-∠=︒，故答案为：62︒或118︒．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．16．（2023·四川·统考中考真题）如图，45ACB ∠=︒，半径为2的O 与角的两边相切，点P 是⊙O 上任意一点，过点P 向角的两边作垂线，垂足分别为E ，F ，设t PE =+，则t 的取值范围是_____．【答案】4t ≤≤+【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得2CD DH ==，再求得t PE PQ EQ =+=，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设O 与ACB ∠两边的切点分别为D 、G ，连接OG OD 、，延长DO 交CB 于点H ，由90OGC ODC OGH ∠=∠=∠=︒，∵45ACB ∠=︒，∴45OHC ∠=︒，∴OH ==∴2CD DH ==，如图，延长EP 交CB 于点Q ，同理2PQ PF =，∵2t PE PF =+，∴t PE PQ EQ =+=，当EQ 与O 相切时，EQ 有最大或最小值，连接OP ，∵D 、E 都是切点，∴90ODE DEP OPE ∠=∠=∠=︒，∴四边形ODEP 是矩形，∵OD OP =，∴四边形ODEP 是正方形，∴t 的最大值为224EQ CE CD DE ==+=+；如图，同理，t 的最小值为22EQ CE CD DE ==-=；综上，t 的取值范围是4t ≤≤．故答案为：4t ≤≤．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得t EQ =是解题的关键．17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点C 作O 的切线CD ，交AB 的延长线于点D ，过点A 作AE CD ⊥于点E ．(1)若25EAC ∠=︒，求ACD ∠的度数．(2)若2,1OB BD ==，求CE 的长．【答案】(1)115︒(2)CE =【分析】（1）根据三角形的外角的性质，ACD AEC EAC ∠=∠+∠即可求解．（2）根据CD 是O 的切线，可得90OCD ∠=︒，在Rt OCD △中，勾股定理求得CD =根据OC AE ∥，可得CD OD CE OA=，进而即可求解．【详解】（1）解：∵AE CD ⊥于点E ，∴90AEC ∠=︒，∴9025115ACD AEC EAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）∵CD 是O 的切线，OC 是O 的半径，∴90OCD ∠=︒．在Rt OCD △中，∵2,3OC OB OD OB BD ===+=，∴225CD OD OC =-=．∵90OCD AEC ∠=∠=︒，∴OC AE∥∴CD OD CE OA =532CE =，∴253CE =．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD CF ，，且DCF CAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若直径310,cos 5AD B ==，求FD 的长．【答案】(1)详见解析(2)907【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知FCD FAC ∽，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段FD 的长度．【详解】（1）证明：连接OC ，∵AD 是O 的直径，∴90ACD ∠=︒，∴90ADC CAD ∠+∠=︒，又∵OC OD =，∴ADC OCD ∠=∠，又∵DCF CAD ∠=∠，∴90DCF OCD ∠+∠=︒，即OC FC ⊥，∴FC 是O 的切线；（2）解：∵3,cos 5B ADC B ∠=∠=，∴3cos 5ADC ∠=，∵在Rt ACD 中，3cos ,10,5CD ADC AD AD∠===∴3cos 106,5CD AD ADC =⋅∠=⨯=∴8AC =，∴34CD AC =，∵FCD FAC F F ∠=∠∠=∠，，∴FCD FAC ∽，∴34CD FC FD AC FA FC ===，设3FD x =，则4310FC x AF x ==+，，又∵2FC FD FA =⋅，即2(4)3(310)x x x =+，解得307x =（取正值），∴9037FD x ==，【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O 相切；(2)若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)245BC =【分析】（1）利用圆周角定理得到2EOB EAB ∠=∠，结合已知推出CAB EOB ∠=∠，再证明OFE ABC ∽△△，推出90OEF C ∠=∠=︒，即可证明结论成立；（2）设O 半径为x ，则1=+OF x ，在Rt OEF △中，利用正弦函数求得半径的长，再在Rt ABC △中，解直角三角形即可求解．【详解】（1）证明：连接OE ，∵ =BEBE ，∴2EOB EAB ∠=∠，∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴245BC ==．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．题型三垂径定理20．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在O 中，30OA BC ADB BC ⊥∠=︒=，，，则OC =（）A．1B．2C．D．4【答案】B 【分析】连接OB ，由圆周角定理得60AOB ∠=︒，由OA BC ⊥得，60COE BOE ∠=∠=︒，CE BE ==，在Rt OCE 中，由sin 60CE OC =︒，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，30ADB ∠=︒ ，223060AOB ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒，OA BC ⊥，60COE BOE ∴∠=∠=︒，113322CE BE BC ===⨯在Rt OCE 中，603COE CE ∠=︒，32sin 6032CE OC ∴==︒，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长l 的近似值计算公式：2MN l AB OA=+．当4OA =，60AOB ∠=︒时，则l 的值为（）A．1123-B．113-C．823-D．843-【答案】B【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥，得ON AB ⊥，∴点M ，N ，O 三点共线，∵4OA =，60AOB ∠=︒，∴OAB 是等边三角形，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，∴(22441144MN l AB OA-=+=+=-故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．22．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A．20mB．28m C．35m D．40m【答案】B 【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到37m 2AD =，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，()7m OD OC CD R ∴=-=-，OC 是半径，且OC AB ⊥，137m 22AD BD AB ∴===，在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，()2223772R R ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得：156528m 56R =≈，故选：B.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．23．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，12,5AC BC ==，则MD 的长是________．【答案】4【分析】根据圆周角定理得出90ACB ∠=︒，再由勾股定理确定13AB =，半径为132，利用垂径定理确定OM AC ⊥，且6AD CD ==，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵12,5AC BC ==，∴13AB =，∴11322AO AB ==，∵点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，∴OM AC ⊥，且6AD CD ==，∴52OD ==，∴4MD OM OD AO OD =-=-=，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．24．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，O 是一个盛有水的容器的横截面，O 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ==，依题意，得出6OD =，进而在Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ==，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O 的半径为10cm ．∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD 中，22221068AD AO OD =--cm∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．25．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长度是________寸．【答案】26【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，AB=可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x 由6的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA，AB=寸，，且10⊥AB CDAE BE∴==寸，5==，设圆O的半径OA的长为x，则OC OD xQ，CE=1OE x∴=-，1在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：222x x--=，化简得：222125(1)5-+-=，x x xx=，即226∴=（寸）．CD26故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．26．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点A 在第一象限内，A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点,C D ．连接AB ，过点A 作AH CD ⊥于点H ．(1)求证：四边形ABOH 为矩形．(2)已知A 的半径为4，OB ，求弦CD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵A 与x 轴相切于点B ，∴AB x ⊥轴．∵,AH CD HO OB ⊥⊥，∴90AHO HOB OBA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHOB 是矩形．（2）如图，连接AC ．四边形AHOB 是矩形，AH OB ∴==在Rt AHC 中，222CH AC AH =-，3CH ∴==．点A 为圆心，AH CD ⊥，2CD CH ∴=6=．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．。

