北京市海淀区2020届高三数学一模考试试题 文
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3} C ．{0，1，2} D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．c b＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 解：∵复数z ＝i （2﹣i ）＝﹣i 2+2i ＝1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选：A ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}【分析】根据A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，即可得出集合B 可能的情况． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}， ∴集合B 可以是{1，3}． 故选：B ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，4＝2p，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x=−p2=−1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12．在等差数列{a n}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{a n}的前4项的和为24．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝3，a2+a5＝16，∴2×3+5d＝16，解得d＝2．则数列{a n}的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0． 故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ 4√2 ；△ACD 的面积为 2√6 ．【分析】先根据正弦定理求得AD ，进而求得三角形的面积． 解：如图；因为在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2， 所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD =4√3×sin π4sin π3=4√2； S △ACD =12•AD •CD •sin ∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6； 故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣E 的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可， 【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)． 设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f （x ），再求f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 选择条件②时f （x ）的一个周期为2π，化简f （x ），利用三角函数的性质求出f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 解：（Ⅰ）由函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ， 则f （0）＝2cos 20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f （x ）的一个周期为π； 由f （x ）＝2cos 2x +sin2x ＝（cos2x +1）+sin2x=√2(√22sin2x +√22cos2x)+1=√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2，π6]，所以2x +π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B（0，b ），△A 1BA 2的面积为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线A 1B 与直线A 2M 交于点P ，直线A 1M 与直线A 2B 交于点Q ．求证：△BPQ 为等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（ II ）解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP |＝|BQ |，即可证明△BPQ 为等腰三角形．解法2，设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P ，Q 坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形． 解：（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2. 解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1，−4k 4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y2y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =yx 0+2(x +2)，y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y2y 0+x 0+2=4y0(4y0+4)(2y0−x0+2)(2y0+x0+2)=4y0(4y0+4)(2y0+2)2−x02=2．故PQ中点在定直线y＝1上．从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，所以△BPQ为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n ﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k ﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020年北京市海淀区高三数学试卷--带答案
（Ⅲ）已知数列 A2n1 的特征值为 n 1，求
| xi xj | 的最小值.
1i j2n1
海淀区 2020 届高三年级第一学期期末练习参考答案
数学
2020.01
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
（D） (1, 0)
（3）下列直线与圆 (x 1)2 ( y 1)2 2 相切的是
（A） y x
（B） y x
（C） y 2x
（4）已知 a, b Î R ，且 a > b ，则
（D） y 2x
（A） 1 < 1 ab
（B） sin a > sin b
（5）在 (x 1 )5 的展开式中， x3的系数为
高三年级（数学）第 4页（共 5 页）
（22）（本小题共 14 分） 给定整数 n(n 2) ，数列 A2n1：x1, x2 ,, x2n1 每项均为整数，在 A2n1 中去掉一项
xk , 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大 值记为 mk (k 1, 2,, 2n 1) . 将 m1, m2 ,, m2n1 中的最小值称为数列 A2n1 的特征值.
A1
B1
C ，C1 不重合），Q1 = fg [ fb (P)] ，Q2 = fb [ fg (P)] . 给出下
P
列三个结论：
D
C
①线段
PQ2
长度的取值范围是
[
1 2
,
2)； 2
②存在点 P 使得 PQ1 ∥平面 b ；
海淀高三一模2020海淀高三数学一模答案
********************************************************* **********************海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案2020.春1. A2. B3. B4. D5. C6. C7. D8. C9. A 10. B二、填空题:本大题共5小题, 每小题5分，共25分.11. x = -\12. 24：13. 0；一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.14. 4^2; 2^6；15. (1) (2)三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.(共14 分)(1).AB丄平面88CCC】Bu平面BB.C.C ,AB 1 C\B又4BC _ &BG为三棱柱AB = BB、= 2BC = 2 " -----------------BB]=2 = CC[,BC = 1BC\=8 E.•.在A5CG中，SC2 + C,52 = CC,2B:.C}B 1BC•; BCn」B = B y圣BC c WiABC,AB c \^ABC ./C X B1 平面"C⑵C X B丄平面如C:.QB1BC又v AB丄平面B8CCAB LBC, AB LBC,•••以8为空间直角坐标系原点，昭为x轴，BQ為轴，时为:轴建系如图8(0,0,0), C(l,0,0),C,(0,也0), E( - }右,1)而=(—?M,1)网= (1,0,0)设平面BCB^］法向量为〃 =(x, y,z).・.n丄BE.n丄BC n • BE=0,n BC=0******************x + >/3y + z = 0x = 0/. x = 0令= 则:=-3 H =(0,A/3,-3)BC,丄平^ABC17.(共14 分) 解：(I) /(O) = 2 cos 0 + sin 0 = 2 ；(II)当取①口1 =1,勿2 = 2时f(x)-2 cos2 x + sin 2x =sin2x + cos2x + l = V2sin(2x + ^-)+l,••当2当=号时，即一等/(叽宀(-等)=7T = 7V当取②＜y, = L 口2=1时，/(x) = 2 cos2 x + sin x = —2 sin2 x + sin x + 2。
2020年海淀区高三一模数学试卷及答案（理科）
2020年海淀区⾼三⼀模数学试卷及答案（理科）海淀区⾼三年级第⼆学期期中练习数学（理科） 2020.04⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R U ，那么m 的值可以是（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等⽐数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平⾏于极轴的直线的极坐标⽅程是（A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ= （4）已知向量=(1)= (1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执⾏如图所⽰的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、⼄等5个⼈中选出3⼈排成⼀列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ?-+≤=?->? 若1212,,x x x x ?∈≠R ，使得12()()f x f x =成⽴，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在正⽅体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上⼀点，则满⾜BP 与'AC 所成的⾓为45°的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia +-在复平⾯内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平⾏于经过⼀、三象限的渐近线的直线⽅程是 . （11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表⽰需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP⼤于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ?