2019—2020年最新北师大版高一数学下学期期末模拟试题及答案解析.docx
2019-2020学年北京师大附中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京师大附中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．3．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④5．已知向量，满足||＝2，||＝1，•＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．﹣6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝15，b＝5，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GH B．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD18．函数f（x）＝A sin x（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP⊥OQ，则A＝（）A．3B．C．D．1二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sinα等于．10．设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则||＝．11．函数f（x）＝3sin x的最大值为．12．设α是第一象限角，sinα＝，则tanα＝．cos2α＝．13．设向量＝（0，2），＝（，1），则•＝；向量，的夹角等于．14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝60°，A＝45°，则b＝，△ABC的面积是．15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A ＝．16．已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是．17．已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为；设点P （3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是．18．已知a，b是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α；②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；④一定存在平面α，使直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．则所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．.19．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的对称中心的坐标；（Ⅲ）求函数f（x）在的区间[﹣，]上的最大值和最小值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）如果b＝3，求c的值；（Ⅲ）如果c＝2，求sin B的值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅲ）证明：BD⊥CE．23．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE ⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．24．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），设函数f（x）＝•（+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选：B．2．函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可．解：函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为：＝．故选：C．3．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y＝sin2x，向左平移个单位长度，可得y＝sin2（x+），即sin2（x+）＝．故选：C．4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】利用直线与直线的平行直线与平面的垂直关系判断选项的正误即可．解：①平行于同一个平面的两条直线互相平行也可以相交也可能异面直线；所以①不正确；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行也可能相交；所以②不正确；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；正确；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．满足直线与平面垂直的性质定理，正确．故选：D．5．已知向量，满足||＝2，||＝1，•＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．﹣【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可．解：设向量，的夹角为θ，则θ∈[0，π]，由||＝2，||＝1，•＝，所以cosθ＝＝＝，所以向量，的夹角为θ＝．故选：C．6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝15，b＝5，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由正弦定理求出sin C的值，可得C＝60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．解：∵△ABC中，已知B＝30°，c＝15，b＝5，由正弦定理，可得：＝，∴解得：sin C＝，可得：C＝60°或120°．当C＝60°，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形．当C＝120°，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GH B．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．解：对于A，由图形知BD1与GH是异面直线，∴A错误；对于B，由题意知BD与EF也是异面直线，∴B错误；对于C，平面EFGH与平面ABCD是相交的，∴C错误；对于D，平面EFGH∥平面A1BCD1，理由是：由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1．故选：D．8．函数f（x）＝A sin x（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP⊥OQ，则A＝（）A．3B．C．D．1【分析】由题意，△OPQ是直角三角形，过P，Q作x轴的垂线，利用勾股定理求解QP，OP，OQ，建立关系可得A的值．解：函数f（x）＝A sin x（A＞0），周期T＝2π，可得：P（，A），Q（）．连接PQ，过P，Q作x轴的垂线，可得：QP2＝4[A2+]，OP2＝A2+]，OQ2＝A2+]，由题意，△OPQ是直角三角形，∴QP2＝OP2+OQ2，即2A2+π2＝，解得：A＝故选：B．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sinα等于．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解：∵角α的终边经过点P（1，2），则sinα＝＝，故答案为：．10．设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则||＝．【分析】首先对要求的向量的模平方，变为已知向量的平方和数量积之和，代入模长和夹角，求出结果，注意最后要对求得的结果开方．解：∵、的长度分别为4和3，夹角为60°，∴＝16+4×3×cos60°+9＝31∵||＝＝＝，故答案为：11．函数f（x）＝3sin x的最大值为3．【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果．解：当x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为3．故答案为：312．设α是第一象限角，sinα＝，则tanα＝．cos2α＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解cos2α的值．解：∵α是第一象限角，sinα＝，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝＝．∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝．故答案为：，．13．设向量＝（0，2），＝（，1），则•＝2；向量，的夹角等于．【分析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论．解：因为向量＝（0，2），＝（，1），故||＝2；||＝＝2；故•＝0×+2×1＝2；向量，的夹角θ满足cosθ＝＝＝；因为θ∈[0，π]⇒θ＝，故向量，的夹角等于．故答案为：2，．14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝60°，A＝45°，则b＝，△ABC的面积是．【分析】由已知利用正弦定理可求b的值，根据三角形内角和定理可求C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：若a＝2，B＝60°，A＝45°，则由正弦定理，可得：b＝＝＝，可求C＝180°﹣A﹣B＝75°，可得△ABC的面积S△ABC＝ab sin C＝×sin75°＝sin（45°+30°）＝（+）＝．故答案为：，．15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A ＝．【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案．解：在△ABC中，cos A＝＝＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．解：f（x）＝+sin2x＝sin（2x+）+，当0≤x≤m时，≤x≤2m+，∵f（x）在区间[0，m]上单调递增，∴2m+≤，得m≤，即m的最大值为，故答案为：．17．已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为（3，﹣2）；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是（1，3）．【分析】第一空：根据题意，设C的坐标为（x，y），求出向量与的坐标，由共线向量的坐标表示方法可得（2，﹣4）＝2（x﹣2，y），计算可得x、y的值，即可得答案；第二空：由P的坐标计算可得、的坐标，由向量数量积的计算公式可得•＝（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得t的取值范围，即可得答案．