2019-2020年高二数学上 8.3《平面向量的分解定理》教案(沪教版)
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理---数形结合思想解题之体验 教案
平面向量分解定理应用--------数形结合思想解题之体验教学目标：1、复习向量的和、平面向量的分解定理体会数形结合数学思想的价值。
2、再认识轨迹问题、求轨迹方程的过程，掌握数与形的紧密联系。
3、通过例题的讲解，感知在求最值问题时巧妙运用数形结合的好处。
4、尝试勇敢和有信心去面对人生的一次挑战。
教学重点：尝试数与形的结合分析高考模拟试题，增强自信心。
教学难点：平面向量分解定理、轨迹方程的求得，逻辑归纳 教学过程：一、引入上海市某区2019年二模数学试卷有这样一题：已知点C 是平面ABD 上一点，1,33,BAD CB CD π∠===，若AP AB AD =+，求AP的最大值？对于我校这样的学生来说，几乎没人能做，而且绝大多数学生无从下手，所以对此问题作如下处理。
二、新课：1、（旧题新说 ）一类轨迹问题及其处理方法（1）在,RT ABC ∆2,90AB C ︒=∠=，顶点C 的轨迹方程是什么？请叙述你的解决方案，并说明注意事项。
（勾股定理、斜率关系、向量的数量积等）（2）在,RT ABC ∆ 2,60AB C ︒=∠=，顶点C 的轨迹方程是什么？请叙述你的解决方案，并说明注意事项。
（勾股定理、斜率关系、向量的数量积等）（3）若将条件改为4,AB =那么轨迹将会有何变化？（半径变大、圆心位置改动）（4）探究一：轨迹上哪一点到线段AB 的距离最大？（轨迹的最高点或最低点）探究二：轨迹上哪一点到线段AB 的中点距离最大？探究三：轨迹上哪一点到线段AB 的三等分点的距离最大？并用数形结合加以说明。
2、向量之平面向量分解定理（1）若AP AB AD =+，那么P 点在何处？（2）若1122AP AB AD =+，那么P 点在何处？为什么？ （3）若1233AP AB AD =+，那么P 点在何处？为什么？（4）若AP AB AD λμ=+，1λμ+=，那么P 点在何处？为什么？可否归纳的一般性的结论？三、言归正传：处理原题已知点C 是平面ABD 上一点，1,33,BAD CB CD ∠===，AP AB AD =+，求AP 的最大值？ 分析：1、1,3CB CD ==在此题的价值是什么？求AP 的最大值，为何要在BD 最大的时候去研究？ 2、你可否作一个简易图，再根据预置条件加以分析。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 精选课件
量 a 与 e1、e2 的关系
e1
a
e2
M
C
a 1 e1
e1
O
2 e2
Ne2
a 1 e1 2 e2
如果给定平面上两个不平行的向量，那么平面上 任意一个向量是否都可以唯一地表示为这两个向量的 线性组合呢？
假设有两种方法：
a 1 e1 2 e2 1 e1 2 e2
已知向量的线性组合用待定系数法。
例4. 设正六边形ABCDEF中, AE a, BC b，用a、b 表示下列向量
Bb C
(1) CD a b
Aa
F
D (2) AB 2b a (3) CE 2a 3b
E
例5.如图：OA, OB, 是同一平面内的两个不平行向量 （1）M为AB的中点，试用OA，OB表示OM； （2）M1，M 2为AB的三等分点，试用OA，OB表示OM1；OM 2 （3）M1, M 2 , M 3为AB的四等分点，试用OA，OB表示OM1，OM 2，OM3
8.3 平面向量的分解定理
回顾：
(1)若 a, b 0，则 a// b a b
y
(2) a xi y j
a (x, y)
O
x
向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的
向量 i、j 唯一的线性组合。
引入
a b
F
O
A
C
a ab
O
b
B
力的合成
C
力的分解
平行四边形法则
问题的提出
如果 e1、e2 是同一平面内两个不平行的非零向
性质：如图所示，已知a OA, b OB, c OC
若c a b(, R),则ABC三点共线的 充要条件是 1
高中数学高二第一学期8.3平面向量的分解定理_教案1-沪教版
平面向量的分解定理【教学目标】1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
【教学重难点】平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。
【教学过程】一、设置情景，引入课题（1）观察。
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住。
CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2。
B思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量。
（2）复习正交分解，并抽象为数学模型。
e 1a=入1e 1 +入2e 2.1j POP xi y j =+。