的边AB 为直径的半圆交AC 于点FEDC BAA'B'C'D'ABCDD ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE D= ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x x ì=í?R Q Q e则（ⅰ）(())f f x = ；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数()f x 是偶函数；②存在(1,2,3)i x i ?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三⾓形是等腰直⾓三⾓形；③存在(1,2,3,4)i x iR ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本⼤题共6⼩题，共80分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本⼩题满分13分）在ABC ?中，⾓A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最⼤值.(16)（本⼩题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平⾯ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平⾯PAB I 平⾯PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平⾯PAC ；PDCBA（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上⼀点，且直线QC 与平⾯PAC所成⾓的正弦值为3，求PQPB 的值．(17)（本⼩题满分13分）某学校随机抽取部分新⽣调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直⽅图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. （Ⅰ）求直⽅图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1⼩时的学⽣可申请在学校住宿，请估计学校600名新⽣中有多少名学⽣可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新⽣中任选4名学⽣，这4名学⽣中上学所需时间少于20分钟的⼈数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直⽅图中新⽣上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学⽣上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本⼩题满分13分）已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k -=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极⼤值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本⼩题满分13分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，椭圆G 的中⼼为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=?.（Ⅰ）求椭圆G 的标准⽅程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所⽰.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的⾯积S 的最⼤值.(20)（本⼩题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈?=对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ?=?=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并⽤列举法写出集合A B ；（Ⅱ）⽤Card(M)表⽰有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ?+?的最⼩值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满⾜,P Q A B ?U ，且()()P A Q B A B =?？海淀区⾼三年级第⼆学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2020．04⼀.选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.⼆.填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分. （9）2 （10）43200x y --= （11）45- （12）(10,20)（13）60°（14）1 ①③三.解答题：本⼤题共6⼩题，共80分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+. 因为A B C ++=π，所以3B π=. ………………………………………2分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π，所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()422A A -=+ 11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最⼤值34.………………………………………13分(16)（本⼩题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB //CD ，CD ?平⾯PAB ，AB ?平⾯PAB ，所以CD //平⾯PAB . ………………………………………2分因为CD ?平⾯PCD ，平⾯PAB I 平⾯PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：因为AP ^平⾯ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-u u u r，(2,AC =u u u r， (0,0,4)AP =u u u r，所以(4)2000BD AC ?=-?+?=u u u r u u u r，(4)00040BD AP ?=-?++?=u u u r u u u r.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =I ，AC ?平⾯PAC ，PA ?平⾯PAC ，所以 BD ⊥平⾯PAC . ………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Q x y z ，直线QC 与平⾯PAC 所成⾓为θ.所以 PQ PB λ=u u u r u u u r.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì==í??=-+即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+u u u r .………………………………………11分由（Ⅱ）知平⾯PAC的⼀个法向量为(4,BD =-u u u r.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BDCQ BD CQ BDθ×=<>=×u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =. ………………………………………14分(17)（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由直⽅图可得：200.025200.0065200.0032201x ?+?+?+??=. 所以0.0125x =. ………………………………………2分（Ⅱ）新⽣上学所需时间不少于1⼩时的频率为：0.0032200.12??=， ………………………………………4分因为6000.1272?=，所以600名新⽣中有72名学⽣可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直⽅图可知，每位学⽣上学所需时间少于20分钟的概率为14，4381(0)4256P X ??===141327(1)C 4464P X ===,22241327(2)C 44128P X === ? ?,334133(3)C 4464P X === ? ?,411(4)4256P X ??===.……12分812727310123412566412864256EX =?+?+?+?+?=.（或1414EX =?=）所以X的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .221'()e ()e (21)e [(2)2]kx kx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kx f x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-??. ………………………………………3分当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)k +∞，单调递减区间是(1,)k -.………………………………………7分（Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极⼤值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x ⽆极⼤值.当20k -<<时，()f x 的极⼤值为22241()e ()f k k k-=+，………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极⼤值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<.因为 221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极⼤值不可能等于23e -. ………………………………………12分综上所述，当1k =-时，()f x 的极⼤值等于23e -.………………………………………13分(19)（本⼩题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准⽅程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=?，所以1b c ==.所以2222a b c =+=. ………………………………………2分所以椭圆G 的标准⽅程为2212x y +=. ………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =++=??消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=. 则2218(21)0k m ?=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ?+=-??+?-?=?+? ………………………………………5分所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分因为 ||||AB CD =, 所以=因为 12m m ≠，所以120m m +=. ………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平⾏四边形，设两平⾏线,AB CD 间的距离为d ,则d =因为 120m m +=，所以d =………………………………………10分所以||S AB d =?