2.1.3函数的单调性教案学生版
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。
(3) 举例说明函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。
(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。
1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。
教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。
(3) 举例说明函数单调性性质的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。
(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。
教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。
(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。
(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。
第三章 3.2.1 第1课时 函数的单调性(学生版)
函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．前提条件 设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆If (x )在区间D 上单调递增 f (x )在区间D 上单调递减 思考1 所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明． 答案 不是．如函数y ＝x 2，y ＝1x等．思考2 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x 1，x 2∈I ”改为“存在x 1，x 2∈I ”？举例说明．答案 不能．如对于函数y ＝－x 2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y ＝－x 2不是增函数． 思考3 ∀x 1，x 2∈D ，若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则y ＝f (x )在某个区间D 上单调递增吗？简要说明原因．答案 若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)同号，即x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在D 上单调递增． 一、函数单调性的判断与证明 例1 用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 利用单调性的定义，证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．二、求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．(1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； (3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.反思感悟 求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．跟踪训练2 借助函数图象，求函数f (x )＝|x 2－1|＋x 的单调递增区间．三、函数单调性的应用例3(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．延伸探究1．在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．2．若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．反思感悟由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．跟踪训练3(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有()A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1)(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是()A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋13．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－125．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．1．下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是( ) A ．y ＝5－x B ．y ＝x 2＋2 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3]4．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (a )D ．f (a 2＋a )<f (a )5．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．6．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．7．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝mx ＋1nx ＋12(m ，n 是常数)，且f (1)＝2，f (2)＝114.(1)求m ，n 的值；(2)当x ∈[1，＋∞)时，判断f (x )的单调性并用定义证明．10．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1， ∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．11．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都单调递减，则函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析 由于函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上均单调递减，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b2a <0，故函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 [4,8)解析 因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎨⎧4－a2>0，4－a2－1≤1，解得4≤a <8.14．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减， ∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1， 对称轴为x ＝－a －32a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1>0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“<”连接) 答案 f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)解析 由①知f (1)＝－f (0)，f (0)＝－f (－1)， 所以f (－1)＝f (1)． 由③知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递减， 结合②知，函数f (x )在[1,2]上单调递增， 所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)． 16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋b . (1)若b ＝1，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围． 解 (1)当b ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以函数f (x )的值域为[0，＋∞)．(2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调， 当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝m ，n 2－2n ＋b ＝n ，等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根， 令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4b >0，g (1)＝－2＋b ≥0，32>1，解得2≤b <94；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝n ，f (n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝n ，n 2－2n ＋b ＝m ，两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0， 即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ， 由m <n 可得12<n ≤1，将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在⎝⎛⎦⎤12，1上有解， 即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在⎝⎛⎦⎤12，1上的值域问题，因为b ＝－n 2＋n ＋1＝－⎝⎛⎭⎫n －122＋54在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，所以b ∈⎣⎡⎭⎫1，54. 综上所述，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，94∪⎣⎡⎭⎫1，54.。