二、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量21,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,e e 表示向量a ？数学实验1： 实验设计：（1）实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？（2）实验步骤：A ．以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和；B ．每个同学先独立作图；C ．小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同。
并得出结论。
（3）实验报告：（由学生发言）可以分解，且分解的长度和方向唯一的。
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？生：21,e e 是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O 。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 教案
8.3平面向量的分解定理【教学目标】1．掌握平面向量的分解定理及其应用；掌握基的概念；理解并会应用平面向量的三点共线条件；2. 理解平面向量的分解定理的证明；3.经历平面向量分解定理的探究过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想.【教学重点】平面向量分解定理的理解与应用，用给定基向量表示其它向量.【教学难点】平面向量分解定理的理解、基向量的选择.【教学过程】一、情境引入前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？情境1：静止在斜面的物体所受的重力G可以分解为______________________和_________________.情境2：光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上，其重力G可以分解为________________________和_______________________.思考：从这两个情境中我们看出了什么？22二、新知探索问题1：如果向量12,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量12,e e 表示向量a ？动手试试给定平面内的两个不平行向量12,e e ，对于给定的非零向量a 是否能分解成12,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？问题2：既然可以分解，并且是唯一的，能否把a 和12,e e 的关系用数学式子表示出来？问题3：对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a 是否也可以得到同样的结论呢？2平面向量分解定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+.我们把不平行的向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.三、典型应用例1：已知向量12,e e 是平面内所有向量的一组基向量，且1212,32a e e b e e =+=-，1223c e e =+.若c a b λμ=+（其中,R λμ∈），求,λμ的值.例2：如图，已知,OA OB 是不平行的两个向量，k 是实数，且()AP k AB k R =∈，用,OA OB 表示OP .22拓展（平面向量的三点共线条件）：已知A B C 、、是平面上不同三点，O 是平面上任意一点，求证：A B C 、、三点共线的充要条件是：存在,,1R λμλμ∈+=，使得OC OA OB λμ=+.练习：1.已知ABC ∆中，N 是AC 上一点，3CN NA = ，点P 在BN 上，311AP AB mAC =+，求实数m 的值.22.已知ABC ∆中，CP mCA =，CQ nCB =，直线PQ 过ABC ∆的重心G ，求11m n+的值.四、课堂小结五、作业布置《导学先锋》相关练习.2。
平面向量的分解定理及坐标运算-沪教版教案
5、若a,b 是两个非零向量，ab x 1x 2 y ,y 2 0u uu1、 平面向量的分解定理：如果0,3是一个平面内的两个不共线向量，那么对这rr uruu一平面内的向量a ，有且只有一对实数!, 2使：a =汨 2e 2 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单 位向量叫做基本单位向量，分别记为r, r ，如图，称以原点o 为起点的向量为位uuu置向量，如下图左，0A 即为一个位置向量.urn r r对于任一位置向量0A ，我们均能能用基本单位向量i,j 来表示。
2. 向量的坐标表示r对于平面直角坐标系内的任意一个向量 a ，我们都能将它正交分解为基本单 位向量r ，r 的线性组合。
