2020高数(上)期末考试试题
2020年高三数学上期末试卷(及答案)
2020年高三数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <2．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1103．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=A ．110B ．100C ．55D ．04．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－315．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6B ．7C ．8D ．96．已知01x <<，01y <<，则()()()()222222221111x y x y x y x y +++-+-++-+-的最小值为（ ）A ．5B ．22C ．10D ．237．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．578．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =，7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17B ．3C ．15D ．1529．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60β，=30α，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．6010．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2811．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S12．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．16．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．17．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____18．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________． 20．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.（1）求A ；（2）在ABC ∆中，3BC =，D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，62DE =，求ABC ∆的面积. 23．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．24．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25cos 5C ∠=点D 是AB 的中点, 求（1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长25．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积． 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0a ≤<b ，由不等式的平方法则，22a b <，即a b <．选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q ，因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C.本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．5．D解析：D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】2+≥x y ，边分别相加求解。
2020年高一数学上期末试题含答案
2020年高一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B．2C ．14，2 D ．14，4 5．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃6．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 7．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U8．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．通过研究函数()4221021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个15．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.18．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.19．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数132()log 2ax f x x-=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）若当(7,)x ∈+∞时，13()log (2)f x x m +-<恒成立.求实数m 的取值范围. 22．已知集合{}24A x x =-≤≤，函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B U ；(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 23．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围. 24．已知集合，，.（1）若，求的值； （2）若，求的取值范围.25．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．2．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 6．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sin θ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.7．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．8．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 342a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.11．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2． 故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．3【解析】【分析】令（为奇数）作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示：由图象可知与的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的解析：3【解析】 【分析】令()2n s x x =（n 为奇数，3n >），()21021h x x x =-++，作出()s x 、()h x 两个函数的图象后可判断()g x 零点的个数. 【详解】由题意，令()*2,,5n s x x n N n =∈≥，()21021h x x x =-++，则()()()g x s x h x =-，()g x 零点的个数就是()(),s x h x 图象交点的个数，如图所示：由图象可知，()s x 与()h x 的图象在第一象限有一个交点，在第三象限有一个交点， 因为当n 为正奇数时()2ns x x =的变化速度远大于()h x 的变化速度，故在第三象限内，()s x 、()h x 的图象还有一个交点，故()(),s x h x 图象交点的个数为3，所以()g x 零点的个数为3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.15．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=，又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论． 【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤， 由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤． 故答案为：[2015,2019]． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．17．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c --==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x -=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.18．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数 解析：()23log 11,1-+【解析】【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x +=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=，()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以()23log 11,1a ∈-+故答案为：()23log 11,1-+【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.19．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．20．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点 解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥， 解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>， 则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）1a =-（2）2m ≥-【解析】【分析】（1）根据奇函数性质()()f x f x -=-和对数的运算性质即可解得；（2）根据对数函数的单调性即可求出.【详解】解：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即111333222log log log 222ax ax x x x ax ----=-=+--， 2222ax x x ax ---∴=+-，即222414a x x -=- 解得：1a =-或1a =，当1a =时，()11332()log log 21x f x x -==--，不合题意；故1a =-；（2）111133332()log (2)log log (2)log (2)2x f x x x x x ++-=+-=+-， ∵函数13log (2)y x =+为减函数， ∴当7x >时，1133log (2)log (27)2x +<+=-，∵(7,)x ∈+∞时，13()log (2)f x x m +-<恒成立， ∴2m ≥-.【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性，函数恒成立的问题，属于中档题.22．(1){}2x x ≥-；(2)(]2,3【解析】【分析】（1）由对数函数指数函数的性质求出集合B ，然后由并集定义计算；（2）在（1）基础上求出A B I ，根据子集的定义，列出m 的不等关系得结论．【详解】(1)由310x ->，解得0x >， 所以{}0B x x =>. 故{}2A B x x ⋃=≥-.(2)由{}04A B x x ⋂=<≤.因为()C A B ⊆⋂， 所以20,1 4.m m ->⎧⎨+≤⎩所以23m <≤，即m 的取值范围是(]2,3.【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点． 23．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.24．(1) 或；(2). 【解析】试题分析：(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：的值为或.(2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得. 试题解析：（1）若，则，∴. 若，则，，∴. 综上，的值为或. （2）∵，∴∴. 25．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）1323a -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223x x f x =++=， 所以34222x x ++=，所以4260x x +-=，因此()()23220x x +-=，得22x =解得1x =，所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x x a a x +⋅++=有两个不同的实数根，即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解， 令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩n解得13a -<<-【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.26．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围.【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I .②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020高数(上学期)期末试题及答案
2
3
4
5
6
7
8
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题分
10
10
6
6
6
6
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6
6
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8
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100
得分
考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人
一、填空题(每题2分，共10分)
二、选择题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
得分
评阅人
三、计算题(每题6分，共48分)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
试卷编号：（A）卷
《高等数学(A)Ⅰ》课程(工科本科05级)课程类别：必
闭卷（√）考
五
总分
计分人签名
得分
评阅人
或用第一个重要极限
得分
评阅人
得分
评阅人
得分
评阅人
注：缺C扣1分
得分
评阅人
得分
评阅人
得分
评阅人
得分
评阅人
四、综合应用题(每题8分，共24分)
注：如果没有讨论扣1分、解题过程没有交待单位造价扣1分。
得分
评阅人
得分
评阅人
注：若只画图，画对给1分
五、证明题(8分)
得分
评阅人
2020高二数学上册期末考试试卷及答案
精选考试类应用文档，如果您需要使用本文档，请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！祝同学们期末考出好成绩！欢迎同学们下载，希望能帮助到你们！2020高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( C)A．p：?x∈R，sinx≥１B．p：?x∈R，sinx≥１C．p：?x∈R，sinx>1 D．p：?x∈R，sinx>1 2．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B)．A．160 B．180 C．200 D．2203．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c 的值等于( C )．A．5 B．13 C．13D．374．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D)A.73B.54C.43D.535．在△ABC中，能使sinA＞32成立的充分不必要条件是( C)A．A∈0，π3B．A∈π3，2π3C．A∈π3，π2D．A∈π2，5π66．△ABC中，如果Aatan＝Bbtan＝Cctan，那么△ABC是( B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( B)A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为( A)A. 55B. 53C. 255 D.359．当x ＞1时，不等式x ＋11x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式组4≤ 34≥30≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( A)．A ．73B ．37C ．43D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥０在1≤x ≤４内有解，则实数a 的取值范围是( A)A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f(x)满足：对?x ∈R ，有f(x ＋2)＝f(x)－f(1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为(B )A. 0，22B. 0，33C.0，55D.0，66解析由于定义为R 的偶函数f(x)满足：对?x ∈R ，有f(x ＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x ＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f(2)＝－2且0<a<1，解得a ∈0，33。
2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)
2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合，，则中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：中的元素个数为个故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.【详解】与轴夹角为与轴夹角为又故选：【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.【详解】若，中，，，则，错误；中，，，则，错误；中，上单调递增当时，，正确；中，，，则，错误.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.6.的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差中项和等比中项定义可得到的关系，代入余弦定理中可求得，进而得到结果.【详解】由题意得：，由余弦定理得：故选：【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础题.7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为.【详解】连接交于点，取中点，连接设三棱柱为直三棱柱四边形为矩形为中点且又，异面直线和所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.8.函数，在中随机取一个数，使的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的图象可确定时的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.【详解】当时，所求概率故选：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取值范围.9.已知，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由得：（当且仅当，即时取等号）的最小值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.10.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.【详解】中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，正确.故选：【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.【详解】由得：关于对称又为上的奇函数是以为周期的周期函数且故选：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题. 14.已知，则____________，____________.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式可将整理为，对应相等可得所求的的值.【详解】（其中），故答案为：；【点睛】本题考查三角恒等变换化简的问题，涉及到辅助角公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.【详解】由得：的定义域为又为定义域内的增函数值域为的一个“同域函数”为，故答案为：，（答案不唯一）【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.改写成以下形式：若则____________.【答案】0.【解析】【分析】利用秦九韶算法表示出，代入整理可得结果.【详解】故答案：【点睛】本题考查利用秦九韶算法求值的问题，关键是能够将所给多项式化为符合秦九韶算法的形式.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.如图，长方体中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由长方体特点知平面，根据面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.【详解】（Ⅰ）∵是长方体平面又平面平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，.设平面的一个法向量为由得：，令，则，又平面的一个法向量，二面角是钝二面角二面角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到面面垂直的判定定理的应用；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是忽略所求二面角的范围，造成求解错误.18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】【分析】（I）确定所有可能的取值，由二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此得到分布列和数学期望；（II）将事件分成“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况，结合（I）中所求概率，根据独立事件概率公式计算可得结果.【详解】（I）所有可能的取值为；；；.的分布列为数学期望.（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解、独立事件概率问题的求解；关键是能够明确随机变量服从于二项分布，进而利用二项分布概率公式求得每个取值所对应的概率，属于常考题型.19.已知数列的前项和为，且满足. （Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）令，利用可求得；当时，利用整理可得，从而证得结论；（II）由（I）可得的通项公式，从而求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（I）令，，解得：当且时，，，即是以为首项，为公比的等比数列（II）由（I）知：设数列的前项和为则两式作差得：【点睛】本题考查根据与关系、递推关系式证明数列为等比数列、错位相减法求解数列的前项和的问题；关键是能够熟练掌握数列求和的方法，当数列的通项公式为等差与等比的乘积的形式时，选择错位相减法来求和.20.已知，.（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）内有且只有一个零点；（II）证明见解析.【解析】【分析】（I）由导函数可得，可知在上单调递增；利用零点存在定理可确定在内存在唯一零点，即在内有且只有一个零点；（II）令；由可得，根据（I）中结论可得函数单调性，利用单调性确定，代入整理可得，从而证得结论.【详解】（I），与在上单调递增在上单调递增，唯一的，使得在内有且只有一个零点（II）令，则.由（I）可知：存在使得，即：当时，，单调递减；当时，，单调递增∴【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到零点存在定理的应用、利用导数求解函数的单调性、函数最值的求解问题；利用导数证明不等关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题，通过验证最值所处的范围证得结论.21.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（I），；（II）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据抛物线方程即可直接得到焦点坐标和准线方程；（II）设方程为，与抛物线方程联立可得；利用直线两点式方程得到直线方程，整理可得，代入即可求得点坐标，同理可得点坐标；根据向量数量积运算，可整理得到，由此得到垂直关系.【详解】（I）由抛物线方程知：焦点，准线为：（II）设直线的方程为：令，，由消去得：，则.直线方程为：即当时，同理得：，【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，重点考查了垂直关系的证明问题；证明垂直关系的关键是能够将问题转化为平面向量数量积等于零或两直线斜率乘积为；解决此类问题的常用方法是直线与抛物线方程联立，通过韦达定理的结论代入所证式子中进行整理得到结果.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用可将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）解法一：可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为，设弦的端点分别为，，利用点差法可求出直线的斜率，即得的值；解法二：写出直线的参数方程为，将直线参数方程与曲线的普通方程联立，由可求出角的值.【详解】（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数），得：，曲线的参数方程化为普通方程为：；（Ⅱ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为.设直线与曲线相交于，两点，则，.则，②-①得：，化简得：，即，又，直线的倾斜角为；解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得.，，即.，即.又，直线的倾斜角为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，，由得.①当时，原不等式可化为：，解之得：；②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.因此，不等式的解集为；（Ⅱ）当时，，由得，，，，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合，，则中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：中的元素个数为个故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.【详解】与轴夹角为与轴夹角为又故选：【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.【详解】若，中，，，则，错误；中，，，则，错误；中，上单调递增当时，，正确；中，，，则，错误.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.6.的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差中项和等比中项定义可得到的关系，代入余弦定理中可求得，进而得到结果.【详解】由题意得：，由余弦定理得：故选：【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础题.7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为.【详解】连接交于点，取中点，连接设三棱柱为直三棱柱四边形为矩形为中点且又，异面直线和所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.8.函数，在中随机取一个数，使的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的图象可确定时的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.【详解】当时，所求概率故选：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取值范围.9.已知，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由得：（当且仅当，即时取等号）的最小值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.10.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.【详解】中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，正确.故选：【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.【详解】由得：关于对称又为上的奇函数是以为周期的周期函数且故选：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.14.已知，则____________，____________.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式可将整理为，对应相等可得所求的的值.【详解】（其中），故答案为：；【点睛】本题考查三角恒等变换化简的问题，涉及到辅助角公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.【详解】由得：的定义域为又为定义域内的增函数值域为的一个“同域函数”为，故答案为：，（答案不唯一）【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计。
2020年高三数学上期末试卷含答案
（当且仅当 等号成立），
（当且仅当 等号成立），
（当且仅当 等号成立），
.
