数学高考二轮复习专题四数列推-理科与证明第3讲数列的综合问题专题突破讲义-文科

第3讲 数列的综合问题

1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．

2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．

3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．

热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n

1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系

a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.

2．求数列通项的常用方法

(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．

(2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .

(3)在已知数列{a n }中，满足

a n ＋1a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n .

(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．

例1 (2017·运城模拟)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋3a n ＝6S n ＋4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)由a 2n ＋3a n ＝6S n ＋4，

① 知a 2n ＋1＋3a n ＋1＝6S n ＋1＋4，

②

由②－①，得

a 2

n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n ＝6S n ＋1－6S n ＝6a n ＋1， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，

∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，

∴a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3.

又a 2

1＋3a 1＝6S 1＋4＝6a 1＋4，

即a 21－3a 1－4＝(a 1－4)(a 1＋1)＝0，∵a n >0，∴a 1＝4，

∴{a n }是以4为首项，以3为公差的等差数列，

∴a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1.

(2)b n ＝2n a n ＝(3n ＋1)·2n ，

故T n ＝4·21＋7·22＋10·23＋…＋(3n ＋1)·2n ，

2T n ＝4·22＋7·23＋10·24＋…＋(3n ＋1)·2

n ＋1， ∴－T n ＝4·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －(3n ＋1)·2

n ＋1 ＝21＋3(2＋22＋23＋…＋2n )－(3n ＋1)·2

n ＋1 ＝21＋3·2(1－2n

)1－2－(3n ＋1)·2n ＋1 ＝－(3n －2)·2n ＋1－4，

∴T n ＝(3n －2)·2n ＋1

＋4. 思维升华 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .

跟踪演练1 (2017届湖南省娄底市二模)设数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝1(2n ＋1)log 2a 2n －1

＋22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2，

由S n ＝2n ＋1－2，得S n －1＝2n －2(n ≥2)，

∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n (n ≥2)，

又a 1也符合，∴a n ＝2n (n ∈N *)．

(2)b n ＝

1(2n ＋1)log 222n －1＋22n －1 ＝1(2n ＋1)(2n －1)

＋22n －1 ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1＋22n －1， T n ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋25＋…＋22n －1) ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4 ＝22n ＋13－14n ＋2－16

. 热点二 数列与函数、不等式的综合问题

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