§2.8 二次函数与一元二次方程(学案)
二次函数与一元二次方程教学设计
二次函数与一元二次方程教学设计二次函数与一元二次方程教学设计1教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张:(记作§2.8.1A)第二张:(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课一、例题讲解投影片:(§2.8.1A)我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t的关系如下图所示,那么(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,当v0=40,h0=0时,h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:-5t2+40t=0,即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议投影片:(§2.8.1B)二次函数①y=x2+2x,②y=x2-2x+1,③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有-5t2+40t=60,t2-8t+12=0,∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习随堂练习(P67)Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业习题2.9板书设计§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)2.议一议(投影片§2.8.1B)3.想一想二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料思考、探索、交流把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即当x=25时,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r= .∴S圆=πr2=π・2=π・= ≈796(m2).所以圆的面积最大.二次函数与一元二次方程教学设计2教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2、具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函数y =kx+b (k0)的关系，你还记得吗?它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.2、新课讲解例题讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t的关系如下图所示，那么(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?小组交流，然后发表自己的看法.学生交流：(1)h 与t 的关系式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =-5t 2+40t(2)小球落地时h为0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是-5t 2+40t=0t 2-8t=0t(t- 8)=0t=0或t=8t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.也可以观察图像，从图像上可看到t =8时小球落地.议一议二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像如下图所示(1)每个图像与x 轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0 , x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下, 一元二次方程x2-2x +2=0有根吗?(3)二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系?学生讨论后，解答如下：(1)二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.(2)一元二次方程x 2+2x=0有两个根0，-2 ;x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ;方程x2-2x +2=0没有实数根(3)从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点(0,0),(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;二次函数y=x2-2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2-2x+1=0 有两个相等的实数根1或一个根1二次函数y=x2-2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2-2x +2=0没有实数根由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.基础练习1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+42、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ;若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .4、已知抛物线y=x2+px+q与x 轴的两个交点为(-2，0)，(3，0)，则p= ，q= .5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x 轴的两个交点间的距离.6、抛物线y=a x2+bx+c(a0)的图象全部在轴下方的条件是(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0想一想在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的.高度是60 m?你是怎样知道的?学生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得-5t 2+40t=60t 28t+12=0t=2或t=6因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是6 0 m.课堂练习 72页小结：本节课学习了如下内容：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0 )， B( x2，0 )2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c 这三个二次之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c 何时为一元二次方程?二次函数与一元二次方程教学设计3一、教学目标：1。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
2.8二次函数与一元二次方程上课课件
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关 系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和 横轴交点的个数判别一元二 次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就 是二次函数与x轴交点的横坐 标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种 情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？
2.8.1二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？ 解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ x1=-2，x2=0
二次函数y=x2-2x+1 的图象与x轴有几个交点？
一元二次方程x2-2x+1=0 有几个根？
二次函数y=x2-2x+2 一元二次方程x2-2x+2=0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？ 解：∵△=(-2)2-4×1×2
问题：
• 1.求一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标 是( ， )
• 2.说一说你是怎样得到的？
温故引新