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.
14．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等
26． 的内角 所对的边分别为 .已知 的面积
(1)证明: ;
(2)若 ,求 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差为d，
则4=1+3d，解得d=1，
∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.
∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，
故选：C．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得 ，在利用等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案。
【详解】
由题意可知，数列 Байду номын сангаас等差数列，所以 ，
∴由等差数列的求和公式可得 ，故选C。
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
解析：
【解析】
【分析】
由于 是等比数列，所以 也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得 的值.
【详解】
设数列 的公比为 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，由 得 ，即 ①，由 ，得 ②，联立①②解得 .
2020年高一数学上期末试题(及答案)
2020年高一数学上期末试题(及答案)一、选择题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,12．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－15．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．22，2 C ．14，2 D ．14，4 6．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =9．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭10．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-11．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑nin i xx x x ，则1ni i x ==∑__________．17．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数22logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.18．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 19．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.20．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()(2lg 1x f x x =+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围. 22．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .23．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++. （Ⅰ）若1a =，求()R MN ；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.24．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由.25．义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <； （2）若不等式()()()222221240f a a x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.26．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求BA 得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}BA x x =≤<.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()23141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围． 【详解】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数， 则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．4．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.5．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．6．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A9．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10．C解析：C 【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--（），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xfx （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,12)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,12〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.12．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 14．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.15．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=, 所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-, 当3m =时,12()f x x-=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.16．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以解析：1-【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解.【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标 因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10x y =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称 所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b += 所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩ 当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++= 解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x =所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1-【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.17．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函 解析：11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标.【详解】由图像可知，点(),2A A x 在函数y x =的图像上，所以2A x =，即212Ax==⎝⎭.因为点(),2BB x在函数12y x=的图像上，所以122Bx=，4Bx=.因为点()4,CC y在函数2xy⎛=⎝⎭的图像上，所以4124Cy⎛==⎝⎭.又因为12D Ax x==，14D Cy y==，所以点D的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式解析：2(0)x x≥【解析】【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x Rαα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=，所以幂函数的解析式为12y x=，则2x y=，所以原函数的反函数为12()(0)f x x x-=≥．故答案为：12()(0)f x x x-=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248bk kk bee ee+=∴====，所以33x=时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=. 考点：函数及其应用.20．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【 解析：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知可构造()2log x a at x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】 ()2()log x a f x a t =+为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解，整理得：20x x a a t -+=，令,0xm a m => ， 20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可， 解得104t <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.三、解答题21．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案；（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+， 所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.22．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.23．（Ⅰ）(){|22R MC N x x =-≤<或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤ 【解析】【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R MC N x x =-≤<或35}x <≤. （Ⅱ）,M N M ⋃=N M ∴⊆当N =∅时，121a a +>+，即0a <；当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤.综上：2a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.24．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-.【解析】【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值.【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-,又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点,所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=， 所以设1a =所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-< 2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点.所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点.【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.25．(1)答案见解析；(2)0a <或1a >.【解析】试题分析：(1)利用赋值法计算可得()()02,14f f =--=-，设1x <，则21x ->，利用()22f =拆项：()()22f f x x =-+即可证得：当1x <时，()0f x <；(2)结合(1)的结论可证得()f x 是增函数，据此脱去f 符号，原问题转化为()()2222122a a x a x ----+<-在[]1,3上恒成立，分离参数有：222234x x a a x x +-->-恒成立，结合基本不等式的结论可得实数a 的取值范围是0a <或1a >.试题解析：(1)令，得，令， 得， 令，得， 设，则，因为, 所以; (2)设，, 因为所以， 所以为增函数, 所以,即, 上式等价于对任意恒成立， 因为，所以 上式等价于对任意恒成立， 设，（时取等）， 所以， 解得或. 26．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】【分析】 （1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1）()2121a f +=-，()121112a f +-=- 因为()221x x a f x +=-是奇函数. 所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=-化简可得()2121x f x =+- 所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-所以212m m ≥-， 即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。
2020年高一数学上期末试题及答案
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由 6 x x 2 0可得 A x | 2 x 6 ， CRB x a 4或x a 4 ，再通过 A 为
CRB 的子集可得结果.
【详解】
由 y ln6 xx 2 可知， 6 x x 2 0 2 x 6 ，所以 A x | 2 x 6 ，
x1
1
x2
0
1 2
x3
1
x4
2
，
则 x1 x2 2 ， log2 x3 log2 x4 ，即 log2 x3 log2 x4 0 ，所以 x3x4 1，则
x3
1 x4
，
x4
1, 2
所以
x1
x2
x3
x4
2
1 x4
x4 ，
x4
1, 2
因为
y
1 x
x
，在
x 1, 2
上单调递增，所以
y
由题意知， f (2 x) ln(2 x) ln x f (x) ，所以 f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，故 C 正确，D 错误；又 f (x) ln[x(2 x)] （ 0 x 2），由复合函数的单调性可知 f (x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, 2) 上单调递减，所以 A，B 错误，故选 C． 【名师点睛】如果函数 f (x) ， x D ，满足 x D ，恒有 f (a x) f (b x) ，那么 函数的图象有对称轴 x a b ；如果函数 f (x) ， x D ，满足 x D ，恒有
A． 2 a 10
B． 2 a 10
C． a 2或 a 10
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()RA B =（ ）A. {}1,0-B. ()1,1(2,3]-⋃C. (0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D. {}0,3【答案】D 【解析】 【分析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可. 【详解】解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且，则()RAB ={}0,3.故选：D.【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ）A. -10B. 15C. 10D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.【详解】解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A. 22230x y x +--= B. 2240x y x ++= C. 22230x y x ++-= D. 2240x y x +-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5.设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.【点睛】本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题. 6.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D. 54π【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x 轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.【详解】解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7.抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】C 【解析】 【分析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=. 【详解】解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==，所以b a =，所以该双曲线的离心率为2e ==.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A.136B.112C.16D.13【答案】C 【解析】 【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可. 【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9.已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 2(1,]ln 2C. (1,2]D.12,2ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 【分析】逐段分析函数()f x 的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.【详解】解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x =，'2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 10.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知a ＞0，62(?)a x x 的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）． 【答案】1 【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x的展开式中各项系数和为1 考点：二项式定理.12.设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】 【分析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.【详解】解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94. 【点睛】本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于______． 【答案】8π 【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =， ∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 考点：1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14.如图，在ABC 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =，AQ nAC =，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=__________．【答案】 (1). 35 (2). 25【解析】 【分析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =，12NB CQ =，进而得出1123CQ QA =，从而推导出,AQ AC 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP ，||AQ 的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.【详解】解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =，则13BN AQ = .又2CM MB =，则12NB CQ =，∴ 1123CQ QA =，35AQ AC =. (2). 32AP AB =，所以39||322AP =⨯=，35AQ AC =，312||455AQ =⨯=，AP AQ ⋅=9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=. 故答案为：35，2725.【点睛】本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15.已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________． 【答案】 (1). 12(2). 6 【解析】 【分析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解.【详解】解：由题意可知：224124x y xy xy +=+≥=，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，2121112x y xy xy xy ++≥=+=-∴226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共1421516275⨯++⨯=分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos C =（2【解析】 【分析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值. （2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又cos C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果.【详解】解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =,又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=, 解得25cos C =. （2）由（1）知5sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+ 3314433525-=-⋅+⋅=【点睛】本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN 的面积为3，求直线1l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12±【解析】 【分析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN 的面积，即可求出斜率的值. 