如下图左.r urn r r a =OA =xi yj像这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
3. 向量的坐标表示的运算个实数，a (x 1,y 1),ba =(x,y )显然，依上面的表示法，我们有:i (1,0),j (0,1),0 (0,0).于是有: (X 1,yJ (X 2,y 2)X 2,y 1 y 2X 1, y(X,%)nuuPQ (X Q X P 』Q y p )a?b x 1x 2 y 1y 2uui u PQX Q X p )2 (Y Q y p )24、若a,b 是两个非零向量，且（X 1,yJ,b （X 2, y 2），则a//b 的充要条件是X°2 X 2%.6、定比分点坐标公式中点坐标公式典例精析rrr例1.如图，写出向量a,b,c的坐标.解析：例 2. 如下图左，设P x1,y1 、Q x2,y2 是平面直角坐标系内的任意两点，uuur如何用P、Q的坐标来表示向量PQ ?解析：例3.如图，平面上A B、C三点的坐标分别为2,1、3,2、1,3uuur uuur（1）写出向量AC,BC的坐标；（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解析：例4.已知向量a 4, 1与b 5,2，求2a 3b的坐标.解析:例5、已知向量a （1,2）.（1） _______________________________________ 在坐标平面上，画出向量a ；并求a = _____________________________________ ;（2） _________________________________________________________ 若向量a终点Q坐标为（3,0），则向量a的始点P坐标为 ______________________ ；（3）向量a的模与两点P（X p,y p）、Q（X q y q）间距离关系是__ .（4）如果向量a, b用坐标表示为a （X-）, y1）, b （x2, y2），则」是a// b的X2 y2（）条件.A、充要 B 、必要不充分C、充分不必要 D 、既不充分也不必要例6 若a,b是两个非零向量，且a （%,%）山（x2, y2），则a//b的充要条件是X1 y2 X2 y1.解析：mu uuu LULT例7、已知向量OA (k,12),OB (4,5), OC ( k,10)，且A B C三点共线，则k= ____解析：课堂小结:课后作业(二)4. 关于非零向量a 和b ，有下列四个命题:课后作业：(一) 1.已知 a (2,0),b(1,3)，则a b 与a b 的坐标分别为()(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (D)(1,3),(3,-3)uuu2.若点A 坐标为(2,-1), AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为()(C)(1,3),(3,3) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5)(D)(-2,5)I I 1 r r3.已知 a (x,4), b (3,y 2).若 a b,则 x= ,y= 2uuuuuu4.已知AB =(2-x) i (1 x)j ，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是5.已知 A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),uuu uuu 求证：AB=CD .r r rc xa yb6.已知 a (1, 2),b ( 3,1),c (11, 7),并且 r u (5,mn)，且 a b.求 m,n.的值.7.已知a (m 2n 2,2),b8、已知向量a (2,3),b(1, 5)，求 2a b已知向量a (2,3) ， b (x,6)，且 aPb ，则 x 为2. 设 a =(x 1，y 1)，b =(X 2，y 2)， 则下列a 与b 共线的充要条件的有( a =入 b 或b =入a ; ②凶 x 吐;③y 2+ “ f r ur r r r ur r uu rr uu r uu r(a +b ) a b a 0 a a a a ° a 3o aa a ° a a ° ar uu 1 a a 。
沪教版(上海)高中数学高二上册第八章8.3平面向量的分解定理课件
其中，不平行向量e1、e2叫做这一平面内 所有向量的一组基.
零向量不 能作为基
平面向量分解定理（另一种陈述）
平面内任一向量可以唯一地表示为两 个指定向量的线形组合的充要条件是两 个指定向量不平行.
例1.若向量e1 (1，2)，e2 (1，- 1)，a (1，8), 用e1，e2表示a.
MB 1 a 1 b 22
D
C
b
M
A
a
B
CM 1 a 1 b 22
MD 1 a 1 b 22
变式：
如图，向量 AB与AD不平行，AB a, AD b，
且M满足以下条件，试用a, b表示 AM .
