微分方程2
二阶微分方程特解公式
二阶微分方程特解公式对于一个二阶微分方程，特解是一种满足方程的特殊解。
特解的存在性条件和形式取决于方程的类型和$f(x)$的形式。
下面将介绍三种常见的二阶微分方程类型及其特解的公式。
一、齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
1.一元二次齐次微分方程如果$p(x)=0$，则方程简化为$y''+q(x)y=0$，这类方程的特解公式为：当 $q(x) = 0$ 时，特解为 $y = c_1 e^{kx} + c_2 e^{kx}$，其中$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数，$k$ 是常数。
当 $q(x) \neq 0$ 时，特解为 $y = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是常数，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
2.含有$x$的二次齐次微分方程如果$p(x)$和$q(x)$都是关于$x$的一次多项式，则方程的特解公式为：当 $q(x) = 0$ 时，特解为 $y = x^k(c_1 e^{kx} + c_2 e^{kx}\ln，x，)$，其中 $k$ 是常数，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
当 $q(x) \neq 0$ 时，特解为 $y = x^k e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是常数，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
二、非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程是指形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的微分方程，其中$p(x),q(x)$和$f(x)$是已知函数。
1.常系数非齐次线性微分方程如果$p(x),q(x)$和$f(x)$都是常数，则方程的特解公式为：当$f(x)=0$时，方程的特解为齐次线性微分方程的特解。
(整理)第七章 微分方程 (2)
第七章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2 ）的解。
A. (x-2y)y ''=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2y=Cx+C 2 ) 所满足的微分方程 （ ）'+y '2 B.y=Cx+y '2 C. xy '+y '2=C D. y '=xy '+y '23y=(C 1+C 2x)e 2x , y|x=0=0 , y '|x=π=1，则C 1,C 2的值为（ ）1=0 , C 2=1 B. C 1=1 , C 2=0 C. C 1=π , C 2=0 D. C 1=0 , C 2=π4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.y x 21dx dy -=B.yx 21dy dx -='=2x-y D. y '=2x-y 5. 已知某初值问题的解为y=C 1sin(x-C 2) y|x=π=1,y '|x=π=0, 确定C 1, C 2 解：y=C 1sin(x-C 2), y '=C 1cos(x-C 2)代入y|x=π=1,y '|x=π=0得C 1=1,C 2=2k π+2π6 .设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。
物体B 从点 (-1,0)与A 同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A ，试建立物体B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。
解：设在时刻t ，物体B 位于(x,y)处，则 x)vt 1(y dx dy +-=整理可得：dxdtv dx y d x 22-= ○1 而dt dx dx dy 1dt ds v 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+== 有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy 1v 21dx dt ○2 其中s 表示B 的运动轨迹的曲线的弧长。
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
§3二阶线性微分方程
又 y 是相应齐次线性微分方程的通解，
包含两个任意常数，
y y 中也包含两个任意常数，
y y 为非齐次线性微分方程的通解。
5
解的叠加原理:
若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程
d2y dx 2 d2y dx 2
p( x) dy dx
p( x) dy dx
是微分方程的 2k 个线性无关的解， ∴ n 阶常系数齐次线性微分方程的通解
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x)
16
例4、求 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 通解。
思考题: 求 yy y2 y2 ln y 通解。
是否一定是通解?