解：根据题意，设C的坐标为（x，y），又由点A（0，4），B（2，0），则＝（2，﹣4），＝（x﹣2，y），若，则有（2，﹣4）＝2（x﹣2，y），则有2＝2（x﹣2），﹣4＝2y，解可得x＝3，y＝﹣2，则C的坐标为（3，﹣2），又由P（3，t），则＝（﹣3，4﹣t），＝（﹣1，﹣t），若∠APB是钝角，则•＝（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得1＜t＜3，即t的取值范围为（1，3）；故答案为：（3，﹣2）；（1，3）18．已知a，b是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α；②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；④一定存在平面α，使直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．则所有正确结论的序号为②③．【分析】假设①④结论正确，推出矛盾结论判断①④错误，根据线面位置的性质关系判断②③．解：（1）假设①正确，则存在直线a′⊂平面α，使得a∥a′，又b⊥α，故b⊥a′，∴b⊥a，显然当异面直线a，b不垂直时，结论错误，故①错误；（2）设异面直线a，b的公垂线为m，平面α⊥m，且a，b均不在α内，则a，b均与平面α平行，故②正确；（3）在直线b上取点A，显然过点A有无数个平面均与直线a平行，故③正确；（4）假设④正确，则由a⊥α，b⊥α可得a∥b，显然这与a，b是异面直线矛盾，故④错误．故答案为：②③．三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．.19．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由已知可求f（）＝sin＝即可得解；（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式即可求解；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）由于函数f（x）＝sin（2x﹣），可得f（）＝sin（2×﹣）＝sin ＝；（Ⅱ）f（x）的最小正周期T＝＝π；（Ⅲ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的对称中心的坐标；（Ⅲ）求函数f（x）在的区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可（Ⅱ）根据三角函数的对称性进行求解（Ⅲ）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），则f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）由2x+＝kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心的坐标为（kπ﹣，0），k∈Z．（Ⅲ）当﹣≤x≤时，﹣≤2x+≤，则当2x+＝时，函数取得最大值，最大值为2sin＝2，当2x+＝﹣时，函数取得最小值，最小值为2sin（﹣）＝2×（﹣）＝﹣1．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）如果b＝3，求c的值；（Ⅲ）如果c＝2，求sin B的值．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数公式以及C为三角形的内角，可得出sin C的值；（Ⅱ）由余弦定理可得c；（Ⅲ）由正弦定理求出sin A，进而求出cos A，根据大边对大角确定cos A的符号，再根据三角形内角和为π，以及两角和与差的正弦公式得出答案．解：（Ⅰ）在△ABC中，cos C＝﹣，且sin2C+cos2C＝1，则sin C＝±，又sin C＞0，故sin C＝．（Ⅱ）∵a＝2，b＝3，∴cos C＝﹣＝＝，解得c2＝16，故c＝4．（Ⅲ）∵，∴，解得sin A＝，又c＞a，则cos A＝，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅲ）证明：BD⊥CE．【分析】（Ⅰ）推导出CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．（Ⅱ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅲ）推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥CE．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，∴CD∥AB，∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，∴O是AC中点，∵E是PA的中点．∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．（Ⅲ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥PA，∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面ACE，∵CE⊂平面ACE，∴BD⊥CE．23．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE ⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．【分析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．解：（Ⅰ）由底面ABCD为矩形，知AD⊥CD．………………（1分）又因为DE⊥AD，DE∩CD＝D，………………所以AD⊥平面CDE．………………又因为CE⊂平面CDE，所以AD⊥CE．………………（Ⅱ）由底面ABCD为矩形，知AB∥CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．………………同理AF∥平面CDE，又因为AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面CDE．………………又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．………………（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q（即BE的中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．…证明如下：取CE的中点P，BE的中点Q，连接AQ，DP，PQ，则PQ∥BC．由AD∥BC，得PQ∥AD．所以A，D，P，Q四点共面．………………由（Ⅰ），知AD⊥平面CDE，所以AD⊥DP，故BC⊥DP．在△CDE中，由DC＝DE，可得DP⊥CE．又因为BC∩CE＝C，所以DP⊥平面BCE．………………又因为DP⊂平面ADPQ所以平面ADPQ⊥平面BCE（即平面ADQ⊥平面BCE）．即线段BE上存在点Q（即BE中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．………24．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），设函数f（x）＝•（+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．（3）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．解：（1）函数f（x）＝•（+）＝（sin x，cos x）•（sin x+cos x，0）＝sin2x+sin x cos x＝+＝．所以函数的最小正周期为：π．（2）因为函数，由，即，所以函数的单调增区间为：．（3），，所以，，函数g（x）＝f（x）﹣k＝﹣k，，其中k∈R，当k＜0或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或0≤k＜1时，函数有一个零点；。
2019-2020学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴， ∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．2．函数sin 4y x =，x ∈R 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．πC ．2π D ．4π 【答案】C【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】解：函数sin 4y x =，x ∈R 的最小正周期为：242ππ=. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 3．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】C【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，可得结论. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，可得sin 26y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数图象变换，属于基础题. 4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 【答案】D【分析】通过线面平行的性质，线面垂直的性质，平行公理可以对四个命题进行判断，最后选出正确的答案.【详解】命题①: 平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题； 命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D. 【点睛】本题考查了平行线的性质、线面垂直的性质、面面垂直的性质，考查了空间想象能力和对有关定理的理解.5．已知向量,a b 满足2=a ，1=b ，2a b ⋅=，则向量,a b 的夹角为（ ） A ．34π B ．23π C ．4πD ．4π-【答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果. 【详解】设向量,a b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，由2=a ，1=b ，2a b ⋅=得：2cos 212a b a b θ⋅===⨯⨯，∴向量,a b 的夹角为4πθ=.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题.6．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知30B =︒，15c =，53b =，那么这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理求出sin C 的值，可得60C =︒或120︒，再根据三角形的内角和公式求出A 的值，由此即可判断三角形的形状.【详解】∵ABC 中，已知30B =︒，15c =，53b =，由正弦定理sin sin b c B C=，可得：53151sin 2C =， 解得：3sin 2C =，可得：60C =︒或120︒. 当60C =︒时，∵30B =︒， ∴90A =︒，ABC 是直角三角形. 当120C =︒时，∵30B =︒， ∴30A =︒，ABC 是等腰三角形. 故ABC 是直角三角形或等腰三角形， 故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCD D ．