中考数学复习方案第六单元圆第26课时圆的基本性质数学课件

上一个动点(不与 A,B 重合),射线 PM 与☉O 交于点 N(不与 M 重合).
(2)求证:△PAN∽△PMB.
解:(2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,
∴△PAN∽△PMB.
图26-14
1.[2018·黄石]如图 26-15,AB 是☉O 的直径,点 D 为☉O 上一点,且∠ABD=30°,
[2019·保定一模]已知☉O 的半径 OA 长为 2,若 OB= 3,则可以得到的正确图形
可能是 ( A )
图26-2
知识梳理
点在圆外⇔ d>r
如果圆的半径是r,点到圆心
的距离是d,那么
点在圆上⇔ d=r
点在圆内⇔ d<r
考点三垂径定理及其推论
1.[2019·眉山]如图 26-3,☉O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足是点 E,∠CAO=22.5°,
求证:PA=PC.
证明:连结 AC,
∵AB=CD,∴=,
∴ + = + ,即=,
∴∠C=∠A,∴PA=PC.
图26-11
考向三圆周角相关性质的应用
例 3[2019·温州]如图 26-12,在△ABC 中,∠BAC=90°,点 E 在 BC 边上,且 CA=CE,
过 A,C,E 三点的☉O 交 AB 于另一点 F,作直径 AD,连结 DE 并延长交 AB 于点
(1)当 M 在什么位置时,△MAB 的面积最大,并求岀这个最大值;
(2)求证:△PAN∽△PMB.
解:(1)当点 M 在的中点处时,△MAB 的面积最大.
1
1
此时 OM⊥AB,OM=2AB=2×4=2,
1
1
∴S△ABM=2AB·OM=2×4×2=4.