2
定理2:
若 y1 (x) 和 y2 (x) 是 y p( x) y q( x) y 0
在 I 上的两个线性无关的解，
则: y C1 y1( x) C2 y2( x) C1、C2 为常数
是该二阶齐次线性微分方程的通解。
如 y y 0 , y1 cos x y2 sin x
例7、求 y 2 y 3 y (3 4x)e x 通解。
23
2、f ( x) un( x)ex cos x or un( x)ex sin x 型( 0)
n 次多项式 设非齐方程特解为
y xmex[vn( x) cos x vn( x) sin x]
k 个线性无关的解；
3) 若 i 是单重共轭复根， 则 ex cos x 和 ex sin x 是微分方程的解。
15
…
4) 若 i 是 k 重共轭复根，
微分方程二阶线性微分方程
微分方程二阶线性微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与函数的导数（或微分）之间的关系。
其中，二阶线性微分方程是微分方程中的一种常见形式。
在本文中，我们将从定义、特征解和常系数二阶线性微分方程等方面进行详细介绍。
一、定义二阶线性微分方程是指形如 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x) 的微分方程，其中 p(x)、q(x) 和 f(x) 都是已知函数。
其中，y''(x) 表示 y(x) 的二阶导数，y'(x) 表示 y(x) 的一阶导数，y(x) 表示未知函数，p(x)、q(x) 和 f(x) 表示已知函数。
二、特征解对于二阶线性微分方程，我们可以找到一组特解和一组通解。
特解是指特定形式的解，可以通过代入法或常数变异法等方法求解。
通解是指一组解的集合，包括特解和齐次线性微分方程的解。
齐次线性微分方程是指当 f(x) = 0 时的微分方程。
特解和通解的求解方法可以根据具体的二阶线性微分方程的特点选择不同的方法，如常数变异法、待定系数法等。
求解过程中需要注意初始条件的限制，以确保解的唯一性。
三、常系数二阶线性微分方程常系数二阶线性微分方程是指系数 p(x) 和 q(x) 都是常数的微分方程，即 y''(x) + py'(x) + qy(x) = f(x)。
对于常系数二阶线性微分方程，可以通过特征方程来求解其通解。
特征方程的形式为 r^2 + pr + q = 0，其中 r 是未知的。
特征方程的根决定了通解的形式。
当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为 y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x，其中 C1 和 C2 是常数。
当特征方程有两个相等的实根时，通解可以表示为 y(x) = (C1 +C2x)e^rx，其中 C1 和 C2 是常数。
当特征方程有两个共轭的复根时，通解可以表示为 y(x) =e^(αx)(C1cosβx + C2sinβx)，其中 C1 和 C2 是常数，α 和β 是复数。
第十二章 微分方程一、二、三节
含有未知函数的导数（或微分）的关系式。
3
常微分方程的发展历史
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着 进一步发展的活力，其主要原因是它扎根于各种实 际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究天体问题，其中需 要求解的运动方程是常微分方程。他以非凡的积分 技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的 运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁 于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与 牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。
12
s 9.8 s(0) h, s(0) 0 2 (6) 的通解为 s( t ) 4.9t c1t c2 s( 0) h c 2 h ,
s(0) 0 9.8t c1 t 0 0 c1 0 .
( 6) (7)
5
尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、 弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控 制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预 测等等, 微分方程为之提供了关键技术支撑。反 过来这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵 深, 从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究到 今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定, 微 分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。
x2ddxy?应满足条件应满足条件此外函数此外函数xxyyy?y1微分方程1721??xxy积分得x式两边关于1将cxxxy????32d223得代入将21?c故所求的曲线方程为12??xy初始条件通解特解积分曲线解的几何意义常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线
第十二章 微分方程
已知 y f ( x ) , 求 y — 积分问题
的切线的斜率为 2 x，求此曲线 L 的方程.