（1）BM 1 BD AM 2 a 1 b
3
33
M
（2）BM k BD (k R)
N
B
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
2、平面向量分解定理的应用-
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
一盏吊灯，拉力F 可以分解为拉力F1和F2 一盏吊灯，拉力F 可以分解为拉力F1和F2
e2
平面向量分解定理（另一种陈述）
成竖直向上和水平向前的两个分速度．
D
BM k BD k(b a)
b
M
则AM AB BM
A
B
a k(b a) (1 k)a kb
a
如图，向量 AB与AD不平行，AB a,
AD b，且满足BM k BD
M
则AM AB BM
D
a k(b a) (1 k)a kb
b
沪教版(上海)高中数学高二上册第八章8.3平面向量的分解定理教案
课题：平面向量的分解定理【教学目标】1．理解平面向量分解定理的形成过程和定理的内容，掌握将向量表示为基向量的线性组合的基本方法；2．培养学生分类讨论思想、方程思想，以及推理论证能力；3．培养学生提出新问题解决新问题的能力，养成良好的数学学习习惯。
【教学重点】平面向量分解定理的形成过程，将向量表示为基向量的线性组合。
【教学难点】将向量表示为基向量的线性组合，基向量的线性组合的再研究。
【教学方法】教师启发引导，学生探究学习。
【教学过程】一．平面向量的分解定理在讨论向量的坐标表示时，我们知道向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的向量i 、j 唯一的线性组合。
一般地，如果给定平面上两个不平行的向量1e 、2e ，那么该平面上任意一个向量是否都可以唯一的表示为1e 、2e 的线性组合呢？(一)．平面向量的分解定理的形成推导过程分为两个方面：1．a 可以表示为1e 、2e 的线性组合2211e e a λλ+=分为三种情形：①a 为非零向量，且与1e 、2e 都不平行，这是问题的最一般的情形，通过作图得到；11e λ=，22e λ=，且ON OM +=所以2211e e a λλ+=。
②a 为非零向量，且与1e 、2e 之一平行，此时，1λ、2λ之一为零；③a 为零向量，那么2100e e a +=。
2．a 可以表示为1e 、2e 的线性组合的形式是唯一的。
假设2211e e a '+'=λλ，则有0222111 =⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-e e λλλλ因为1e 、2e 不平行，所以011='-λλ，022='-λλ，即'=11λλ，'=22λλ。
(二)．平面向量的分解定理的代数解释两个不平行的向量()111,y x e = ，()222,y x e = ，平面内任意向量()y x a ,=因为1e 与2e 不平行等价于02211≠y x y x ，根据Crammar 法则，关于1λ、2λ的线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+y y y x x x 22112211λλλλ有唯一解，这是矩阵与行列式章节的内容，本节课从略，给学生留下悬念，激发学生再学习的兴趣。
平面向量的分解定理及坐标运算-沪教版教案
1、平面向量的分解定理：如果12,e e u r u u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的向量a r ，有且只有一对实数12,λλ使：a r =1122e e λλ+u r u u r向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j r r，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r即为一个位置向量.对于任一位置向量OA uu u r ，我们均能能用基本单位向量,i j r r来表示。
2.向量的坐标表示对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r的线性组合。
如下图左.a r =OA uu u r =xi y j +r ra r =（x,y ）像这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r.3.向量的坐标表示的运算设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==r r于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ= 1212a b x x y y •=+r r a =r(,)Q P Q P PQ x x y y =--u u u rPQ =u u u r 4、若,a b r r 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是1221x y x y =.5、若,a b r r是两个非零向量，12120a b x x y y ⊥⇔+=r r6、定比分点坐标公式 中点坐标公式 典例精析例1.如图，写出向量,,a b c r r r的坐标.解析：例2.如下图左，设()11,P x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ u u u r？解析：例3.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC u u u r u u u r的坐标；（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标. 解析：例4.已知向量()4,1a =-r 与()5,2b =r，求23a b +r r 的坐标.解析:例5、已知向量(1,2)a =r.（1）在坐标平面上，画出向量a r ；并求a r= ；（2）若向量a r 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a r的始点P 坐标为_______； （3）向量a r的模与两点P （x p,y p ）、Q(x q y q )间距离关系是 . （4）如果向量,a b r r 用坐标表示为),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y yx x =是//的（ ）条件.A 、充要B 、必要不充分C 、充分不必要D 、既不充分也不必要例6、 若,a b r r 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是1221x y x y =.解析：例7、已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ 解析：课堂小结：课后作业：（一）1.已知(2,0),(1,3),a b ==-r r则a b +r r 与a b -r r 的坐标分别为( )(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB u u u r的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( )(A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-r r 若1,2a b =r r则x= ,y= .4.