初三数学中考复习圆的基本性质专项练习题含解析

初三数学中考复习圆的基本性质专项练习题含解析1. 正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是( B ) A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．2 32．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面差不多上垂直的，依照以上数据，请你帮小红运算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )A ．2米B ．2.5米C ．2.4米D ．2.1米3．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好通过圆心O ，点P 是优弧A MB 上一点，则∠APB 的度数为( D )A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°4．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与点A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E.若∠AOB ＝3∠ADB ，则(D )A ．DE ＝EB B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB5．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连结CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠B AD6．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与点M ，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( A )A ．不变B ．变小C ．变大D ．不能确定7．如图，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连结BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为(C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°8．如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝__43．9．如图，点A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC ＝2∠AOB ，∠BAC ＝40°，则∠ACB ＝__20__度．10．如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 通过点M ，且AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D ，E ，∠BMD ＝40°，则∠EOM ＝__80°__．11．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为__8__．12．在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为__15°或105°__．13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)．(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)(2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．解：(1)作图如图所示：(2)连结AB ，OB ，OC.设OC 交AB 于点D ，∵AB ＝80 m ，C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB.∴AD ＝BD ＝40 m ，CD ＝20 m ．设OB ＝r m ，则OD ＝(r －20)m.在Rt △OBD 中，OB2＝OD2＋BD2，∴r2＝(r －20)2＋402，解得r＝50，∴AB ︵所在圆的半径是50 m.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连结BD.(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝12，且AD ∶CD ＝1∶2时，求⊙O 的半径．解：(1)证明：连结AE ，DE ，∵AB 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC.∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线，∴DE ＝EB.∴ED ︵＝EB ︵，即点E 是BD ︵的中点．(2)设AD ＝x ，则CD ＝2x ，∴AB ＝AC ＝3x ，∴BD2＝(3x)2－x2＝8x2.在Rt △CDB 中，(2x)2＋8x2＝122，∴x ＝23，∴OA ＝32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.15．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.(1)求证：AO 平分∠BAC ；证明：连结OB. 在△AOB 与△AOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，OB ＝OC ，AO ＝AO ，∴△AOB ≌△AOC(SSS)， ∴∠BAO ＝∠CAO ，∴AO 平分∠BAC.(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，求AC 和CD 的长．解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，∴sin ∠BAC ＝CE AC ＝35.设AC ＝5m(m ＞0)，则CE ＝3m ，∴AE ＝AC2－CE2＝（5m ）2－（3m ）2＝4m ，BE ＝AB －AE ＝AC －AE ＝5m －4m ＝m.在Rt △CBE 中，∠BEC ＝90°，BC ＝6，BE ＝m ，CE ＝3m ，∴m2＋(3m)2＝62. 解得m ＝3105，m ＝－3105(舍去)． ∴AC ＝5m ＝5×3105＝310.16．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.(1)如图①，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图②，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．解：(1)连结OQ ，如图①，∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tan ∠B ＝OP OB ，∴OP ＝3tan30°＝3，在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，∴PQ ＝OQ2－OP2＝ 6.(2)连结OQ ，如图②，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ2－OP2＝9－OP2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，现在OP ⊥BC ，则OP ＝12OB ＝32，∴PQ长的最大值为9－（32）2＝332.。

