2019届一轮复习全国通用版 第69讲绝对值不等式 学案

第十二章 不等式选讲 第69讲 绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a ，b 是实数，那么||a ＋b ≤||a ＋||b ，当且仅当__ab ≥0__时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么||a －b ≤||a －c ＋||c －b ，当且仅当__(a －c )(c －b )≥0__时，等号成立．

2．含绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式||x ＜a ，||x ＞a 的解集

(2)≤c (c ＞0)和≥c (c ＞0)型不等式的解法 ①||ax ＋b ≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②||ax ＋b ≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .

1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．

(1)对||a ＋b ≥||a －||b 当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( × ) (2)对||a －||b ≤||a －b 当且仅当||a ＞||b 时等号成立．( × ) (3)对||a －b ≤||a ＋||b 当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) (4)||ax ＋b ≤c 的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( √ ) (5)不等式||x －1＋||x ＋2＜2的解集为∅.( √ ) 2．设ab ＜0，a ，b ∈R ，那么正确的是( C ) A ．||a ＋b ＞||a －b B ．||a －b ＜||a ＋||b C ．||a ＋b ＜||a －b

D ．||a －b ＜||||a －||b

解析 由ab ＜0，得a ，b 异号，

易知|a ＋b |＜|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |＞||a |－|b ||， ∴C 项成立，A ，B ，D 项均不成立． 3．不等式1＜||x ＋1＜3的解集为( D ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)

D ．(－4，－2)∪(0,2) 解析 1＜|x ＋1|＜3⇔1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1⇔0＜x ＜2或－4＜x ＜－2. 4．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集是( C ) A ．⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫x |x ＜12

B ．⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x |1

2≤x ＜35

C ．⎩

⎨⎧

⎭⎬⎫x |x ＜35

D ．⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫x |x ＞35

解析 |2x －1|＜2－3x ⇔3x －2＜2x －1＜2－3x ⇔⎩⎪⎨⎪

⎧

3x －2＜2x －1，2x －1＜2－3x ⇔⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＜1，x ＜

3

5

⇔x ＜3

5

.

5．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为__(5,7)__． 解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b

3，

∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，

则⎩⎨⎧

0≤－4＋b 3＜1，

3＜4＋b

3≤4

⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

4≤b ＜7，

5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.

一 绝对值不等式的解法

解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x 的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x 的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．

【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.

解析 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0，

令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，

2x －4，x ≥1.

作出函数的图象，如图所示．

由图可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

二 绝对值不等式的证明

(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．

【例2】 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，若|a |≤1，求证：|f (x )|≤5

4.

证明 方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.

又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤5

4

. 方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1，

当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤5

4

；

当－1

∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54

；

g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54. ∴－54≤g (a )≤54，∴|f (x )|＝|g (a )|≤5

4

.

三 绝对值不等式的综合应用

对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．

【例3】 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥6；

(2)若不等式f (x )≥3a 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．

解析 (1)当a ＝0时，求得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－4x ＋2，x ＜－12

，

4，－12≤x ≤32，

4x －2，x ＞32

，

由f (x )≥6⇒x ≤－1或x ≥2.

所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． (2)因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4.

所以f (x )min ＝4＋a ，要使f (x )≥3a 2对一切实数x 恒成立， 只要4＋a ≥3a 2，解得－1≤a ≤4

3.

所以实数a 的取值范围为⎣

⎡⎦⎤－1，43. 【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；

(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①

当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；

当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1

2

.

所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－1≤x ≤

－1＋172.