一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的横 坐标就是一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解
那么，二次函数和一元二次方程又有什么关 系呢？
活动探究1
活动探究1
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
2
例3 设二次函数 y x ( m 2 ) x 3 ( m 1 ) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
2
练习1.已知抛物线Y=X2—（m—3）X+m （1）求证：无论M取何值时，抛物线都与X 轴有两个交点。 （2）M为何值时，抛物线都与X轴有两个交 点间的距离等于3。
2
2
2
( A) y x 2
2
(B) y x
2
x
2
(C ) x
2
6x 9
(D ) y x
x 2
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案二次函数与一元二次方程教学目标(一)教学知识点1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.2.进一步发展估算能力.(二)能力训练要求1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.教学重点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学方法学生合作交流学习法.教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.Ⅱ.讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.[师]从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.[生]有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).[师]由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算.[生]从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个数进行计算,利用计算器进行探索.x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56从上表可知,当x取-4.1,-4.2,-4.3,-4.4时,y的值都不等于0,所以x的取值还不准确,应继续估计百分位上的数,十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字.所以x应取负的4点3几.再按同样的方法求百分位上的数字.依次类推,即可求出比较准确的x的值.[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行,但我们的重点是求解方程的思路,而不是求解的结果.因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.[生]因此,x=-4.3是方程的一个近似根.[师]有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.[生]另一个根在2与3之间,应是2点几,再用计算器进行探索.x 2.1 2.2 2.3 2.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56由于当x=2.3时,y的值最接近0,所以另一个根的近似值为x=2.3.[师]还有其他的方法吗?[生]有,可以把-5与-4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求:二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根.但是还与上面的题型不太一样.上面的题是利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根,现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2+2x-10=3的根呢?[生甲]利用函数y=x2+2x-13的图象求方程x2+2x-10=3的近似根.[生乙]也可以在上题的基础上进行,利用函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3的交点的横坐标求方程x2+2x-10=3的解.[师]究竟哪一种方法正确呢?我们下面就来验证一下.[生甲]函数y=x2+2x-13的图象如下图由图可知,图象与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出:x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=2.7是方程的另一个近似根.[生乙]分别画出函数y=x2+2x-10的图象和直线y=3,找它们交点的横坐标即可.由图可知两根分别为x=-4.7和x=2.7.Ⅲ.课堂练习P71随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习的内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.Ⅴ.课后作业习题2.10Ⅵ.活动与探究一元二次方程x2-4x+2=-1的根与二次函数y=x2-4x+2的图象有何关系?请你把方程的根在图象上表示出来.解:一元二次方程x2-4x+2=-1的根可以看成函数y=x2-4x+2的图象与直线y=-1的交点的横坐标.图象略.板书设计§2.8.2二次函数与一元二次方程(二)一、1.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10的根2.做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
二次函数与一元二次方程 导学案
九年级数学上册导学案1.二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点．2.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3.求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．从上表可知,下列说法正确的个数是( )①(-2,0)为抛物线与x轴的一个交点; ②抛物线与y轴的交点为(0,-2);③抛物线的对称轴是x=1; ④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.A.1B.2C.3D.44.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1),其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.45.若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是.6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是.7.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根(精确到0.1).8.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有2个交点.(1)求k 的取值范围;(2)若与x 轴交点的横坐标为x 1,x 2,且它们的倒数之和是-32,求k 的值.9．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点； （2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？10．已知二次函数62-+=x x y ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程062=-+x x 的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于0？x 取什么值时，函数值小于0？。
2.8二次函数与医院二次方程学案
2.8 二次函数与一元二次方程导学案一、复习引入1、如何判断一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠根的情况？2、解一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的方法有哪些？3、已知20 (0)ax bx c a ++=≠，则12x x += ，12x x = 。