中考数学考前热点聚焦《第26讲圆的有关性质》（单课考点聚焦+热考精讲+知识点归类）课件沪科版

推论中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分
别相等
第26讲┃ 考点聚焦考点5 圆周角
圆周角定义
圆周角定理推论 1
推论 2
推论 3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相__等____，都等于该弧所对的圆心角的__一__半____ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相__等__ 半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角__；90°的圆周角所对的弦是__直__径__ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是__直__角____三角形
角形全等．(3)由∠ACB＝90°，AC＝
1 2
AB，可求得∠ABC的度
数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证 △PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°.
又∵∠CAB＝∠DPC， ∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时， △PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.
第26讲┃ 考点聚焦考点2 确定圆的条件及相关概念
确定圆的条件
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形的三角形三边_垂___直__平__分__线___的交点，即三角形外
外心接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角
防错提醒形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形
的外心在三角形的外部
第26讲┃ 考点聚焦
考点3 垂径定理及其推论

中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质真题精选(含解析)(2021

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第六章圆第26课时圆的基本性质江苏近4年中考真题精选命题点1 错误!(2016年7次,2015年16次，2014年12次，2013年8次）1. (2013淮安8题3分)如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°,则∠A的度数是( )A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°第1题图第2题图2。

（2013苏州7题3分）如图，AB是半圆的直径，点D是错误!的中点,∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( )A. 55°B. 60° C。

65° D。

70°3. （2016常州5题2分)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8 cm,ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是（)第3题图A。

10 cm B. 5 cm C。

6 cm D。

10 cm(2013～4。

（2016扬州16题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为________．第4题图第5题图5. （2016连云港14题3分）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7、A7A10,则∠A3A7A10＝______°。

中考数学复习考点研究课件：26.第26课时圆的基本性

例 1 (2016乐山)如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝( ) B A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
例1题图
【解析】∵CA ＝ CD ， ∠ ACD ＝ 40° ， ∴ ∠ D ＝ ∠CAD＝ 180°-ACD ＝70°，∵AC所对圆周角是
d是弦心距，h表示弓形高，半径OD与弦AB垂直，
则有（1）r= ⑱___+hd；
（2）r2 (1 a)2 d 2 ( 1 a)2 (r h)2
2
2a
（3）sin∠AOD= ⑲__2r__
（⑳4_）_dr_c_o_s_（∠或AOrDr=h ）
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角 21 互__补__，如图4， ∠A+∠BCD= 22 _1_8_0_°，∠A+∠BCD= 23 _1_8_0_°_
定理：垂直于弦的直径⑨平__分__弦__，并且平分弦所对的
⑩两__条__弧__ 垂
径
平分弦（不是直径）的直径⑪_垂__直___于弦，并且
定
⑫_平__分___弦所对的两条弧
理
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所
及
对的两条弧
其推
推论
平分弦所对的一条弧的直径垂直平条弧
圆的两条平行弦所夹的弧⑬ 相__等___
圆内接四边形的任意一个外角等于它的 _2_4_内__对__角__，如图4，∠DCE= 25 _∠_A__
正多边形和圆（2011版新课标新增内容）
名称内角外角中心角边长
正五边形 108° 72 ° 72 °
2R·sin60 °
正六边形 120 ° 60 ° 60 ° R

第26讲圆的相关概念及性质(课件)-2025年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)

1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
【例3】（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，为⊙ 的直径，为⊙ 的弦，为优弧的中点， ⊥ ，
∴2 − 2 = 2 = 4002 ，
∵圆环 = 2 − 2 = (2 − 2 )，
∴圆环 = (2 − 2 ) = × 2 = × 4002 = 160000，
故选：D．
）
考点一圆的相关概念
题型03 圆中的角度计算
【例3】（2022·河北廊坊·统考模拟预测）如图，是⊙ 的直径，弦 ∥，若∠ = 25°，则∠的度数为（
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
称性
②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的
直线.
的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这
说明圆具有旋转不变性.
A．40000 B．1600
C．64000 D．160000
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆
的半径为，
∴设小圆的半径为 = ，大圆的半径 = ，
∵ = 400像素，∠ = 90°，∴ ⊥ ，
在Rt △ 中，2 + 2 = 2 ，即 2 + 2 = 2 ，
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2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本性质

