高考数学三轮考前通关 倒数第3天 理

高考数学三轮考前通关 倒数第3天 理
倒数第3天 附加题选做部分
[保温特训]
1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证： (1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2
＝BE ·BD －AE ·AC . 证明 (1)连接AD .
因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°. 又EF ⊥AB ，∠EFA ＝90°， 则A ，D ，E ，F 四点共圆． 所以∠AED ＝∠AFD .
(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连接BC ，显然△ABC ∽△AEF ， 所以AB AE ＝
AC
AF
， 即AB ·AF ＝AE ·AC ，
所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2
. 2．如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆
O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于
点D ，E ，求线段AE 的长．
解 在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°， 因为l 为过点C 的切线，所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°. 又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°. 连接OE ，在△AOE 中，
因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ， 所以AE ＝AO ＝1
2
AB ＝2.
3．求矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
11
2的特征值及对应的特征向量．
解 特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2
－4λ＋3
由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，
将λ1＝1代入特征方程组，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x －y ＝0，
－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，
可取⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量；
同理，当λ2＝3时，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，
所以可取⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．
综上所述，矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2 11
2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；
属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
a b
4对应的变换作用下得到直线
m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．
解 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．
A 、
B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′.
因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b
4⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2a －8，所
以B ′的坐标为(－2a ，－8)．
由题意，A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.
解得a ＝2，b ＝3.
5．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ，y ＝1＋2t
(t 为参数)，判断直线l 和
圆C 的位置关系．
解 消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；
ρ＝22⎝
⎛⎭
⎪⎫
sin θ＋π4
，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2
＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 得⊙C 的直角坐标方程为：(x －1)2
＋(x －1)2
＝2，
圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12
＝25
5＜2，所以直线l 和⊙C 相交． 6．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
5
t ＋2，y ＝4
5t (t
为参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 解 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2
＝2ρsin θ.
又x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0.
(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程， 得y ＝－4
3
(x －2)．
令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)． 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)， 半径r ＝1，则MC ＝5，
所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1，即MN 的最大值为5＋1. 7．解不等式|2x －4|＜4－|x |.
解 当x ＞2时，原不等式同解于2x －4＜4－x ，解得x ＜83，所以2＜x ＜8
3；
当0≤x ≤2时，原不等式同解于4－2x ＜4－x ，解得x ＞0，所以0＜x ≤2； 当x ＜0时，原不等式同解于4－2x ＜4＋x ，解得x ＞0，所以x ∈∅.
综上所述，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
0＜x ＜
8
3. 8．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2
＋mb 2
1＋m .
证明 因为m ＞0，所以1＋m ＞0，
所以要证⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2
1＋m ，
即证(a ＋mb )2
≤(1＋m )(a 2
＋mb 2
)， 即证m (a 2
－2ab ＋b 2
)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2
≥0显然成立，
故⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2
1＋m . [知识排查]
1．圆的切线性质、相交弦定理、切割线定理是处理直线与圆问题的重要定理，要灵活应用． 2．当题目中涉及圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，通过它构建垂直关系． 3．作图和证明要求语言规范，推理要有逻辑性．
4．矩阵的乘法满足结合律、加法与乘法的分配律，但不满足交换律和消去律．
5．已知图形变换前后的位置，求相应变换矩阵；求可逆矩阵的逆矩阵的通用方法是待定系数法．
6．要注意矩阵变换的顺序不可颠倒．
7．在求矩阵的特征值和特征向量时要结合定义．按步骤规范求解．
8．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法 加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．
9．化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数角，即选定合适的参数t ，先确定一个关系
x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标)．
10．极坐标与直角坐标互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x 轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．
11．不等式证明的基本方法有：比较法、综合法与分析法、反证法与放缩法、数学归纳法． 12．解绝对值不等式主要通过变形去掉绝对值符号转化为一元一次或一元二次不等式(组)进行求解．
13．应用绝对值不等式性质以及柯西定理求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．。