【详解】解：（1）∵椭圆C离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C的方程为：22143x y +=.（2）若1l 的斜率为0，则||3AB =，||2MN =， ∴ABN 的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11,A x y ，()22,B xy ， 则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+， ∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=， ∴||MN ==.∴ABN 的面积211||||32234S AB MN k =⋅=⋅=+， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±.【点睛】本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由；（3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N+=∈，在每两个kb与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）12n n a （2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2nn n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b 含有个2，所以数列{}pc 中，kb 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.【详解】解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+， ∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =. ∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q . ∴11a =，从而12n na .（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭. ∴()()11211nkk k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2nn n b a n +===.根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为：()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-. 当10k =时，10552210772019S =+-=<， 当11k =时，11662221122019S =+-=>， 又∵201910779424712-==⨯, ∴()28101222471992m =++++++=时，2019=m S ，∴存992m =，使得2019=m S .【点睛】本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20.设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数.（1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切； （3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0x ae x x->.令()ln (0)x ae G x x x x =->，求导求令()G x 的最小值大于0即可.【详解】解：（1）1()x F x xe-=，1()(1)x F x x e'-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-.（2）∵()1x f x e -'=，∴()1x f x e -=在点()1,m m e-处的切线方程为11(1)m m y ex m e --=+-；∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n=++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m em b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，0h m ，∴当1m <时，0h m ，()h m 单调递减； 当1m 时，0h m，()h m 单调递增.由（1）得21(1)(2)110b h b b ee--=-+-+>，又2233(3)(2)23(2)(3)23024bh b b eb b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭，()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点，故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->.令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e xG x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>；②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦， 令()(1)xx H x e a x =--，21()0(1)xH x e a x '=+>-， 又2222(2)0ae H e a a -=-=，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-， 则22()0(1)ttH t e e e a t =-<-=-，∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-， 且()()000001xx H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()0201101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.1、在最软入的时候，你会想起谁。
江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题一第14题）、解答题（第15题一第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式： 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则AB =______.【答案】{}1,1- 【解析】 【分析】求出集合B ，即可得出AB【详解】∵集合{}2|0B x x => ∴集合{}|0B x x =≠ ∵集合{}1,0,1A =- ∴{}1,1A B ⋂=- 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数z 满足1z i i ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的实部为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】设z a bi =+，再代入已知等式中计算解得a ，b 的值，即可求出z 的实部. 【详解】设z a bi =+ ∵1z i i ⋅=- ∴()1a bi i i +⋅=- ∴1b ai i -+=- ∴1b =-，1a =- 故答案为：1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.下图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是______.【答案】10 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】经过第一次循环得到结果为1S =，3i =此时不满足判断框的条件； 经过第二次循环得到结果为21310S =+=，5i =此时满足判断框的条件. 执行输出S ，即输出10．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．4.函数()f x =________．【答案】[)0,+∞ 【解析】 【分析】由题意得210x -≥，解不等式求出x 的范围后可得函数的定义域． 【详解】由题意得210x -≥， 解得0x ≥，∴函数()f x 的定义域为[)0,+∞． 故答案为[)0,+∞．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果． 5.已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可. 【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为1718192021195x ++++==∴该组数据的方差为：()()()()222221719181902019211925S -+-++-+-==故答案为：2.【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.【答案】710【解析】 【分析】先求出基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率．【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知函数()231,01,0x x x x f x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩，则()()8f f =______.【答案】15-【解析】 【分析】先求出()23884f =-=-,则()()()84f f f =-，由此能求出答案.【详解】∵函数()231,01,0x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩∴()23884f =-=- ∴()()()1184415ff f =-==--- 故答案为： 15-.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈取得最大值时自变量x 的值为______. 【答案】12π【解析】 【分析】 令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈，再根据[]0,x π∈，即可确定自变量x 的值. 【详解】令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈.∵[]0,x π∈ ∴12x π=故答案为：12π.【点睛】本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______. 【答案】64 【解析】 【分析】根据题意设等比数列{}n a 的公比为q ，再根据24a ，32a ，4a 成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q 的值，从而可求出17a a 的值. 【详解】设等比数列的公比为()0q q ≠. ∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴ 3211144a q a q a q +=∴∵11a =∴3244q q q += ∵0q ≠ ∴2q∴266171264a a a q === 故答案为：64.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.已知cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=tan2α=______.【答案】- 【解析】 【分析】利用诱导公式化简三角函数式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果．【详解】∵sin tan co cos 2cos s πααααα=⎛⎫- ⎪⎝==⎭∴22tan tan 21tan ααα===--故答案：-.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2=OB a ，则C 的离心率为______.【答案】2 【解析】 【分析】求出右顶点A ，以及双曲线的渐近线方程，令x a =，求得B 的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值．【详解】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A∴(,0)A a ，且双曲线的渐近线方程为by x a=±根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为0bx ay -=. ∵过点A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ∴(,)B a b ∵2=OB a∴2OB c a === ∴2ce a== 故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为______. 【答案】14 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得(2)(2)1a b --=，2b >，再把4a b +转化为14(2)102b b +-+-，借助于基本不等式即可求解.【详解】∵函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b = ∴()()lg 2lg 2a b -=-，即()()lg 2lg 20a b -+-=，且2b >. ∴(2)(2)1a b --=∴122a b =+-∴114424(2)10101422a b b b b b +=++=+-+≥=--，当且仅当52b =时取等号. ∴4a b +的最小值为14. 故答案为：14.【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点0,1的距离为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】根据题意，求得圆C 的圆心与半径，求出以点()0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则圆C 与圆()2214x y +-=有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】∵圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-= ∴()()221x a y a -+-=，其圆心(),C a a ，半径1r =.∵点P 到点()0,1的距离为2 ∴P 点的轨迹为:22(1)4x y +-= ∵P 又在22()()1x a y a -+-=上∴圆C 与圆()2214x y +-=有交点，即2121-≤≤+.0a ≤≤或1a ≤≤∴实数a 的取值范围是111,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：11,01,22⎡⎤⎡+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14.在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，则cos ABC ∠=______.【解析】 【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =. 设2AD t =，则3AC t =. ∵AD AB BD -=∴对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=，如图所示. ∵3A π∠=∴24AB AD t ==，BD ==∴BC ==.∴222513cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯ 故答案为：51326.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，3cos 3B =. （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若2b =c 的值.【答案】（1）366+（2）3c = 【解析】 【分析】（1）在ABC ∆中，sin 0B >，可得2sin 1cos B B=-,再根据()sin sin sin 3C A B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即可求出sin C ；（2）由余弦定理可得：2222cos b a ac B c =-+，即可推出(330c c ⎛-+= ⎝⎭，从而求得c 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，0B π<<，则sin 0B >，因为3cos B =，所以2236sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()()()sin sin sin C A B A B π=-+=+，所以sin sin sin cos cos sin 333C B B B πππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭3316362+=⨯+⨯=.（2）由余弦定理得2222cos b a ac B c =-+，则()2232123c c =-⋅+， 所以223103c c --=，()3303c c ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为303c +>，所以30c -=，即3c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点.求证：（1）//MN 平面PBC ； （2）PC AM ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，利用三角形的中位线性质可证//EM FN ，EM FN =，可证四边形EMNF 是平行四边形，可证//MN EF ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//MN 平面PBC ；（2）利用线面垂直的性质可证PA CD ⊥，又AD CD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证CD ⊥平面PAD ，可证CD AM ⊥，又证AM PD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面PCD ，进而利用线面垂直的性质可证PC AM ⊥．【详解】证明：（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 三角形PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点，所以//EM CD ，12EM CD =；三角形ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点，所以//FN AB ，12FN AB =， 因为四边形ABCD 是矩形，所以//AB CD ，AB CD =， 从而//EM FN ，EM FN =，所以四边形EMNF 是平行四边形.所以//MN EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又因为PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为AP AD =，M 为PD 的中点，所以AM PD ⊥， 又因为PD CD D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD .又PC ⊂平面PCD ，所以PC AM ⊥.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆A ：2221x y 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知132AM AN =-，求直线1F M 的斜率. 【答案】（1）22143x y +=（2）34-【解析】 【分析】（1）由题意知a ，c 的值，及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）设M ，N 的坐标，设直线AM 的方程，由向量的关系可得A ，M ，N 三点关系，直线AM 与圆联立求出N 的坐标，直线与椭圆联立求出M 的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线1F M 的斜率．【详解】（1）圆A ：()2221x y -+=的圆心()2,0A ，半径1r =，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上，所以()21,0F ，从而2a =，1c =，所以2222213b a c -=-=C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题，设点()11,M x y ，102x <<，10y <；点()22,N x y ，20x >，20y >. 则()112,AM x y =-，()222,AN x y =-，由13AM AN =-知点A ，M ，N 共线.直线AM 的斜率存在，可设为()0k k >，则直线AM 的方程为()2y k x =-，由()()22221y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得221x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，或221x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，所以2N ⎛+ ⎝⎭， 由()222143y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-=，解得20x y =⎧⎨=⎩，或22286341234k x k ky k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以2228612,3434k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，代入132AM AN =-得2222286122,,3434211k k k k k k ⎛⎫---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ()()224952510kk -+=，又0k >，得32k， 所以31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()11,0F -，可得直线1F M 的斜率为()332114-=---. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 18.请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥P EFGH -的底面边长为()x cm .（1）若要求包装盒侧面积S 不小于275cm ，求x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积()3V cm最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.【答案】（1）510x ≤<（2）当8x cm =时，包装盒容积V 最大)312853cm 【解析】 【分析】（1）结合已知可建立侧面积关于FG x =的函数关系，然后由侧面积S 不小于275cm ，可建立关于x 的不等式，即可求得x 的取值范围； （2）先利用x 表示出()3V cm的函数关系，结合导数可求其最大值．【详解】（1）在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP ， 因为ABCD 是边长为102cm 的正方形，所以()10OB cm =， 由FG x =，得2x OM =，102xPM BM ==-， 因为PM OM >，即1022x x->，所以010x <<. 因为2142102022x S FG PM x x x ⎛⎫=⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭， 由22075x x -≥，得515x ≤≤，所以510x ≤<. 答：x 的取值范围是510x ≤<.（2）因为在Rt OMP ∆中，222OM OP PM +=，所以22221022x x OP PM OM ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10010x =- 2111001033V FG OP x x =⋅=-451100103x x =-010x <<，设()4510010x f x x =-，010x <<，所以()()3434005050'8x x x f x x =-=-，令()'0f x =，得8x =或0x =（舍去）. 