已知AB (1)i x j +-u u u r r r=(2-x)，且AB u u u r 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD uuu r uuu r .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-r r r 并且.c xa yb =+r r r求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=r r ，且.a b =r u r 求,.m n 的值.8、已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-r r，求2a b -r r课后作业（二）1．已知向量(2,3)a =r ，(,6)b x =r ，且a b r r P ，则x 为_________；2．设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(+)0a u u r a r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 1a =r 0a a =r u u r述命题中，其中假命题的序号为 ；4．关于非零向量a ρ和b ρ，有下列四个命题：（1）“b a b a ρρρρ+=+”的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；（2）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相反”； （3）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ有相等的模”； （4）“b a b a ρρρρ-=-” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v r=（4，－3）（即点P 的运动方向与v r相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P 的坐标为（ ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）6．已知向量(cos ,sin ),1)a b αα==-r r，则2a b -r r 的最大值为 .7．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(4)B -，若点C 在∠AOB 的平分线上，且2OC =u u u r，则=_________.8．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.9、（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？10.已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式，则z的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3]11.直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅u u u r u u u r= ．2212.已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 教学课件
例3. 已知e1 (3,2)，e2 (1,4)，a (5,1)，
试将a分解为关于e1与e2的线性组合 .
解：设a 1 e1 2 e2 ，
即：(5,1) 1 (3,2) 2 (1,4)
则：－15＝＝－321－1＋42 2
a
19 10
e1
7 10
e2
.
解得：12＝＝1117090
说明：当给出向量的坐标时，将一个向量分解成两个
.
2、对分解定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （2）基的不唯一性
（3）能够在具体问题中适当的选取基， 使其
他向量都能够用基来表达
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可
《平面向量的分解定理》教案
《平面向量的分解定理》教案一、教学目标：1. 理解平面向量的分解定理及其意义。
2. 学会运用分解定理解决相关的向量问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 平面向量的分解定理：如果向量a可以分解为两个不共线的向量b和c的线性组合，即a = xb + yc，x和y是唯一确定的。
2. 分解定理的应用：如何利用分解定理求解向量的问题，如向量的线性表示、向量的线性相关性等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的分解定理及其应用。
2. 教学难点：如何理解和运用分解定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的分解定理及其应用。
2. 利用例题解析，引导学生掌握分解定理的运用。
3. 开展小组讨论，让学生探讨分解定理在不同情境下的应用。
五、教学过程：1. 引入新课：通过简单的向量例子，引导学生思考如何将一个向量表示为两个不共线向量的线性组合。
2. 讲解平面向量的分解定理：阐述分解定理的定义及其意义，解释定理中的唯一确定性。
3. 例题解析：选取典型例题，讲解如何运用分解定理解决问题，让学生体会定理的应用价值。
4. 课堂练习：让学生尝试解决一些相关的向量问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：让学生围绕分解定理的应用展开讨论，分享各自的解题心得。
7. 作业布置：布置一些有关平面向量分解定理的应用题，让学生课后巩固。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平面向量分解定理的理解程度。
2. 例题解答：检查学生运用分解定理解决向量问题的能力。
3. 课后作业：批改学生作业，评估对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展：1. 探讨平面向量分解定理在实际问题中的应用，如物理学中的力分解、工程学中的力矩分解等。
2. 引导学生思考如何将平面向量分解定理推广到三维向量空间。
八、教学反思：1. 反思教学过程中的优点和不足，如讲解方法的适用性、学生的参与度等。
2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学效果。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 《平面向量的分解定理》 学案
《平面向量的分解定理》学案班级___________ 姓名__________一、知识探究问题1：已知两个不平行向量1e 和2e ，则同一平面内任意向量a ，是否都可以由1e 和2e 表示？问题2：同一平面内，换一组非零向量1e 和2e ，向量a 是否可以用向量1e 和2e 表示？二、定理剖析如果1e 、2e 是同一平面内两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量，________________实数1λ，2λ，使=1λ1e +2λ2e 。
