动力学02

义坐标,则有
三、静动法－原理的应用
静动法Method of stato-dynamics
用虚位移原理解决静力平衡问题的方法 或用动力学理论解决静力学问题的方法
应用：1不考虑反力, 解题方便. 非理想约束, 将摩擦力视为主动力. 2解决复杂机构或结构的静力平衡问题. 在弹性力学、结构力学 中应用广泛. 3确定平衡条件（平衡位置、主动力关系）e.g.14-2,3 4求反力解除对应约束, 代之以反力, 视为主动力e.g.14-4 e.g.14-5 5解题步骤： ①取研究对象 ②分析：画清主动力（含解除约束的反力） 表述虚位移关系(图示)或广义力 ③写出虚功方程(其数目=自由度数)，求解
例14-6 汽门系统.3OA=OB.求图示平衡位置P和Q间的关系. δrC 解: 系统: AE瞬时平动, δxB=3δxA= 3δxE
BC平面运动
δxB B O δxA A
速度投影定理
δ x B = δ rC
给各质点一组虚位移δri
*3.广义力表示的虚位移原理
广义坐标表示虚位移, 相互独立, 方程表达简捷.不必建立虚位移间关系 虚位移可由广义坐标表示
v v n v k k k n v ∂ri v v ∂ri ∑ Fi ⋅ δ ri = ∑ Fi ⋅ ∑ ∂q δq j = ∑ ∑ Fi ⋅ ∂q δq j = ∑ Q j δq j = 0 j =1 j =1 i =1 i =1 i =1 j =1 j j 式中 v n v n 广义力Generalized forces ∂ri ∂WFi Q j = ∑ Fi ⋅ =∑ 与广义坐标qj相对应, 虚位移为线位 ∂q j i =1 ∂q j i =1
∑
∑
∑
三虚位移相互独立,则上式欲成立,须有
∑X =0, ∑Y =0,
v ∑mO(F) =0
即，虚位移原理与静力学平衡方程是等效的 虚位移方程实际是个方程组,独立方程的个数等于质点系的自由 度数或广义坐标数.
例14-2 椭圆轨机构,摩擦与杆重不计.求平衡时P和Q关系. y 解: 系统：I为AB的速度瞬心，由瞬心法 P δxB = δφ lsinφ, δyA = δφ lcosφ 则 A I δxB = δyA tanφ l 注：确定虚位移间关系的方法是多样的， δyA 此处，还可如P431;也可通过建立A,B O φ Q B 的运动方程，变分而得。请大家自行练习 δxB x 虚功方程 − QδxB + Pδy A = 0 代入分析结果,解得
虚功方程或静力学普遍方程 Equation of virtual work or δWF = ∑ ( Xδx + Yδy + Zδz) = 0General equation of statics ∑ 第二牛顿定律 v v v v v 2.证明 反证法设质点系不平衡 ∑ ( F + N ) ⋅ δr = ∑ ma ⋅ δr
其位置., 则约束方 程写为 xO = 0, yO
2 2 2 = 0, xA + y A = r 2 , (xB − xA ) 2 + y A = l 2 , yB = 0
xi = xi (q1, q2 ,L, qk ), yi = yi (q1, q2 ,L, qk ), zi = zi (q1, q2 ,L, qk )
区别于元功 任何虚位移的过程中反力虚 功和等于零的约束，记为
静力学中所介绍的凡没有摩擦的约束都属于这类约束
§14-2 虚位移原理 14一、虚位移原理
Principle of virtual 1.原理 理想约束的质点系平衡⇌所有主动力 displacement or 某位置的任何虚位移上虚功和等于零 Principle of virtual work
or
v v ∑N ⋅δr = 0
v v ∑δWF = ∑ F ⋅ δr = 0
v v v v F ⋅ δr = ∑ ma ⋅ δr > 0 与条件矛盾 条件成立, 必 ∑
各质点 平衡
质点系 平衡
v v Fi + Ni = 0
平衡, 充分
v v v v v v v v v ∑ ( F + N ) ⋅ δr = ∑ F ⋅ δr + ∑ N ⋅ δr = ∑ F ⋅ δr = 0 条件必要
Chap.15 动力学普遍方程
§15-1 动力学普遍方程 1515§15-2 第二类拉格朗日方程
Chap.14 虚位移原理
静力学用平衡方程解决平衡问题, 对有些复杂系统, 常需求解许多反力, 繁琐. 虚位移原理求解用功的概念, 方程不含理想反力, 未知量减少, 求解简捷. 例欲求曲柄连杆机构中,曲柄上力偶M 与滑块上力P之间的平衡关系. 静力学 至少需2研究对象和解2平衡方程 A 整体：∑MO=0 →M=f(P) r δφ l B:1方程→NB; M 虚位移原理 1研究对象和解1方程即可 O 由速度投影定理 φ α B P v cos(90° − ϕ − α ) δsB = vB dt = A dt cos α δsB & = rϕdt (sin ϕ + cos ϕ tan α ) 由虚位移原理,有Pδs B − Mδϕ = 0 r cos ϕ sin ϕ = rδϕ 1 + r cos ϕ sin ϕ M = rP1 + l 2 − r 2 sin 2 ϕ 2 2 2 l −r sin ϕ
x φ a