设曲线的方程为 y y( x)，则有 dy (1) 2 x. dx 此外，函数y y(x) 应满足条件
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法概述二阶微分方程是微积分课程中的重要内容，它描述了一类与二阶导数有关的数学关系。
解决二阶微分方程是求解许多自然科学和工程学科中的问题的关键步骤。
本文将介绍二阶微分方程的基本概念，常见的解法以及解法的应用领域。
二阶微分方程的基本概念二阶微分方程是指含有二阶导数的微分方程，通常形式为：d2y dx2=F(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，F是给定函数。
二阶微分方程可以分为线性和非线性两类，线性二阶微分方程的一般形式为：d2y dx2+P(x)dydx+Q(x)y=R(x)其中，P(x)、Q(x)、R(x)是已知函数。
常见的解法解决二阶微分方程的方法有多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 特解和通解对于非齐次二阶线性微分方程，我们可以通过特解和通解的组合求解。
首先求解相应齐次方程（将非齐次方程中的R(x)置为0）的通解，记为y c。
然后求解非齐次方程的一个特解，记为y p。
最后，原方程的通解可以表示为y= y c+y p。
2. 常数变易法常数变易法适用于形如y″+P(x)y′+Q(x)y=R(x)的方程。
我们首先假设通解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)都是未知函数。
然后将通解带入原方程得到一个关于u和v的方程。
通过选择合适的u和v，使得方程成立，即可求得原方程的通解。
3. 欧拉方程对于形如x2y″+P(x)xy′+Q(x)y=0的方程，我们可以通过欧拉方程进行求解。
将未知函数y表示为y=x r，其中r是常数。
然后将这个表达式代入原方程，并确定r的值，从而求得方程的通解。
4. 分离变量法对于一些特殊的二阶微分方程，我们可以使用分离变量法求解。
例如，对于形如y″=f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy/dx，从而将方程分离为关于x和y的方程。
然后可以分别积分得到x和y的关系式，最终求得方程的解。
二阶微分方程的应用领域二阶微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
二阶线性微分方程
6.3 二阶线性微分方程一．二阶线性微分方程解的结构把形如()()()y P x y Q x y f x '''++= （1）的方程叫做二阶线性微分方程。
当()0f x ≡时，上式变成()()0y P x y Q x y '''++= （2）方程（2）叫做方程（1）对应的二阶齐次线性微分方程。
当()0f x ≠时，方程（1）叫做二阶非齐次线性微分方程。
先讨论二阶齐次线性微分方程解的结构：定理1 若y 1和y 2是二阶齐次线性微分方程的解，则其线性组合1122C y C y +也是二阶齐次线性微分方程的解。
其中12,C C 是任意常数。
（证明略）如：可以验证函数2312,x x y e y e ==都是方程560y y y '''-+=的解，2312x x y C e C e =+也是这个方程的解，并且是这个方程的通解。
还可以验证函数2212,3x x y e y e ==也都是方程560y y y '''-+=的解，()222121233x x x y C e C e C C e =+=+也是这个方程的解，但是却不是这个方程的通解（因为123C C +还是一个常数）。
定义 对于两个都不恒等于零的函数1y 和2y ，如果存在一个常数k,使k=12y y ,则称函数1y 与2y 线性相关；否则，称1y 与2y 线性无关。
如：函数2312,x x y e y e ==是线性无关的，而函数2212,3x x y e y e ==是线性相关的。
定理 2 如果12,y y 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+（12,C C 是两个任意常数）是二阶齐次线性微分方程的通解。
现再讨论二阶非齐次线性微分方程解的结构。
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，0y 方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，则0y y y =+是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。
微分方程2
分离变量: 分离变量 两边积分: 两边积分
2u d u d x = , 2 1+ u x
ln(1 + u 2 ) = ln x + ln C ,
2
即 1 + u 2 = Cx .
y 代回原变量得通解为 1 + = Cx , x
x 2 + y 2 = Cx 3 . 即
xy′ − 2 y + 3x = 0 初值问题： ． 例2 求解初值问题： y x=1 = 4
x
解
即 分离变量: 分离变量 两端积分: 两端积分 即
f ′( x ) = xf ( x ) + x . d[ f ( x )] = x d x, f ( x) + 1
1 2 ln[ f ( x ) + 1] = x + ln C , 2
f ( x ) = Ce
x2 2 x2 2
− 1.