列表得，x()0,88()8,10()'f x+-()f x极大值所以当8x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值， 所以当8x =时，V 1285. 答：当8x cm =时，包装盒容积V )31285cm . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 19.已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x ax f xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e +-<<-.【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20.设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当*n N ∈且m n ≤时，都有n n A B L -≤，则称数列{}n A ，{}n B 是“(),m L 接近的”.已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且()1112n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”；（3）给定正整数()5m m ≥，数列1na ，{}2n b k +（其中k ∈R ）是“(),m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）.（参考数据：ln 20.69≈）【答案】（1）12n n a =（2）证明见解析（3）L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==，可求得首项和公比，进而求得通项；（2）只需证明()211n n a a -+≤成立，即可得证；（3）由题设可求得n b n =，根据定义进而得到2222n n L n k L n ≤-+-≤+-对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立，再构造函数求解即可．【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==得211841a q a q ==，解得112a q ==，故12n n a =.（2）()2111124n nn n a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22113113224224n n ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对任意正整数m ，当*n N ∈，且m n ≤时，有1110222m n <≤≤， 则211313122444n ⎛⎫-+<+= ⎪⎝⎭，即()211n n a a -+≤成立，故对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”.（3）由()1112n n n n n S b b b b ++-=，得到()1112n n n n n S b b b b ++-=，且1,0n n b b +≠，从而10n n b b +-≠，于是()112n n n n n b b S b b ++=-.当1n =时，()121212b b S b b =-，11b =，解得22b =，当2n ≥时，()()1111122n n n nn n n n n n n b b b b b S S b b b b +--+-=-=---，又0n b ≠，整理得112n n n b b b +-+=，所以11n n n n b b b b +--=-，因此数列{}n b 为等差数列. 又因为11b =，22b =，则数列{}n b 的公差为1，故n b n =. 根据条件，对于给定正整数()5m m ≥，当*n N ∈且m n ≤时，都有()()2212n n nb k n k L a -+=-+≤成立， 即2222n n L n k L n ≤-+-≤+-①对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立.考察函数()22xf x x =-，()'2ln 22x f x x =-，令()2ln 22xg x x =-，则()()2'2ln 22x g x =-，当5x >时，()'0g x >，所以()g x 在[)5,+∞上是增函数.又因为()552ln 2100g =->，所以当5x >时，()0g x >，即()'0f x >，所以()f x 在[)5,+∞上是增函数.注意到()11f =，()()240f f ==，()31f =-，()57f =，故当1,2,3,n m =⋅⋅⋅时，22n L n -+-的最大值为22m L m -+-，22n L n +-的最小值为1L -.欲使满足①的实数k 存在，必有221m L m L --≤+-，即2212m m L -+≥，因此L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=.【点睛】本题考查数列与函数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A 、B 、C 三个小题供选做，每位考生在3个选做题中选答2题.若考生选做了3题，则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分，共40分.考试时间30分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21.已知点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6.（1）写出矩阵A 的逆矩阵； （2）求+a b 的值.【答案】（1）1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（2）2a b +=【解析】 【分析】（1）设矩阵A 的逆矩阵为11111a c db A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，列方程求出A 的逆矩阵； （2）根据题意可得 46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得出146a A b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而求出a ，b 的值和+a b 的值.【详解】（1）设阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为11111a c d b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦. ∴111111113130240241a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1111232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩∴1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6，所以46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1a =，1b =，得2a b +=.所以1324412616112a A b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 所以1a =，1b =，得2a b +=.【点睛】本题考查了矩阵的逆矩阵和矩阵变换问题，也考查了计算求解能力，是中档题． 22.求圆心在极轴上，且过极点与点6P π⎛⎫⎪⎝⎭的圆的极坐标方程. 【答案】4cos ρθ= 【解析】 【分析】设圆的极坐标方程是2cos r ρθ=，根据点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，解得r 的值，从而求得圆的极坐标方程.【详解】因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2cos r ρθ=.又因为点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，所以2cos6r π=，解得2r .因此所求圆极坐标方程是4cos ρθ=.【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程的求法，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23.求函数y =的最小值.【答案】最小值为2. 【解析】 【分析】先求出函数y =的定义域，再将函数化简到)14y=-，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数y =[)0,+∞10>.21419-+=)1442=+-≥=， 1=，即4x =时取到“=”. 所以当4x =时，函数y =的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 24.批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数.（1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）6571000（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，()()334310.31000P A =-=，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的3个样品中有优等品的概率； （2）()3,0.3XB ，写出随机变量X 的分布列，即可求得数学期望()E X .【详解】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，()()334310.31000P A =-=，所以()()3436571110001000P A P A =-=-=，答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000. （2）()3,0.3XB ，()()330.310.3kk k P X k C -==-，0,1,2,3k =，随机变量X 的分布如下表：()3434411892790123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.设集合{}1,2A =，{}1110|333,0,1,,2,,n n n n n i A t t a a a a a A i n --==⋅+⋅++⋅+∈=其中，*n N ∈.（1）求1A 中所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数； （2）求证：能将集合()*2,n A n n N ≥∈分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,ss B b b b b =和{}123,,,,l l C c c c c =，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++成立.【答案】（1）1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出1A ，代入即可；（2）利用数学归纳法证明，当2n =时，显然成立，假设2n k =≥，*k N ∈时，结论成立，即2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑，当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅，证明即可.【详解】（1）{}110|3,,0,1i A t t a a a A i ==⋅+∈=其中{}4,5,7,8=， 所以1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +. （2）取2n s l ==，下面用数学归纳法进行证明. ①当2n =时，{}213,14,16,17,22,23,25,26A =，取113b =，217b =，323b =，425b =，114c =，216c =，322c =，426c =，有1234123478b b b b c c c c +++=+++=，且22222222123412341612b b b b c c c c +++=+++=成立.②假设当n k =，*k N ∈且2k ≥时，结论成立，有2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑成立.当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅，此时12k B +，12k C +无公共元素，且11122k k k B C A +++=.有()()221111323kk k k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()221111323kkk k iii i c b ++===+++⋅∑∑，且()()22221111323kkk k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkk k k k k k iii i i i i i b c b c ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑， ()()22221111323kkk k i i i i c b ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkkk k k k k i ii i i i i i c b c b ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，由归纳假设知2121kkiii i b c ===∑∑，且212221kkii i ib c===∑∑，所以()()()()2222222211111111323323kk kkk k k k iiiii i i i b c c b ++++====+++⋅=+++⋅∑∑∑∑，即当1n k =+时也成立；综上可得：能将集合n A ，2n ≥分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,s s B b b b b =和{}123,,,,l l C c c c c =，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是：（1）验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。
浙江省宁波市2020学年高一数学上学期期末考试试卷（含解析）
浙江省宁波市2020学年⾼⼀数学上学期期末考试试卷（含解析）浙江省宁波市2020学年第⼀学期期末考试⾼⼀数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐⾓，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利⽤诱导公式变形，结合平⽅关系把根式内部的代数式化为完全平⽅式，开⽅得答案．【详解】为锐⾓，∴．故选：D．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式的应⽤，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利⽤，进⾏排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利⽤函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进⾏排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最⼩正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B根据三⾓函数的周期性，单调性以及对称性分别进⾏判断即可．【详解】函数的最⼩正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三⾓函数有关的命题的真假判断，结合三⾓函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满⾜，，且，则，的夹⾓为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平⽅计算，再代⼊夹⾓公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹⾓为．故选：A．【点睛】本题考查了平⾯向量的数量积运算，向量的夹⾓公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满⾜任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满⾜任意恒有，则函数关于中⼼对称，由此可得结论．【详解】满⾜任意恒有函数关于中⼼对称的对称中⼼为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】根据条件判断函数的奇偶性，利⽤奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从⽽得出，的值，进⽽得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两⾓和的正切求，由同⾓三⾓函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式的应⽤及两⾓和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数⼀部分图象如图所⽰，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利⽤五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进⾏求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三⾓函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知⼀个扇形的弧长为，其圆⼼⾓为，则这扇形的⾯积为______．【答案】2【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的⾯积公式求⾯积即可.【详解】扇形的半径为，圆⼼⾓为，弧长 ,这条弧所在的扇形⾯积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的⾯积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满⾜对任意实数，，都有【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利⽤分段函数的单调性列不等式组，从⽽求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成⽴，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应⽤问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满⾜，向量满⾜，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的⽅程，则表⽰点点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满⾜，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的⽅程为，表⽰点点到线段AB上点的距离，，最⼤值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的⼏何意义，属于中档题．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74.0分）18.已知集合，．2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C?B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最⼩正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）⾸先利⽤平⾯向量的数量积运算和三⾓函数关系式的恒等变换，把三⾓函数的关系式转换为正弦型函数，进⼀步求出函数的最⼩正周期．（2）利⽤函数的关系式和函数的图象的平移变换的应⽤求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最⼩正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三⾓函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应⽤，函数图象的平移变换和伸缩变换的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．20.如图所⽰，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且，．1求的值；2求的最⼩值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利⽤等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表⽰为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最⼩值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运⽤、基本不等式求最值；关键是正确表⽰所求，利⽤基本不等式求最⼩值．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⾓，的顶点与原点重合，始边与x轴⾮负半轴重合，⾓，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三⾓函数的定义求出，和，的值，利⽤两⾓和差的余弦公式进⾏求解2先求出的三⾓函数值，结合两⾓和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．．【点睛】本题主要考查三⾓函数值的计算，结合三⾓函数的定义求出对应⾓的三⾓函数值，以及利⽤两⾓和差的公式进⾏求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合⼆次函数的性质进⾏求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建⽴⽅程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成⽴．当时，即时，，即，即，即或或，或满⾜条件，综上或或或成⽴．【点睛】本题主要考查函数值域的应⽤，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．。
2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)_10
