如何从一次函数图象上获取信息

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2023年中考数学《函数图像的信息获取和判断的秒杀方法》专项题型解析

2023年中考数学《函数图像的信息获取和判断的秒杀方法》专项题型解析◆题型一：函数图像的判断判断函数的图像并不需要把每段函数的解析式完整的求出来！秒杀方法：1.判断一次函数关系:只要判断出结果的未知数的次数，并不需要把解析数求出来，当次数是1时即为一次函数，然后通过k判断结果；2.判断二次函数关系：一般在求面积的时候，会有两个含未知数的式子相乘，即结果为二次函数关系，然后通过该二次项系数的正负判断函数的开口方向即可；3.判断反比例函数关系：只要判断出结果的未知数是不是在分母里即可。

【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=4√3cm,E是AD的中点，连接BE，CE．点P 从点B出发，以√3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s 的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）【答案】D【解析】由题意得：BE=4cm，bc=4√3cm，则Q从B到E需要4s，从E到C需要4s，共8s；P从B到C需要4s。

①当Q在线段BE上运动时，如图，作QF⊥BC，BP=t，QF=12BQ=√32t，则y=12⋅BF⋅QF，即可得函数为二次函数，且二次项系数＞0，开口向上，排除AC；②4s时，P到达终点，不再运动；点Q依然在运动，所以面积公式里只有一个变量，则对应函数为一次函数，因此选D。

1．（2013·湖南衡阳·中考真题）如图所示，半径为的圆和边长为的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为，圆与正方形重叠部分阴影部分的面积为S，则S与的函数关系式的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察图形，在运动过程中，S随的变化情况，得到开始随时间的增大而增大，当圆在正方形内时改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随的增大而减小，根据以上结论判断即可．【详解】解：∵半径为的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S随时间的增大而增大，∴选项A、D错误；∵当圆在正方形内时，改变，重合面积等于圆的面积，S不变，再运动，S随的增大而减小，∴选项C错误，选项B正确；故选：B．【点睛】本题主要考查动图形问题的函数图象，熟练掌握函数图象形状变化与两图形重合部分形状、大小变化的关系，是解决此题的关键．2．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，根据相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF 为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．5．（2022·广西河池·统考中考真题）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．故选：C．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x，∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．7．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵，∴，由题意知：，∴，由折叠的性质可得：，当点P与AB中点重合时，则有，当点P在AB中点的左侧时，即，∴与重叠部分的面积为；当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：由折叠性质可得：，，∴，∴，∴，∴与重叠部分的面积为；综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．8．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【详解】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3；③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）．分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．9．（2022·浙江台州·统考中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；故选：C．【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象．10．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．，，，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，四边形CMPN是平行四边形，，，，如图2中，当时，过点M作于K，则，．如图3中，当时，，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2022·山东济宁·三模）如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．【详解】解：当时，分别在线段，此时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当时，分别在线段，此时，底边上的高为，，为一次函数，图象为直线；当时，分别在线段，此时，底边上的高为，，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有B选项符合题意，故选：B【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．12．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图，在中，，点以每秒的速度从点出发，沿折线运动，到点停止，过点作，垂足为，的长与点的运动时间秒的函数图像如图所示，当点运动秒时，的长是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据图可判断，，则可确定时的值，利用的值，可求出．【详解】解：由图可得，，，当时，如图所示：此时，故B，，．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图得到、的长度，此题难度一般．13．（2022·广东深圳·深圳市海滨中学校考模拟预测）如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由图形可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，BC=4，由此可解△ABC；画出当x=3时的图形，利用相似可得出结论．【详解】解：如图①，过点A作AH⊥BC于点H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，结合图①可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，由函数图像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即（负值舍去），当x=3时，，如图②，∴设与DG的交点为M，由，则，∴，∴1：3=MD：，即，∴故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及相似三角形的性质与判定，解题关键是得出BC和DM的长．14．（2022·青海·统考一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是()A．B．C．D．【答案】D【分析】该题属于分段函数，根据图象需要得出：点在边上时，随的增大而减小；当点在边上时，随的增大而增大；当点在线段上时，随的增大而减小；当点在线段上时，随的增大而增大．【详解】解：如图，过点作于点．在中，，．①点在边上时，随的增大而减小．故A、B错误，不符合题意；②当点在边上时，随的增大而增大；③当点在线段上时，随的增大而减小，点与点重合时，最小，但是不等于零．故C错误，不符合题意；④当点在线段上时，随的增大而增大．故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象的含义，即会识图．15．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】依题意，可以知道路程先逐渐变大，再保持不变，然后逐渐变小直至为0．则可以作出判断．【详解】解：由题意可以看出点P在从O到A过程中，s随t的增大而增大；点P在上时，s等于半圆O的半径，即s随t的增大而保持不变；点P从B到O的过程中，s随t的增大而逐渐减少直至为0．只有选项C符合实际情况．故选：C．【点睛】此题考查了函数图像的识别，应抓住s随t变化的本质特征：从0开始增大，到达边线后不变，然后到达B点后开始减小直到0．16．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在中，，，．点D从A 点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4变量h（cm）0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．根据探究的结果，解答下列问题：①当时，________；当时，________．②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）A．变量h是以a为自变量的函数B．变量a是以h为自变量的函数(2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s．①分别求出当和时，s关于a的函数表达式；②当时，求a的值．【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A(2)①当时，；当时，；②或【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；（2）①如图，当时，，得到阴影部分是三角形ADE的面积:；当时，，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积：．②当时，令，解得a；当时，令，解得a即可求解；（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当时， 1.5；当时，1或3．故答案为：1.5；1或3；②连线如图2-1、图2-2所示：③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合，故选：A.（2）①如图3，当时，，∴阴影部分的面积：；当时，，∴阴影部分的面积：．∴当时，；当时，．②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）．当时，令，解得或（不符合题意，含去）．∴当时，或．【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键．◆题型二：根据已知图像获取相关信息把图像和运动情况结合起来，了解每一个转折点，每条线的具体含义。