函数的单调性教学设计
“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节）【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
2.1.3函数的单调性学生版
1 / 12.1.3 函数的单调性一、基础过关1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是 ( )A ．y ＝x 2－2B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2 2．已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|1x|)<f(1)的实数x 的取值范围是 ( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a>－14B ．a≥－14C ．－14≤a<0D ．－14≤a≤0 4．如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a，b](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是 ( )A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0 C ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0 5．设函数f(x)是R 上的减函数，若f(m －1)>f(2m －1)，则实数m 的取值范围是________．6．函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.7．画出函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．8．已知f(x)＝x 2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．二、能力提升9．已知函数f(x)的图象是不间断的曲线，f(x)在区间[a ，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]上( ) A ．至少有一个根B ．至多有一个根C ．无实根D ．必有唯一的实根10．若定义在R 上的二次函数f(x)＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m 的取值范围是 ( )A ．0≤m≤4B ．0≤m≤2C ．m≤0D ．m≤0或m≥411．函数f(x)＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是__________． 12．求证：函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝x 2＋a x(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．。
1 第1课时 函数的单调性 学生版
3．2函数的基本性质3．2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性问题导学预习教材P76－P79，并思考以下问题：1．增函数、减函数的概念是什么？2．函数的单调性和单调区间有什么关系？1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．■名师点拨(1)增减函数定义中x1，x2的三个特征①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小：一般令x 1<x 2；③同区间：x 1和x 2属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，符号一致⇔增函数； ②x 1<x 2，f (x 1)>f (x 2)，符号相反⇔减函数． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．■名师点拨单调性的两个特性(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． (2)“局部”性：指的是一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[1，3]上是减函数，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1，3]．( ) (3)若函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(4)若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( )(5)若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )函数y ＝f (x )在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2，0]B ．[0，1]C ．[－2，1]D ．[－1，1]下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－x若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12函数f (x )＝x 2＋2x ＋1的单调递减区间是__________．函数单调性的判定与证明证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．(变问法)若本例的函数不变，试判断f (x )在(0，2)上的单调性．利用定义证明函数单调性的步骤[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式．1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．求函数的单调区间画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．(变条件)将本例中“y ＝－x 2＋2|x |＋3”改为“y ＝|－x 2＋2x ＋3|”，如何求解？1.已知函数y ＝f (x )，x ∈[－4，4]的图象如图所示，则函数f (x )的所有单调递减区间为( ) A ．[－4，－2]B ．[1，4]C ．[－4，－2]和[1，4]D ．[－4，－2]∪[1，4]2．函数y ＝1x －1的单调递减区间为________．函数单调性的应用(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是__________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为__________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为__________．(变条件)若本例(1)中的函数f(x)在区间(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数(2)利用抽象函数单调性求范围①依据：定义在[m ，n ]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a )<f (b )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <b （a >b ），m ≤a ≤n ，m ≤b ≤n .②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是D ≠在区间D 上单调． (1)单调区间是D ：指单调区间的最大范围是D . (2)在区间D 上单调：指区间D 是单调区间的子集．1．若函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋2在区间[0，2]上不是单调函数，则a 的取值范围是__________．2．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是__________．1．函数y ＝x 2－6x 的减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．4．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．[A 基础达标]1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|3．若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)4．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减 5．(2019·宣城检测)已知函数y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>06．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21上是增函数，则实数a 的取值范围为________．8．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为________．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．函数y ＝2x －3的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－3] B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23 C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡310， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛310， C.⎥⎦⎤ ⎝⎛310，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡310，13．已知定义在[1，4]上的函数f (x )是减函数，求满足不等式f (1－2a )－f (3－a )>0的实数a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[C 拓展探究]15．设f (x )＝x 2＋1，g (x )＝f (f (x ))，F (x )＝g (x )－λf (x )．问是否存在实数λ，使F (x )在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-22,上是减函数且在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22上是增函数？。