4、二次函数的三种表达式是： 5、二次函数的对称轴是： ，顶点坐标公式： 6、二次函数2369y x x =++的图像可以由23y x =的图像先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
平移变换的口诀是： 7、二次函数232y x x =-+的图像与x 轴的交点的坐标为 二、新课探究探究1：在下图中分别作出函数2222 , 2 1 , 22y x x y x x y x x =-=-+=-+的图像：（1）函数2222 , 2 1 , 22y x x y x x y x x =-=-+=-+与X 轴有几个交点？ （2）函数2222 , 2 1 , 22y x x y x x y x x =-=-+=-+与X 轴交点坐标是多少？ （3）一元二次方程22220 , 210 , 220x x x x x x -=-+=-+=的根是多少？ （4）通过以上问题你可以得出什么结论？探究2：已知二次函数2 (0)yax bx c a =++≠，它的图象与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？探究3：如图，二次函数2 (0)yax bx c a =++≠图象与X 轴交与A 、B 两点，求AB ？例1、已知抛物线221y x x m =+++。
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=x+2m 只有一个交点，求m 的值。
例2、已知二次函数 的图像与X 轴有两个不同的交点 （1） 求k 的取值范围；（2） 当k 为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50。
例3、在抛物线223y x x =-++上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 面积等于△ABC 面积?小结与作业2y kx 6x 7=--2．8 二次函数与一元二次方程基础过关1．抛物线y =a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x =－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y =x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y =2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x =1，则m = ．6．抛物线y =2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m = ．7．已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c =0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数y =kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ． 9．抛物线222y x ax a =-+的顶点在直线y =2上，则a 的值是 ．10．抛物线y =3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图所示，函数y =ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b ac a c b c b a +++++的值是（ ） A ．－3B ．3C ．21D ．－2111题图 12题图12．已知二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－a b2＜1B ．0＜－a b2＜2C ．1＜－a b2＜2D ．－ab 2=113．一元二次方程x 2＋7x ＋9=1的根与二次函数y =x 2＋7x ＋9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来．14．已知二次函数y =x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．15．已知二次函数y =－x 2＋4x －3，其图像与y 轴交于点B ，与x 轴交于A ，C 两点． 求△ABC 的周长和面积．16．已知二次函数y =x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？17．已知抛物线y =mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上； （3）当m =1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．18．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足21105y x x =-+．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？19．已知二次函数y =x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图． （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m =0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．20．如图，已知抛物线y =－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＋x 2=4，1213x x =．（1）求抛物线的代数表达式；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，求直线BC 的表达式； （3）求△ABC 的面积．。
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)参考教学方案
《二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）》教学设计1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．GEOGEBRA 、PPT 课件．一、情境引入问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x ，另一边为y ，可以得到⎩⎨⎧>=+.20,12xy y x 此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．2．部分学生用一个未知数x 即可表示问题中的不等式20)-12>x x （，但学生容易忘记自变量x 的取值范围．追问：不等式20)-12>x x （即020122<+-x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022<++>++c bx ax c bx ax 或，并且强调二次项的系数a ≠0．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数20122+-=x x y 为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问1：教师用信息技术画出函数20122+-=x x y 的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P （x ，y ）．当点P 在抛物线上移动时，请你观察：随着点P 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？师生活动：学生观察思考后回答．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b 2a} Rax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．3．应用举例例1 求下列不等式的解集：（1）0652>+-x x （2）01692>+-x x （3）03-2-2>+x x追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即0<a )的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．预设的答案：（1）解：对于方程0652=+-x x ，因为∆＞0， 所以它有两个实数根，解得3,221==x x ， 画出二次函数652+-=x x y 的图象（图2.3-2）结合图象得不等式0652>+-x x 的解集为}{3,2><x x x 或．（2）解：对于方程01692=+-x x ，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得3121==x x ，画出二次函数169y 2+-=x x 的图象（图2.3-3），结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为}31|{≠x x ．