高中数学讲义微专题34 向量的模长问题几何法

微专题34
向量的模长问题——几何法
一、基础知识:
1、向量和差的几何意义:已知向量,a b ,则有:
（1）若,a b 共起点,则利用平行四边形法则求a b +,可得a b +是以,a b 为邻边的平行四边形的对角线
（2）若,a b 首尾相接,则利用三角形法则求出a b +,可得a b +,,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义:对于a λ
（1）共线（平行）特点:a λ与a 为共线向量,其中0λ>时,a λ与a 同向;0λ<时,a λ与a 反向
（2）模长关系:a a λλ=⋅ 3、与向量模长问题相关的定理:
（1）三角形中的相关定理:设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理:
sin sin sin a b c
A B C
==
② 余弦定理:2
2
2
2cos a b c bc A =+-
（2）菱形:对角线垂直平分,且为内角的角平分线
特别的,对于底角60的菱形,其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。

（3）矩形:若四边形ABCD 的平行四边形,则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几何法求模长的条件:条件中的向量运算可构成特殊的几何图形,且所求向量与几何图形中的某条线段相关,则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题:
例1:（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量,a b 的夹角为45,且
1,210a a b =-=,则b =（ ）
A.
B. 2
C.
D.
思路:本题利用几何图形可解,运用向量加减运算作出如下图形:可知
2,,104
AB B AC π
==
=,只需利用余弦定理求出BC 即可。

解:如图可得:b BC =,在ABC 中,有:2
2
2
2cos AC AB BC AB BC B =+- 即:2
10422cos
4
BC BC π
=+-⋅⋅
2
2260BC BC ⇒--=解得32BC =或
2BC =-（舍）
所以32b =, 答案:选D
例2:若平面向量,,a b c 两两所成的角相等,且1,3a b c ===,则a b c ++等于（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D.
2或5
思路:首先由,,a b c 两两所成的角相等可判断出存在两种情况:一是,,a b c 同向（如图1,此时夹角均为0）,则a b c ++为5 ,另一种情况为两两夹角
23
π
（如图2）,以1a b ==为突破口,由平行四边形法则作图得到a b +与,a b 夹角相等,1a b a +==（底角为60的菱形性质）,且与c 反向,进而由图得到2a b c ++=,选C 答案:C
例3:已知向量,a b ,且1,2a b ==,则2b a -的取值范围是（ ）
A. []1,3
B. []2,4
C. []3,5
D. []4,6 思路:先作出a ,即有向线段AB ,考虑2b a -,将2b 的起点与A 重合,终点C 绕A 旋转且
24AC b ==,则2b a -即为BC 的长度,通过观察可得C 与,A B 共线时2b a -达到最
值。

所以max
min
25,23b a
b a
-=-=,且2b a -连续变化,所以2b a -的取值范围是[]3,5
答案:C
例4:设,a b 是两个非零向量,且2a b a b ==+=,则a b -=_______
思路:可知,,a b a b +为平行四边形的一组邻边和一条对角线,由2a b a b ==+=可知满足条件的只能是底角为60,边长2a = 的菱形,从而可求出另一条对角线的长度为323a = 答案:23
例5:已知,a b 为平面向量,若a b +与a 的夹角为3π,a b +与b 的夹角为4π,则a b
=（ ）
A.
3 B. 6 C. 5 D. 6
思路:可知,,a b a b +为平行四边形的一组邻边及对角线,通过作图和平行四边形性质得:在ABD
中,,,,3
4
AB a AD b ABD ADB π
π
==∠=
∠=
,由正弦定
理可得:sin
sin 64sin 3sin 3
AB
ADB AD ABD π
π===
,即63a b = 答案:D
例6:已知,a b 是单位向量,且,a b 的夹角为3
π
,若向量c 满足|2|2c a b -+=,则||c 的最大值为（ ）
A.23+
B.23-
C.72+
D.72-
思路:本题已知,a b 模长且夹角特殊,通过作图可得2b a -为模长为3,设()
2m c b a =+-,则可得2m =且()
2c m b a =--,而m 可视为以2b a -共起点,终点在以起点为圆心,2为半径
的圆上。

通过数形结合可得c 的最大值为23+（此时m 的终点位于A 点） 答案:A
例7:在ABC 中,,33,66
B AB B
C π
∠=
==,设D 是AB 的中点,O 是ABC 所在平面内
的一点,且320OA OB OC ++=,则DO 的值是（ ） A.
1
2
B. 1
C. 3
D. 2
思路:本题的关键在于确定O 点的位置,从而将DO 与已知线段找到联系,将320OA OB OC ++=考虑变形为
()
323OA OB OC OA OB OB OC CB +=-⇒+=-=,即1
3
OA OB CB +=,设
OE OA OB =+,则,,O D E 三点共线,且OE BC ∥,所以由平行四边形性质可
得:11
126
OD OE CB === 答案:B
例8:已知向量,1a e e ≠=,对任意的t R ∈,恒有a te a e -≥-,则()
e a e ⋅-的值为________ 思路:本题以a te a e -≥-作为突破口,通过作图设,AB a AC e ==,D 为直线l 上一点,则有AD te =。