我们把任意两个________的向量1e 、2e 叫做这一平面内所有向量的_________。
问题3：对于=1λ1e +2λ2e ，系数λ1、λ2是否唯一？问题4：平面向量的基向量选取唯一吗？三、课堂例题()()()121212121212.11.32.3.ABCD DM k DB k AM AB AD k AM AB AD AM AB AD λλλλλλλλλλλλ===+==+=+例题：如图，平行四边形中，当时，已知，求、当时，已知，求、，并填入表中已知，求+的值结论提炼：四、本课小结1、本节课学习了平面向量分解定理，定理中应该注意：___________；____________.2、本节课了解了_________、____________的思想方法. 五、巩固练习().,,,32,23,2,30120,,,==∈+====μλμλμλ则若，且的夹角为与，的夹角为与其中三个向量例题：如图，平面内有R OB OA OC OC OB OA OC OA OB OA OC OB OAkλ1λ2ABCO。
(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件
已知向量的线性组合用待定系数法。
例4. 设正六边形ABCDEF中, AE a, BC b，用a、b 表示下列向量
Bb C
(1) CD a b
Aa
F
D (2) AB 2b a (3) CE 2a 3b
E
例5.如图：OA, OB, 是同一平面内的两个不平行向量 （1）M为AB的中点，试用OA，OB表示OM； （2）M1，M 2为AB的三等分点，试用OA，OB表示OM1；OM 2 （3）M1, M 2 , M 3为AB的四等分点，试用OA，OB表示OM1，OM 2，OM3
对于儿童，做父母，做教师的责任，便是如何教导他们，使之成为健康活泼，有丰富知识，有政治觉悟和良好体现的现代中国儿童，现代中国 人。——陈鹤琴 人不仅要做好事，更要以准确的方式做好事。 生命力的意义在于拚搏，因为世界本身就是一个竞技场。 人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到达尽头，而在乎你有没有跑完全程。 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。
8.3 平面向量的分解定理
回顾：
(1)若 a, b 0，则 a// b a b
y
(2) a xi y j
a (x, y)
O
x
向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的
向量 i、j 唯一的线性组合。
引入
a b
F
O
A
C
a ab
O
bB
力的合成
C
力的分解
平行四边形法则
问题的提出
如果 e1、e2 是同一平面内两个不平行的非零向
性质：如图所示，已知a OA, b OB, c OC
若c a b(, R),则ABC三点共线的 充要条件是 1
2019-2020年高二数学上 8.3《平面向量的分解定理》教案 沪教版
一、教学目标1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。
三、教学过程设计（一）、 设置情景，引入课题 （1）观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线OA 和绳BO 拉住.CO 所受的力F 与电灯重力平衡，拉力F 可以分解为AO 与BO 所受的拉力F1和 F2 .B思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.（2）复习正交分解，并抽象为数学模型j Pe 1a=入1e 1 +入2e 2.1（二）、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？数学实验1 实验设计：(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验步骤：a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量和；b.每个同学先独立作图；c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论. (3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？ 生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O （1）作；（2）过C 作平行于直线OB 的平行线与直线OA 相交于点M ；（3）过C 作平行于直线OA 的平行线与直线OB 相交于点N ；（4）四边形为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，，则2211e e ON OM a OC λλ+=+==.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验. 数学实验2 实验设计：(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的. (2)实验步骤：a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置，，） (3)实验报告： 3．探究结果几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.代数角度：说明唯一性： 说明：（1）当时，（2）当时，假设，则有 =DCBA111222()()0e e λλλλ''-⋅+-⋅=.由于不平行，故1122()0,()0λλλλ''-=-=，即.4．概括得出定理：平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基. 注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量在给出基底、的条件下进行分解； （3）基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.） （三）．例题分析例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且 ，分别用表示和.解： 在平行四边形ABCD 中，,b a AD AB AC +=+= ,b a AD AB DB -=-= ,2121)(2121--=+-=-=∴,2121)(2121b a b a DB MB -=-==∴ ，b a DB MB MD 212121+-=-=-=注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量 （2）平行四边形法则简化为三角形法则。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 (1)
AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R)
思考1．变式4的、逆命题成立吗？为什么？
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点满足 AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R) ，则B，M，D三点共线
．
思考2．由变式4和思考1你能得出什么结论呢?