第六章圆第1节圆的基本性质考情分析导航命题点年份题型、题序考查内容分值2024年预测圆的弧长、圆心角、圆周角、垂径定理2023 解答题第23题涉及垂径定理、菱形判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形12分★★★★2022 解答题第23题涉及圆的切线、圆周角定理,等边三角形判定与性质,与圆的相关计算12分★★★★2021 解答题第23题圆周角定理12分★★★知识清单必备知识点知识点解读圆的对称性轴对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴中心对称性圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心旋转不变性圆围绕圆心旋转任意角度都能与自身重合弧、弦、圆心角之间的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.(2)推论:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等垂径定理及其推论(1)定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)推论:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧圆周角定理及其推论(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.(2)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径圆内接四边形性质(1)圆内接四边形的对角互补.(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)高频考点研析考点一圆周角定理及其推论【例1】(2023·牡丹江)如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=4∠BOC,若∠ACB=60°,则∠BAC的度数是(C)A.20°B.18°C.15°D.12°【例2】(2023·深圳)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=35°.【变式】1.(2023·眉山)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(C)A.25°B.35°C.40°D.45°1题图2题图2.(2023·随州)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC的度数为30°.⏜的中点.若∠BAC=35°,则∠AOB等于3.(2023·宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为AB(A)A.140°B.120°C.110°D.70°3题图4题图4.(2023·烟台)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为52.5°.考点二直径、圆周角、弦关系【例3】(2023·自贡)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(C)A.41°B.45°C.49°D.59°【例4】(2023·成都)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB 交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.【解析】见全解全析【考点小结】熟练掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径是解决此类题型的关键.【变式】1.(2023·营口)如图所示,AD是☉O的直径,弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD=30°,则∠ACB的度数是(D)A.50°B.40°C.70°D.60°1题图2题图⏜=BC⏜,AD与CO交于点E,∠DAB=30°.若AO=√3, 2.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,AC则CE的长为(C)A.1B.√3C.√3-1D.2√3-22考点三垂径定理【例5】(2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为(B)A.20 mB.28 mC.35 mD.40 m【例6】(2023·永州)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为16cm.【考点小结】本题考查垂径定理,勾股定理知识,关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度.【变式】1.(2023·宜昌)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为(B)A.5B.4C.3D.22.(2023·凉山州)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2√3,则OC= (B)A.1B.2C.2√3D.42题图3题图3.(2022·泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4√2,DE=4,则BC的长是 (C)A.1B.√2C.2D.4考点四圆内接四边形的性质【例7】(2023·赤峰)如图,圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是(A)A.25°B.30°C.35°D.40°【考点小结】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.【变式】1.(2022·株洲)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F 是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(C)A.115°B.118°C.120°D.125°1题图2题图2.(2022·南京)如图,四边形ABCD内接于☉O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1∶2∶4,则∠D=72°.。

中考数学第六单元圆第26课时圆的基本性质

A.75°
B.70°
C.65°
D.35°
图 26-5
2021/12/9
第十四页，共四十二页。
B
)
课前双基巩固
2.[2018·南充] 如图 26-6,BC 是☉O 的直径,A 是☉O 上的一点,∠OAC=32°,则∠B 的度数是
A.58°
B.60°
C.64°
D.68°
3.[2018·铜仁] 如图 26-7,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB= (
三角形的外心
垂直平分线
三角形三边___________的交点,即为三角形外接圆的圆心
防错提醒
2021/12/9
锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在直角三角形的斜边上,钝
角三角形的外心在三角形的外部
第六页，共四十二页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)二
[2018·绍兴(shào
点与圆的位置关系
高频考向探究
【方法模型】
在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距四组量中,要证其中的一组量相等可通过其他(qítā)三组量中的一组进行转化.
2021/12/9
第二十三页，共四十二页。
高频考向探究
针对训练
[答案] B
1.[2018·咸宁] 如图 26-11,已知☉O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的
(
C.2.5 cm
)
D. 5 cm
图 26-3
2021/12/9
第九页，共四十二页。
课前双基巩固
[答案] D
[解析] 连结 AB,
∵AC 为直径,∴∠ABC=90°.
又∵AC⊥BD,∴BE=ED=8÷2=4,∵AE=2,在 Rt△ABE 中,根据勾股定理可得:AB=2 5.