平面//EFGH 平面11A BCD 【答案】D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ， 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的； 选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ， 而直线1A B 与平面ABCD 相交， 故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ， 而EFEH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题. 8． 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P ，Q 分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则A=( )A ．3B ．32πC ．33π D ．1【答案】B【解析】由题意函数0f x Asinx A =（）（＞），周期2T π=，由图像可知322P A Q A ππ-（，），（，）． 连接PQ ， 过P Q ，作x 轴的垂线，可得：22222222234[()]()()222QP A OP A OQ A πππ=+=+=+，，，由题意，OPQ △ 是直角三角形，222222522QP OP OQ A ππ∴=++=，即， 解得：3A π= . 故选B二、填空题9．若角α的终边过点()1,2P ，则sin α=______.【分析】根据三角函数的定义可求出sin α的值.【详解】由三角函数的定义得sin α==.. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义求正弦值，考查计算能力，属于基础题. 10．设向量a ､b 的长度分别为4和3，夹角为60︒，则a b +=______.【分析】对要求的向量的模平方，得到2222a b a a b b +=+⋅+，然后再对求得的结果开方.【详解】∵a ､b 的长度分别为4和3，夹角为60︒， ∴222216243cos 60937+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=a b a a b b ∵()222237+=+=+⋅+=a b a ba ab b ，【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．函数()3sin f x x =的最大值为______. 【答案】3【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果. 【详解】解：当22x k ππ=+(k ∈Z )时，函数的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，难度较易.形如()sin f x A x =的函数，max ,min A A ==-.12．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2a =，3b =，4c =，则cos A =______.【答案】78【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.【详解】在ABC 中，22291647223c 48os b c a bc A +-+-===⨯⨯，故答案为：78. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.13．已知函数()2cos cos f x x x x =在区间[]0,m 上单调递增，则实数m 的最大值是______. 【答案】6π 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】解：()1cos 21sin 2sin 22262x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 当0x m ≤≤时，266x m ππ≤≤+，∵()f x 在区间[]0,m 上单调递增， ∴262m ππ+≤，得6m π≤，即m 的最大值为6π. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题. 14．已知a ，b 是异面直线.给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b ⊥平面α，直线//a 平面α； ②一定存在平面α，使直线//b 平面α，直线//a 平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b 与平面α交于一个定点，且直线//a 平面α； ④一定存在平面α，使直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α. 则所有正确结论的序号为______. 【答案】②③【分析】①④用反证法判断，②③.利用线面位置的性质关系判断. 【详解】假设①正确，则存在直线a '⊂平面α，使得a a '，又b α⊥，故b a '⊥， ∴b a ⊥，显然当异面直线a ，b 不垂直时，结论错误，故①错误；设异面直线a ，b 的公垂线为m ，平面m α⊥，且a ，b 均不在α内， 则a ，b 均与平面α平行，故②正确；在直线b 上取点A ，显然过点A 有无数个平面均与直线a 平行，故③正确； 假设④正确，则由a α⊥，b α⊥可得a b ∥，显然这与a ，b 是异面直线矛盾，故④错误.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查与异面直线的有关的线面关系问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.三、双空题15．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34725【分析】由α是第一象限角，3sin 5α=，利用平方关系求得cos α，进而可求tan α，根据二倍角的余弦函数公式即可求得cos2α的值. 【详解】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16．设向量0,2a ，3,1b，则a b ⋅=______；向量a ，b 的夹角等于______.【答案】23π【分析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论. 【详解】解：因为向量0,2a ，3,1b，故2a =，()32b ==，故03212a b ⋅=⨯⨯=， 向量a ，b 的夹角θ满足21cos 222a b a bθ⋅===⨯⋅； 因为[]0,3πθπθ∈⇒=，故向量a ，b 的夹角等于3π. 故答案为：2，3π. 【点睛】本题考查数量积的计算和夹角的计算公式，属于基础题.17．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，60B =︒，45A =︒，则b =______，ABC 的面积是______.32+ 【分析】由已知利用正弦定理可求b 的值，根据三角形内角和定理可求C 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】因为2a =，60B =︒，45A =︒， 由正弦定理sin sin ab A B=，得：2sin sin a Bb A⨯⋅===， 又18075CA B =︒--=︒， 所以ABC 的面积11sin 2sin7522△==⨯︒ABC S ab C ，()4530=︒+︒12⎫==⎪⎪⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18． 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果2A B B C =，那么点C 的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB 是钝角，则t 的取值范围是___________________． 【答案】(3,-2) (1,3)【解析】根据题意，设C 的坐标为x y （，）， 又由点0420A B （，），（，）， 则 242AB BC x y =-=-（，），（，）， 若2AB BC =，则有2422x y -=-（，）（，）， 则有22242x y =--=（），，解可得32x y ==-，，则C 的坐标为32-（，），又由3P t （，），则 341PA t PB t （，），（，），=--=-- 若APB ∠是钝角，则 3140PA PB t t ⋅=-⨯-+-⨯-（）（）（）（）＜， 且314t t -⨯-≠-⨯-（）（）（）（）， 解可得13t ＜＜，即t 的取值范围为13（，）；即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．四、解答题19．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期； （3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1（2）最小正周期π；（3）单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【分析】（1）由已知可求sin 332f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭（2）利用正弦函数的周期公式即可求解； （3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）由于函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sin 2sin 3333f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()f x 的最小正周期22T ππ==； （3）令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，k ∈Z ，可得函数()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【点睛】本题考查了正弦定理的周期性与单调性，属于基础题.20．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的对称中心的坐标；（3）求函数()f x 在的区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期π；（2）对称中心的坐标为1,0212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ；（3）最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可 （2）根据三角函数的对称性进行求解（3）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可.【详解】解：（1）()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 则()f x 的最小正周期22T ππ==， （2）由26x k ππ+=，k ∈Z ，得1212ππ=-x k ，k ∈Z ， 即()f x 的对称中心的坐标为1,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z . （3）当64x ππ-≤≤时，22663x πππ-≤+≤， 则当262x ππ+=时，函数取得最大值，最大值为2sin22π=，当ππ266x时，函数取得最小值，最小值为12sin 2162π⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合运用，其中涉及辅助角公式、周期、三角函数对称中心，主要考查学生的化简计算能力，难度一般. 21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-. （1）求sin C 的值； （2）如果3b =，求c 的值；（3）如果c =sin B 的值.