问题1．如图1，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图1
问题2．如图2，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图2
问题3．如图3，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
设A是直线BD外任意一点，则B，M，D三点共线的充要条件是：
存在实数 1 ，2 且 1 2 1(1, 2 R) 使得 AM 1 AB 2 AD
课堂小结：
1.平面向量分解定理是什么？ 2.学习平面向量分解定理的意义？
作业布置：
课本P67 1 ～ 3 练习册8.3 A组1～5
数
1
,
，使
2
a 1 e1 2 e2
说明：
①我们把不平行的向量 e1 ,e2 叫做这一平面内所有 向量的一组基
②向量的一组基不唯一，关键是不平行 ③一组基给定时，分解形式唯一
例题分析
例题：已知平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M，设 AB a ，AD b ，试用
基 a,b 、分别表示 MB 和 MA ．
引入：
一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也 可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受的力F应 与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO 所受的拉力F1和F2 。
高中数学新沪教版精品学案《平面向量的分解定理》
平面向量的分解定理【学习目标】1．理解平面向量的分解定理，掌握平面内任一向量都可以用两个不平行的向量来表示。
2．掌握基的概念，并会用一组基底向量表示平面内的一些简单的向量。
3．经历平面向量分解定理的探索过程，培养观察能力、抽象概括能力。
【学习重难点】重点：平面向量分解定理的应用。
难点：平面向量分解定理的探索过程。
【学习过程】一、自主学习知识迁移：（1）速度的分解；（2）力的分解； 问题1：任意一个向量a 是否可以分解成两个不共线方向上的向量之和,即a OM ON =+ 结论:___________________________________________平面向量分解定理：如果是平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量，_______一对实数，使。
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组_______。
问题2：你觉得其中其中的关键字有哪些？你会提出哪些疑问？ 探究一：______________________________________________结论：_________________________________________________ 探究二：_______________________________________________21,e e 21,λλ2211e e a λλ+=21,e eae 1e 2OBC AOBCA111OC OA OB λλλ=+++二、例题分析例1 如图所示，ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，,AB a AD b ==，试用基底,a b 表示,,,MC MA MB MD例2（1）已知43AP AB =，用OA OB 、表示OP ；（2）如图，在ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，()1AC CB λλ=≠-。
求证：反思：结论可以看做是()1OC mOA m OB =+-吗？ 变式：如果存在实数m ，使()1OC mOA m OB =+-，求证：A,B,C 三点共线。
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2019-2020年高二数学上 8.3《平面向量的分解定理》教案（沪教版）
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。
三、教学过程设计
（一）、 设置情景，引入课题 （1）观察
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线OA 和绳BO 拉住.CO 所受的力F 与电灯重力平衡，拉力F 可以分解为AO 与BO 所受的拉力F1和 F2 .
B
思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.
（2）复习正交分解，并抽象为数学模型
j P
（二）、探索探究，主动建构
概括讨论，提出新问题：
e 1a=入1e 1 +入2e 2.