中考数学专项训练：圆的基本性质(含解析)

一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ODEBA所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC =．9．（2019·陕西）如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°【分析】连接FB ，得到∠FOB ＝140°，求出∠EFB ，∠OFB 即可．【解答】解：连接FB ．∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB ＝∠FOB ＝70° ∵EF ＝EB∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∴∠EFO ＝∠EBO ，∠EFO ＝∠EFB ﹣∠OFB ＝35°，故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC= BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为（）A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点E，∵OA，∴AE=，∴2sin2OEAOEOA OA∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．1.（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）ODEBA如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.16．（2019·娄底）如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD ，∵由AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，又∵在⊙O 中有∠ACD ＝30°, ∴∠B ＝∠ACD ＝30°，∴112122AD AB ==⨯=． 17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD ⊥BC 于D ，∵OB ＝6，∠OBD ＝30，∴BD ＝12BC ＝33，∴BC ＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .DCBOA【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

备战中考数学分点透练真题圆的基本性质(解析版)

第二十讲圆的基本性质命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算1．（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【答案】B【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．2．（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，故选：A．3．（2021•嘉峪关）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED ＝（）A．48°B．24°C．22°D．21°【答案】D【解答】解：连接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED＝∠COD＝21°．故选：D．4．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故选：B．5．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°【答案】B【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故选：B．6．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝．【答案】13°【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．7．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．【答案】【解答】解：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝．故答案为：．8．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．【答案】【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．命题点2 垂径定理及其推论类型一垂径定理及其推论有关的计算9．（2021•丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，∴tanα＝，∴OE＝＝，故选项A不符合题意；∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD＝2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，∴CD＝2DE＝2m•sinα，故选项B正确，符合题意；∵cosα＝，∴OE＝OD•cosα＝m•cosα，∵AO＝DO＝m，∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m•cosα，故选项C不符合题意；∵CD＝2m•sinα，OE＝m•cosα，∴S△COD＝CD×OE＝×2m•sinα×m•cosα＝m2sinα•cosα，故选项D不符合题意；故选：B．10．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D 是上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112°B．124°C．122°D．134°【答案】B【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，∵C为AB的中点，OA＝OB，∴OC⊥AB，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．故选：B．11．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．12．（2021•黄冈）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．4【答案】A【解答】解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．13．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．B．2C．1D．2【答案】B【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．故选：B．14．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．【答案】2【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．类型二垂径定理的实际应用15．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．16．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．命题点3 圆内接四边形17．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．18．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）A．2﹣2B．3﹣C．4﹣D．2【答案】C【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，故选：C．19．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE ＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【答案】（1）略（2）tan∠DCB＝【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．20．（2021秋•越秀区校级期中）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC，AM，CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．【答案】（1）略（2）四边形AMNC是矩形．【解答】（1）证明：如图，连接OM，ON，OB，OD．∵M，N分别是CB和AD的中点∴OM⊥CB，ON⊥AD，∵AD＝BC，∴BM＝DN，在Rt△OMB和Rt△OND中，，∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），∴GM＝GN，∵OM＝ON，∴OG⊥MN；（2）证明：∵OG⊥MN，CN∥OG，∴CN⊥MN，∴∠MNC＝90°，∵GM＝GN，∴∠GMN＝∠GNM，∵∠GMN+∠GCN＝90°，∠GNM+∠GNC＝90°，∴∠GCN＝∠GNC，∴GC＝GN，∵CM＝CB，AN＝AD，BC＝AD，∴CM＝AN，∴AG＝CG，∴AG＝GN＝CG＝GM，∴四边形AMNC是平行四边形，∵AN＝CM，∴四边形AMNC是矩形．。

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