【答案】（1；（2）4；（3【分析】（1）由同角三角函数公式以及C 为三角形的内角，可得出sin C 的值； （2）由余弦定理可得c ；（3）由正弦定理求出sin A ，进而求出cos A ，根据大边对大角确定cos A 的符号，再根据三角形内角和为π，以及两角和与差的正弦公式得出答案. 【详解】解：（1）在ABC 中，1cos 4C =-，且22sin cos 1C C +=，则sin 4C =±，又sin 0C >，故sin C =（2）2a =，3b =，1cos 4C =-，22212cos 49223164c a b ab C ⎛⎫∴=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭故4c =. （3）sin sin a cA C=，∴2sin 4A =，解得sin A =，又c a >，则cos A =，()1sin sin sin cos sin cos 4B A C A C C A ⎛⎫=+=+=-=⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的应用，属于基础题.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点.（1）求证：//CD 平面PAB ； （2）求证：//PC 平面BDE ； （3）证明：BD CE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据底面是正方形，得到CDAB ，再利用线面平行判定定理证明.（2）连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，由中位线定理得到OE PC ∥，再利用线面平行判定定理证明.（3）根据底面是正方形，得到BD AC ⊥，由侧棱PA ⊥底面ABCD ，得到BD PA ⊥，从而BD ⊥平面ACE ，由此能证明BD CE ⊥. 【详解】（1）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形， ∴CDAB ，∵CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴CD ∥平面PAB . （2）如图所示：连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ， ∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形， ∴O 是AC 中点，∵E 是PA 的中点.∴OE PC ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC平面BDE .（3）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ， ∴BD AC ⊥，BD PA ⊥， ∵AC PA A ⋂=， ∴BD ⊥平面ACE ， ∵CE ⊂平面ACE ， ∴BD CE ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.23．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.（Ⅰ）求证：AD CE ⊥； （Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析【分析】（I ）由AD⊥DE，AD⊥CD 可得AD⊥平面CDE ，故而AD⊥CE； （II ）证明平面ABF∥平面CDE ，故而BF∥平面CDE ；（III ）取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，证明CE⊥平面ADPQ 即可得出平面ADQ⊥平面BCE ． 【详解】（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥. 又因为DE AD ⊥，DE CD D ⋂=， 所以AD ⊥平面CDE . 又因为CE ⊂平面CDE ， 所以AD CE ⊥.（Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ， 又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE . 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A ⋂=， 所以平面//ABF 平面CDE . 又因为BF ⊂平面ABF ， 所以//BF 平面CDE .（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . 证明如下：取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC . 由//AD BC ，得//PQ AD . 所以,,,A D P Q 四点共面. 由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ， 所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥. 又因为BC CE C ⋂=， 所以DP ⊥平面BCE . 又因为DP ⊂平面ADPQ所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）. 即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解题的关键，属于中档题．24．已知向量()sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =-，设函数()()f x a a b =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间； （3）若函数()()g x f x k =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中k ∈R ，试讨论函数()g x 的零点个数.【答案】（1）最小正周期为π；（2）函数的单调增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；（3）答案见解析.【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期. （2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可. （3）求出函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数.【详解】（1）函数()()()()sin ,cos sin cos ,0f x a a b x x x x =⋅+=⋅+， 2sin sin cos x x x =+.，1cos 21sin 222x x -=+，1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 所以函数的最小正周期为：π.（2）因为函数12242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由222242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ， 解得388k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 所以函数的单调增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).（3）21sin 2242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 2121sin 20,2422y x π⎡⎤+⎛⎫=-+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，令()()21sin 20242g x f x k x k π⎛⎫=-=-+-= ⎪⎝⎭， 得21sin 2242k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 则函数()g x 的零点个数等价于y k =与()21sin 2242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的交点个数， 在同一坐标系中，作出两函数的图象，如图所示：由图象可知： 当k 0<或212k >时，零点为0个； 当211,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时函数有两个零点，当12k =01k ≤<时，函数有一个零点； 【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.。
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块质量试题及答案答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P解析： 原命题的逆否命题是“若b ∈P ，则a ∉P ”． 答案： D2．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“ab ＋cb ＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 甲⇒/乙，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1； 乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件． 答案： A3．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析： f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. 答案： C4．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析： 双曲线x 24－y 212＝－1，即x 212－y 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案： D 5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析： 由已知定义域为{x|x ≠0}， y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0得x ＞12，故选C.答案： C6．若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析： 本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．答案： D7．函数f(x)＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163C.43D ．163解析： f ′(x)＝2x －x 2，令f ′(x)＝0，解得x ＝0或2. 又∵f(0)＝0，f(2)＝43，f(4)＝－163，∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为43.答案： C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B ．52C.32D ．54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．已知f(2)＝－2，f ′(2)＝g(2)＝1，g ′(2)＝2，则函数 g (x )f (x )(f(x)≠0)在x ＝2处的导数为( )A ．