1
如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？
数学实验1 实验设计：
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？
(2)实验步骤：
a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不
平行向量和；
b.每个同学先独立作图；
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论. (3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？ 生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O （1）作；
（2）过C 作平行于直线OB 的平行线与
直线OA 相交于点M ；
（3）过C 作平行于直线OA 的平行线与
直线OB 相交于点N ；
（4）四边形为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，，则2211e e λλ+=+==.
对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量
是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验. 数学实验2 实验设计：
(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的. (2)实验步骤：
a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；
b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置，，） (3)实验报告： 3．探究结果
几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.
代数角度：说明唯一性： 说明：（1）当时，
（2）当时，假设，则有 =
111222()()0
e e λλλλ''-⋅+-⋅=.由于不平行，故
D
C
B
A
1122()0,()0λλλλ''-=-=，即.
4．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基. 注意：
（1）基底不共线；
（2）将任一向量在给出基底、的条件下进行分解； （3）基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量
（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.） （三）．例题分析
例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且 ，分别用表示和.
解： 在平行四边形ABCD 中，
,b a AD AB AC +=+= ,b a AD AB DB -=-= ,2
1
21)(2121b a b a AC MA --=+-=-=∴
,2
121)(2121-=-==
∴ ，b a DB MB MD 21
2121+-=-=-=
注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量 （2）平行四边形法则简化为三角形法则。
练习：学生完成教材后面练习P67 （2）
思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD 中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可
以作为一组基？为什么？
思考题（教材P67．例 3）已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示. 解：
.
)1((OB k OA k OA k OB k OA OA k k +-=-+=-+=+=+=∴
（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理. 对分解定理的理解：基底为两个不平行向量，向量的任意性，实数对的存在性和唯一性；
（2）从基的角度认识几何图形。
（五）、作业布置
《练习册》P37 A 组3，4 ，5 B 组2，3
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。
本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题，以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.
本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题，突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.
二、教学目标设计
运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题；提高分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
教学重点：利用平面向量知识证明平行、垂直等问题；
教学难点：数形结合方法的渗透，思维能力的提高.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习与回顾
思考并回答下列问题 1．判断：（平行向量的理解）
（1）若A 、B 、C 、D 四点共线，则向量；（ ） （2）若向量，则A 、B 、C 、D 四点共线；（ ） （3）若，则向量； （ ） （4）只要向量满足，就有；（ ）
2．提问：（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？ （2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？
[说明] 教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.
二、学习新课 例题分析
例1、证明：菱形对角线互相垂直。
（补充） 证：设== , ==
∵ABCD 为菱形 ∴|| = ||
∴⋅= ( + )( - ) = 2
- 2
= ||2
- ||2
∴⊥
证法二：设B (b ,0)，D (d 1,d 2)， 则= (b ,0), = (d 1,d 2)
于是=+= (b ,0) + (d 1,d 2)= (b +d 1 ,d 2)
=
= (d 1
b ,d 2)
∵•= (b +d 1)(d 1
b ) + d 2d 2 = (d 12 + d 22) b 2
= ||
2
b 2
= ||
2
b 2 = b 2 b 2
= 0
∴
[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力. 例2、已知，，，求证是直角三角形.(补充)
.
,900
),3,3(),1,1(:0
是直角三角形即证明ABC BAC ∆=∠∴=⋅-==
C
例3、.,,.AC BH BC AH ABC ⊥⊥∆已知中在如图
(课本P72例2)
[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系. 例4、证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)
三、课堂练习
例5、用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4 A 组1)
四、课堂小结
1.用向量知识证明平行、垂直问题.
2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.
四、作业布置
1、书面作业:课本P73, 练习8.4 1, 2, 3
2、习题册P39，习题8.4 A 组/1；习题册P40，习题8.4 B 组/1
3、思考题:
如图,在中，D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，F ，G 分别是DB 、EC 的中点， 求证：向量与共线
.
E
3、思考题:
如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，
求证：AD 、BE 、CF 相交于一点.
七、教学设计说明
1．注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻. 2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口. 3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.
B C。