（3）解：不等式可化为032-2<+x x ，因为∆=-8＜0，所以方程032-2=+x x 无实数根，画出二次函数32y 2+-=x x 的图象（图2.3-4），结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为∅．因此原不等式的解集为∅．追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？师生活动：学生总结，教师完善．预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与x 轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．例 2 已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53-><x x x ，或，则图2-3-502<+-c bx ax 的解集为________．追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a ，b ，c 之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac a b解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ． 对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2-3-5），结合图象得不等式15-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或．设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．三、归纳小结，布置作业问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．。
二次函数与一元二次方程导学案
备课时刻：2017、8、28 讲课时刻：2017、9、4备课人：郭艳玲（主备）母东文课型：新讲课 教具:多媒体课件 教法：启发式 学法：自主合作探讨二次函数与一元二次方程导学目标：1、明白得二次函数与一元二次方程的关系，把握方程与函数间的转化。
2、会利用数形结合的方式判定抛物线与x 轴的交点个数。
3、培育合作意识和探讨数学知识间联系的好适应，体验二次函数的应用。
导学重点：探讨一次函数图象与一元二次方程的关系，明白得抛物线与x 轴交点情形。
难点：函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的明白得与运用。
导学方式:先由学生自学讲义，经历自主探讨总结的进程，并独立完成自主学习部份，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。
导学进程:一、创设情境，引入新课二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
依照图象回答：（1）x 为何值时, 0y =？（2）你能依照图象，求方程2230x x --=的根吗？（3）二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？二、自主学习，固知提能1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探讨】教材P43问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行线路将是一条抛物线。
若是不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时刻t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：（1）球的飞行高度可否达到15m ？如能，需要多少飞行时刻？（2）球的飞行高度可否达到20m ？如能，需要多少飞行时刻？（3）球的飞行高度可否达到20.5m ？什么缘故？（4）球从飞出到落地需要多少时刻？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确信值m 时,对应自变量x 的值确实是方程2ax bx c m ++=的根.②专门是0y =时，对应自变量x 的值确实是方程20ax bx c ++=的根。
二次函数与一元二次方程 优秀教学设计(教案)
二次函数与一元二次方程【教学目标】1．知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。
2．过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。
由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。
3．情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
【教学难点】函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
【教学过程】一、问题导入。
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。
考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？2205h t t=-二、探索新知。
1．从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：函数，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程的根。
特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根。
以上关系，反过来也成立。
利用以上关系，可以解决两个方面问题。
其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。
2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。
观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，。
方程的根是。
方程无实数根。
3．归纳总结。
一般地，从二次函数的图象可得如下结论：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根。
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
2.8二次函数与一元二次方程(第一课时)教学设计
2.8二次函数与一元二次方程（第一课时）教学设计
南海执信中学蒋勇军
【教学目标】
1、知识与技能：
（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；
（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2、过程与方法：
（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
【重点与难点】
重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
【教法与学法】
教法：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。
学法：探究式学习。
【课前准备】
多媒体、PPT课件。
【教学过程】
附：板书设计：
课题：…….
二次函数与一元二次方程的关系：例2：（1）……一次函数与一元一次方程回顾（1）交点个数与根的个数：……（2）……
（2）数：……（3）……
（3）形：……
结论：……
例题的步骤的书写
例1：。
《二次函数与一元二次方程》优秀教案
二次函数与一元二次方程导学案1一、学习目标:1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。
2、理解二次函数的图象与轴公共点的个数和相应的一元二次方程根的对应关 系。
3、进一步体验数形结合的数学方法。
4、重点：二次函数的图象与轴公共点的个数和相应的一元二次方程根的对应 关系。
5、难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。
二、知识准备：1、一元二次方程的一般形式：2、怎样判断一元二次方程根的情况？当Δ=ac b 42->0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
当Δ=ac b 42-=0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
当Δ=ac b 4-<0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