又由原方程得 f (0) = 0，故C = 1．
du u+ x = ϕ(u) dx
可分离变量的方程
例1 求方程( x2 + 3 y2 )d x − 2xyd y = 0的通解． 的通解． 解 原方程可写成
y dy du = u+ x 令 = u，则 y = xu, ． x dx dx d u 1 + 3u 2 = . 于是,原方程可化为 于是 原方程可化为 u + x dx 2u
思考题解答
dx 即 = sin2 y − xtan y, dy
故通解为
−∫ P( y)d y
∫ P( y)d y dy + C x=e ∫ Q( y)e −∫ tan yd y ∫ tan yd y dy + C sin2 ye =e ∫
微积分：二阶微分方程
二、二阶常系数线性微分方程
一般形式 y+by+cy=f(x)
当f（x）=0时，称为齐次的， 当f（x） 0时，称为非齐次的。
1、解的结构 引进微分算子：L[y] y+b y+cy 则方程分别记为
L[y]=f(x)， L[y]=0 性质1
L[cy]=cL[y]，c为常数。
性质2
L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]。
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
比较系数
2b0 3,2b0 b1 1.
b0
3, 2
b1
4.
y* x( 3 x 4)e x
2
通解
y
C1e x
C2e2x
x(
3 2
x
4)e x .
例3 求y 3x 1的一个特解。
解 r 2 0 0是重根，
设 y* x 2 (b0 x b1 )e0x 将y *、y *、y * 代入微分方程,
C2 x)e x
]
则，方程组的解为
z (C1 C2 x)e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x)e x .
例2 解方程组
3
dx
dt dx
dy
dt dy
x y
0 et
(1) (2)
dt dt
微分方程组的应用：
例3 捕食 — 被捕食模型
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
微分方程第2章习题解
∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂y
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
求解二阶微分方程
求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+f(x)y'+g(x)y=0$的方程，其中$f(x)$和$g(x)$是已知函数。
在下面的讨论中，我们将介绍如何求解这样的微分方程。
首先考虑形如$y''+ay'+by=0$的方程，其中$a$和$b$都是常数。
这样的方程称为常系数齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以根据特征方程$λ^2+aλ+b=0$的解来求解。
特征方程的解称为特征根。
1.如果特征方程的根是实数，假设为$r_1$和$r_2$，则方程的通解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
2. 如果特征方程的根是共轭复数，假设为$α±βi$（其中$α$和$β$都是实数），则方程的通解为$y=e^{αx}(c_1\cos(βx)+c_2\sin(βx))$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
注意：如果特征方程的根是重根，那么在通解中还需要考虑相应的$x$的幂函数项。
接下来考虑形如$y''+ay'+by=r(x)$的方程，其中$r(x)$是已知函数。
这样的方程称为非齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以先求解齐次线性二阶微分方程的通解$y_h(x)$，然后再寻找非齐次解$y_p(x)$，使得方程的通解为$y=y_h+y_p$。
非齐次线性二阶微分方程的非齐次解$y_p(x)$可以通过待定系数法或变异参数法来求解。
1.待定系数法待定系数法适用于$r(x)$为多项式函数、指数函数、三角函数或多个这些函数的线性组合的情况。
- 若$r(x)$为多项式函数，假设为$P_n(x)$（其中$P_n(x)$是$n$次多项式），则$y_p(x)$的形式为$y_p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，将$y_p$代入方程，确定待定系数的值。
二阶微分方程
设二阶线性齐次方程为： 设二阶线性齐次方程为：
(1)如果y1 ( x ), y2 ( x )为二阶线性齐次方程 (1) 的 两个解， 两个解，则 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x )仍为(1)的解, 为常数。 其中C1，C 2为常数。
例1
判别下列两组函数哪些是线性无关的？ 判别下列两组函数哪些是线性无关的？
(1) 1 + cos 2 x ,
cos x;
2
(2)e ,
−x
xe .