4.4《一次函数图像的应用》北师大版八年级数学上册课件

想一想
(1).一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ (2). 摩托车每行驶100千米消耗多少升? (3). 油箱中的剩余油量小于1升时将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警?
(1)当 y=0时, x=500,因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米.
(2).x从100增加到200时, y从8减少到6,减少了2, 因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油.
V/万米3
t/天
想一想
(1).干旱持续10天,蓄水量为多少?连续干旱23天呢?
分析：干旱10天求蓄水量就是已知自变量 t=10求对应的因变量的值-----数
体现在图象上就是找一个点，使点的横坐标是10，对应在图象上找到此点纵坐标的值（10，V）--------形
答：持续干旱10天，储水量时1000万立方米；持续干旱23天，储水量是750 万立方米。
V/万米3
（10，1000）（23，750）
t/天
(2).蓄水量小于400 万立方米时,将发生严重的干旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报? 干旱40天后将发出干旱警报
V/万米3
（40，400）
t/天
(3).按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸? 60天后水库将干涸
V/万米3
60 t/天
作业布置
（100，8）（200，6）
(3).当y=1时,x=450,因此行驶了450千米后,摩托车将自动报警.
（450，1）
如何解答实际情景函数图象的信息？
1：理解横纵坐标分别表示的的实际意义
2：分析已知（看已知的是自变量还是因变量），通过做x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值

第07讲一次函数-—图象与性质(教案)

-根据图象分析一次函数的性质
-一次函数图象的变换与识别
4.练习与巩固
-判断一次函数的增减性
-根据斜率和截距绘制一次函数图象
-解答与一次函数相关的问题，运用图象分析解决实际问题
二、核心素养目标
1.培养学生的数感与符号意识，通过一次函数的学习，使学生能够理解数学符号表示的实际意义，提高运用符号进行表达和交流的能力。
-图象的变换：难点在于掌握一次函数图象的平移、压缩、拉伸等变换规律，以及这些变换对斜率和截距的影响。
-例如：当一次函数图象进行平移时，斜率k保持不变，截距b发生变化，学生需要理解这种变换背后的数学原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数—图象与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体以固定速度移动的情况？”（如骑自行车匀速前进）。这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数图象与性质的奥秘。
2.教学难点
-一次函数图象的理解：难点在于理解一次函数图象的几何意义，如何从图象中获取信息，以及如何将实际问题转化为一次函数图象。
-例如：学生可能难以理解图象上某点的坐标如何对应实际问题中的具体情境。
-一次函数性质的深入理解：难点在于理解斜率和截距对一次函数图象的精确影响，以及如何通过性质预测图象的形态。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率和截距这两个重点。对于难点部分，如斜率的意义和截距的物理含义，我会通过举例和图象分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如物体的匀速运动。

八年级数学下第二十一章一次函数21.4一次函数的应用21.4.2建立一次函数模型解双函数应用

感悟新知
3 某工厂有甲、乙两个净化水池，容积都是480 m3.注知2－练满乙池的水得到净化可以使用时，甲池未净化的水已有192 m3.此时，乙池以10 m3/h的速度将水放出使用，而甲池仍以8 m3/h的速度注水.设乙池放水为x h 时，甲、乙两池中的水量用y m3表示.
(1)分别写出甲、乙两池中的水量y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像.
A
14
20
B
10
8
感悟新知
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y( 知2－讲元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围.
(2)求出最低总费用，并说明总费用最低时的调配方案.
导引：(1)第一步，先用含x的式子表示出从甲仓库运往B港口的物资的吨数，以及从乙仓库运往A、B两港口的物资吨数；第二步，根据运输的总费用等于四条运输路线的费用总和，便可求出总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式；第三步，根据问题的实际意义列出不等式组，即可求得x的取值范围． (2)根据一次函数的增减性及自变量的取值范围，即可确定总费用最低时的物资调配方案和最低总费用．
知1－练
感悟新知
3. 【中考·葫芦岛】甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图像如图所示，下列说法正确的有( D )
①甲车的速度为50 km/h ②乙车用了3 h到达B城 ③甲车出发4 h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1 h或3 h两车相距50 km A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二十一章一次函数
21.4 一次函数的应用
第2课时建立一次函数模型解双函数应用

一次函数的函数图像与函数表达式关系解析

一次函数的函数图像与函数表达式关系解析一次函数，又称为线性函数，是数学中最简单的一类函数。

它的函数图像是一条直线，具有如下的一般形式：y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，而 x 则是自变量。