M1(x1,y1) (x2,y2) b M2 Q yP1 ψ δy1 = −a sinϕδϕ 虚位移 δx2 = a cosϕδϕ + b cosψδψ, δy2 = −a sinϕδϕ − b sinψδψ P2 虚功方程 Qδx 2 + P2δy 2 + P δy1 = 0 代入分析结果,得 1 (Qa cosϕ − P2 a sin ϕ − P1a sin ϕ )δϕ + (Qb cosψ − P2 b sinψ )δψ = 0 广义力表示的虚位移原理
Dynamics II Index
Chap.14 虚位移原理
§14-1虚位移原理的有关概念 14§14-2虚位移原理 14静动法的应用 *§14-3 保守系统平衡的稳定性 14-
Chap.16 碰 撞
§16-1 碰撞与碰撞力 16§16-2 对心正碰撞 16恢复系数与能量损失 §16-3 转动刚体的碰撞 16撞击中心 §16-4 平面运动刚体 16的碰撞
Qa cos ϕ − P2 a sin ϕ − P1a sin ϕ = 0, Q tan ϕ = , 解得 P1 + P2 Qb cosψ − P2 b sinψ = 0 Q tan ψ = P2
y1 = a cos ϕ x2 = a sin ϕ + b sinψ , y2 = a cos ϕ + b cosψ
P F E C θ θ B
→ δy F = 3l cosθδθ D δxB = −2l sin θδθ
虚功方程
− X BδxB − Pδy F = 0 A
代入分析结果,解得
3 XB = P 2 tan θ
e.x.14-3,7,10(1) e.x.14-3,7,10(1) 14 例14-5 双锤摆, 摆锤M1与M2重分别为P1与P2, M2上加一水平 力Q以维持系统平衡.不计杆重. 求角φ及ψ. 解: 系统:M1与M24坐标表示系统位置, 2杆长不 O 变的约束条件,2自由度,取φ及ψ为广
P = Q tan ϕ
例14-3 曲柄连杆机构 （见21片）
例14-4 图示各杆均光滑铰接, AC=CE=BC=CD=DF=FE=l, 在F点作用有铅垂力P, 求支座B的水平约束反力XB. 解: 系统:
Q yF = 3l sinθ , xB = 2l cosθ
y
P F δyF E C θ θ B δxB XB A x D
n
移,为力; 虚位移为角位移, 为力偶
广义坐标相互独立, 广义虚位移任意, 上式成立, 须有
原理
Qj = 0,
( j = 1,2, L , k )
质点系平衡条件:所有广义力等于零
讨论 一个方程组，方程个数=自由度数 应用关键是广义力的计算
例14-1 试用虚位移原理推导刚体上平面力系的平衡方程. F2 y F1 虚位移=随基点O平动的虚位移分量 解:刚体 +绕基点O转动的虚位移 δy x v O δx δϕ ∑ mO ( F ) 虚功 δx∑ X + δy ∑ Y , δφ Fn v 虚位移原理 δx X + δy Y + δϕ mO ( F ) = 0
2
不含坐标导数或经积分可之消除的约束 xA − xA0 = r(ϕ −ϕ0) x + y = l
几何约束方程
2.自由度与广义坐标的概念 自由度Degree of freedom 可以确定一个质点系空间位置的独立坐标数目 n个质点的自由质点系位置可由3n个相互独立坐标确定 其为受s个约束的非自由质点系 k=3n－s个独立坐标 例曲柄连杆机构若简化为 y A 其余坐标可由s个约束条件求得 O,A,B三个质点构成的质 l 系统为(6-5=)1自由度 M r 点系, 可用六个坐标和 O φ α 五个约束方程表示 B P x 广义坐标Generalized coordinates 表示质点系位置的独立参变量 意义 质点和约束数目较多而自由度数较少质点系, 适当选择k个独 立参变量比用3n个直角坐标和s个约束方程表示位置要方便 质点系各质点直角坐标可由广义坐标表示 (i = 1,2,L, n)

该原理→用动力学理论研究静力学问题, 对应动静法不妨称之为静动法 另外，结合达朗伯原理还可解决非自由质点系动力学问题
§14-1虚位移原理的有关概念 141.约束的概念 约束Constraint 限制物体运动的各种条件 静力学仅强调限制“作用” 约束方程Constraint equation 约束的数学表达式 几何约束Geometric constraint 对于物体运动几何位置的限制条件 运动约束Kinematic constraint 限制物体运动的运动学条件 非定常约束或不稳定约束Un-constant y A O x constraint or Unstable constraint r x l 约束条件随时间变化的约束，否则称为 定常 & & xA = rϕ（纯滚） 约束 定常约束或稳定约束Constant constraint or Stable constraint 运动约束方程 v y yA = r 完整约束Integrated constraint 约束方程 几何约束方程 2 2 2 非完整约束Un-integrated constraint 柔绳 x + y2 = (l0 − vt)2 单面约束Single-sided constraint 约束方程为不等式 非定常约束 双面约束Two-sided constraint 约束方程为等式 细刚杆 x2 + y2 ≤ l 2 本章仅限于研究定常双面几何约束情况