−x
解的结构定理： 2. 解的结构定理：
a0 ( x ) y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = 0 ------(1) a0 ( x ) y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = f ( x )--(2)
=0
的解。 故 y = e 为 (1′ ) 的解。
对应于特征根的三种情况， 对应于特征根的三种情况，(1′ ) 的通解有以 下三种情况： 下三种情况：
(1) r1 ≠ r2 时, y1 = e , y2 = e
r1 x
r2 x
的两个线性无关的特解， 为 (1′ ) 的两个线性无关的特解，
′)的通解为： y = C1er1x + C2er2 x (1 的通解为：
定理2 定理
设y1 ( x ), y2 ( x )为二阶线性齐次方程 (1) 的 两个线性无关的解， 两个线性无关的解，则 (1)的通解为 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x ) , 为两个任意常数。 其中C1，C 2为两个任意常数。
2阶线性微分方程
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d4 w 例6. 解方程 4w 0 ( 0 ). 4 dx 解: 特征方程: (r 2 2 ) 2 2 2 r 2 0
( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0 其根为 r1 , 2 ( 1 i ), r3 , 4 ( 1i ) 2 2 方程通解 :
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小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 ,
特征根 通 解
r1 x
实根
y C1 e
C2 e
r2 x
y ( C1 C2 x ) e
r1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
即
we
2
x
( C1 cos
2
x C2 sin
2
x)
2
e
x
( C3 cos
2
x C4 sin
2
目录
x)
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例7. 解方程 y ( 4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0
即
特征根为 则方程通解 :
( r 2 1 )2 0
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ② 则微分
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
y C1 e
第十一章微分方程（2）
第十一章 微分方程一. 选择题:1. 微分方程dx y x dy y x )()(-=+是（ ）A ．线性微分方程 B.可分离变量方程C. 齐次微分方程D.一阶线性非齐次方程2. 微分方程0)2()2(=-+-dy x y dx y x 的通解为( )A.C z x =+22B.C y x =-22C.C y xy x =++22D.C y xy x =+-223.已知函数)(x y 满足微分方程x y y y x ln=',且在1=x 时2e y =,则当1-=x 时,)(=yA.-1B.0C.1D.1-e4.函数)(x y 满足微分方程0ln 2=-+'x y y y x ，且在1=x 时1=y ，则在e x =时，)(=y A ．e 1 B.21 C.2 D.e 5. 微分方程dy e y ydx xdy y 2=-的通解是( )A.)(C e x y x +=B.)(C e y x y +=C.)(x e C x y -=D.)(y e C y x -=6. 微分方程02)6(2=+'-y y x y 的通解是( )A.0232=+-Cy y xB.0232=+-Cx x yC.0232=+-y Cy xD.0232=+-x Cx y7.方程x ex y y y 3)1(96+=+'-''的待定特解为( ) A.x e b ax 3)(+ B.x e b ax x 3)(+C.x e b ax x 32)(+D.xe x 3)1(+8. 微分方程02=+'+''y y y 的通解是( )A.x C x C y sin cos 21+=B.x x e C e C y 221+=C.x e x C C y -+=)(21D.x x e C e C y -+=219.设方程)(32x f y y y =-''-''有特解*y ,则它的通解是( )A.*-++=y e C e C y x x 321B.x x e C e C y 321+=-C.*-++=y xe C xe C y x x 321D.*-++=y e C e C y x x 32110.已知x y x y ωωc o s 3,c o s 21==是方程02=+''y y ω的解,则2211y C y C y +=(21,C C 为任意常数)( )A.是方程的通解B. 是方程的解,但不是通解.C. 是方程的一个特解D. 不一定是方程的解二. 填空题:1.微分方程y y x y ln sin ='满足初始条件e yx ==2π的特解是 ; 2. 1)(1)(-=+'x f xx f 的通解=)(x f ; 3. 微分方程dxdy xy y dx dy x =+的通解为 ; 4. 