高中数学必修五人教版(教师用)第三章§3.1 不等关系与不等式Word版含答案

学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识点一不等关系
思考限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
答案v≤40.
梳理试用不等式表示下列关系：
(1)a大于b a＞b
(2)a小于ba<b
(3)a不超过ba≤b
(4)a不小于b a≥b
知识点二作差法
思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？
答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
梳理作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.
知识点三不等式的基本性质
思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c.
答案a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.
梳理不等式性质：
(1)a>b⇔b<a(对称性)；
(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (7)a >b >0，n ∈N ，n ≥1⇒a n
>b n
； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒
类型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解 提价后销售的总收入为⎝
⎛⎭
⎪⎫8－
x －2.5
0.1
×0.2x 万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝
⎛
⎭
⎪⎫8－
x －2.5
0.1
×0.2x ≥20.
反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．
跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的钢管数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解 设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；
(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．
要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧
500x ＋600y ≤4000，
3x ≥y ，
x ≥0，
y ≥0.
类型二 比较大小
命题角度1 作差法比较大小
例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3
＋b 3
与a 2
b ＋ab 2
的大小． 解 ∵a 3
＋b 3
－(a 2
b ＋ab 2
)＝(a 3
－a 2
b )＋(b 3
－ab 2
) ＝a 2
(a －b )＋b 2
(b －a )
＝(a －b )(a 2
－b 2
)＝(a －b )2
(a ＋b )．
当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2
； 当a ≠b 时，(a －b )2
>0，a ＋b >0，a 3
＋b 3
>a 2
b ＋ab 2
. 综上所述，a 3
＋b 3
≥a 2
b ＋ab 2
.
反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3
－1与2x 2
－2x 的大小． 解 ∵(x 3
－1)－(2x 2
－2x )＝x 3
－2x 2＋2x －1 ＝(x 3
－x 2
)－(x 2
－2x ＋1)＝x 2
(x －1)－(x －1)2
＝(x －1)(x 2
－x ＋1)＝(x －1)， ∵(x －12)2＋3
4＞0，x －1＜0，
∴(x －1)＜0， ∴x 3
－1＜2x 2－2x .
命题角度2 作商法比较大小
例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解
|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，
∵0＜x ＜1，
∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )1
1－x
，
∵1－x 2
＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜1
1－x
，
∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )|
|log a (1＋x )|＞1，
∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.
反思与感悟 作商法的依据：若b ＞0，则a
b
＞1⇔a ＞b . 跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b
与a b b a
的大小．
解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b
)a －b
，
∵a ＞b ＞0，∴a
b
＞1，a －b ＞0，
∴(a b )a －b ＞1，即a a b b
a b b
a ＞1， 又∵a ＞
b ＞0，∴a a b b
＞a b b a
. 类型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b
. 证明 因为a >b >0，所以ab >0，1
ab
>0.
于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >c
b
.
反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明
⎭⎬⎫ ⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0
⎭
⎪⎬⎪
⎫c >d >0
b >0
⇒bc >bd >0
⇒ac >bd
.
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )
A.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥95，y ≥380，z >45
B.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥95，y >380，z ≥45
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x >95，y >380，z >45
D.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥95，y >380，z >45
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b
答案 C
解析 由a ＋b >0，知a >－b ，。