－54B ．54C ．－5D ．5解析： 令h(x)＝g (x )f (x )，则h ′(x)＝g ′(x )f (x )－f ′(x )g (x )f 2(x )，∴h ′(2)＝－54.故选A.答案： A10．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假， ∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假， 即|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3C.233或2D ．233或62解析： 设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx. 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当ba ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2.当ab ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233.答案： C12．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．解析： y ′＝x 2，则曲线在x ＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.答案： 45°14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12， 双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1 15．函数f(x)＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．解析： ∵f ′(x)＝1－2sin x ，令f ′(x)＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案： －π216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则AB ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． 解析： p ：0＜2m ＜1－m ⇒0＜m ＜13，q ：1＜5＋m5＜2⇒0＜m ＜15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥130＜m ＜15⇒13≤m ＜15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜13m ≤0或m ≥15m ∈∅.综上可知13≤m ＜15.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)已知函数f(x)＝2ax 3＋bx 2－6x 在x ＝±1处取得极值． (1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x ＝－2处的切线方程． 解析： (1)f ′(x)＝6ax 2＋2bx －6， 因为f(x)在x ＝±1处取得极值，所以x ＝±1是方程3ax 2＋bx －3＝0的两个实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－b3a ＝0，－33a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f(x)＝2x 3－6x ，f ′(x)＝6x 2－6.令f ′(x)＞0，得x ＞1或x ＜－1； 令f ′(x)＜0，得－1＜x ＜1.所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．(2)由(1)得f(－2)＝－4，f ′(－2)＝18，即f(x)在x ＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y －(－4)＝18[x －(－2)]， 即18x －y ＋32＝0. 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)， 于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。
北京师范大学2019年高一数学下期末考试试题
北京师范大学2019年高一数学下期末考试试题各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢北京师范大学xxxx年高一数学下册期末考试试题[编辑推荐]高中如何复习一直都是考生们关注的话题，下面是中国（）的编辑为大家准备的北京师范大学xxxx年高一数学下册期末考试试题一、选择题1.A、B、c、-D、-2.已知等于A、B、c、D、—3.已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是A、B、3或c、D、或4.函数上的零点个数为A、1个B、2个c、3个D、4个5.如果,则的概率为A、B、c、D、6.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是A、B、c、D、7.将直线绕点沿逆时针方向旋转得到直线，则直线与圆的位置关系是A、相交B、相切c、相离D、相交或相切8.方程在上有两个不等的实数根，则A、B、c、或D、与a的取值有关9.为得到函数的图象，只需将函数的图象A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位c、向左平移个长度单位D、向右平移个长度单10.若，且，则下面结论正确的是A、B、c、D、11.已知函数，则f的值域是A、B、c、D、12.当时，下面四个函数中最大的是A、B、c、D、第Ⅱ卷二、填空题13.14.函数的值域是15.若，则16.已知动点p,满足,,则动点p所表示的曲线长度为三、解答题17.在直角坐标系中，角的顶点为坐标原点,始边在轴的正半轴上，当角的终边为射线：=3时,求的值;的值.18.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题：求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;已知甲的考试成绩为45分，若从成绩在[40,60)的学生中随机抽取2人,求抽到学生甲的的概率.19.求函数的定义域若，求的值。
2019-2020学年___高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年___高一下学期期末数学试卷 (解析版)2019-2020学年___高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）1.若复数z1对应复平面内的点（2，-3），且z1·z2=1+i，则复数z2的虚部为（）A。
-1.B。
1.C。
-2.D。
22.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A。
若m∥α，m∥β，则α∥βB。
___⊥α，___，则n⊥αC。
___⊥α，___，则n⊥αD。
若α⊥β，m⊥α，则___β3.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,-4)，且a⊥b，a∥c，则|a+b|+|a-c|=（）A。
2√10.B。
4√2.C。
4√5.D。
104.某社区组织“研究强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。
现采用分层抽样的方法，从第3，4组中按分层抽样抽取8人，3，4组抽取的人数依次为（）A。
1，3，4.B。
2，3，3.C。
2，2，4.D。
1，1，65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在___校园中就有一座___的雕像。
雕像由像体AD和底座CD两部分组成。
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）。
A。
4.0米。
B。
4.2米。
C。
4.3米。
D。
4.4米6.如图，△ABC中，D是边BC上一点，AD=3，则（）A。
△ABC和△ADB的面积比为2:1B。
2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案：B2．向量(,)a m n =，向量(1,2)b =，(1,1)c =，若向量()a c b +∥，且a c ⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19答案：B∵(1,1)a c m n +=++且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1||3a ⎛⎫=-= ⎪3．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．答案：D∵外接球体积为36π，设半径为R ， 则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a 26R ==，即a =．4．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．5．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+B ．0)y x => C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B ，2y ，，即0x=时取等号，但0x>，故错误；选项C，∵π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin(0,1)x∈，∴1sin2siny xx=+≥，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，但sin(0,1)x∈，取不到1，故错误；选项D，177727x x xxy-=+=+≥，当且仅当177xx=即0x=时取等号，故正确．故选：D．6．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，则cos C=（）．A．725B．725-C．725±D．2425【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，所以8sin5sin5sin210sin cosB C B B B===，所以4cos5B=，B为三角形内角，所以π0,4B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C<．所以3sin5B=．所以4324sin sin225525C B==⨯⨯=，7cos25C==．故选：A．7．如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A.b a a a +-)sin(sin sin ββB ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为b a a a +-)sin(sin sin ββ，故选：A ．8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（）A 120︒B 90︒C 60︒D 30︒答案：B9．在△ABC 中，若sin sin a A b B =，则△ABC 的形状一定是（）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形答案：B10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.的值是 ．2.化简 .3.函数的定义域是 ．4.函数的最小正周期是 .5.若，则点位于第 象限.6.函数取最大值时的值是 .7.若函数的零点则_________.8.函数的递增区间是 .9.为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个___长度单位.10.若，且，则向量与的夹角为 ．11.已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为 ．12.设若函数在上单调递增，则的取值范围是________.13.如图，在△中，则________.14.在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.（1）求点坐标；（2）求的值.C16.平面内给定三个向量．（1）若，求实数k；（2）若向量满足，且，求向量．17．已知函数（为常数），．（1）若在上是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求的最小值．18.已知的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14，且，点是边上一点,且. （1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.（2）求函数的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当时，函数的图像与轴有交点，求实数的取值范围．20.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.二、解答题。