思考：当Δ= ≥0时，一元二次方程a 2bc=0有实根。
3、二次函数的一般形式：4怎样求二次函数=a 2bc 与轴的交点坐标？如： =2-2-3三、学习过程: （一）、思考与探索：二次函数=2-2-3与一元二次方程2-2-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数=2-2-3成为一元二次方程2-2-3=0的条件是什么？2、反应在图象上：观察二次函数=2-2-3的图象，你能确定一元二次方程2-2-3=0的根吗？3、结论：二次函数=2-2-3的图象与轴有两个公共点 ,那么一元二次方程2-2-3=0有两个不相等的实数根。
（二）思考与探索：（1）观察函数= 2-69与= 2-23的图象与轴的公共点的个数。
（2）判断一元二次方程2-69=0和2-23=0的根的情况。
（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？（三）、归纳提高：一般地，二次函数=a2bc图象与一元二次方程a2bc=0的根有如下关系：1、如果二次函数=a2bc图象与轴有两个交点（m,0）、n,0,那么一元二次方程a2bc=0有实数根1= ,2= 。
2、如果二次函数=a2bc图象与轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程a2bc=0有实数根1=2= 。
2.8二次函数与一元二次方程6--高中数学必修一
解:
(1)方法提示： a设顶点式，再代入一个点 b设一般式，再代入三个点 c利用零点设解析式，再代入一个点
x
4
-4 -3
-1
o 1 2
(2)f(-4)=-5,f(-1)=4,f(0)=3,f(2)=-5 f(-4)f(-1)< 0,f(0)f(2)< 0
如果二次函数y=f(x)对 于实数m，n，m<n有 f(m)f(n)<0，那么存在 x0(m<x0<n),使得f(x0)=0
y
y
y ax bx c (a 0)
2
x1
x2
o x
o x
x1=x2
o
x
例1、判断下列一元二次方程的实数根的情况
1) x2+2x-1图是一个二次函数y=f(x)的图象。 (1)写出这个函数的解析式； (2)试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系。
y
常州市第二中学
o
x
问题情境：
1、求出方程x2-2x-3=0 2、作出二次函数y=x2-2x-3的图象
零点定义：
一般地，方程f(x)=0的实数根又叫做y=f(x) 的零点。
例如：函数 y=x2-2x-3的零点为
x1=3,x2=-1
2 y ax bx c (a 0) 与X轴的交点 二次函数 2 ax bx c 0(a 0) （X1，0），（X2，0） 与方程
的两根X1，X2和∆的关系
判别式
2 b 4ac ∆=
∆______0 ＞
∆______0 =
有两个相 等的实数 根x1=x2= b 2a
y
∆_____0 ＜
一元二次方程 有两个不相
2.8二次函数与一元二次方程
2 x12 x2 2 x1 +x2） 2 x1 x2 （
驶向胜利的 彼岸
课后探究 校运会上，某运动员掷铅球，铅球的 高y(m)与水平距离x(m)之间的函数关 系式为y=-0.2x2+2x+1.7，则此运动员 的成绩是多少？
祝你成功！
探究3
如图，二次函数y ax 2 bx c a 0 的图象 与x轴交与A、B两点，求AB？
Y
设（ B 解： A x1,0）,（x2 ,0）,则
AB x1 x2
b c x1 +x2 , x1 x2 a a
=
X O
A B
x1 x2
2
2
4 x1 x2
y x2 2x m 1 （2）由 得：x 2 x m 1 0 y x 2m 抛物线与直线只有一个交点
=1 4（-m+1）=0 3 m 4
三、例题精讲
y kx 2 6x 7 的图像与X轴 例2：已知二次函数
有两个不同的交点 （1） 求k的取值范围； （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50。
（2）函数y x 2 2 x , y x 2 2 x 1 , y x 2 2 x 2与x轴交点坐标是多少？
（3）一元二次方程x 2 2 x 0 , x 2 2 x 1 0 , x 2 2 x 2 0的根是多少？ （4）通过以上问题你可以得出什么结论？
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
二次函数与一元二次方程教学案经典例题讲解【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．练习一、选择题1．下列哪一个函数，其图形与x 轴有两个交点？ （ ）A. y =17(x +83)2+2274B. y =17(x -83)2+2274C. y = -17(x -83)2-2274D. y = -17(x +83)2+2274 2．已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x… 1- 0 1 3 … y…3-131…则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间3. 向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2+bx+c （a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒 4. 如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与 小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为2530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：( )（A ）6s （B ）4s （C ）3s （D ）2s(第4题) (第5题)5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米6.如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）二.填一填7.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．8. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.(第17题) (第18题)9.如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过__________秒，四边形APQC 的面积最小．三、解答题10．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?11. 已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。
高中数学《二次函数与一元二次方程、不等式》学案
二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。
【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次不等式的解法：（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q 时，若（x－p）（x－q）>0，则x>q或x<p；若（x－p）（x－q）<0，则p<x<q．有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0表示二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0，图象在x 轴的上方；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．含参数一元二次不等式求解步骤（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向； （2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数； （3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 解不等式应用题的四步骤：（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． （2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． （3）求：解不等式． （4）答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 三、学业达标1．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-2．