微分方程01=-'y e x 的通解为 ;5.求方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 满足10==x y 的特解是 ;6.0)(432=+-dy y x ydx x 的通解为 ;7.0)(3)(823=++'+''x xy y y 称 阶 次微分方程;8.方程0122='-+''y yy 的通解为 ; 9. 微分方程22-=+'-''x y y y 的通解为 ;10. 微分方程x x y y x y x ln 2=+'-''的通解为 . 三. 解答题:1. 求下列变量可分离的微分方程的通解(1)0)1()1(22=-+-dy x y dx y x(2))(2y y a y x y '+='-2．求下列一阶线性微分方程的通解:(1)1=+xy dx dy (2)0cos 2)1(2=-+'-x xy y x3．求下列微分方程满足给定初始条件的特解:（1）0,0)sin(2==+++=πx y y x x dx dy x（2）e y e y dx dy x x ==-+)1(,0 4．求下列齐次微分方程的通解:（1）yx y dx dy 22-= （2）)ln (ln x y y dxdy x -= 5．求下列贝努利微分方程的通解: （1）34232y x y xdx dy =+ （2）0ln 334=--'x xy y y x6．求下列全微分方程的通解：（1）0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x（2）0)()2(222=+---dy y x dx y xy a7．用积分因子法求下列微分方程的通（特）解（1）0)()2(2222=-++dy y x xy x dx y x xy y（2）求微分方程02)(2=-+xydy dx y x 满足初始条件21==x y的解（3）0)cos sin ()sin cos (=++-dy y y y x dy y y y x8．用变量置换法求下列微分方程的通解 （1）yxy x y x dx dy 2236322-+-+=（2）)(222y x y y x dx dy +-= 9．求下列末解出导数的一阶微分方程，其中dx dy P =（1）022=--+xy x yP P（2）0422=+-x yP xP10．火车沿水平轨道运动，重量为P ，机车的牵引力为f ，运动时的阻力bv a R +=，设火车由静止开始运动，求火车的运动方程（其中P f b a ,,,为常数，v 是火车的速度）11．有连接两点A （0 ，1），B （1 ，0），的一条曲线，它位于弦AB 的上方，),(y x P 为曲线上任意一点，已知曲线与弦AP 之间的面积为3x ，求曲线的方程。
第十二章微分方程(二)
二、 高阶微分方程1．高阶微分方程的定义：'''()(,,,,)0n F x y y y =2．可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型： （1）()()n y f x = 解法：逐次积分（2）),(y x f y '='' 特点：不显含y 的方程解法：设p y ='，则p y '=''，代入方程中得),(p x f p ='。
已降为一阶。
（2）),(y y f y '='' 特点：显含x 的方程 解法：设p y ='，则dydp p dx dy dy dp y =⋅='' 代入方程中得),(p y f dydpp=，已降为一阶。
【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解.解：由于不显含y ，令()y p x '=，则y p '''=，代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 l n (1)11p x p x x+'+=++ 为一阶线性微分方程 利用公式得11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()()111(ln(1))ln(1)111dxdx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x--++++++⎰⎰=+=+++=++=+-+++⎰⎰⎰即 1l n (1)11Cy x x'=+-++ 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件0011,2x x y y =='==的特解。
解：由于不显含x ，令()y p y '=，所以y pp '''=，代入原方程得 20y p pp '+=所以 0p = 或 0y pp '+= 当0yp p '+=时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得dp dy p y=-积分得 1l n ||l n ||l n p y C =-+，所以， 1C p y =， 即 1Cy y'= 将0011,2x x y y =='==代入得112C =，从而 12y y'= 分离变量得 22y x C =+，将01x y ==代入得21C = 所求方程的特解为 21y x =+当0p =时，即0y '=，积分得y C =，特解为1y =，含在21y x =+内。
微分方程(2)
1) 向前欧拉公式: （y’= f (x, y) ） y (xn+1) y(xn) + h f(xn, y(xn)) (迭代式) yn+1 yn + h f(xn, yn) (近似式) 特点：f(x,y)取值于区间[xn, xn+1]的左端点.