2019-2020学年北京市一零一中学高一下学期期末数学试题解析版
2019-2020学年北京市一零一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．设向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则2a b +=（ ）A ．B ．CD ．12【答案】B【解析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可. 【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒， 则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 则223a b +=. 故选：B . 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．下列函数中，周期为1的奇函数是 ( ) A ．y=1-2sin 2πxB ．y=sin π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭C ．y=tanπ2x D ．y=sinπxcosπx【答案】D【解析】对A ，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B 直接判断奇偶性即可；对C ，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D ，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可. 【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos ()2πx 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tan π2x 是奇函数，周期为2，不合题意； y=sinπxcosπx=12sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cos y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()sin y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()tan y A x ωϕ=+可求得函数的周期为πω. 3．要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B ．先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D ．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C4．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A.5．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C【解析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断． 【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ， 1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题6．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=______. 【答案】45【解析】由三角函数的定义可直接求得sin α. 【详解】解：∵角α的终边经过点()3,4P -， ∴4sin 5α==.故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 7．函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 【考点】三角函数的周期8．已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=______. 【答案】0【解析】首先求出AB ､AC 的坐标，而后可求0AB AC ⋅=. 【详解】解：()1,1AB =，()3,3AC =-，()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=.故答案为：0. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.9．在△ABC 中,若2,30,a b A ===︒则角B 等于______ . 【答案】060或0120【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 22b A B a === ∵b a >∴60B =︒或120︒ 故答案为060或012010．设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要【解析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论..【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥ 所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要. 【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 11．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是60，E 为1CC 的中点，则三棱锥C EBD -的体积是________.【答案】5【解析】由长方体1111ABCD A B C D -的体积为60,即160V BC DC CC =⋅⋅=,而三棱锥C EBD -的体积为1111322C EBD V BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯ ⎪⎝⎭,代入求解即可【详解】由题,长方体1111ABCD A B C D -的体积为160V BC DC CC =⋅⋅=, 所以11111116053221212C EBD V BC DC CC BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为：5 【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题12．在ABC 中，60A =︒，1b =3，则sin sin sin a b cA B C________．239【解析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯,解得4c=，由余弦定理可得：2212cos116214132a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，所以13239sin sin sin sin332a b c aA B C A,故答案为：2393【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.13．已知三棱柱111ABC A B C-的6个顶点都在球O的球面上，若3cmAB=，4cmAC=，AB AC⊥，112cmAA=，则球O的表面积为______2cm.【答案】169π【解析】由于直三棱柱111ABC A B C-的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱111ABC A B C-，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：169π. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若2AB AF ⋅=，则AF BF ⋅的值是______.2【解析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果. 【详解】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)221122222=-+⨯=-=2. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.15．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】222+【解析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++ 22224sin πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为222+故答案为222+ 【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.三、解答题16．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；（2）最大值为2，最小值为1-. 【解析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值. 【详解】（1）函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令262x k πππ-=+(k Z ∈)，解得23k x ππ=+(k Z ∈)，所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). （2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则：()12f x -≤≤故当0x =时，函数的最小值为1-. 当3x π=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c =105A =︒，30C =︒（1）求b 的值 （2）ABC 的面积. 