本文将对一次函数的函数图像与函数表达式之间的关系进行解析，并探讨一次函数在实际问题中的应用。

1. 函数图像解析一次函数的图像是一条直线，通过确定两个点即可绘制出该直线。

其中，常数 b 决定了直线在 y 轴上的截距，而常数 a 决定了直线的斜率。

当 a = 0 时，该直线与 x 轴平行，函数图像为一条水平直线；当 a≠ 0 时，函数图像为一条斜直线。

斜率 a 的正负决定了函数图像的斜向，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜。

2. 函数表达式解析对于一次函数 y = ax + b，一般常用的表达式形式有两种：斜截式和点斜式。

- 斜截式：y = ax + b 中，a 表示斜率，b 表示 y 轴截距。

斜截式适用于已知斜率和截距的情况，通过代入斜率和截距的值，可以直接得到函数表达式。

- 点斜式：y - y₁ = a(x - x₁) 中，a 表示斜率，(x₁, y₁) 表示直线上的任意一点坐标。

点斜式适用于已知直线上一点的坐标和斜率的情况，通过代入点的坐标和斜率的值，可以得到函数表达式。

3. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 经济学中的成本函数和收入函数：将不同产量下的成本或收入与产量之间建立一次函数关系，从而进行经济分析和决策。

- 物理学中的速度函数和位移函数：将物体的位移或速度与时间之间建立一次函数关系，用于求解物体的运动轨迹和速度变化。

- 工程学中的线性传感器：通过线性传感器将输入信号与输出信号建立一次函数关系，实现对信号的测量和处理等功能。

通过以上的解析可以看出，一次函数的函数图像与函数表达式之间存在着紧密的关系。

函数图像的特征可以通过函数表达式的斜率和截距来确定，而函数表达式可以通过图像上的两个点或已知直线上一点的坐标和斜率来确定。

根据函数图像求函数解析式

例题：已知一次函数的图象经过点(1,-1)与（2，－3）. 求这个一次函数的解析式．解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把x=1,y=-1；x=2,y=-3 分别代入上式得： k+b=-1 2k+b=-3
因为图象过（1，-1）与（2，-3）点，所以这两点的坐标必适合解析式Fra bibliotek解方程组得
教学难点
如何用待定系数法求函数解析式
一、创设情景，提出问题
1、复习：
你能画出y=2x，y=-2x，y=2x+1和 y=-2x+3的图象吗？通过复习一次函数
图像，明确一次函数图像是一条直线，确定画出两点就可以了
2.引入新课
在上节课中我们学习了画出一次函数的图象及有关性质；我们今天要根据给出信息，求出函数的表达式。
k=-2 b=+1
∴这个一次函数的解析式为y=-2x+1
例题：已知一次函数的图象经过点(1,-1)与（2，－3）.求这个一
次函数的解析式．
象这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
1.设出函数解析式y=kx+b
x 2， y2 2.选取满足条件的两定点 x1，y1 ，
3 将两点代入解析式方程 4.求出k，b，写出解析式
①若y=kx的图象经过(1，2)点，求函数解析式
3. 已知一次函数 y=kx+b 当x=-1时， y的值为4, 求k的值
解：把x=-1,y=4代入y=kx+2得：4=-k+2，解得 k=-2
——待定系数法
茂名市公馆一中

一次函数的图象教案6篇

一次函数的图象教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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一次函数解析式、图像性质

个性化教学辅导教案⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =2.一次函数：形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。

注意：（1）k ≠0,否则自变量x 的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。

3.正比例正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注意：①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。

②自变量x 的指数只能为1 新知识概要函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b ）；与x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k﹥0时，y随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。

同步练习1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）A. y=–3xB. y= –0.5x+1C. y= x– 4D. y= –2x-72. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而减小，则a满足________ .（a< –1）3. 对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______（减小）4. 已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数 y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3为_________ .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

一次函数的简单应用(解析版)