=2221121k m m -++=≤=（或S ==≤所以当221212k m +=时，四边形ABCD 的⾯积S 取得最⼤值为. ………………………………………13分(20)（本⼩题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ?=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C ?且a X ?，则(({})()1Card C X a Card C X ?=?-U ；②若a C ?且a X ?，则(({})()1Card C X a Card C X ?=?+U .所以要使()()Card X A Card X B ?+?的值最⼩，2，4，8⼀定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ?+?的值；集合X 不能含有A B U 之外的元素.所以当X 为集合{1,6,10,16}的⼦集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ?+?取到最⼩值4. ………………………………………8分（Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ?=?=-，所以 A B B A ?=?.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ?=?.所以对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =?=??，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =?=??.所以 ()()()()A B C A B C f x f x =. 所以 ()()A B C A B C ??=??.由 ()()P A Q B A B =?知：()()P Q A B A B =?. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B =???.所以P Q=?.所以P Q=.=，即P Q因为,P Q A BU，所以满⾜题意的集合对（P，Q）的个数为72128=.………………………………………14分。
2020届北京市海淀区高三数学一模试题(含答案)
海淀区高三年级第二学期阶段性测试数学2020春第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)在复平面内,复数i(2- i)对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2) 已知集合A={x|0<x<3}, A ∩B= {1},则集合B 可以是(A) {1,2}(B) {1,3} (C) {0,1,2} (D) {1,2,3 } (3)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5,则b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)已知实数a, b, c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(A) b-a<c+a (B)2c ab < ()c c C b a > (D) |b|c<|a|c(5)在61(2)x x-的展开式中,常数项为(A) -120 (B) 120 (C) -160 (D) 160 (6)如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M'时,圆M'与直线1相切于点B,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3,2π则点M '到直线'BA 的距离为(A) 1 (3B 2(C 1()2D (7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为(A) [-1,+∞) (B) (-∞,-1] (C) [-2,+∞) (D) (-∞,-2](8)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为()5A ()22B ()23C ()13D(9)若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 (10)形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数,记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那5F 的位数是(参考数据: lg2≈0.3010 )(A) 9(B) 10 (C) 11 (D) 12第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题,每小题5分,共25分｡(11)已知点P(1,2)在抛物线C 2:2y px =上,则抛物线C 的准线方程为___.(12)在等差数列{}n a 中,1253,16a a a =+=,则数列{}n a 的前4项的和为___.(13) 已知非零向量a , b 满足|a |=|a -b |,则1()2-⋅a b b =__. (14) 在△ABC 中, 43,4AB B π=∠=,点D 在边BC 上,2,3ADC π∠=CD=2,则AD=___ ; △ACD 的面积为____.(15) 如图,在等边三角形ABC 中, AB=6.动点P 从点A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点,记P 运动的路程为x,点P 到此三角形中心O 距离的平方为f(x),给出下列三个结论:①函数f(x)的最大值为12;②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中,所有正确结论的序号是____.注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.三､解答题共6小题,共85分｡解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程｡(16) (本小题共14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面1111,22,3BB C C AB BB BC BC ====，点E 为11A C 的中点.( I)求证:1C B ⊥平面ABC;(II)求二面角A BC E --的大小.(17) (本小题共14分)已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I )求f(0)的值;(II)从①121,2ωω==121,1ωω==②这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[,]26ππ-上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡(18) (本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障,下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元)｡ ( I )从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X 的分布列和数学期望;(III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.(19) (本小题共15分)已知函数()x f x e ax =+.( I)当a=-1时,①求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;②求函数f(x)的最小值;(II)求证:当()2,0a ∈-时,曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.(20) (本小题共14分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>123(,0),(,0),(0,)A a A a B b -,12A BA ∆的面积为2. (I)求椭圆C 的方程;(II)设M 是椭圆C 上一点,且不与顶点重合,若直线1A B 与直线2A M 交于点P,直线1A M 与直线2A B 交于点Q. 求证:△BPQ 为等腰三角形.(21) (本小题共14分)已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*k ∈N , 使得212n n n a a ka -+=任意的*n ∈N 成立,则称数列{}n a 具有性质()k ψ.(I)分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ; (直接写出结论)1n a =① 2,n n a =②(II)若数列{}n a 满足1(1,2,3,)n n a a n +≥=L ,求证:“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件;(III)已知数列{}n a 中11,a =且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ,求数列{}n a 的通项公式.。
海淀区2020届高三一模数学(文)试题及答案(官方word版)
是否n =n +1开 始n =1n >5结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|23},{|21}A x x B x x =∈-≤<=-≤<Z ，则A B =IA. {2,1,0}--B. {2,1,0,1}--C. {|21}x x -<<D. {|21}x x -≤< 2. 已知向量(1,)t =a ，(3,9)=b ，若a b P ，则t = A.1 B.2 C.3D.43. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位）， 则输 出的S 值为A.1-B.1C.i- D.i4. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12zx y =+的最大值为A.52B.3C.72D.4 5. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D. 6. 已知点00(,)P x y 在抛物线2:4W y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为 A.12 B.1 C.32D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0,x x f x x x αα+≤⎧=⎨+>⎩ 则“π4α=”是“函数()f x 是偶函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题含解析
当 时 ,所以必要性不成立
故选:A．
【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
（2）利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
10。形如 (n是非负整数）的数称为费马数，记为 数学家费马根据 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出 不是质数，那 的位数是（ ）
考点:复数运算
2。已知集合 ， ，则集合 可以是（ )
A。 {1，2}B。 {1，3}C. ｛0，1，2}D。 {1，2，3 }
【答案】B
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集， , ， 集合中一定没有元素 ，由选项可得。
【详解】 ，则集合 中一定有元素 ，又 ， 集合中一定没有元素
可以是
故选：B。
【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题（含解析)
第一部分（选择题共40分)
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1。在复平面内,复数 对应 点位于（ ）
A。 第一象限B。 第二象限
C。 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析： ，对应的点为 ，在第一象限
对于B， , 不成立.对于C， ， 不成。对于D， ，因此成立.