从而可得,a e BC a te BD -=-=,即BD BC ≥,所以C 点为直线l 上到
B 距离最短的线段,由平面几何知识可得最短的线段为B 到l 的垂线段。

所以B
C l ⊥,即
()e a e ⊥-,所以有()
0e a e ⋅-=
答案:0
小炼有话说:本题若用图形解决,找到,a te a e --在图上的位置和两个向量的联系是关键
例9:已知平面向量,,a b c 满足1,2a b ==,且1a b ⋅=-,若向量,a c b c --的夹角为60,则
c 的最大值是_________
思路:由,a b 条件可得,a b 夹角
θ的余弦值
D
B
A
1
cos 1202a b
a b
θθ⋅=
=-⇒=,若用代数方法处理夹角60的条件,则运算量较大。

所以考虑
利用图形,设,,AB a AD b AC c ===,则,CD b c CB a c =-=-,即60DCB ∠=,从而
180DCB θ∠+=,可判定,,,A B C D 四点共圆,则AC 的最大值为四边形ABCD 外接圆的直
径
,即
ABD
的
直径。

在
ABD
中,由余弦定理可
得:2
2
2
2cos 7BD AB AD AD AB θ=+-=,所以7BD =,由正弦定理可
得:2212sin 3BD d R BAD
==
=
,即max 221
3
c = 答案:
221
小炼有话说:若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积,模长进行计算时,可考虑寻找几何图形进行求解。

例10:（2010年,浙江,16）已知平面向量()
,0,αβααβ≠≠满足=1β ,且α与βα-的夹角为120,则α的取值范围是___________
思路:本题很难找到与数量积相关的条件,那么考虑利用图形辅助求解。

从图中可观察到
,,αββα-构成BCD ,60C ∠=,从而可利用正余
弦定理求出α即CD 的取值范围 解:在
BCD
中,由正弦定理可
得:sin sin sin sin BD CD
C DBC C DBC
βα=⇒= sin sin sin sin 332
DBC DBC DBC C
β
α∴=
⋅=
=
而20,
3
DBC π
⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭ (]sin 0,1DBC ∴∈ 23sin 0,33DBC α⎛⎤∴=
∈ ⎥⎝⎦ 答案:α的取值范围是230,
3⎛⎤
⎥⎝⎦
小炼有话说:例题中的部分问题也可采用模长平方的方式,从而转化成为数量积求解。

具体解法如下:
例1:解:2
2
2
2
24444cos ,10a b a a b b b a b b -=-⋅+=-+=
2
2260b b ∴--=,解得32b =
例2:解:2
2
2
2
222a b c a b c a b b c a c ++=+++⋅+⋅+⋅
,,a b c 夹角相同
当,,a b c 同向时,可得2
25a b c ++=,所以5a b c ++= 当,,a b c 两两夹角
23π时,可得133
,,222
a b b c a c ⋅=-⋅=-⋅=- 2
4a b c ∴++=,所以2a b c ++=
综上所述:2a b c ++=或5
例3:解:2
2
2
244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=- 因为[]cos ,1,1a b ∈- []2
29,25b a ∴-∈即[]23,5b a -∈ 例4:解:2a b a b ==+=可得()
2
22
24a b
a b a b +=++⋅=
代入2a b ==得2a b ⋅=-
2
2
2
212a b a b a b ∴-=+-⋅=
23a b ∴-=
例8:解:以B 为原点,BC 为x 轴建立直角坐标系。

所以()96,0,2C A ⎛ ⎝⎭,设(),O x y ,
则
()()
933
,,,,6,22OA x y OB x y OC x y ⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭
,由320OA OB OC +
+=可得:39136024
6024
x x y y ⎧⎧
-==⎪⎪⎪⎪
⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩所以134O ⎛ ⎝⎭ 因为D 为AB 中点 9,
44D ⎛∴ ⎝⎭
1
OD
∴=
例9:解:
22 a te a e a te a e -≥-⇒-≥-
22
2
221
a a et t a a e
∴-⋅+≥-⋅+
22210
t a et a e
∴-⋅+⋅-≥对t R
∀∈恒成立
()()
2
24210
a e a e
∴∆=⋅-⋅-≤即()2
4840
a e a e
⋅-⋅+≤
()2
410
a e
∴⋅-≤,所以1
a e⋅=
()20
e a e e a e
⋅-=⋅-=。