5.5一次函数的简单应用一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.一、单选题1．小苏现已存款180元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y （元）与时间x （月）之间的关系式是（）A ．10y x =B ．180y x =C ．18010y x =-D ．18010y x =+ 【答案】D【提示】根据存款总数=已存款180元+x 个月的存款数，可以写出存款总金额y （元）与时间x （月）之间的函数关系式，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，18010y x =+．故选：D ．【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式． 2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（） A ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化C ．水箱有水10L ，以0.5L/min 的流量往外放水，水箱中的剩水量L V 随着放水时间min t 的变化而变化D ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化【答案】B【提示】先依据题意列出函数关系式，然后依据函数关系式进行判断即可．【解答】解：A 、正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化的关系式，关系式为S ＝x2，不是正比例函数，故错误；B 、正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化，关系式为C ＝4x ，是正比例函数，故正确；C 、水箱有水10L ，以0.5L/min 的流量往外放水，水箱中的剩水量L V 随着放水时间min t 的变化而变化，关系式为V ＝10−0.5t ，不是正比例函数，故错误；D 、面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化的关系式为a ＝40h，不是正比例函数，故错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如y=kx （k≠0）的函数为正比例函数是解题的关键．3．小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m （单位：个）与工作时间t （单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（）个A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【提示】此题只要能求出3时之后的一次函数解析式，从而求出当x=3时的纵坐标，除以3即可．【解答】解：从图象可知3时之后的函数图象为一次函数且经过(5,24)，(6,30) 设该时段的一次函数解析式为：y kx b =+，可列出方程组：524630k b k b +=⎧⎨+=⎩，求解得：66k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：66y x =-，当3x =时，12y =，1234∴÷=故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握求解一次函数解析式和掌握图象中的关键拐点含义是解题的关键．4．食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（100℃）．小明为了用刻度不超过100℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒人一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s 测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间/s t10 20 30 40油温/y ℃ 10 30 50 70 90而且，小明发现，烧了110s 时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（）A ．200℃B ．230℃C ．260℃D ．290℃【答案】B【提示】由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把x=110代入即可．【解答】解：设油温与时间的函数关系是y=kx+b ，则103010b k b =⎧⎨=+⎩，解得210k b =⎧⎨=⎩ ∴y=2x+10，当x=110时，y=2×110+10=230．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式． 5．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD ，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m ，设边BC 的长为x m ，边AB 的长为y m ()x y >．则y 与x 之间的函数表达式为（）A ．212(012)y x x =-+<<B ．()164122y x x =-+<<C ．212(012)y x x =-<<D ．16(412)2y x x =-<< 【答案】B【提示】根据菜园的三边的和为12m ，即可得出一个x 与y 的关系式．【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m ，212y x ∴+=，162y x ∴=-+，0y >，x y >， ∴1602162x x x ⎧-+>⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩，解得412x <<，16(412)2y x x ∴=-+<<，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m ，列出关于x ，y 的方程是解决问题的关键．6．某油箱容量为50L 的汽车，加满汽油后开了200km 时，油箱中的汽油大约消耗了14．如果加满汽油后汽车行驶的路程为km x ，油箱中的剩油量为L y ，则y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A ．0.0625,0y x x =>B ．500.0625,0y x x =->C ．0.0625,0800y x x =≤≤D ．500.0625,0800y x x =-≤≤ 【答案】D【提示】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案．【解答】解：因为油箱容量为50 L 的汽车，加满汽油后行驶了200 km 时，油箱中的汽油大约消耗了14，可得：14×50÷200＝0.0625L/km ，50÷0.0625＝800（km ），所以y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围是：y ＝50−0.0625x ，0≤x≤800，故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．7．已知A 、B 两地相距600米，甲、乙两人同时从A 地出发前往B 地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②2分钟后，乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B 地；④当x=2或6时，甲乙两人相距100米．其中，正确的是( )A．①②③B．②③④C．①②④D．①②【答案】C【提示】根据函数图像中的信息，逐一解答即可判定．【解答】解：由图像可得：①甲图像是正比例函数，甲每分钟走600÷6=100(米)，故①正确；②两分钟后，乙每分钟走5003005062-=-(米)，故②正确；③甲到达B地所用的时间是6分钟，乙前2分钟走300米，2分钟之后速度为50米/分，2分钟之后所用的时间为600300650-=(分)，所以甲比乙提前2分钟到达B地，故③不正确；④当x=2时，甲路程为100×2=200(米)，乙路程为300米，则甲乙两人相距100米；当x=6时，甲路程为600米，乙路程为500米，则甲乙两人相距100米，故④正确；故正确的有①②④，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图像，准确识图并根据函数图像的变化情况获取信息是解题的关键．8．“吉祥物趣事”，某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速行走3600米、当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．容融的速度为40米/分钟B．墩墩休息了23分钟C．第85分钟时，墩墩到达终点D．领先者到达终点时，两者相距200米【答案】B【提示】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：由图象可得，容融的速度为：36009040÷=（米/分钟），故选项A正确，不符合题意；÷=（分钟），故选项B错误，符合题意；墩墩休息了：10004025墩墩的速度为：4010005060+÷=（米/分钟），5025(36006050)6085++-⨯÷=（分钟），即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C正确，符合题意；-⨯=（米），(9085)40200即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．牛奶配送员小吴从县城出发，骑配送车到米村配送牛奶，途中遇到在县城上学的外甥张聪从米村步行返校上学，小吴在米村配送牛奶后，在返回县城途中又遇到张聪，便用配送车载上张聪一起返回县城，结果小吴比预计时间晚到5分钟．二人与县城间的距离y（km）和小吴从县城出发后所用的时间x（min）之间的关系如图，假设两人之间的交流时间忽略不计，则下列说法正确的有（）个．①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为25min．②小吴从县城出发，最后回到县城用时100min．③两人第一次相遇时，小吴距离米村2km．④张聪从米村到县城步行速度为0.05km/min．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【提示】从图中可以看出小吴和张聪并不是同时出发的，小吴还有在A村停留时间30分钟，小吴去A村和返回速度不一样，这些都可以从图中看出来．