2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分(选择题共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合,,则.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集.2.在复平面内,复数(其中是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置.【详解】由题：复数，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.3.已知点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,则等于( )A. 4B. 3C.D. 2【答案】B【解析】【分析】写出焦点坐标，根据抛物线上点到焦点距离公式即可求解.【详解】由题：点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,所以，根据焦半径公式得：.故选：B【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可.4.若,则下列各式中一定正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】若，，所以AC错；，所以B错；若，，所以D正确.【详解】由题：若，根据反比例函数性质，所以A 错误；若，取，所以B错；若，根据指数函数性质所以C错；若，根据对数函数性质，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推翻命题.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，即可求解.【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中，平面，由图可得：，所以，，所以最长的棱长.故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.6.甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A. 24B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解.【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；第三步：排剩下两位同学，2种排法，所以共8种.故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.7.对于向量,, “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算法则：“”不能推出“”，“”能够推出“”.【详解】当时，满足，不能推出，若，则，所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可.8.关于函数有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；③若是函数的一个极值点,则函数极小值为-1.其中正确判断的个数有( )A. 0个B. 1个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】函数的零点个数即的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.【详解】因为，方程，，所以关于的方程一定有两个实根，且两根之积为-1，所以恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；，，对于，，所以恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为，所以②错误；若是函数的一个极值点, ，则，，，，，所以函数的增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，所以③正确.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.第二部分(非选择题共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量,,若,则___________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.【详解】由题：，所以，所以，解得：.故答案为：【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.10.在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,且a1,a3,a7依次成等比数列,那么数列{an}的前n项和等于____________.【答案】【解析】【分析】根据a1,a3,a7依次成等比数列,求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,设公差为且a1,a3,a7依次成等比数列,即，，，所以，所以数列{an}的前n项和.故答案为：【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为,且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____.【答案】【解析】【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出的值，结合焦点坐标即可求解.【详解】由题双曲线焦点在轴，设双曲线方程，两条渐近线互相垂直，即，得，又因为右焦点坐标为,所以，解得，所以双曲线的标准方程为：.故答案为：【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标准方程，考查通式通法和基本计算.12.在中, ,,,则____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理建立等量关系求解即可.【详解】在中,由正弦定理得：，所以.故答案为：【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.13.已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)【解析】【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①，③，则，所以.故答案为：①③推出⑤【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14.如图,某城市中心花园的边界是圆心为O,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l,花园中间有一条公路AB(AB是圆O的直径),规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:道路PB,QA不穿过花园.已知,(C､D为垂足),测得OC=0.9,BD=1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】【解析】【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用.【详解】如图：过点作直线交于，取与圆的交点，连接，则，过点作直线交于，过点作直线交于，根据图象关系可得，直线上，点左侧的点与连成线段不经过圆内部，点右侧的点与连成的线段不经过圆的内部，最短距离之和即，根据几何关系：，，所以，所以，，所以，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为元.故答案为：【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.三､解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2) 最小值0；最大值【解析】【分析】（1）对函数进行三角恒等变换得，即可得最小正周期；（2）整体考虑的取值范围，求出最大值和最小值.【详解】解:(1) f(x)最小正周期T =；(2)因为,所以所以当,即时,f(x)取得最小值；当,即时,f(x)取得最大值，所以f(x)在区间上的最小值0；最大值.【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16.为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求X的分布列；(3)设8所学校优秀比例的方差为S12,良好及其以下比例之和的方差为S22,比较S12与S22的大小.(只写出结果)【答案】(1) ；(2)见解析； (3)S12=S22【解析】【分析】（1）统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率；（2）根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校B､F､H三所, 所以X的取值为0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；（3）考虑优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，根据方差关系可得两个方差相等.【详解】解:( 1)8所学校中有ABEF四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ,所以从8所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为；(2)8所学校中,学生不及格率低于30%的学校有学校B､F､H三所,所以X的取值为0,1,2.所以随机变量X的分布列为：(3)设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，则，所以：S12=S22.【点睛】此题考查简单几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系.17.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD=∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.(1)求证:AB平面SAD；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；(3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF//平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积.【答案】(1) 见解析；(2) ； (3)1【解析】分析】（1）通过证明，得线面垂直；（2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根据面面平行关系得出点F的位置，即可得到体积.【详解】(1)证明:在中,因为,所以.又因为∠DAB=900所以,因为所以平面SAD.(2)解:因为AD,,，建立如图直角坐标系：则A(0,0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).平面SAB的法向量为.设平面SDC的法向量为所以有即,令，所以平面SDC的法向量为所以(3)因为平面AEF//平面SCD,平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD,所以,平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC,所以由,AD//BC得四边形AEDC为平行四边形.所以E为BC中点.又,所以F为SB中点.所以F到平面ABE的距离为,又的面积为2,所以.【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.18.已知椭圆C:的长轴长为4,离心率为,点P 在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点M (4,0),点N(0,n),若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点,求n的取值范围.【答案】(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）根据长轴长和离心率求出标准方程；（2）取PN的中点为Q，以PM为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，所以MQ⊥NP,根据垂直关系建立等量关系，结合点P 的坐标取值范围，即可得解.【详解】解:( 1)由椭圆的长轴长2a=4,得a=2又离心率,所以所以.所以椭圆C的方程为：.(2)法一:设点,则所以PN的中点,，因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ⊥NP,则，即，又因为,所以，所以，函数的值域为所以所以.法二:设点,则.设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以即所以，函数的值域为所以，所以.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围.19.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数零点的个数.【答案】(1) ；(2)零点的个数为2.【解析】【分析】（1）求出导函数，得出，即可得到切线方程；（2）根据为偶函数，只需讨论在的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论.【详解】解:( 1)因为,所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为；(2)因为为偶函数,所以要求在上零点个数,只需求在上零点个数即可.令,得,，所以在单调递增,在单调递减,在单调递增,在单调递减,在单调递增列表得:…1由上表可以看出在()处取得极大值,在()处取得极小值，;.当且时(或,)所以在上只有一个零点函数零点的个数为2.【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.20.已知项数为的数列满足如下条件:①；②.若数列满足,其中,则称为的“伴随数列”.(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；(2)若为的“伴随数列”,证明:；(3)已知数列存在“伴随数列”,且,,求m的最大值.【答案】(1) 不存在“伴随数列”，见解析；(2) 见解析；(3)33【解析】【分析】（1）根据“伴随数列”的定义检验即可判定；（2）根据“伴随数列”的定义，结合数列的单调性讨论的符号即可得解；（3）根据数列和其“伴随数列”项的特征，结合单调性分析出，即可求解.【详解】(1)解:数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”因为,所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.(2)证明:因为,又因为,所以有所以所以成立(3)1≤i j ≤m,都有,因为,.所以,所以所以因为,所以又=所以,所以又,所以例如:(),满足题意,所以m的最大值是33.【点睛】此题考查数列新定义相关问题，关键在于读懂题意，建立恰当的等量关系或不等关系，求解得值，综合性比较强.2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分(选择题共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合,,则.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集.2.在复平面内,复数(其中是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置.【详解】由题：复数，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.3.已知点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,则等于( )A. 4B. 3C.D. 2【答案】B【解析】【分析】写出焦点坐标，根据抛物线上点到焦点距离公式即可求解.【详解】由题：点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,所以，根据焦半径公式得：.故选：B【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可. 4.若,则下列各式中一定正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】若，，所以AC错；，所以B错；若，，所以D正确.【详解】由题：若，根据反比例函数性质，所以A错误；若，取，所以B错；若，根据指数函数性质所以C错；若，根据对数函数性质，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推翻命题.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，即可求解.【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中，平面，由图可得：，所以，，所以最长的棱长.故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.6.甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A. 24B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解.【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；第三步：排剩下两位同学，2种排法，所以共8种.故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.7.对于向量,, “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算法则：“”不能推出“”，“”能够推出“”.【详解】当时，满足，不能推出，若，则，所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可.8.关于函数有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；③若是函数的一个极值点,则函数极小值为-1.其中正确判断的个数有( )A. 0个B. 1个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】函数的零点个数即的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.【详解】因为，方程，，所以关于的方程一定有两个实根，且两根之积为-1，所以恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；，，对于，，所以恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为，所以②错误；若是函数的一个极值点, ，则，，，，，所以函数的增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，所以③正确.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.第二部分(非选择题共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量,,若,则___________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.【详解】由题：，所以，所以，解得：.故答案为：【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.10.在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,且a1,a3,a7依次成等比数列,那么数列{an}的前n项和等于____________.【答案】【解析】【分析】根据a1,a3,a7依次成等比数列,求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,设公差为且a1,a3,a7依次成等比数列,即，，，所以，所以数列{an}的前n项和.故答案为：【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为,且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____.【答案】【解析】【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出的值，结合焦点坐标即可求解.【详解】由题双曲线焦点在轴，设双曲线方程，两条渐近线互相垂直，即，得，又因为右焦点坐标为,所以，解得，所以双曲线的标准方程为：.故答案为：【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标准方程，考查通式通法和基本计算.12.在中, ,,,则____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理建立等量关系求解即可.【详解】在中,由正弦定理得：，所以.故答案为：【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.13.已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)【解析】【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①，③，则，所以.故答案为：①③推出⑤【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14.如图,某城市中心花园的边界是圆心为O,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l,花园中间有一条公路AB(AB是圆O的直径),规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:道路PB,QA不穿过花园.已知,(C､D为垂足),测得OC=0.9,BD=1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】【解析】【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用.【详解】如图：过点作直线交于，取与圆的交点，连接，则，过点作直线交于，过点作直线交于，根据图象关系可得，直线上，点左侧的点与连成线段不经过圆内部，点右侧的点与连成的线段不经过圆的内部，最短距离之和即，根据几何关系：，，所以，所以，，所以，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为元.故答案为：【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.三､解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2) 最小值0；最大值【解析】【分析】（1）对函数进行三角恒等变换得，即可得最小正周期；（2）整体考虑的取值范围，求出最大值和最小值.【详解】解:(1) f(x)最小正周期T =；(2)因为,所以所以当,即时,f(x)取得最小值；当,即时,f(x)取得最大值，所以f(x)在区间上的最小值0；最大值.【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16.为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求X 的分布列；(3)设8所学校优秀比例的方差为S12,良好及其以下比例之和的方差为S22,比较S12与S22的大小.(只写出结果)【答案】(1) ；(2)见解析； (3)S12=S22【解析】【分析】（1）统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率；（2）根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校B､F､H三所, 所以X的取值为0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；（3）考虑优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，根据方差关系可得两个方差相等.【详解】解:( 1)8所学校中有ABEF四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ,所以从8所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为；(2)8所学校中,学生不及格率低于30%的学校有学校B､F､H三所,所以X的取值为0,1,2.所以随机变量X的分布列为：(3)设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，则，所以：S12=S22.【点睛】此题考查简单几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系.17.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD=∠DAB=,SA=3,SB=5,,,.(1)求证:AB平面SAD；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；。
2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)_2