故选:D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5。在 的展开式中，常数项为( ）
北京市海淀区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
北京市海淀区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=−1+i，z是z的共轭复数，在复平面内，z所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是()A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4.下列叙述正确的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a≠b，则|a|≠|b|C. 若|a|=|b|，则a=bD. 若a=−b，则|a|=|b|5.在(x2−1√x3)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()．A. 7B. −7C. −28D. 286.已知直线l：y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.若函数f(x)=log2(x2−2ax+3)在区间(−∞,1]内单调递减，则a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)D. [1,2]8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.在等比数列{a n}中，已知a1+a2=−32,a4+a5=12，则数列是()A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列10.已知a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，观察下列算式：a1⋅a2=log23⋅log34=lg3lg2⋅lg4lg3=2；a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=log23⋅log34⋯⋯log78=lg3lg2⋅lg4lg3⋯lg8lg7=3；若a1⋅a2⋅a3⋯a m=2016(m∈N∗)，则m的值为()A. 22016+2B. 22016C. 22016−2D. 22016−4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.抛物线y2=4x的准线方程为__________．12.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于______ ．13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．14.已知，在△ABC中B=π3，b=2，S▵ABC的最大值为________．15.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)=f(x)−log5|x−1|，则方程g(x)=0的所有根之和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的正弦值．17.已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3cosωxsinωx(0<ω<1)，x=π3是f(x)图象的一条对称轴．(1)试求ω的值;(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值．18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415．(1)求n值；(2)若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；(3)若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列．19.已知函数f(x)=x−sinx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,π2)时，0<f(x)<16x3．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.已知数列{a n}满足：na1+(n−1)a2+⋯+2a n−1+a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使a p，a q，a r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．利用共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z=−1+i，z=−1−i，∴z所对应的点(−1,−1)位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．3.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线方程，求出c，然后求解双曲线的离心率的取值范围即可．解：若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率为：ca=√1+a2a=√1+1a2∈(1,√2).故选C．4.答案：D解析：解：若|a|=a，则a≥0，故A错误；若a=−b≠0时，a≠b，但|a|=|b|，故B错误；若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误；若a=−b，则|a|=|b|，故D正确；故选：D根据绝对值的定义和性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．本题以命题的真假判断为载体考查了绝对值的定义和性质，难度不大，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n ；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为0求出常数项． 解：依题意，n2+1=5， ∴n =8．二项式为(x2−1√x 3)8，其展开式的通项T k+1=(−1)k (12)8−k C 8k x 8−4k3 令8−4k 3=0解得k =6故常数项为C 86(x2)2(−1√x3)6=7．故选A ．6.答案：C解析：解：直线l ：y =k(x +4)过定点(−4,0)，不妨记A(−4,0)， 设M(x 0,y 0)，B(x 1,y 1)，则{x 1=2x 0+4y 1=2y 0，代入(x +2)2+y 2=4， 可得(x 0+3)2+y 02=1．∴M 的轨迹是以(−3,0)为圆心，1为半径的圆，则M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为|−3×3−6|5+1=4．故选：C ．本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式，是中档题．由题意画出图形，利用待定系数法求出M 的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．7.答案：C解析：解：设t =g(t)=x 2−2ax +3，则函数y =log 2t 为增函数， 若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +3)在区间(−∞,1]内单调递减， 则等价为g(t)=x 2−2ax +3在区间(−∞,1]内单调递减且g(1)>0， 即{−−2a2=a ≥1g(1)=1−2a +3>0， 即{a ≥1a <2，解得1≤a <2， 故a 的取值范围是[1,2)， 故选：C利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题． 首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可． 解：三视图表示的几何体为三棱锥D −ABC ，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD =√CD 2+BC 2=√4+4+1=3． 故选D ．9.答案：C解析：解：由已知得公比q 满足：q 3=a 4+a5a 1+a 2=−8，所以q =−2，而a 1+a 2=−a 1=−32，所以a 1=32， 故数列{a n }是摆动数列， 故选：C ．由已知得公比q满足：q3=a4+a5a1+a2=−8，解得q，即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题．由已知得lg(m+2)=lg22016，由此能求出m．解：∵a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，∴a1⋅a2⋅…⋅a m=log23⋅log34⋅log45·…⋅log(m+1)(m+2)=lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4·…⋅lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2，即lg(m+2)lg2=2 016，lg(m+2)=lg22016，解得m=22016−2．故选C．11.答案：x=−1解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义．利用抛物线的准线方程得结论.解：由抛物线y2=4x，得p=2，所以准线方程为x=−1．故答案为x=−1．12.答案：13解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+2a10=4，∴a3+(a3+2d)+2(a3+7d)=4，∴4(a3+4d)=4，即a7=a3+4d=1，∴数列的前13项的和S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=13故答案为：13．由已知数据和通项公式可得a7=1，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7=1是解决问题的关键，属基础题．13.答案：3。
2020届 海淀区 高三一模 数学 参考答案
2020届海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数
学 2020春
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C
所以1AB C B ⊥.
在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =,
所以22211BC BC CC +=.