2) 向后欧拉公式 yn+1 yn + h f(xn +1, yn +1)
= yn + (h/2)* [(-yn + xn+ 1) -(yn+ h*(-yn + xn+ 1) )+xn +1+1] = yn + (h/2)* [ (1-h)*xn + xn+1 + 2-h + (h-2)*yn] died1.m
结果
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
变量组
注意：① y '
‘t’。
② 自变量名可以省略，默认变量名
例①
dy 1 y2, dx
y ( 0) 1
输入：y=dsolve ('Dy=1+y^2') y1=dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x') 输出：y= tan(t-C1) （通解，一簇曲线） y1= tan(x+1/4*pi)（特解，一条曲线）
① 分离变量法；如 dy/dx = x*y； ② 齐次方程的变换法； 如 dy/dx = f (y/x) ③ 线性方程的常数变易法或公式法. ……
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解析解
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两边求导得 f ( t ) 8te
8 t f ( t ).
即
其通解为
f ( t ) 8π tf ( t ) 8π te
4π t 2
f (t )
e 8 t d t 8 te 4t
4t 2
2 8 t d t e
C
e
(4 t 2 C )
又题设知f (0) 1, 代入上式得C 1，因此
f ( t ) (4 t 1)e
2 4 t 2
.
已知 ( ) 1, ( x )连续, 试确定 ( x )使曲 y 线积分 [sin x ( x )] d x ( x ) d y与路径无关. x L Q P P Q 解 依题设，知 y x 1 即 [sin x ( x )] ( x ) x
当Q ( x ) 0,
上方程称为非齐次的.
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , dx dt
求解法:
dy 1º 齐次线性方程： P ( x ) y 0 ( 2.2) dx dy 分离变量： P ( x ) d x, y dy y P( x ) d x,
ye
P ( x )d x
[
P ( x )d x Q( x )e d x C]
P ( x )d x
( 2.3)
Ce
P ( x )d x
e
P ( x )d x Q( x )e dx
对应齐次线性方 程(2.2)的通解
非齐次线性方 程(2.1)的特解
1 ex 例5 求方程 y y 的通解. x x 1 ex 解 P( x) , Q( x ) , x x
1. 常数变易法
ln | y | P( x) d x ln C,
P( x)d x y Ce . 齐次线性方程的通解为：
dy 2º 非齐次线性方程： P ( x ) y Q( x ). dx
将 C C ( x ) ( 待定)
作变换
变易
y C ( x )e
x2
2
y e e
C1 x 2
, y e e C
C1 x 2
,
y Ce 为所求通解.
例2 求微分方程 dy x y x y cos cos 的通解. dx 2 2 解
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
ln x
由 ( ) 1, 得
C 1
1 ( x ) ( 1 cos x ) x
(1.2)
变量分离
Байду номын сангаас
dy g( y ) h( x ) d x
1 设 函 数 G( y) 和 H ( x) 依 次 为 和 g ( y)
h( x )的原函数, 则
G( y ) H ( x ) C
(1.3)
(C为任意常数).
可以验证: (1.3)式为微分方程 (1.1) 的(隐式)通解. 事实上， 由以上推导可知: 若 y ( x ) 是(1.1) 的解，则它必满足 (1.3) ; 反之，若 y ( x )
2 当g( y0 ) 0时，y y0也是(1.1)的解.
注 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
dy 例1 求微分方程 2 xy 的通解. dx
dy 解 分离变量 2 x d x, y dy 2 x d x, 两端积分 y
ln y x C1 ,
通解：y
1 d x e x
x x e 1 e ln x ln x e e d x C x x x xd x C
e x
x
1 dx e x dx C
1 x
1 x e dxC e C . x
x
例6 设 f ( x )满足：
x
1
f (t ) d t f ( x ) 1, 2 t f (t )
且 f ( x )可导，求f ( x ).