2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合，，所以.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数进行化简，然后得到其共轭复数，再找到其再复平面对应的点，得到答案.【详解】，所以在复平面对应的点为，在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在上的单调性，得到答案.【详解】选项A中，，是奇函数，但在上单调递增，不满足要求；选项B中，，是偶函数，不满足要求，选项C中，，是奇函数，在上单调递减，满足要求；选项D中，，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.已知向量，，若，则实数 ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.【此处有视频，请去附件查看】6.已知，，，则，，的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别对，，与特殊值或进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.7.艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到是在正方体中，截去四面体，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述，得到是在正方体中，截去四面体设正方体的棱长为，则，故剩余几何体的体积为，所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为.故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.9.在等差数列中，设，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项．【详解】若等差数列为则当时，成立，但不成立，所以非充分条件当时，成立，但不成立，所以非必要条件综上可知，是的既非充分非必要条件所以选D.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．10.关于曲线．给出下列三个结论：①曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数点）②曲线上任意一点到原点的距离都不大于③曲线上任意一点到原点的距离都不小于2其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】将曲线，看成关于的方程，利用方程有解，得到的范围，再分别研究对应的整数和的情况；根据基本不等式，得到的范围，从而判断出曲线上一点到原点的距离范围.【详解】曲线，看成关于的二次方程则，得所以整数的取值为，当时，或，满足题意当时，不是整数，不满足题意当时，或，满足题意当时，不是整数，不满足题意当时，或，满足题意故曲线过的整点为，，，，，，共6个，故命题①正确.，当时，，即，得，即当且仅当或时，等号成立所以得曲线上任意一点到原点的距离都不大于，命题②正确.当时，，即，得，即，当且仅当或时，等号成立所以得曲线上任意一点到原点的距离都不小于，故命题③错误；故选：C【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.在的二项展开式中，常数项等于．(用数值表示)【答案】-160【解析】试题分析：，由得：r=3，所．考点：二项式定理．点评：熟记二项展开式的通项公式：．此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化．12.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________；【答案】1【解析】试题分析：由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为．所以焦点到渐近线的距离为．考点：1双曲线的基本性质；2点到线的距离．13.已知数列为等比数列，，，则_______【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，从而得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为数列为等比数列，所以，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题.14.已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___【答案】①③②或②③①【解析】【分析】根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案.【详解】由，∥，可得故①③②，由，∥，可得故②③①，由，，则平面与平面可以平行和可以相交，故①②③.故答案为：①③②或②③①【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题.15.在的内角，，的对边分别为，，，已知，则的值为_______.【答案】【解析】试题分析：∵代入得，由余弦定理得．考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．【此处有视频，请去附件查看】16.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题:①线段的中点的广义坐标为②向量平行于向量的充要条件是③向量垂直于向量的充要条件是其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号）【答案】①②【解析】分析】根据定义，分别写出中点的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断，得到答案.【详解】点、的广义坐标分别为、可得，设为中点，则所以线段的中点的广义坐标为，故命题①正确向量平行于向量，则即，所以，故命题②正确，向量垂直于向量，则即，故命题③不一定正确.故答案为：①②.【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数.（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小正周期. .【解析】【分析】（Ⅰ）根据以及的范围，得到，代入到中，得到答案；（Ⅱ）对进行整理化简，得到，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为，且，所以.所以.（Ⅱ）所以函数的最小正周期.由，解得.所以函数的单调递减区间.【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．【答案】（Ⅰ）分布列见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先得到可能的取值为，，，，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）可能的取值为，，，.每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.，，，，所以X的分布列为：（Ⅱ）设每盘游戏没有得到15分为事件，则.设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件，则因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.（Ⅲ）设每盘游戏得分为.由（Ⅰ）知，的分布列为：的数学期望为.这表明，获得分数的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题.19.已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO平面；（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）不存在，见解析【解析】【分析】（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面的法向量，和平面的法向量，从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段上存在满足题意的点，直线与平面法向量的夹角为，设，，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点.【详解】（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，是的中点，所以.又因为平面，平面，所以.，平面，所以面.（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，设平面的法向量为所以，即令，则，又平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以.所以平面与平面所成锐二面角为.（Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，即直线与平面法向量所成的角为，设，，，所以所以，整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.20.已知函数.（）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立．【答案】（Ⅰ）时，单调增区间为，无单调减区间，时，单调增区间为，单调减区间为.（Ⅱ）（Ⅲ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对求导，得到，对按照和进行分类讨论，研究的正负，从而得到的单调区间；（Ⅱ）将代入，得到切线斜率，点斜式写出切线方程；（Ⅲ）令，得到，令，得到，从而得到，得到在上单调递增，即，从而使得原命题得证.【详解】解：（Ⅰ），当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，令，解得.当变化时，，变化情况如下表：–减所以时，在上单调递减，在上单调递增.综上所述，时，单调增区间为，无单调减区间，时，单调增区间为，单调减区间为.（Ⅱ）时，令，得，则，因为，所以，所以在点处的切线方程为，即.（Ⅲ）证明：令，则.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增；所以，即恒成立.所以在上单调递增，所以，所以，即当时，恒成立．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】（Ⅰ），离心率．（Ⅱ）直线与直线平行．见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将点代入到椭圆方程，解得的值，根据，得到的值，从而求出离心率；（Ⅱ）直线，，点，，将直线与椭圆联立，得到和，从而得到的斜率，得到，得到直线与直线平行．【详解】解：（Ⅰ）由椭圆过点，可得，解得．所以，所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）直线与直线平行．证明如下：由题意，设直线，，设点，，由得，所以，所以，同理，所以，由，，有，因为在第四象限，所以，且不在直线上，所以，又，故，所以直线与直线平行.【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档题.22.已知由个正整数构成的集合，记，对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若，求的最小值，并指出取最小值时的最大值.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）的最小值为11，此时的最大值.【解析】【分析】（Ⅰ）和时，根据的定义，以及集合的性质，得到答案；（Ⅱ）必要性：，可得，充分性：由条件可得，从而有，当且仅当时，等号成立，从而得证；（Ⅲ）含有个元素的非空子集个数有，当时，不满足题意，当时，集合，可以表示共个正整数，满足题意，由并且得到，结合，得到的最大值【详解】解:（Ⅰ）时，由条件知，必有，又均为整数，.时，由条件知，由的定义及均为整数，必有，.（Ⅱ）必要性：由“成等差数列”及,得此时满足题目要求从而.充分性：由条件知且均为正整数，可得故，当且仅当时，上式等号成立.于是当时，，从而成等差数列.所以“成等差数列”的充要条件是“”.（Ⅲ）由于含有个元素的非空子集个数有，故当时，，此时的非空子集的元素之和最多表示个不同的整数，不符合要求.而用个元素的集合的非空子集的元素之和可以表示共个正整数.因此当时，的最小值为11.记则并且.事实上若，，则，，所以时无法用集合的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是，得，，所以.当时满足题意所以当时，的最小值为11，此时的最大值.【点睛】本题考查集合与数列的新定义，求数列中的项，等差数列的条件证明，考查求数列的项数的最小值和项的最大值，属于难题.2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合，，所以.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数进行化简，然后得到其共轭复数，再找到其再复平面对应的点，得到答案.【详解】，所以在复平面对应的点为，在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在上的单调性，得到答案.【详解】选项A中，，是奇函数，但在上单调递增，不满足要求；选项B中，，是偶函数，不满足要求，选项C中，，是奇函数，在上单调递减，满足要求；选项D中，，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.已知向量，，若，则实数 ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.【此处有视频，请去附件查看】6.已知，，，则，，的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别对，，与特殊值或进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.7.艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到是在正方体中，截去四面体，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述，得到是在正方体中，截去四面体设正方体的棱长为，则，故剩余几何体的体积为，所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为.故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.9.在等差数列中，设，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项．【详解】若等差数列为则当时，成立，但不成立，所以非充分条件当时，成立，但不成立，所以非必要条件综上可知，是的既非充分非必要条件所以选D.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．10.关于曲线．给出下列三个结论：①曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数点）②曲线上任意一点到原点的距离都不大于③曲线上任意一点到原点的距离都不小于2其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】将曲线，看成关于的方程，利用方程有解，得到的范围，再分别研究对应的整数和的情况；根据基本不等式，得到的范围，从而判断出曲线上一点到原点的距离范围.【详解】曲线，看成关于的二次方程则，得所以整数的取值为，当时，或，满足题意当时，不是整数，不满足题意当时，或，满足题意当时，不是整数，不满足题意当时，或，满足题意故曲线过的整点为，，，，，，共6个，故命题①正确.，当时，，即，得，即当且仅当或时，等号成立所以得曲线上任意一点到原点的距离都不大于，命题②正确.当时，，即，得，即，当且仅当或时，等号成立所以得曲线上任意一点到原点的距离都不小于，故命题③错误；故选：C【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.在的二项展开式中，常数项等于．(用数值表示)【答案】-160【解析】试题分析：，由得：r=3，所．考点：二项式定理．点评：熟记二项展开式的通项公式：．此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化．12.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________；【答案】1【解析】试题分析：由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为．所以焦点到渐近线的距离为．考点：1双曲线的基本性质；2点到线的距离．13.已知数列为等比数列，，，则_______【答案】【解析】根据题意，得到，从而得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为数列为等比数列，所以，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题.14.已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___【答案】①③②或②③①【解析】【分析】根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案.【详解】由，∥，可得故①③②，由，∥，可得故②③①，由，，则平面与平面可以平行和可以相交，故①②③.故答案为：①③②或②③①【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题.15.在的内角，，的对边分别为，，，已知，则的值为_______.【答案】试题分析：∵代入得，由余弦定理得．考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．【此处有视频，请去附件查看】16.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题:①线段的中点的广义坐标为②向量平行于向量的充要条件是③向量垂直于向量的充要条件是其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号）【答案】①②【解析】分析】根据定义，分别写出中点的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断，得到答案.【详解】点、的广义坐标分别为、可得，设为中点，则所以线段的中点的广义坐标为，故命题①正确向量平行于向量，则即，所以，故命题②正确，向量垂直于向量，则即，故命题③不一定正确.故答案为：①②.【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数.（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小正周期. .【解析】【分析】（Ⅰ）根据以及的范围，得到，代入到中，得到答案；（Ⅱ）对进行整理化简，得到，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为，且，所以.所以.（Ⅱ）所以函数的最小正周期.由，解得.所以函数的单调递减区间.【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．【答案】（Ⅰ）分布列见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先得到可能的取值为，，，，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）可能的取值为，，，.每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.。
2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)_3
2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知ba，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得ba因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sinB，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断.详解】f（x）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{an}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{an}的前n项和Sn＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，Sn取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x+）＝2f（x），得f（x）＝2f（x﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断.【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
2020高三数学上学期期末试题卷
高三数学练习试题卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，每题 4分。
1．函数y=x 1x 1+-在区间 [2,5]上的值域是__________2。
等比数列{a n }的首项为a 1=a ，公比q ≠1，则1223n n 1111a a a a a a ++++=_____ 3 如果奇函数y=f(x) (x ≠0)，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x -1，则使f(x -1)<0的x 的取值范围是________________ 4．抛物线y=14x 2+2x 的准线方程为__________________5．18321319203213452134131 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯++=___________6．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B 的正南方A 处，A 与B 相距7公里，甲船自A 处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B 岛出发，向北60o 西方向航行，问_____分钟后两船相距最近？ 7．有六根细木棒，a a ，其余四根木棒长均为a ，请你用它们搭成一个三棱锥，其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为_________ 8若首项为a 1,公比为q(q ≠1)的等比数列{a n }满足∞→n l i m(2121a a a +-q n )=23,则a 1的取值范围是__________.9．某甲A 篮球队的12名队员(含2名外援)中有5名主力队员(含一名外援)，主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是___________.10．设复数z=x+yi(x,y ∈R)且|z -4i|=|z+2|，则2x +4y 的最小值为___________11．右图是正方体的展开图，其中直线AB 与CD在原正方体中所成角的大小是___________12．集合S={1,2,3,4,5,6}，A 是S当x ∈A 时，若x -1∉A，x+1∉A ，则称x 为A个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4元子 集的个数是______________二、选择题（本题满分16分）本大题4 小题，每题4分 13．已知向量a={cos α,sin α}，b={cos β,sin β}，那么----------( ) A.a b ⊥B. a //bC.()a b (a b)+⊥-D. a 与b 的夹角为α+β14．设函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,22ππ-<ϕ<)的图象关于直线x=23π对称，它的周期是π，则以下命题错误的是------( ) A. f(x)的图象过点1(0,)2B. f(x)在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C. f(x)的一个对称中心是点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭D. f(x)的最大值为A15．设x,y∈R +，且xy -(x+y)=1，则------------------------------------------------------( )A. x+y ≥+2B. xy ≤C. x+y 21)≤D. xy 224+≥16．已知函数()x 1f (x)a 0,a 1a-=>≠，在同一坐标系中，y=f -1(x)xx与y=x1a-的图象可能是-----------------------------------------------------( )三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga-lgb=lgcosB-lgcosA(1)判断△ABC的形状；x-b的图(2)若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=13象关于直线y=x对称，求边长c.。
2020届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)