【答案】（1）2；（2. 【解析】（1）由A 与C 度数求出B 的度数，再由c 及C 的度数，利用正弦定理求出b 的值即可；（2）由b ，c 及sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒，又c =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2c Bb C===；（2）∵2b =，c =()61sin sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 454A +=︒=︒+︒=︒︒+︒︒=， ∴116113sin 2222ABC S bc A ++==⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.（1）求证：//AC 平面1B DE ；（2）求证：//AF 平面1B DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DE AC ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC 平面1B DE .（2）由已知可证1B ECF 是平行四边形，进而证明1//FC B E ，利用线面平行的判定证明//FC 平面1B DE ，根据面面平行的判定证明平面//ACF 平面1B DE ，根据面面平行的性质即可可证//AF 平面1B DE .【详解】（1）在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点.所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，所以//AC 平面1B DE .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点，所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形，所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ，所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=，所以平面//ACF 平面1B DE ，所以//AF 平面1B DE .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.19．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值.【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a c C b b+=， ∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =. 结合()0,A π∈，可得3A π=. （2）由正弦定理得sinsin B a B A b ==，c C =， ∴周长)()11sin sin 1sin sina b c B C B A B =++=+=++⎡⎤⎣⎦3112sin cos 12sin 26B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵3A π=，∴20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC 的周长l 的最大值为3. 【点睛】 本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题. 20．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ； （3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾.试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC ==所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =，这显然与1EO =，5EC =所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．。
【精品卷】2019—2020年最新北师大版高一数学第二学期期中考试模拟试题及答案答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四高一年级期中考试数学试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α 2．－630°化为弧度为( )A ．－7π2 B.7π4 C ．－7π16 D ．－7π43．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x ＝( )A ．9B ．6C ．5D ．35．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（ ）A ．2ADB ．2DAC ．2BDD ．2DB6．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π4，π7．函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像是( )8．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B.2 C ．2 D ．410．已知向量||3=a ，||23=b , 3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒11．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关 12．要得到y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移23π个单位D ．向右平移23π个单位二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）13．锐角α的终边交单位圆于点P (12，m )，则sin α＝________．14．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－11π3＝________. 15． 已知向量(1,3)=a ，向量(2,1)=-b ，向量(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 16．在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝2，且AB ·AC ＝2，则这个三角形的形状为____________．三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 17、（本题满分12分）已知角α的终边过点P (1，3)．(1) 求sin(π－α)－sin(π2＋α)的值；(2) 写出满足2cos x －tan α>0的角x 的集合S .18、（本题满分10分）计算3sin (－1200°)tan 113π－cos 585°·tan(－374π)19、（本题满分12分）已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，（x ∈R ）(1) 求f (x )的最大值M 、最小值N 和最小正周期T ； (2) 由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到y ＝f (x )的图像； (3) 写出函数图像的对称轴方程和对称中心坐标．20、（本题满分12分）已知向量a ＝(1,1)，向量b ＝(1,0)，向量c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，求向量c的坐标．21、（本题满分12分）已知向量a＝(1,0)，向量b＝(2,1)．(1) 求|a＋3b|；(2) 当k为何实数时，k a－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？22、（本题满分12分）如右图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.高一年级期中考试数学试题参考答案二、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 123456789101112答案CADBABADCBBC二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分）13、3214、3 15、3216、等边三角形三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)17、（满分12分）解：(1)∵角α的终边过点P (1，3)，可设x ＝1，y ＝3，则r ＝2，∴sin α＝32，cos α＝12.∴sin(π－α)－sin(π2＋α)＝sin α－cos α＝3－12. …………6分(2) 由2cos x －tan α>0及tan α＝3，得cos x >32，由y ＝cos x 的图像可得x 的集合为：S ＝{x |－π6＋2k π<x <π6＋2k π，k ∈Z}．…………12分18．（满分10分）解：原式＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4 ＝3·323＋(－22)×1＝32－22. …………10分19、（满分12分）解： (1) 由已知可得M ＝1，N ＝－1，T ＝2π2＝π. …………2分(2) 变换步骤是：① 把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π3)的图像；② 把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像． …………6分(3) 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，即对称轴方程是x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)，即对称中心是(k π2－π6，0)(k ∈Z)． (12)分20、（满分12分）解：设c ＝(x ，y )．由a ·c ＝0，得x ＋y ＝0.…… ①再由|a |＝|c |，得x 2＋y 2＝2. ………… ② …………4分由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.…………8分又∵b ·c >0，∴x >0， ∴c ＝(1，－1)． …………12分 21、（满分12分）解：(1) ∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72＋32＝58. ……4分(2) ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．∵(ka －b )∥(a ＋3b )，∴7×(－1)＝(k －2)×3. 解得k ＝－13， …………8分∵ka －b ＝－13(a ＋3b )，∴两向量反向． …………12分22、（满分12分）证明：如右图，以C 为坐标原点，以CA 、CB 所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系，设A (a,0)，∵AC ＝BC ， ∴B (0，a )． ……4分∵D 为BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.∴AB ＝(0，a )－(a,0)＝(－a ，a )． ……6分23CE CA AE CA AB =+=+＝(a,0)＋23(－a ，a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a .AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2. …………10分∴AD CE ⋅＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－a 23＋a 23＝0.∴AD ⊥CE . ………… 12分。