小吴到达米村后配送牛奶所用时间为停留时间即65与35的差可对①判断；小吴从县城出发到返回县城所用时间，从图中可以看出包括去时用的时间加在A 村待的时间加上返回遇张聪的时间加上原计划时间再加上晚到1分钟，即可对②进行判断；由图象可知，小吴35分钟后离县城7千米，所以两人第一次相遇即25分钟时小王距县城25×735=5千米，进一步可对③判断；求出两次相遇时的距离及间隔时间即可求出张聪从米村到县城步行速度，从而对④进行判断【解答】①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为60-35=25min ，故①正确； ②从图中可以看出小吴从离城7千米到2千米用时85分钟小吴返回的速度=（7-2）÷（85-60）=0.2（千米/分钟），小吴原计划返回用时7÷0.2=35分钟，结果小吴比预计时间晚到5分钟．故小吴从县城出发，最后回到县城用时为35+25+25+10+5=100min ．故②正确； ③由图象可知，小吴35分钟后离县城7千米，所以两人第一次相遇即25分钟时小吴距米村：7-25×735=7-5=2千米，故③正确；④两次相遇时张聪走的路程为5-2=3千米，用时为85-25=60分钟，所以步行速度为：3÷60=0.05千米/分钟，故④正确．正确的结论有4个，故选：D ．【点睛】此题考查了一次函数的应用，注意数形结合以及行程问题的解决方法．10．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，56t =或54或154或256．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【提示】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令y y =甲乙可判断③；令50y y -=甲乙，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④．【解答】由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时， ∴①②都正确；设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y kt =甲，把()5,300代入可求得60k =，60y t ∴=甲，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y mt n =+乙，把()1,0和()4,300代入可得04300m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100100m n =⎧⎨=-⎩，100100y t ∴=-乙，令y y =甲乙可得：60100100t t =-，解得 2.5t =，即甲、乙两直线的交点横坐标为 2.5t =，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车， ∴③正确；令50y y -=甲乙，可得6010010050t t -+=，即1004050t -=，当1004050t -=时，可解得54t =，当1004050t -=-时，可解得154t =，又当56t =时，50y =甲，此时乙还没出发，当256t =时，乙到达B 城，250y =甲；综上可知当t 的值为56或54或154或256时，两车相距50千米，∴④正确；综上可知正确的有①②③④共4个，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像上读取信息，读懂题意，理清甲乙两车的行驶情况，运用数形结合思想解题是关键．11．已知A ，B 两地相距3千米，小黄从A 地到B 地，平均速度为4千米/时．若用(x 时)表示行走的时间，(y 千米)表示余下的路程，则y 关于x 的函数解析式是______．【答案】()3400.75y x x =-≤≤【提示】先求出小黄从A 地到B 地所需的时间，从而可得x 的取值范围，再利用余下的路程等于3减去已走的路程即可得．【解答】解：小黄从A 地到B 地所需的时间为340.75÷=（时），则00.75x ≤≤，由题意得：34y x =-，则y 关于x 的函数解析式是()3400.75y x x =-≤≤，故答案为：()3400.75y x x =-≤≤．【点睛】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系，并正确求出自变量的取值范围是解题关键． 12．公民的月收入超过5000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在3000 元以内（含3000元）时税率为3%．根据已知信息，公民每月所缴纳税款y （元）与月收入x （元）之间的函数关系式是__________，自变量的取值范围是__________．【答案】 003150.y x =-+ 5000＜x≤8000【提示】超过部分在3000元以内（含3000元）时税率为3%，所以必须从收入中减去5000后，再去考虑缴税多少，即可解答．【解答】解：根据题意可知y 与x 之间的函数关系式为：()50003003150%.y x x =-⨯=-+，（5000＜x≤8000）．故答案为：003150.y x =-+；5000＜x≤8000．【点睛】本题主要考查的是一次函数的实际问题，理解题意，根据题意得出需要缴税的部分为()5000x -元，是解题的关键．13．在槐荫区“勾股数学”杯初中校际联赛中，小明的队伍在第一轮中获得积分50分，第二轮共10道题，每答对一道题得10分，则两轮总积分y （分）与第二轮答对题目数量x （道）之间的关系式为__________（010x ≤≤，x 为正整数）．【答案】5010y x =+【提示】根据“两轮总积分y （分）等于第一轮积分与第二轮积分的和”，用含有x 的代数式表示第二轮的积分即可．【解答】解：由题意得，故答案为：5010y x =+；【点睛】本题考查函数关系式，理解“两轮总积分y （分）”的意义，掌握“积分=每题得分×答对的题目数”是正确解答的关键．14．某公司准备和A 、B 两家出租车公司中的一家签订合同．设A 、B 两出租车公司收费y （元）与行程x （每千米）的关系分别是l1，l2，若行驶大于2500km ，则选择 _____出租车公司较合算．【答案】A【提示】根据函数图象作出判断即可．【解答】解：由图象可知：当1500x <时，12y y >；当1500x >时，12y y <； ∵行驶大于2500km ，即2500x >， ∴选择A 出租车公司较合算，故答案为：A ．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据图象越高费用也越高判断出图象各部分的费用高低，再作出选择是解答本题的关键．15．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为____方．月用水量不超过12方部分超过12方不超过18方部分超过18方部分收费标准（元/方） 2 2.53【答案】20【提示】根据题意可知：先判断出该用户用的水与18方的关系，再设用水x 方，水费为y 元，继而求得关系式为y=39+3（x-18）；将y=45时，代入上式即可求得所用水的方数．【解答】解：∵45＞12×2+6×2.5=39， ∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，设用水x 方，水费为y 元，则关系式为y=39+3（x-18）．当y=45时，x=20，即用水20方．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数的解析式和根据自变量的值求函数值．弄清对应的水费是解决问题的关键．16．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量5y ≥（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．【答案】3【提示】当2x ≤时，设1y k x =，把（2，6）代入计算即可得3y x =，当2x >时，设2y k x b =+，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得82734y x =-+，把5y =代入3y x =中得53x =，把5y =代入82734y x =-+中得143x =，进行计算即可得．【解答】解：当2x ≤时，设1y k x =，把（2，6）代入得， 162k =，解得，13k =， ∴当2x ≤，3y x =，当2x >时，设2y k x b =+，把点（2，6），（10，3）代入得，2226103k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得，283274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴当2x >时，82734y x =-+，把5y =代入3y x =中，得53x =，把5y =代入82734y x =-+中，得143x =，则145333-=（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．17．2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y （单位：元）与行驶里程x （单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．【答案】3【提示】待定系数法求出x≥2时y 关于x 的函数解析式，再求出x=22时y 的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解．【解答】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b ，将（2，7）、（7，15）代入，得：27715k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：85195k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=85x+195，当x=22时，y=85×22+195=39，即新车的打车费用为39（元），老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元），39-36=3（元）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．18．已知A ，C 两地之间有一站点B ，甲从A 地匀速跑步去C 地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B 走向C 地，两人到达C 地后均原地休息．甲、乙两人与站点B 的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．