2020届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.1.若集合，且，则集合可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∵集合∴选项满足要求故选A.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，由此求得的虚部.【详解】，故虚部为.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3.设满足约束条件, 则的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z也取得最小值．由，解得，故点A的坐标为．∴．选C．4.已知，，，则a, b, c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.5.若是定义在上的偶函数，在为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断出的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集.【详解】由于是定义在上的偶函数，且在上递增，所以在上递减.由得，所以不等式的解集为.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.6.已知椭圆与圆，若椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值.【详解】设过作圆的切线，切点为，连接.由于，根据切线的对称性可知.在中有，即，所以，即，化简得，，所以椭圆离心率的最小值为.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.的内角，，的对边分别为，，，且，，为的外心，则（）A. B. C. D. 6【答案】B【解析】【分析】取的中点，可得，这样，然后都用表示后运算即可．【详解】取的中点，连接，∵是外心，∴，，．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取的中点，把转化为，再选取为基底，用基底进行运算．8.执行如图所示的程序框图，当输出时，则输入的值可以为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n-1）×…×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即输入n的值为7．故选B．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出几何体由半个球和半个圆柱构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体的上半部分是半个球，下半部分是半个圆柱，故体积为.故选：C【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查球和圆柱体积有关的计算，属于基础题.10.已知锐角满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由cos（α﹣）=cos2α，得，∴sinα+cosα＞0，则cosα﹣sinα=．两边平方得：，∴．故答案为A．11.抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，若的面积为，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】双曲线的一个焦点为，所以，设点，则利用导数得到处切线方程，求出的坐标后利用的面积为4得到，最后利用焦半径公式可求.【详解】双曲线的一个焦点为，所以.设点，故抛物线在点处切线斜率为，切线方程为，所以，所以，故，，故选C.【点睛】若求抛物线上点的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.12.已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则（）A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019【答案】A【解析】【分析】由得到，即，利用分组求和法即可得到结果.【详解】由数列的前项和为，当时，；当时，，上式对时也成立，∴，∴，∵函数的周期，∴，故选A.【点睛】本题考查知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分.13.学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．14.若直线与圆相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为___________．【答案】.【解析】【分析】根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，求得的关系，利用二次函数的性质求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即.由于圆心在直线的上方，所以，即，所以，，则，对称轴为，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点和直线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是______.【答案】.【解析】【分析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由求得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】因为将沿折成直二面角，，面面面，所以面.所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为，底面外接圆的半径为，则，在中，由题意知，所以，所以，而，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查几何体外接球表面积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上的一点，若直线与直线平行且的周长为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出，利用直线与直线平行知，结合余弦定理即可求解.【详解】由双曲线定义知，又解得，因为直线与直线平行，所以，故，由余弦定理得：即，化简得，解得或（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中的对边分别，若，，，（1）求（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，结合特殊角的三角函数值，求得.（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理列方程，解方程求得的值.【详解】（1）由,得,且,所以，-（2）因为,由正弦定理得又由余弦定理得：解得【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18.等差数列{an}的前n项和为Sn，且=9，S6=60．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=（n∈N+）且b1=3，求数列的前n项和Tn．【答案】（Ⅰ）an=2n+3；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=9，S6=60．∴，解得．∴an=5+（n﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3，当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣1）+…+（b2﹣b1）+b1=[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b1=3适合上式，所以．∴．∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为，求前项和：；（2）已知数列的通项公式为，求前项和：；（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.19.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；A B合计认可 不认可合计（3）在A ，B 城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A 城市中至少有1人的概率． 参考数据如下：（下面临界值表供参考）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7 063.8415.02466357.87910.828（参考公式，其中）【答案】（1）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值， A城市评分的方差大于B城市评分的方差，（2）没有95%的把握，（3）【解析】【详解】试题分析：（1）结合茎叶图根据数据的分布可得结论．（2）结合题意的到列联表，根据表中的数据求得，对比临界值表可得没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．（3）先由分层抽样方法得到在A，B两市抽取的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．试题解析：(1) 由茎叶图可得：A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；A城市评分的方差大于B城市评分的方差．(2) 由题意可得2×2列联表如下：故，所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．(3) 由题意得在A市抽取人，设为x,y；在B市抽取人，设为a,b,c,d．则从6人中推荐2人所有基本事件共有：，共15个．设“A市至少有1人”为事件M，则事件M包含的基本事件为：，共9个．由古典概型概率公式可得，故A城市中至少有1人的概率为．20.在如图如示的多面体中，平面平面，四边形是边长为的正方形，∥,且.（1）若分别是中点，求证：∥平面（2）求此多面体的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】试题分析：（1）在平面中，作交DC于连接，根据条件可得四边形是平行四边形，于是∥，由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）结合图形将多面体的体积分为两部分求解，由题意分别求得两个椎体的高即可．试题解析：（1）证明：在平面中，作交DC于连接．是中点，且是正方形，∥,，又∥,，∥，四边形是平行四边形，∥，又平面，平面，∥平面．（2）解：如图，连BD,BF,过F作FG⊥EF，交BC于点G．四边形BEFC是等腰梯形，．平面平面，平面平面，FG⊥EF，DF⊥EF，平面,平面．，，故多面体的体积．21.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且△PF1F2的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程.【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）根据的面积求得的值，再利用椭圆过点及，求得的值，从而求得椭圆的方程；（2）设直线方程为，由直线和圆、椭圆都相交，求得，再利用弦长公式分别计算，，从而建立的函数关系式，当取得最小值时，可求得的值，从而得到直线的方程.【详解】解：（1）由的面积可得，即，∴．①又椭圆过点，∴．②由①②解得，，故椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得．将代入椭圆方程，得，由判别式，解得．由直线和圆相交的条件可得，即，也即，设，，则，，由弦长公式，得．由，得．∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为．【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将与建立联系，从而使问题得到解决.22.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设，若函数在内有两个极值点，求证：.【答案】（1）极大值，极小值（2）见解析【解析】试题分析：（1）当时，，求导后根据导函数的符号判断函数的单调性，从而可得函数的极值．（2）由题意得，设，结合题意可得方程在上有两个不相等的实根，且1不能是方程的根，故可得，由此可得．然后求得，最后由可得结论成立．试题解析：（1）当时，.∴当时，单调递增；当时，，单调递减．所以在上有极大值，极小值．（2）由题意得，∴，设，∵函数在内有两个极值点，∴方程在上有两个不相等的实根，且1不能是方程的根，∴，解得．∴，∴∴，∴．2020届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.1.若集合，且，则集合可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∵集合∴选项满足要求故选A.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，由此求得的虚部.【详解】，故虚部为.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3.设满足约束条件, 则的最小值是A. B. C. D.【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z也取得最小值．由，解得，故点A的坐标为．∴．选C．4.已知，，，则a, b, c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数5.若是定义在上的偶函数，在为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断出的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集.【详解】由于是定义在上的偶函数，且在上递增，所以在上递减.由得，所以不等式的解集为.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.6.已知椭圆与圆，若椭圆上存在点P，使得由点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值.【详解】设过作圆的切线，切点为，连接.由于，根据切线的对称性可知.在中有，即，所以，即，化简得，，所以椭圆离心率的最小值为.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.的内角，，的对边分别为，，，且，，为的外心，则（）A. B. C. D. 6【答案】B【解析】【分析】取的中点，可得，这样，然后都用表示后运算即可．【详解】取的中点，连接，∵是外心，∴，，．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取的中点，把转化为，再选取为基底，用基底进行运算．8.执行如图所示的程序框图，当输出时，则输入的值可以为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n-1）×…×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即输入n的值为7．故选B．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出几何体由半个球和半个圆柱构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体的上半部分是半个球，下半部分是半个圆柱，故体积为.故选：C【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查球和圆柱体积有关的计算，属于基础题.10.已知锐角满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由cos（α﹣）=cos2α，得，∴sinα+cosα＞0，则cosα﹣sinα=．两边平方得：，∴．故答案为A．11.抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，若的面积为，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】双曲线的一个焦点为，所以，设点，则利用导数得到处切线方程，求出的坐标后利用的面积为4得到，最后利用焦半径公式可求.【详解】双曲线的一个焦点为，所以.设点，故抛物线在点处切线斜率为，切线方程为，所以，所以，故，，故选C.【点睛】若求抛物线上点的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.12.已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则（）A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019【答案】A【解析】【分析】由得到，即，利用分组求和法即可得到结果.【详解】由数列的前项和为，当时，；当时，，上式对时也成立，∴，∴，∵函数的周期，∴，故选A.【点睛】本题考查知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分.13.学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．14.若直线与圆相切，且圆心C在直线l的上方，则ab 的最大值为___________．【答案】.【解析】【分析】根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，求得的关系，利用二次函数的性质求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即.由于圆心在直线的上方，所以，即，所以，，则，对称轴为，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点和直线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是______.【答案】.【解析】【分析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由求得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】因为将沿折成直二面角，，面面面，所以面.所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为，底面外接圆的半径为，则，在中，由题意知，所以，所以，而，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查几何体外接球表面积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上的一点，若直线与直线平行且的周长为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出，利用直线与直线平行知，结合余弦定理即可求解.【详解】由双曲线定义知，又解得，因为直线与直线平行，所以，故，由余弦定理得：即，化简得，解得或（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中的对边分别，若，，，（1）求（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，结合特殊角的三角函数值，求得.（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理列方程，解方程求得的值.【详解】（1）由,得,且,所以，- （2）因为,由正弦定理得又由余弦定理得：解得【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18.等差数列{an}的前n项和为Sn，且=9，S6=60．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=（n∈N+）且b1=3，求数列的前n项和Tn．【答案】（Ⅰ）an=2n+3；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=9，S6=60．∴，解得．∴an=5+（n﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3，当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣1）+…+（b2﹣b1）+b1=[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b1=3适合上式，所以．∴．∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为，求前项和：；（2）已知数列的通项公式为，求前项和：；（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.19.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；A B合计认可不认可合计（3）在A，B城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A城市中至少有1人的概率．参考数据如下：（下面临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.02466357.87910.828（参考公式，其中）【答案】（1）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值， A城市评分的方差大于B城市评分的方差，（2）没有95%的把握，（3）【解析】【详解】试题分析：（1）结合茎叶图根据数据的分布可得结论．（2）结合题意的到列联表，根据表中的数据求得，对比临界值表可得没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．（3）先由分层抽样方法得到在A，B两市抽取的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．。
2020年高三数学上期末试题(附答案)
2020年高三数学上期末试题(附答案)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2014．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==+++，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4016．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5057．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+8．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A．2-B．1-C．1D．39．设,x y满足约束条件0,20,240,x yx yx y-≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y=+的最大值为（）A．2B．3C．12D．1310．已知数列{}n a满足11 2,0,2121,1,2n nnn na aaa a+⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a=，则数列的第2018项为（）A．15B．25C．35D．4511．等差数列{}n a中，已知611a a=，且公差0d>，则其前n项和取最小值时的n的值为( )A．6B．7C．8D．912．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为=40h的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为=60βo，=30αo，若山坡高为=35a，则灯塔高度是（）A．15B．25C．40D．60二、填空题13．已知0a>，0b>，当()214a bab++取得最小值时，b=__________．14．数列{}n a满足14a=，12nn na a+=+，*n N∈，则数列{}n a的通项公式n a=______. 15．设0a>，若对于任意满足8m n+=的正数m，n，都有1141a m n++≤，则a的取值范围是______.16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是__________．17．已知数列{}{}n na b、满足lnn nb a=，*n∈N，其中{}n b是等差数列，且431007ea a⋅=，则121009b b b+++=L________．18．在ABC∆中，内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，且22cos C=，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．19．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
金华十校2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
又由 ,得 ，
所以数列 是 ，公比 的等比数列，
所以数列 的通项公式 .