所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，。
2020北京海淀高三一模数学试题word版及答案
2020北京海淀高三一模数学 2020春本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 己知集合A={x|0<x<3},A∩B={1}，则集合B可以是A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5. 在(1x−2x)6的展开式中，常数项为A. −120B. 120C. −160D. 1606. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动，当圆M滚动到圆M’时，圆M’与直线l相切于点B，点A运动到点A’，线段AB的长度为3π2，则点M’到直线BA’的距离为A. 1B. √32C. √22D. 127. 已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称，若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139. 若数列{a n}满足a1=2,则“∀p,r∈N∗,a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（参考数据：lg2≈0.3010）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共110份）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合P={x|0＜x＜4}，且M⊆P，则M可以是（）A. {1，2}B. {2，4}C. {-1，2}D. {0，5}2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. sin（π+α） D. cos（π+α）3.已知等差数列{a n}满足4a3=3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A. a6B. a8C. a10D. a124.已知x＞y，则下列各式中一定成立的是（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A.B.C.D.6.已知复数z=a+i（a∈R），则下面结论正确的是（）A.B. |z|≥1C. z一定不是纯虚数D. 在复平面上，z对应的点可能在第三象限7.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班8种10种12种14种二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a，4，c成等比数列，且a＞0，则log2a+log2c=______．10.在△ABC中，，则c=______，S△ABC=______．11.已知向量=（1，-2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为______．12.在极坐标系中，若圆ρ=2a cosθ关于直线对称，则a=______13.设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，-1）距离的最小值为d（k），则（Ⅰ）当k=1时，d（1）=______；（Ⅱ）若，则k的取值范围是______．14.已知函数,,其中若,,使得成立,则______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数的最大值为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面DEF（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点P，使得直线DP与平面ACB1所成的角为300？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由．18.已知函数f（x）=x ln（x+1）-ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，求证：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）请直接写出函数f（x）的零点个数．19.已知抛物线G：y2=2px，其中p＞0．点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x=-2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x 轴于点Q．（Ⅰ）求抛物线的方程和F的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．20.首项为0的无穷数列{a n}同时满足下面两个条件：①|a n+1-a n|=n；②．（Ⅰ）请直接写出a4的所有可能值；（Ⅱ）记b n=a2n，若b n＜b n+1对任意n∈N*成立，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）对于给定的正整数k，求a1+a2+…+a k的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合P={x|0＜x＜4}，且M⊆P，可知M是P的子集，所以M可以是{1，2}．故选：A．利用集合的关系，判断选项即可．本题考查集合的子集关系的应用，是基本知识的考查．2.答案：D解析：解：角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，对于A，=cosα＜0，错误；对于B，cos（）=-sinα＜0，错误；对于C，sin（π+α）=--sinα＜0，错误；对于D，cos（π+α）=-cosα＞0，正确；故选：D．由角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3=3a2，∴4（a1+2d）=3（a1+d），可得：a1+5d=0，∴a6=0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选A．4.答案：D解析：解：A．取x=2，y=-1，不成立；B．取x=y=-1不成立；C．由指数函数f（x）=在R上单调递减，可得不成立；D.2x+2-y＞2x+2-x≥2，因此成立．故选：D．本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：S=1×2=2，x=2+2=4，m==2，m否，S=4×2=8，x=4+2=6，m==，m否，S=6×8=48，x=6+2=8，m==，m是，输出m=，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵z=a+i（a∈R），∴，故A错误；|z|=，故B正确；当a=0时，z为纯虚数，故C错误；∵虚部为1大于0，∴在复平面上，z对应的点不可能在第三象限，故D错误．故选：B．利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．7.答案：C解析：解：椭圆的离心率为：=，椭圆与双曲线的离心率之积为1，可得双曲线的离心率为：=，可得，可得，则双曲线C2的两条渐近线的斜率为：，所以双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为：；．故选：C．求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率，转化求出渐近线的倾斜角即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物安排第2节，其他任意排即可，故有A33=6种，若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有C21A22=4根据分类计数原理可得6+4=10种，故选：B．根据分类计数原理即可求出本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题9.答案：4解析：解：∵a，4，c成等比数列，且a＞0，∴ac=16，c＞0，∴log2a+log2c=log2ac=log216=4．故答案为：4．推导出ac=16，c＞0，由此能求出log2a+log2c．本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：∵，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C=42+52-2×4×5×=36，解得：c=6，∴sin C==，∴S△ABC=ab sin C==．故答案为：．由已知利用余弦定理可求c的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11.答案：（-1，2）（答案不唯一）解析：解：设=（x，y），由可得：y=-2x，=（1+x，-2+y），由，可得＜，把y=-2x代入，可得（x+1）2+（-2x-2）2＜5，化简可得x2+2x＜5，解得：-2＜x＜0，取得x=-1，可得y=2，所以=（-1，2）．故答案为：（-1，2）．利用向量共线列出方程，利用向量的模转化求解x的值，推出结果．本题考查向量共线以及向量的坐标运算，是基本知识的考查．12.答案：-1解析：解：圆ρ=2a cosθ的普通方程为：x2+y2-2ax=0，直线，化为x+y+1=0，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（a，0），所以a++1=0，解得，a=-1．故答案为：-1．化简圆的极坐标方程为普通方程，直线的极坐标方程化为普通方程，然后利用圆的圆心在直线上，求解a即可．本题考查极坐标与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．13.答案：2 [-1，+∞）解析：解：（Ⅰ）x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．是如图的灰色的角形区域，区域Ω上的点与点A（0，-1）距离的最小值为d（k），d（1）=2．（Ⅱ）若，可知区域Ω上的点与点A（0，-1）距离的最小值为d（k），直线y=kx+1恒过（0，1），由图形，可知直线经过B（1，0）时，区域Ω上的点与点A（0，-1）距离的最小值为，此时直线的斜率为：-1，所以k≥-1．故答案为：（Ⅰ）：2；（Ⅱ）：[-1，+∞）．（Ⅰ）当k=1时，画出约束条件的可行域，然后利用新定义，求解d（1）即可．（Ⅱ）利用直线系经过的定点，结合，判断直线的斜率的范围即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的几何意义的解题的关键．14.答案：解析：【分析】由f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，可得成立；设h（x）=，u（x）=，求解h（x）的值域是u（x）值域的子集求解a的值即可．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．【解答】解：由题意，f(x)≠0，由f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，得g（x1）≠0，g（x2）≠0，可得成立；设h（x）=，u（x）=，那么h（x）=，∵x1∈[1，2]，当a＞1或a<时，可得h（x）的值域为[，]u（x）=ax-1∵x2[1，2]，∴可得u（x）的值域为[a-1，2a-1]；∵∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，∴h（x）的值域是u（x）值域的子集；在a>1的情况下，可得：，解得：1＜a；，解得：a；∴a=.在a<的情况下，可得：，解得：a≤0（结合条件知a无解）;当，h(x)的值域为,不可能是u(x）值域的子集；当a=时，代入验证即可排除.综上可得：a=故答案为：．15.答案：解：（Ⅰ）因为=（2sin x+2cos x）cos x+a=2sin x cosx+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=所以函数f（x）的最大值为．∵最大值为，所以1+a=0，所以a=-1（Ⅱ）因为y=sin x的单调递增区间为，k∈Z，令，所以，函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．