（1）站点B 到C 地的距离为_____米；（2）当x=_____时，甲、乙两人相遇．【答案】 800 10【提示】（1）由图象可知乙从站点B 到C 地所用时间，再用时间×速度=路程得出结论；（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．【解答】解：（1）根据题意，站点B 到C 地的距离为：50×(18-2)=800(米)，故答案为：800；（2）由图象可知甲的速度：400÷5=80(米/分)，设经过x 分钟，甲、乙两人相遇，则80x=400+50(x-2)，解得x=10，∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．三、解答题19．某种气体在0℃时的体积为100L ，温度每升高1℃，它的体积增加0.37L ． (1)写出气体体积()L V 与温度()t ℃之间的函数表达式(2)求当温度为30℃时气体的体积．(3)当气体的体积为107.4L 时，温度为多少摄氏度？【答案】(1)1000.37V t =+ (2)111.1L (3)20℃【提示】（1）根据题意，直接写出函数表达式即可，气体体积=0℃时的体积+增加的体积；（2）将30t =℃代入（1）中的函数表达式即可；（3）将107.4L V =代入（1）中的函数表达式即可．【解答】（1）解：根据题意得：1000.37V t =+．（2）当30t =℃时，1000.3730111.1V =+⨯=， ∴当温度为30℃时，气体的体积为111.1L ．（3）当107.4L V =时，107.41000.37t =+，解得：20t =，∴气体的体积为107.4L 时，温度为20℃．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，写出一次函数的表达式．20．在某一段时期，一年期定期储蓄的年利率为4.14%，规定储蓄利息应付个人所得税的税率为5%．设按一年期定期储蓄存入银行的本金为x 元，到期支取时扣除个人所得税后实得本利和为y 元． (1)求y 关于x 的函数表达式．(2)把18000元钱按一年期定期储蓄存入银行．问：到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为多少元？【答案】(1) 1.03312y x = (2)18707.94元【提示】（1）根据利息=本金⨯利率⨯时间列式计算求出本金；根据税率为利息的20%可得扣除个人所得税后实际利息=利息()120%⨯-；（2）将18000x =代入（1）的解析式进行计算即可求解．【解答】（1）解：依题意，()()1 4.14%1 4.14%5%1 1.04140.00207 1.03933y x x x x =+⨯-⨯⨯=-= 即： 1.03933y x =，（2）当18000x =时， 1.039331800018707.94y =⨯= 到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为18707.94元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键．21．“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． (1)求每千克花生、茶叶的售价；(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销600千克，若花生销售m 千克()120m ≥，花生和茶叶的销售总利润为w 元，求w 的最大值．【答案】(1)每千克花生10元，每千克茶叶50元(2)当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，w 的最大值为7200【提示】（1）设每千克花生x 元，每千克茶叶(40)x +元，列出一元一次方程求解即可；（2）设花生销售m 千克，茶叶销售(600)m -千克，先根据总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出m 的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求出最大值．【解答】（1）解：设每千克花生x 元，每千克茶叶(40)x +元，根据题意得：5010(40)x x =+，解得：10x =，40401050x +=+=（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）解：设花生销售m 千克，茶叶销售(600)m -千克获利最大，利润w 元，由题意得：(106)(5036)(600)484014108400w m m m m m =-+--=+-=-+，100-<，w ∴随m 的增大而减小，120m ，∴当120m =时，利润w 最大，此时花生销售120千克，茶叶销售600120480-=（千克），1012084007200w =-⨯+=最大（元）， ∴当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，w 的最大值为7200．【点睛】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式进行求解．22．某电信公司手机的A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min 计；B 类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.6元/min 计．按照此类收费标准完成下列各题：(1)直接写出每月应缴费用y （元）与通话时长x （分）之间的关系式： A 类：________；B 类：______．(2)若每月平均通话时长为300分钟，选择类收费方式较少．(3)求每月通话多长时间时，按A ，B 两类收费标准缴费，所缴话费相等．【答案】(1)0.212y x =+；0.6y x = (2)选择A 收费方式较少 (3)30分钟【提示】（1）根据题目中收费标准可列出函数关系式；（2）根据两种收费方式，计算结果比较得出答案即可；（3）设每月通话时间x 分钟，按A 、B 两类收费标准缴费，所缴话费相等列出方程解答即可．【解答】（1）解：根据题意，得A 类：0.212y x =+，B 类：0.6y x =；故答案为：0.212y x =+；0.6y x =．（2）解：A 类收费：120.230072+⨯=元；B 类收费：0.6300180⨯=元；18072>，所以选择A 类收费方式；（3）解：设每月通话时间x 分钟，根据题意，得120.20.6x x +=，解得：30x =．答：每月通话时间30分钟，按A 、B 两类收费标准缴费，所缴话费相等【点睛】本题主要考查一次函数的应用，由条件列出相应的函数关系式是解题的关键．23．某移动公司设了两类通讯业务，A 类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元，B 类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x 分钟，两种方式费用分别是A y ，B y 元． (1)分别写出A y ，B y 与x 之间的函数关系式．(2)某人估计一个月通话时间为300分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程．(3)小明用的A 卡，他计算了一下，若是B 卡，他本月话费将会比现在多100元，请你算一下小明实际话费是多少元？【答案】(1)500.4A y x =+，0.6B y x = (2)选择A 类 (3)350元【提示】（1）A 类应缴50元月租费，每通话1分钟，付0.4元，则费用是月租费加上通话费；B 类不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，则费用是通话费与时间的乘积，通讯x 分钟，由此即可求解；（2）由（1）的结论可知，当300x =时，170A y =元，180B y =元，由此即可求解；（3）由题意可知选择A 卡的费用比选择B 卡的费用少100元，由此可列出等量关系100A B y y +=，由此即可求解．【解答】（1）解：根据题意得，A 类的费用是月租费加上通话费，即500.4A y x =+；B 类的费用是通话费与时间的乘积，即0.6B y x =，∴500.4A y x =+，0.6B y x =．（2）解：通话时间为300分钟，根据（1）中的结论得，500.4500.4300170A y x =+=+⨯=（元），0.60.6300180B y x ==⨯=（元） ∵AB y y <，∴选择A 类．（3）解：根据题意得，100A B y y +=，∴500.41000.6x x ++=，解方程得，750x =，即小明打电话的时间为750分钟， ∴500.4500.4750350A y x =+=+⨯=（元）， ∴小明实际话费是350元．【点睛】本题主要考查一次函数在实际中的运用，解题的关键是理解两类缴费的方式，A 类的费用是月租费加上通话费，B 类的费用是通话费与时间的乘积．24．如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．y 表示车离学校的距离（千米），x 表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：(1)学校离大剧院相距千米，汽车的速度为千米/小时； (2)求线段BC 所在直线的函数表达式；(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米/小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．【答案】(1)15，60 (2)105604y x =-(3)该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象见解析【提示】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；（2）设步行速度为m 千米/小时，可得：15(60)21532m +=⨯，即可解得15(32B ，15)8，从而可得11(16C ，15)，用待定系数法得线段BC 所在直线的函数表达式为105604y x =-；（3）由学生全部达到大剧院时，1116x =，出租车到达大剧院时，15110.58016x =+=，知该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，再画出图象即可．【解答】（1）解：由图象可得，学校与大剧院相距15千米，汽车的速度为115604÷=（千米/小时），故答案为：15，60；（2）设步行速度为m 千米/小时，根据题意得：15(60)21532m +=⨯，解得4m =， ∴步行的路程为15154328⨯=（千米）， 15(32B ∴，15)8，。