解
令 x 1, 得 f (1) 1
f ( x) d f ( x ) “ ”： 2 x f ( x) dx 关于y非线性 y 令 y f ( x ), 则 y , y(1) 1 2 x y dx 1 x y 关于x为线性方程 dy y
P ( x )d x Q( x )e dx
理解成被积函数的某个 原函数.
( 2.1)满足初始条件 y( x0 ) y0 的特解为：
y
x P ( x )d x x P ( x )d x x x0 x0 e [ Q( x )e d x y0 ] x0
( 2.4)
4 (2.1)的解的结构
第十二章
第二节
可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程 二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1
dy h( x ) g( y ) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数 g( y ) 和 h( x ) 是连续的,
1 当g( y ) 0时， dy (1.1) h( x ) d x g( y )
x y sin 2 d x, 2 sin 2 x y y ln csc cot 2 cos C 为所求通解. 2 2 2 dy
二、一阶线性微分方程
类型2
dy P ( x ) y Q( x ) dx
( 2.1)
——— 一阶线性微分方程
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
ye
P ( x )d x
[
P ( x )d x Q( x )e d x C]
( 2.3)
注 1 常数变易法的实质: 未知函数的变量代换 法，通过变量代换将 原方程化为可分离变 量的方程. 2 在常数变易公式(2.3)中，应将积分
P ( x ) d x,
3 特解公式
dx 1 x y dy y
通解： x e
1 ( )d y y
[ ye
1 ( )d y y
d y C]
e
ln y
[ ye
ln y
1 d y C ] y [ y d y C ] y
2
y( y C )
由 y(1) 1, 得 C 0 x y , 即 y x
备用题
例6-2 设函数f ( t )在0， 上连续，且满足方程
f (t )
2 4 t e
x 2 y 4t 2
2
f
1 2 x y 2 d x d y 2
求f ( t ).
分析 由于所给关系式是未知函数的二重积分， 由二重积分的被积函数及积分域，将二重 积分化为二次积分，而积分限为的ｔ函数 故通过求导可得出相应的微分方程.
故所求 f ( x) x .
内容小结
1. 可分离变量方程的求解步骤: 1° 分离变量; 2°两端积分-------隐式通解； 3°根据定解条件定常数 . 2. 一阶线性方程 方法1 先解齐次线性方程 , 再用常数变易法； 方法2 用常数变易（通解）公式
y e P ( x )d x Q( x ) e P ( x )d x d x C
P ( x )d x
y C ( x ) e P ( x ) d x C ( x ) [ P ( x )]e P ( x ) d x ,
将 y 和 y 代入原方程, 得
P ( x )d x C ( x )e Q( x ), 可分离变量方程
解 由于
x 2 y 4t 2
2
f
2t
1 x2 y2 2
d x d y
0
2
d
0
2t 1 f ( ) d 2 f ( ) d 0 2 2 4 t 2
所以 f ( t ) e
2 f ( ) d 0 2
4 t 2
2t
是由(1.3)确定的隐函数，即
G[ ( x )] H ( x ) C
则由隐函数求导法，得
G( y ) y ( x ) ( x ) H ( x )
1 ( x ) h( x ) g ( y ) y ( x )
即
( x ) h( x ) g[ ( x )]
积分得 C ( x )
~ P ( x )d x Q( x ) e d x C,
一阶非齐次线性微分方程(4.1)的通解为:
y [
~ P ( x )d x P ( x )d x Q( x )e d x C ]e
~ 其中C为任意常数.
2. 常数变易公式
( 2.1)的通解为：
例6-5 得
1 sin x ( x ) ( x ) , ( ) 1 x x ( x) ?
( x) e
1 dx x [
1 sin x x d x e d x C]
x
sin x ln x e [ e d x C] x 1 sin x 1 [ x d x C ] ( cos x C ) x x x