(Ⅱ)由题意知 ，得 ，
得
，设 ，
， ， ,
是递增数列，最小项是 ，
所以
【点睛】本题考查数列 与 的关系，数列通项公式的求法，不等式恒成立问题，属于中档题.
21.已知:抛物线 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，点 在直线 的右上方.分别过点 作斜率不为0,且与 只有一个交点的直线为 .
【详解】如图，
平行于平面 和底面 的交线。
又顶点 在底面的射影为 的垂心 ，
则 ， ，
平面 ,
,
因此平面 与底面 所成的锐二面角为 ，即为 。
在 中， ，在 中， ，
又点 为 的中点,所以 ，即 ，
整理得 ,
所以当 取到最大时 。（这个问题就是米勒最大角问题。)
即 时，角最大,从而正切值最大,
不妨设 ，则 。
（Ⅱ）由题意得 ，利用三角函数的单调性以及 ，即可得到结论.
【详解】（Ⅰ）
令
所以函数 的单调减区间为 ；
(Ⅱ）由题意，
.
又 ,则 ，
从而有 ，又 ，
。
所以函数 的值域为 .
【点睛】本题考查二倍角公式,正弦函数的单调性，函数 的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域，属于基础题.
19.在如图的空间几何体中, 是等腰直角三角形， ，四边形 为直角梯形， ， 为 中点.
20。已知数列 的前 项和为 , 是 和 的等差中项；
（Ⅰ）求数列 的通项公式;
（Ⅱ）若 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ)
【解析】
【分析】
2020年高三数学上期末试卷及答案
2020年高三数学上期末试卷及答案一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．44．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1765．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．46．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．647．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．238．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．69．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD．210．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 11．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2812．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；14．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1y x +的最大值为_______.15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .16．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．17．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．18．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 19．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 20．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2n n n ab n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．23．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 24．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==,求S .25．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD 129，求△ABC 的面积． 26．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r，7BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．B解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果3．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.4．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.6．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.7．C解析：C 【解析】 试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．8．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，6a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7 cos8A=得2715sin18A⎛⎫=-=⎪⎝⎭所以，111515sin2422ABCS bc A∆==⨯⨯⨯=故选D.【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin2bc A.借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin2bc A时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.10．B解析：B【解析】【分析】利用公式1n n na S S-=-计算得到11323,2nn nnSS SS++==，得到答案.【详解】由已知1112n na S a+==，，1n n na S S-=-得()12n n nS S S-=-，即11323,2nn nnSS SS++==，而111S a==，所以13()2nnS-=.故选B.【点睛】本题考查了数列前N项和公式的求法，利用公式1n n na S S-=-是解题的关键.11．D解析：D【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质12．B解析：B【解析】【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 14．2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最解析：2 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由()011y y x x -=+--，即1y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率，显然直线AD 的斜率最大，又由2202x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02210AD k -==--， 所以1y x +的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 16．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11 【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．17．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC及其内部其中A（22）B（）C（32）设z=F（xy）=3x+y将直线l：z=3x+y 进行平移当l经过点A（22）时目标函数z达解析：8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，2），B（53,22）,C（3，2）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A（2，2）时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（2，2）=8故选：C18．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解解析：25【解析】【分析】利用1的代换，将求式子43a b+的最小值等价于求43()(3)a ba b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值.【详解】因为4343123123()(3)4913225b a b aa ba b a b a b a b+=++=+++≥+⋅，等号成立当且仅当21,55 a b==.故答案为：25.【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.19．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数 解析：10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值．【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++=由等差数列性质可知70a =因为40k a a +=所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+可得10k =【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．20．【解析】分析：设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点 解析：14【解析】分析：设公差为d ，首项1a ，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案. 详解：设公差为d ，首项1a ，Q {}n a 和都是等差数列，且公差相等，∴=，即=，两边同时平方得：()1114233a d a a d +=+++14a d +=两边再平方得：()221111168433a a d d a a d ++=+， ∴2211440a a d d -+=，12d a =，又两数列公差相等，2112a a d a =-==，12a =， 解得：114a =或10a =， Q {}n a 为正项数列， ∴114a =. 故答案为：14. 点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想.三、解答题21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n nn T +=-【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n n n b += 23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故2552n nn T +=- 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】【分析】 （1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nn n a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n n n n a =⋅, 所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L , 则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n n T n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭, 所以()132134n n n T ++-⋅= 【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 23．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n n S n n n =-+-++-=++L 【解析】【分析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +.(2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（）， 所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋24．(1)证明解析,(2)2 【解析】【分析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A =代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos A =tan A ⇒=，b =⇒166S =⨯=. 【详解】 （1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.（2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan A ⇒=，b .211tan 66622S b A ==⨯⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.25．（1）A ＝60°；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c .【详解】(1)acos C －b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C ＝sin B ＋sin C ，即sin Acos C sin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，又sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B .所以sin C ＝sin(A ＋B)17＋12. 由正弦定理得，sin 7sin 5a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcos B， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsin B ＝ 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键.26．（1）3B π=（2 【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积．【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r， (2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=， 0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==，∴四边形ABCD 的面积．111224S DAC ABC =⨯∠+∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和.。
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二、试解下列各题(每小题 6 分，共计 24 分)
学生签名：
学号
承诺：我将严格遵守考场纪律，并知道考试违纪、作弊的严重性，承担由此引起的一切后果。
《高等数学Ⅰ 》课程课程类别：必 闭卷
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 分数 评卷
人 一、填空题(每小题 2 分，共 20 分)
总分
1. 求极限lim 3x2 5 sin 4
专业
第2页共3页
2. 设f (x)的一个原函数为lnxx，求 xf (x)dx
本页得分
3.
设f
( x)
1
1
1
x
，，xx00，求02f(x ຫໍສະໝຸດ )dx1 ex4.
求过点(2，1，3)且平行直线2xxyyz2z21
0
的直线对称式方程 0
及参数方程
第3页共3页
本页得分
弊的严重性，承担由此引起的一切后果。 学生签名：
求积分
(1
1 x2
)
x
2
d
x
承诺：我将严格遵守考场纪律，并知道考试违纪、作弊的严重性，承担由此引起的一切后果。
4.
求积分
4
0
1 1
cos2 xdx． cos 2x
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学号
三、试解下列各题(每小题 7 分，共 28 分)
lim 1. 求极限
1 x2 ex2
x0 x sin 3 x
班级
(x0 )
2，则lim h0
f
( x0
h) h
f
(x0
h)
__________
5. y x x 的单调减少区间是 ____________________
6. 曲线y x3 3x 2的拐点为 __________
2. 设 y cos(sin 1x)，求dy
7.
3x4 3x2 x2 1
x 5x 3
x
1. lim x cos 2 __________
x 0
x
2.
设f
(x)
csc x
x
cot
x
(x
0)，要使f
(x)在x
0处连续，则f
(0)
______
3.
设x
y
t 0
sin u u
du 则
cost，(t 0)
dy dx
____________________
4.
设f
五、证明题(7分) 设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0 a b)，证明存在 (a,b)， 使2[ f (b) f (a)] (b2 a2 ) f ( ).
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1
d x =____________
8.
设f
(
x)为
a，a上连续的奇函数，则
a a
x
2
f
(
x)dx
_________
9. 向量b 1,1,4在向量 a 2,2,1上的投影等于_______
10. 点 (3,1,1) 到平面 22x 4y 20z 45 0 的距离等于
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班级
专业
3.
四、应用题(每小题 7 分，共 21 分)
1. 在半径为 R的球内，求体积最大的内接圆柱 体的高
2. 求由曲线y sin x, y cos x,(0 x )及直线x 0, x 所围成的
2
2
平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
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3. 设曲线的方程为 y f (x). 已知在曲线的任意点(x，y)处满足 y 6x, 且在曲线上的(0， 2)点处的曲线的切线的方程为 2x 3y 6，求此曲 线的方程.