解析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值求得a的值．（Ⅱ）由题意利用正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的最值、单调性，属于中档题．16.答案：解：（Ⅰ）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过50%为事件A．在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50%，则（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X的取值为0，1，2所以，随机变量X的分布列为X012P解析：（Ⅰ）根据表格计算即可得出．（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A．在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50%，即可得出P（A）．（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，可得X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出．本题考查了超几何分布列及其数学期望、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）连结BC1∵D，E分别为A1C1，B1C1中点，∴DE∥A1B1，又AB∥A1B1，∴DE∥AB，∵E，F分别为B1C1，B1B中点，∴EF∥BC1，又DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴平面ABC1∥平面DEF，又AC1⊂平面ABC1，∴AC1∥平面DEF．（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，AC⊂ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，且CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BB1C1C，又EF⊂平面BB1C1C，∴AC⊥EF，又BC=CC1，四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，又BC1∥EF，∴B1C⊥EF又AC⊥EF，AC∩B1C=C，∴EF⊥平面ACB1，又EF⊂平面DEF，∴平面ACB1⊥平面DEF．（Ⅲ）以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（1，0，2），B1（0，2，2），∴=（2，0，0），=（0，2，2），设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（0，1，-1），设P（2，0，h）（0≤h≤2），则=（1，0，h-2），∴cos＜＞==，∵直线DP与平面ACB1所成的角为30°，∴=，解得h=1．即P为AA1的中点．所以点P存在，AP=1．解析：（I）构造平面ABC1，证明平面ABC1∥平面DEF即可得出AC1∥平面DEF；（II）证明EF⊥平面AB1C，进而得出平面ACB1⊥平面DEF；（III）建立空间坐标系，根据向量夹角列方程得出P点坐标．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，平面向量与线面角的计算，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）f（x）=x ln（x+1）-ax2的定义域为{x|x＞-1}，因为f（0）=0ln（0+1）-a•02=0，所以切点的坐标为（0，0），因为，所以切线的斜率k=0，所以切线的方程为y=0．证明（Ⅱ）方法一：令，所以，因为x＞-1且a＜0，所以，，-2a＞0，从而得到g'（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，所以f'（x）＞0在（-1，+∞）上单调递增且f'（0）=0，所以x，f'（x），f（x）在区间（-1，+∞）的变化情况如下表：x（-1，0）0（0，+∞）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗所以x=0时，f（x）取得极小值，问题得证．方法二：因为，当a＜0时，当x＜0时，，所以f'（x）＜0，当x＞0时，，所以f'（x）＞0，x f'x f x-1+∞x（-1，0）0（0，+∞）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗所以时，函数（）取得极小值，问题得证．（Ⅲ）当a≤0或a=1时，函数f（x）有一个零点，当a＞0且a≠1时，函数f（x）有两个零点．解析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，再求出f（0），再求导，求出切线的斜率，即可求出切线方程．（Ⅱ）方法一：构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，方法二，求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（Ⅲ）当a≤0或a=1时，函数f（x）有一个零点，当a＞0且a≠1时，函数f（x）有两个零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.答案：（共13分）解：（Ⅰ）抛物线y2=2px的准线方程为，焦点坐标为，所以有，解得p=1，所以抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0），（Ⅱ）直线PQ∥AB，方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+2，联立方程消元得，y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8，由题意得x1x2y1y2≠0，直线OA的方程为令x=-2，则，则，因为OA⊥BQ，所以，直线BQ的方程为，令y=0，则，则，①当m=0时，直线AB的斜率不存在，x1=2，可知，直线PQ的斜率不存在，则PQ∥AB，②当m≠0时，，，则PQ∥AB，综上所述，PQ∥AB．方法二：直线PQ∥AB．（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设，，直线AO的方程为，则，直线BQ的方程为，即，令y=0，则Q（-2，0），则直线PQ的斜率不存在，因此PQ∥AB，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-2），k≠0，联立方程，，消元得，k2x2-4k2x+4k2-4x=0，整理得，k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，由韦达定理，可得，x1x2=4，因为y1y2＜0，可得y1y2=-8．显然x1x2y1y2≠0，直线OA的方程为令x=-2，则，则，因为OA⊥BQ，所以，直线BQ的方程为，令y=0，则，则，则PQ∥AB，综上所述，PQ∥AB．（Ⅰ）抛物线y2=2px的准线方程为，焦点坐标为，从而，解析：解得p=1，由此能求出抛物线方程为和焦点坐标．（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2联立方程得，y2-4my-8=0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能推导出PQ∥AB．方法二：直线AB的斜率不存在，根据对称性，设，，推导出PQ∥AB；设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-2），k≠0联立方程，，得，k2x2-4k2x+4k2-4x=0，k2x2-（4k2+4）x+4k2=0由韦达定理，可得，x1x2=4，，从而y1y2=-8．直线OA的方程为，令x=-2，则，则，从而，由此能推导出PQ∥AB．本题考查抛物线方程、焦点坐标的求法，考查直线与直线平行的判断与证明，考查直椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）a4的值可以取-2，0，-6（Ⅱ）因为b n=a2n，因为b n＜b n+1对任意n∈N*成立，所以{b n}为单调递增数列，即数列{a n}的偶数项a2，a4，a6，…，a2n…是单调递增数列根据条件a2=-1，a4=0所以当a2n≥0对n≥2成立下面我们证明“数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则有，与条件矛盾若a i+1-a i=-i，则有，与条件矛盾所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数此时a2n≥0对n≥2成立，所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1＜a2n，a2n+1＜a2n所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2）所以（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=1即a2n-a2n-2=1，其中n≥2即b n-b n-1=1，其中n≥2又b1=a2=-1，b2=a4=0所以{b n}是以b1=-1，公差为1的等差数列，所以b n=-1+（n-1）=n-2（Ⅲ）记S k=a1+a2+a3+…+a k-1+a k由（Ⅱ）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数当a n≥0，则a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以当a n+1≥0，则a n＜0根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以所以，总有a n+a n+1≤0成立当n为奇数时，|a n-a n+1|=n，故a n-1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1当n为偶数时，a n+1+a n≤0当k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+…+（a k-1+a k）≤0考虑数列：0，-1，1，-2，2，…，，可以验证，所给的数列满足条件，且S k=0所以S k的最大值为0当k为偶数时，考虑数列：0，-1，1，-2，2，…，-，，可以验证，所给的数列满足条件，且所以S k的最大值为．解析：（Ⅰ）直接利用赋值法求出结果．（Ⅱ）利用假设法和分析法求出数列的通项公式．（Ⅲ）利用上步的结论和分类讨论思想求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷+答案
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷2020.5 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 已知集合{|03},{1}A x x A B =<<=,则集合B 可以是 （A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{0,1,2}（D ）{1,2,3}3. 已知双曲线2221(0)yx b b-=>的离心率是5,则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 （A ）b a c a -<+（B ）2c ab < （C ）c c b a>（D ）||||b c a c <5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为（A ）120-（B ）120（C ）160-（D ）1606. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32（C ）22（D ）127. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞（B ）(,1]-∞-（C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为 （A ）5 （B ）22 （C ）23 （D ）139. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10. 形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是（参考数据:lg 20.3010≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区2020届高考数学一模试卷(文科)(有答案)(加精)
