第四章 二元关系和函数

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(3) (A－B)×(C－D)＝(A×C)－(B×D)不成立. 举一反例如下：若A＝B＝{1},C＝{0,1} ,D={0} 则有： (A－B)×(C－D)＝×{1}＝, (A×C)－(B×D)＝{<1,0>,<1,1>}－{<1,0>} ＝{<1,1>}. (4)(AB)×(CD)＝(A×C)(B×D)不成立.反例 同(3), (AB)×(CD)＝ ×{1}＝, (A×C)(B×D) ＝{<1,0>,<1,1>}－{<1,0>} ＝{<1,1>}.
【例】有A,B,C三个人和四项工作α,,,,已 知A可以从事工作α,δ，B可以从事工作， C可以从事工作α,。那么人和工作之间的 对应关系可以记作
R＝{<A,α>,<A,δ>,<B,>,<C,α>,<C,>}。 这是人的集合{A,B,C}到工作的集合{α,,,} 之间的关系。
定义4.5 如果一个集合为空集或者它的元 素都是有序对, 则称这个集合是一个二元 关系,一般记作R。 对于二元关系R, 如果<x,y>∈R,则记作xRy； 如果<x,y>R,则记作xRy
定义4.6 设A,B为集合,A×B的任何子集所定 义的二元关系称作从A到B的二元关系,特别 当A＝B时,则叫做A上的二元关系。 • 关系RAB, R is a relation from A to B. • RAA, R is a relation on A. A上有多少个不同的二元关系? |A|=n |A×A|=n2 n2 |P(A×A)|=2 n2个关系. 每一个子集代表一个A上的关系,共2
第4章 二元关系和函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系
4.2 关系的运算
4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质
4.7 函数的复合和反函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系
定义4.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的 顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称 序偶),记作<x,y >,其中x是它的第一元素,y是 它的第二元素。 有序对的特点： 1.当xy时,<x,y><y,x>。 2.两个有序对相等,即 <x,y>＝<u, v> 的充分必要条件是x＝u且y＝v。
从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图) 1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域 (或集合B). 2.从x到y画一个箭头,如果<x,y>∈R
R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1} R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x}
逆、合成、限制和象
定义4.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1)F的逆记作F-1 ，F-1＝{<x,y>|yFx}. (2)F与G的合成记作F◦G, F◦G,＝{<x,y>｜z(xGz∧zFy)} (3)F在A上的限制记作 F A F A＝{<x,y>|xFy∧x∈A}. (4)A在F下的象记作F[A], F[A]＝ran (F A)
1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
1 2
4
3
4.2
• • • • • •
关系的运算
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关系R的定义域,值域和域 关系F的逆 关系F与G的合成 关系F在集合A上的限制 集合A在关系F下的象 关系R的n次幂
定义4.8 关系R的定义域 domR,值域ranR和 域fldR分别是 domR＝{x | y(<x,y>∈R)} ranR＝{y | x(<x,y>∈R)} fldR＝domR∪ranR。 domR就是R的所有有序对的第一个元素构 成的集合,ranR就是R的所有有序对的第二 个元素构成的集合. 【例】实数集R上的关系 S={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=1}, domS=ranS=fldS=[-1,1].
二元关系(Binary
Relation)
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的 某种相关性.
例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果 任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三 场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜 丙、乙胜丙,这个结果可以记作 {<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x 胜y。它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的 一种胜负关系.
定义4.3 设A,B为集合,用A中元素为第一元 素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这 样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积, 记作A×B。符号化表示为 A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}. 例如,A＝{a,b},B＝{0,1,2},则 A×B＝ {<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}； B×A＝ {<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。
如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素? mn个 若<x,y>A×B,则有 x∈A和y∈B. 若<x,y>A×B,则有 xA或者y B.
笛卡儿积运算的性质: 1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空 集, 即 B＝B×＝ 2.当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A。 所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3.当A,B,C都不是空集时,有 (A×B)×C≠A×(B×C). 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。
关系矩阵和关系图
有穷集A上的关系R, 可用关系矩阵和关系图给出. 设A={x1,x2,…,xn},R是A上的关系，令
1 若x i Rx j rij 0 若x i Rx j
则R的关系矩阵为
r11 r 21 (rij ) rn1 r12 r22 rn 2
(i, j 1,2,...,n)
对于任何集合A都有3种特殊的关系: 其中之一就是空集,称做空关系。 另外两种就是全域关系EA和恒等关系IA。 定义4.7 对任何集合A, EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A。 IA＝{<x,x>｜x∈A}。 例如：A={0,1,2},则 EA＝{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>, <1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>｝ IA＝{<0,0>,<1,1>,<2,2)}。
例4.4 设A＝{a,b},R是P(A)上的包含关系, R＝{<x,y>|x,y∈P(A)∧xy}, 则有 P(A)＝{,{a},{b},A}。 R＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,< {b},A>,<A,A>}.
例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系, 分别求出它们的定义域和值域,
(1)R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y}； (2)R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1}； (3)R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x}； (4)R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x＝y=3}。 解 (1) domR1＝ranR1＝Z. (2) R2＝{<0,1 >,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2＝ranR2＝{0,1,-1}. (3) domR3＝Z ranR3＝{2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4＝ranR4＝{-3,3}.
定义4.4 设A1,A2, … , An是集合(n≥2),它们的 n阶笛卡儿积,记作A1×A2×…×An,其中 Al×A2×…×An＝ {<x1,x2,…xn>|x1∈Al∧x2∈A2∧…xn∈An}. 当A1= A2=…= An= A时，n阶笛卡儿积简记为 An 例如: A={a,b},则 A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>, <b,a,a>,<b,a,b>,<b,b,a>,<b,b,b>}
定义4.2 一个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其 中第一个元素是一个有序n－1元组,一个有 序n元组记作<x1,x2,…, xn>,即 <x1,x2,…, xn>＝ < <x1,x2,…, xn-1>, xn>
例如,空间直角坐标系中点的坐标 <1,－1,3>,<2,4.5,0>等 都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。
r1n r2 n rnn
设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令 V＝A＝{x1,x2,·· n},如果xiRxj,则有向边 ·,x <xi,xj>∈E.那么 G＝<V,E>就是R的关系图。 设A＝{1,2,3,4}, A上的关系 R＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>} 。 则R的关系矩阵和关系图为
例4.3 设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真 假. (1)若AC且BD,则有A×BC×D。 (2)若A×BC×D,则有AC且BD. 解 (1)命题为真。因为对于任意的<x,y>, <x,y> A×B xA∧yB xC∧yD <x,y>C×D (2)命题为假.当A＝B＝时,或者A≠且B≠时, 该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅 有一个为时,结论不一定成立,例如,令A＝C ＝D＝,B＝{1},这时A×BC×D,但B D。