(完整版)一次函数的图像与性质知识点总结

一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、一次函数和正比例函数的概念若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k ，b 为常数,k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量)，特别地,当b=0时，称y 是x 的正比例函数。

例如：y=2x+3，y=—x+2,y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.知识点2、函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点(0，b)，直线与x 轴的交点（-kb ,0）。

但也不必一定选取这两个特殊点。

画正比例函数y=kx 的图象时,只要描出点（0，0），（1,k ）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1)k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）｜k ｜大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小(直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置;①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上;②当b＜0时,直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）;②当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）;④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同,说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此,它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0)的性质(1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2)当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3)当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0,y）与直线y=kx+b的图象的关系(1）如果点P(x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x，y的值必满足解析式y=kx+b；(2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值,那么以x，y为坐标的点P（1，2)必在函数的图象上．例如:点P（1,2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2,则点P（1,2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3,所以点P′（2,1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k的值．（2)由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如:函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤(1）设函数表达式为y=kx+b;（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组)；（3）求出k与b的值,得到函数表达式．。

初中数学如何通过一次函数的图像确定其斜率和截距

初中数学如何通过一次函数的图像确定其斜率和截距一次函数，也称为线性函数，是初中数学中的重要内容之一。

掌握如何通过一次函数图像确定其斜率和截距非常重要，因为它可以帮助我们进一步理解函数的性质和应用。

在本文中，我们将详细介绍如何通过一次函数图像确定其斜率和截距。

一次函数的一般形式为y = mx + b，其中m 表示斜率，b 表示截距。

通过观察一次函数的图像，我们可以确定其斜率和截距。

下面分别介绍如何通过图像确定斜率和截距。

1. 通过图像确定斜率：一次函数图像的斜率代表了函数图像的倾斜程度和方向。

可以通过图像上任意两个点的坐标，计算出函数的斜率。

具体步骤如下：-选择图像上两个点P(x1, y1) 和Q(x2, y2)，这两个点不在同一条垂直于x 轴的直线上。

-计算斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

-得出一次函数的斜率为m。

通过观察图像上两个点的坐标，我们可以计算出斜率m。

需要注意的是，在一次函数图像上，斜率是恒定的，因此用任意两个不在同一条垂直于x 轴的直线上的点都可以计算出斜率。

2. 通过图像确定截距：一次函数图像的截距代表了函数图像与y 轴的交点，也就是函数图像在y 轴上的位置。

可以通过观察图像上一点的坐标，计算出函数的截距。

具体步骤如下：-选择图像上的一个点A(x, y)。

-计算截距b = y - mx。

-得出一次函数的截距为b。

通过观察图像上任意一个点的坐标，我们可以计算出截距b。

需要注意的是，在一次函数图像上，截距是与斜率相关联的，因此需要先确定斜率，才能计算截距。

通过上述步骤，我们可以通过观察一次函数图像，确定其斜率和截距。

这对于理解一次函数的性质和应用非常重要。

需要注意的是，在实际问题中，除了通过图像确定斜率和截距外，还可以通过已知的函数值和自变量值计算斜率和截距。

总结：通过观察一次函数图像，我们可以确定其斜率和截距。

斜率可以通过图像上任意两个不在同一条垂直于x 轴的直线上的点计算得出；截距可以通过图像上任意一个点的坐标计算得出。

56. 如何利用图像判断一次函数的解？

56. 如何利用图像判断一次函数的解？关键信息项：1、一次函数的定义及表达式表达式：＿___________________________2、图像的绘制方法坐标轴选择：＿___________________________描点步骤：＿___________________________3、图像与解的关系与 x 轴交点：＿___________________________与 y 轴交点：＿___________________________4、具体判断方法单个点的判断：＿___________________________区间内解的判断：＿___________________________11 一次函数的定义一次函数是函数中的一种，一般形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k≠0）的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。