如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），△AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知R x ∈，则“202x >-”是“24x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充要条件D ．必要不充分条件4．不等式()()5326x x +-≥的解集是（ ）A ．{5xx -∣或32x ⎫⎬⎭ B ．352x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣C ．{1xx ∣或92x ⎫-⎬⎭D ．912xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣ 5．若命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．((),22,-∞-+∞B ．-⎡⎣C ．(),22,⎡-∞-+∞⎣D ．(-6．设函数22()223f x x ax a a =++-+，若对于任意的x ∈R ，不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a ≥B ．2a ≤C ．322a <≤D ．32a ≤7．若不等式()()20ax x b --≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．0a >，12ab =B ． 0a >，2ab =C ．0a >，2a b =D ．0a >，2b a =8．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭。
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
二次函数与一元二次方程教学案二次函数与一元二次方程之间的联系 1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 ∙bx ∙ c =O 是二次函数y=a χ2∙b χ∙c 当函数值y=0时的特 殊情况.图象与X 轴的交点个数：①当A . =b 2 -4ac 0时，图象与X 轴交于两点A X i,0，B X 2,0 （X^-X 2）,其中的X l ，X 2是一兀二次方程ax? ∙ bx C =0 a 严0的两根.这两点间的距离② 当应-0时，图象与X 轴只有一个交点; ③ 当.—：0时，图象与X 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在X 轴的上方，无论X 为任何实数，都有y ∙0 ； 2'当a <0时，图象落在X 轴的下方，无论X 为任何实数，都有y ：：：0.2. 抛物线y =ax 2 ∙ bx C 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0， C ）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与X 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；2例：二次函数y = x — 3x+2与X 轴有无交点？若有，请说出交点坐标；若 没有，请说明理由：⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a , b ，C 的符号，或由二次函数中a , b ， C 的符号判断图象的位置，要 数形结合；⑶二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称 的点坐标，或已知与X 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 总结:⑴一元二次方程ax 2 bx ^0的实数根就是对应的二次函数AB 二 X ? - X i I 二b 2 -4acy = ax2 bx c 与X轴交点的_____ .⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为人、X2）⑶二次函数y =ax___________ .【例1】已知：关于X的方程mχ2-3（m T）x *2m-3=0 .（1求证：m取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数y1 =mx2 -3（m-1）x，2m-1的图象关于y轴对称.①求二次函数％的解析式;②已知一次函数W =2x-2 ,证明：在实数范围内，对于X的同一个值，这两个函数所对应的函数值y≥ y2均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数y^ax2 bx c的图象经过点（-5 ,0）,且在实数范围内，对于X的同一个值，这三个函数所对应的函数值yι≥ y3 ≥ y2 ,均成立，求二次函数y^ax2bx c的解析式.【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
二次函数与一元二次方程教案
21、3二次函数与一元二次方程一、教学目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、教学重点和难点重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.三、教学方法自主探究、合作交流四、教学设计（一）旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程x＋2＝0的根为________（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx ＋b＝0的根（二）新课引入：课题6.3二次函数与一元二次方程1、问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x2－2x－3的图象观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？解一元二次方程：x2－2x－3＝0你发现了什么？发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标（1）y＝x2-2x+1；（2）y＝x2-2x+3；（2）通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）2、设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？回顾判别式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根b2－4ac＜0 方程没有实数根那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳：b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点b2－4ac＝0 函数与x轴有一个交点b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）（三）基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是；2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。
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课题：§2.8二次函数与一元二次方程
【学习目标】体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
四、变式拓展，提升能力
例三．（2011•贵阳）如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
五、课堂演练，归纳方法
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
三、范例精析，规范解答
例一．已知：二次函数y= ．
求证：此二次函数图象与x轴总有交点；
例二．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
【学习过程】
一、回顾旧知，提出问题
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二、自主探究，构建新知
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
1．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）
…
0
1
3
…
…
1
3
1
…
A．抛物线开口向上B．抛物线与 轴交于负半轴
C．当 ＝4时， ＞0 D．方程 的正根在3与4之间
2.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的函数关系式是 ，那么小球运动中的最大高度为米．