北京市名校2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题含解析
北京市名校2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设二次函数()22f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0，2]【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数'()2(1)f x a x =-，题意说明'()0f x ≤在[0,1]上恒成立（不恒等于0），从而得0a >，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解. 【详解】二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，则0a ≠，()()'210f x a x <＝－，所以0a >，即函数图象的开口向上，对称轴是直线1x ＝．所以f(0)＝f （2），则当()()0f m f ≤时，有02m ≤≤． 【点睛】实际上对二次函数2()f x ax bx c =++，当0a >时，函数在(,]2b a -∞-递减，在[,)2ba-+∞上递增，当0a <时，函数在(,]2b a -∞-递增，在[,)2ba-+∞上递减. 2．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60 B ．75C ．90D ．105【答案】B 【解析】 【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 3．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8C ．15D ．31【答案】C 【解析】试题分析：，，，故选C.考点：数列的递推公式 4．已知三棱锥，侧棱两两垂直，且，则以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱锥三条侧棱的关系，得到球与三棱锥的重叠部分为球的，然后利用球体的体积公式进行计算。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学第二学期期末测试高一年级数学（必修4）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．已知角α的终边经过点（3，-4），则sin α+cos α的值为 A.-51 B. 51 C. ±51 D. ±51或±572．已知AB =（5，-3），C （-1，3），CD =2AB ，则点D 的坐标为 A.（11，9） B.（4，0） C.（9，3） D.（9，-3） 3．已知2tan ,αα则为第三象限角的值A ．一定为正数B ．一定为负数C ．可能为正数，也可能为负数D ．不存在4．若向量()1,1a =，()1,1b =-，()1,2c =-，则c =A ．1322a b -+ B ．1322a b - C ．3122a b - D.3122a b -+5．设向量)21,(cos α=→a 的模为22，则c os2α= A.41- B.21- C.21 D.236．在sin sin cos cos ,ABC A B A B ∆⋅<⋅中，则这个三角形的形状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7.已知αβ和都是锐角，且sin α＝513，cos()αβ+＝－45，则sin β的值为 A.3365 B.1665 C.5665 D.63658.在△ABC 中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于A ．－49B ．－43 C.43 D.499.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A.cos 2y x =B.)42sin(1π++=x yC. 22cos y x =D.22sin y x =10. 设,a b 为向量, 且||||||=a a b b ·，那么A. ⊥a bB. ,a b 同向C. ,a b 反向D. ,a b 平行二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填写在答题纸相应的题号后的横线上） 11.函数2cos 1y x =+的定义域是12.向量 a ,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,︱a +b ︱=5,则︱a -b ︱= 13．已知2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则a b +在a 上的投影为 14．下面有三个命题： （1）函数y=sin(32x ＋2π)是偶函数； （2）函数f (x )=|2cos 2x -1|的最小正周期是π； （3）函数f (x )=sin(x +4π)在]2,2[ππ-上是增函数； 其中正确命题的序号是_____________________三、解答题：（本大题共5小题，共44分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）已知tan 2x =,求)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222x x x x x x ---+++--+πππππ的值16．（本题8分）若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．17．（本题8分）已知函数()sin()(0,0)2f x A x x πωϕωϕ∈><<R ＝＋，的部分图像如图所示．(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝－的单调递增区间．18. （本题10分）已知向量sin cos m A A =（，），(3,1)n =-，m n ⋅＝1，且A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.19. （本题10分）设12,e e 是两个不共线的非零向量.（1）若12AB e e =+，1228BC e e =+，123()CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试求实数k 的值，使向量12ke e +和12e ke +共线.四、附加题20. （本题5分）若函数()sin (0)f x x ωω＝＞在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω＝__________21. （本题5分）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内有最小值，无最大值，则ω＝__________ 22. （本题10分）已知函数2()2sin ()3cos 21,4f x x x x R π=+--∈.（1）函数()()h x f x t =+的图象关于点(,0)6π-对称，且(0,)t π∈，求t 的值；（2）[,],()342x f x m ππ∈-<恒有成立，求实数m 的取值范围.数学（必修4）参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBBBBCACD二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11. 222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 5 13．3 14．(1) 三、解答题：（本大题共5小题，共44分） 15．（本题8分） 解：xxx x x x x x x x x x sin cos )1sin 2(sin )1sin 2(cos cos sin sin 1cos cos sin 222=++=-+++ ……… 6分 由sin tan 2cos x x x== 得：原式=12 ……………………………………8分16．（本题8分）解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，……… 2分cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，………4分∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－31010－55×1010＝22 … 6分 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π 故 A ＋B ＝7π4.……… 8分17．（本题8分）解 (1)由题设图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图像上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.………4分(2)g (x )＝2sin －2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以g (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．……… 8分18. （本题10分）解（1）由题意得m ·3sin cos 1,m n A A =-=12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得,.663A A πππ-==………4分 （2）由（1）知1cos ,2A =所以213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+x 2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+………6分因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f （x ）有最大值32.当sin x =－1时，f （x ）有最小值－3，所以所求函数f （x ）的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(,0),26k t k Z ππ+-∈………10分 19. （本题10分）(1)提示：BD =BC +CD =5(e 1+e 2) ………5分 (2)k =±1. ………5分 四、附加题20. （本题5分）32 21. （本题5分）14322. （本题10分） 解：（1）∵ 2()2sin ()3cos 211cos(2)3cos 2142f x x x x x ππ=+--=-+--∴ ()()2sin(22)3h x f x t x t π=+=+-，∴()h x 的图象的对称中心为 ………………………………… 3分又已知点(,0)6π-为()h x 的图象的一个对称中心，∴()23k t k Z ππ=+∈ 而(0,)t π∈，∴3t π=或56π. ………………………………………………5分 （2）若[,]42x ππ∈时，22[,]363x πππ-∈， ………………………7分()[1,2]f x ∈，由()33()3f x m m f x m -<⇒-<<+ ………………………………8分∴3132m m -<⎧⎨+>⎩，解得14m -<<， 11分即m 的取值范围是(1,4)-.…………… 10分。