111 一次函数表达式中的参数在表达式 y ＝ kx ＋ b 中，k 被称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；b 被称为截距，表示函数图像与 y 轴的交点纵坐标。

112 一次函数表达式的确定若已知函数图像上两个不同点的坐标（x1，y1）和（x2，y2），则可以通过以下公式确定 k 和 b：k ＝（y2 y1）／（x2 x1）然后将其中一个点的坐标代入表达式，可求出 b。

12 图像的绘制方法121 坐标轴选择通常选择水平方向的数轴为 x 轴，代表自变量的值；垂直方向的数轴为 y 轴，代表因变量的值。

122 描点步骤首先，根据函数表达式，选取若干个 x 的值。

然后，将这些 x 值分别代入表达式，计算出对应的y 值。

最后，在坐标系中标出这些点（x，y）。

13 图像与解的关系131 与 x 轴交点当 y ＝ 0 时，求出对应的 x 值，该点即为函数图像与 x 轴的交点。

这个 x 值就是一次函数的解之一。

132 与 y 轴交点当 x ＝ 0 时，求出对应的 y 值，该点即为函数图像与 y 轴的交点。

理解一次函数的图像特征

理解一次函数的图像特征一次函数是数学中常见的一种函数类型，其图像特征具有一定的规律性和可观察性。

通过深入理解一次函数的图像特征，我们可以更好地解读和分析函数在数轴上的变化规律，进而应用于实际问题中。

本文将从斜率、截距和变化趋势等方面，探讨一次函数的图像特征。

一、斜率的意义与影响一次函数的图像特征中，斜率起着重要的作用。

斜率代表了函数图像在数轴上的倾斜程度，表征了函数值随自变量增大而变化的速率。

一次函数的斜率常用符号k表示。

斜率为正数时，函数图像呈现上升趋势，说明随着自变量的增大，函数值也随之增大。

斜率的绝对值越大，函数上升或下降的速度越快。

斜率为负数时，函数图像呈现下降趋势，说明随着自变量的增大，函数值反而减小。

同样，斜率的绝对值越大，函数下降速度越快。

当斜率为0时，函数图像是平行于自变量轴（x轴）的水平线，表示函数值保持不变。

斜率为正无穷大或负无穷大时，函数图像是垂直于自变量轴（x轴）的直线，表示函数值无穷增长或无穷减小。

二、截距的含义与分析截距是描述一次函数图像特征的另一个重要参数。

截距代表了函数图像与数轴的交点，即函数在自变量为0时的函数值，常用符号b表示。

截距为正数时，函数图像与y轴有一个正的交点，说明当自变量为0时，函数的值为正。

截距为负数时，函数图像与y轴有一个负的交点，说明当自变量为0时，函数的值为负。

截距为0时，函数图像与y轴交于原点，说明当自变量为0时，函数的值也为0。

三、变化趋势的分析与应用通过斜率和截距，我们可以更加具体地分析一次函数的变化趋势。

当斜率为正数且截距为正数时，函数图像从左下方逐渐上升，在数轴上右侧的函数值逐渐增大。

当斜率为正数且截距为负数时，函数图像从左上方逐渐下降，在数轴上右侧的函数值逐渐减小。

当斜率为负数且截距为正数时，函数图像从左下方逐渐上升，在数轴上右侧的函数值逐渐减小。

当斜率为负数且截距为负数时，函数图像从左上方逐渐下降，在数轴上右侧的函数值逐渐增大。

初中数学如何通过函数的图像判断其是否为一次函数的平移或伸缩

初中数学如何通过函数的图像判断其是否为一次函数的平移或伸缩
通过函数的图像来判断其是否为一次函数的平移或伸缩是初中数学中的一个重要概念。

在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像来判断其是否为一次函数的平移或伸缩。

要通过函数的图像来判断其是否为一次函数的平移或伸缩，我们可以按照以下步骤进行：
1. 观察图像的线性关系：首先，我们需要观察函数图像是否呈现出直线的形状。

一次函数的图像是一条直线，它具有线性关系。

2. 确定函数的斜率：通过观察函数图像的斜率，我们可以确定函数的线性关系。

一次函数的斜率是常数，它表示函数的变化率。

3. 观察图像的平移或伸缩：通过观察函数图像的形状和位置，我们可以判断函数是否经过了平移或伸缩。

平移是指将函数图像上下左右移动，而伸缩是指将函数图像拉长或缩短。

4. 判断平移或伸缩关系：通过观察图像的线性关系、函数的斜率和图像的平移或伸缩，我们可以判断函数是否经过了平移或伸缩。

如果函数图像是一条直线且具有常数斜率，并且图像经过了平移或伸缩，那么函数是经过了平移或伸缩的一次函数。

需要注意的是，判断函数的平移或伸缩仅仅通过函数的图像是不能给出准确的结论的。

为了更准确地判断函数是否经过了平移或伸缩，我们还需要使用其他方法，如函数的数学定义和性质进行分析。

通过了解如何通过函数的图像判断其是否为一次函数的平移或伸缩，你可以更好地理解函数的性质和变化。

这对于解决实际问题和进一步深入学习数学非常重要。

希望本文能够帮助你更好地理解和应用这一概念。