2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＞1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＞2}2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=13．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．36．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上 B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（0，1]D．（﹣1，0）8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a=．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q=，其前4项和S4=．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p=．12．若x，y满足则的最大值是．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω=，a的最小值是．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+a n}的前n项和．+116．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．月该地区租用a，b 两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计2019年4月该地区租用两种车型的用户比例．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＞1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＞2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，则集合A∩B={x|2＜x＜3}．故选：A．2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，故选：C3．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，y=5不满足条件=，执行循环体，x=1，y=4不满足条件=，执行循环体，x=2，y=2满足条件=，退出循环，输出x的值为2．故选：C．4．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】据a，b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：设f（x）=x+lnx，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论．【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为=，故选B．6．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上 B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上【考点】向量的三角形法则．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，则：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．故选D．7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（0，1]D．（﹣1，0）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，讨论x≤a和x＞a时，f（x）∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数的值域为[﹣1，1]，当x≤a时，f（x）=cosx∈[﹣1，1]，满足题意；当x＞a时，f（x）=∈[﹣1，1]，应满足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【解答】解：因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”．把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关故选C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai为纯虚数，∴a﹣2=0，a≠0，则实数a=2故答案为：2．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q=2，其前4项和S4=15．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3，=8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3，=8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4项和S4==15．故答案为：2，15．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p=4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），即可求出p．【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，∴p＞0，所以抛物线的准线为x=﹣，依题意，直线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），所以p=4故答案为：4．12．若x，y满足则的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：则的几何意义表示平面区域内的点与点（0，0）的斜率的最大值，由解得A（1，）显然过A时，斜率最大，最大值是，故答案为：．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω=2，a的最小值是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式求ω，然后由图象过的已知点求出a．【解答】解：由已知函数图象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f（x+a））=sinω（x+a）且（，1）在图象上，所以sin2（+a）=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0时a的最小值为；故答案为：2；．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为①，你的理由是数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．【考点】收集数据的方法．【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．（Ⅱ）求数列{a n+a n+1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，因为a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）记b n=a n+a n+1，所以b n=2n+2（n+1）=4n+2，又b n+1﹣b n=4（n+1）+2﹣4n﹣2=4，所以{b n}是首项为6，公差为4的等差数列，其前n项和．16．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．月该地区租用a，b 两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计2019年4月该地区租用两种车型的用户比例．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b 型车”．利用列举法能求出抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，由此能同市场4月租用a ，b 型车的用户比例．【解答】解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为A 1，A 2，A 3，A 4；租到b 型车的3人为B 1，B 2，B 3；设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件为“7人中抽到2人都租到b 型车”． 如下列表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，所以事件A 概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%+50%50%=55%， 租用b 型车的比例为50%40%+50%50%=45%，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为．17．在△ABC 中，A=2B ． （Ⅰ）求证：a=2bcosB ； （Ⅱ）若b=2，c=4，求B 的值． 【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB ； （Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B 的值． 【解答】（Ⅰ）证明：因为A=2B ，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB ．（Ⅱ）解：由余弦定理，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 因为b=2，c=4，A=2B ，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因为A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．=S△ABE，知，（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P﹣ABD的高．由S△PAE由此能求出结果．（Ⅲ）推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF⊂平面FAC，PB⊄平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，=S△ABE，因为E为PB中点，所以S△PAE所以．证明：（Ⅲ）因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE⊂平面EAD，AD⊂平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以OF⊥平面EAD，又OF⊂平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入椭圆方程，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又因为，所以c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，则有，所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x1=1，代入椭圆方程，求得，所以P（4，±3）．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的导数，可得单调区间和极值，且为最值；（Ⅲ）显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，运用零点存在定理可得g（x）的零点范围，可设g （x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．讨论x＜0时，0＜x＜x0时，x＞x0时，g（x）的符号，可得f（x）的极值，进而得到f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x﹣x2+ax的导数为：f′（x）=e x﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=e x﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零点存在性定理，存在唯一实数x0∈（ln2，2），满足g（x0）=0，即，，综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．所以x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；0＜x＜x0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；x＞x0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以f（0）是极大值，f（x0）是极小值，，因为g（1）=e﹣3＜0，，所以，所以f（x0）＞0，因此x≥0时，f（x）＞0．因为f（0）=1且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以一定存在c＜0满足f（c）＞0，所以存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．。
2024年北京市海淀区高三数学一模试题与答案
本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回2024年北京市海淀区高三数学一模试题。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 已知全集=−≤≤U x x 22{}，集合=−≤<A x x 12{}，则=C A UA.−−(2,1)B.−−[2,1]C.{}(2,1)2−−D.{}[2,1)2−−2. 若复数z 满足⋅=+z i 1i ，则z 的共轭复数=zA.+1iB.−1iC.−+1iD.−−1i3. 已知a n {}为等差数列，S n 为其前n 项和. 若=a a 212，公差≠d 0，=S m 0，则m 的值为A.4B.5C.6D.74. 已知向量a b ,满足a =||2，b =(2,0)，且a b +=||2，则a b <>=,A.6πB.3π C .3π2 D.6π5 5. 若双曲线−=>>a ba b x y 1 (0,0)2222上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为A.−=y x 4122B.−=y x 2122 C.−=x y 2122 D.−=x y 4122 6. 设αβ,是两个不同的平面，l m ,是两条直线，且⊂αm ，⊥αl . 则“⊥βl ”是“βm //”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知⎩+>⎨=≤⎧x x f x x x lg(1),0(), 03，函数f x ()的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线=y f x ()相切的直线的条数为n ，则m n ,的值分别为A.1,1B.1,2C.2,1D.2,28. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限. 则 A.−≤αααsin cos tan B.−≥αααsin cos tanC.⋅<αααsin cos tanD.⋅>αααsin cos tan9. 函数f x ()是定义在−(4,4)上的偶函数，其图象如图所示，=f (3)0. 设'f x ()是的导函数，则关于x 的不等式+⋅≥'f x f x (1)()0的解集是A.[0,2]B.[3,0][3,4)−C.(5,0][2,4)−D.(4,0][2,3)−10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1 . 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为︒60），再沿直线繁殖，；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到A 11，然后分叉向A 21与A 22方向继续繁殖，其中∠=︒A A A 60211122，且A A 1121与A A 1122关于OA 11所在直线对称，==A A A A OA 2,11111211122.若=OA 4cm 11，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r :单位N ∈r (,cm)*至少为A.B.C.8D.9第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
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北京市海淀区2020届高三数学一模考试试题 文选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A IA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠，则下列所给图象中可能正确的是21x x =+是否3n ≤1n n =+x输入开始1n =x 输出结束y x2πO11yx2πO11yx2πO11yx 2πO117. 已知函数221, 1,()1, 1,x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________. 10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.PDCBA1A 1D 1B 1C 左视主视O元频率组距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006甲10001500200025003000350012. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤g a b ，则y x -的取值范围为 . 14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =.(Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC12AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ；CBDBA CDO P( II ) 求证：AC ⊥PD .18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a L ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =L ， 设j j k k k b +++=Λ21(1,2,3)j =L ，12()100m g m b b b m =+++-L (1,2,3).m =L （Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a L 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=L ，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）答案及评分参考 2020．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CA[BCADBB非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4) 22， 三、解答题(本大题共6小题,共80分)又0180A <<o o ，所以135A =o . …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<o o ，所以10sin 10C = ， …………………11分 由sin sin a c A C=得5a =. …………………13分16. （共13分）所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分所以由112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分 所以ODCB为平行四边形,所以//,BC OD…………………3分 又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分BACD O P(II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分因为正三角形PAB ,O 为AB 中点所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD I 平面PAB AB = ，所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥，又PO DO O =I ，所以AC ⊥平面POD . …………………12分 又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一： 因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ，且0a ≠， BA CDO P令'()0f x =，得到1x a=， 若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e a<<，即1a e >时，则有1(0,)a1a 1(,)e a '()f x-+()f x]极小值Z所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞U 符合题意. …………………14分 解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即001ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分 x1(0,)e 1e1(,]e e '()g x - 0+()g x]极小值Z所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞U . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为：222231134114(1)411kd k k k +===-≥-=+++ .........11分 当且仅当0k =时等号成立 (12)分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 ……13分所以点O 到直线l 3……14分 20. （共13分）解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . …………………3分(II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，（III ）设M 为{}12100,,,a a a L 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-L1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-L233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-L L L L [ 23[2(1)]M k k M k =-+++-L12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++L L123100()M a a a a b =-+++++L123100()100a a a a =-+++++L ，∵123100200a a a a ++++=L ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。