函数的单调性教案概要
必修一第二章函数2.1.3 函数的单调性一、课程标准要求理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．二、教学目标1.学生通过观察一些函数图象的特征，能够说出图像的共同点，初步形成增（减）函数的直观认识，明确单调性是函数局部上的一个性质；2.学生通过比较函数值的大小，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律；3.学生通过合作交流，在教师的指导下，讨论得出增（减）函数的定义；4.学生根据函数的图象判断或说明单调性；5.通过师生合作，总结出用定义证明函数单调性的步骤；6.学生参照证明函数单调性的步骤，解决一些简单的函数单调性的证明，提高推理论证能力．三、评价设计1.学生经过自主观察，共同回答出图像的共同点，从左向右看图像是上升（下降）的；2.学生经过独立思考后用自然语言叙述函数的增减性质；3.学生在教师的指导下，小组讨论后，小组代表用数学语言准确简洁的叙述增（减）函数的定义；4.学生根据函数的图象写出单调区间；5.师生互动完成例题之后，总结出用定义证明函数单调性的步骤；6.学生独立完成当堂课的练习．四、教学方法引导学生独立思考后进行小组间的合作交流，分析归纳、形成概念．每个环节的实施采用问题探究的模式，教师提出问题，学生独立思考后进行小组间的合作交流，然后进行成果展示，师生共同合作解决问题．这节课主要采用问题探究的模式，通过创设情景，提出问题，教师启发点拨，学生合作探究学习.教学过程中，使学生经历数学概念抽象的各个阶段，体会数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，引导学生独立自主地开展思维活动，合作探究，最终形成概念，掌握方法，解决问题，提升逻辑思维能力.五、教学流程设计（一）创设情境——引入课题为了预测伦敦奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2008年到2012年每年这一天的天气情况，下图是伦敦市今年7月28日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.【学生活动设计】引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．观察图像，能得到什么信息？【教师活动设计】展示学生得到的信息，引导学生分析数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．进一步提问，还能举出生活中其他的数据变化情况吗？（燃油价格、股票价格等），教师归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变大，函数值是变大还是变小．这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．（二）问题探究——形成概念【问题探究1】请同学们观察下面三组在相应区间上的函数图像，然后指出前两组图像各自的共同点，以及这三组图像有什么区别？它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？（多媒体显示下面三组图像）第一组：第二组：第三组：y x 1 -11 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1图3【学生活动设计】学生先进行独立思考，然后共同回答．【教师活动设计】根据学生的结论，引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．【设计意图】新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质．以学生们容易接受的函数图像为切入点，做到从直观入手，顺应同学们的认知规律．第三组函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．此环节是对教学目标1的落实与检测．【问题探究2】能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数．【学生活动设计】学生经过独立思考后用自然语言叙述函数的增减性质．【教师活动设计】展示学生的答案（预案：图象是上升的，函数是增函数；图象是下降的，函数是减函数．点评：不符合数学所具有的严密性、逻辑性等特点）；提问：同学们能否通过运用自变量和函数值之间的关系叙述函数的增减性质？（预案：如果函数()f x在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数()f x在某个区间上随自变量x的f x在该区间上为增函数；如果函数()增大，y越来越小，我们说函数()f x在该区间上为减函数），教师点评：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识．【设计意图】通过提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”的转换，完成对函数单调性的第一次认识．此环节是对教学目标2的落实与检测．【问题探究3】用自然语言表述增减性，不利于表达图像更为复杂的函数的性质，更不利于深入地研究函数的性质和利用函数的性质．请同学们用更为严密准确、科学简练的数学语言来描述出增函数和减函数的概念．【学生活动设计】学生小组讨论交流，展示成果，进一步探究出更为准确地增、减函数的概念．【教师活动设计】展示不同小组的最终结论，与学生共同找出最贴切的一种描述并与课本上的概念对比得出增（减）函数的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义 ．域为A，区间M A如果取区间M中的任意两个值x1和x2,改变量⊿x= x2- x1>0，则当⊿y=f(x2)-f(x1) >0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数；当⊿y=f(x2)-f(x1) <0时，就称函数y=f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性,区间M称为单调区间．【设计意图】实现学生从“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换，完成对函数单调性的第二次认识．此环节是对教学目标3的落实与检测．【问题探究4】对“任意”的理解，去掉是否可以？举例说明．【学生活动设计】学生独立思考，交流展示，其他同学评价．【教师活动设计】组织学生展示反例，点评．【设计意图】通过对学生的举例辨析，加深学生对定义的理解，达到突破难点，突出重点的目的，完成对概念的第三次认识.此环节是对教学目标3的巩固．（三）典例精析——应用概念例1 : 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【学生活动设计】学生口答完成例题．【教师活动设计】点评：要注意两个或两个以上不同的单调增或减区间的正确写法，比如此题的两个单调增区间要写成[)[]2,13,5-，．【设计意图】学生加深对定义的理解，强调：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．此环节是对教学目标4的落实与检测．【问题探究５】从函数图象上观察函数的单调性是最直观的，但如果每次都要画出函数图像就太麻烦了，而且有些函数不容易画出它的图像，因此我们应该学会根据解析式和定义来证明函数的单调性。
《函数的单调性》说课稿
《函数的单调性》说课稿各位领导、老师你们好！我说课的内容是人教A版（必修一）第二章2．1．3第一节《函数的单调性》。
我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。
我从下面四个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。
一、教材分析(一) 教材内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
(二) 教材的地位和作用函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。
在历年的考题中常考，函数思想也是我们学习数学中的重要思想。
在这一节中的利用函数图像研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。
函数的单调性是代数方法研究函数图像变化的局部变化趋势。
函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图像的基础上对增减性有了一个初步的感性认识，是函数概念的延伸和扩展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范的作用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。
二、教学目标根据上述教学内容的地位和作用，结合教学大纲和学生的实际，确定了以下教学重点和难点：知识与技能：理解函数单调性和和单调函数的意义；会判断并证明简单函数的单调性。
过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观；领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
教学的重点和难点教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性教具：多媒体三、教学方法新课程标准认为课堂教学不仅仅是教师的教，更是学生主动参与、对知识自主建构的过程。
本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情境、问题探究、合作交流、归纳总结、练习巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生的积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。
2.1.3 函数的单调性(1)
证明：设 是R上的任意两个实数，且 < ，
∴f(x)=3x+2在R上是增函数.
方法：取值→作差→变形→定号→下结论
例3证明函数f(x)= 在(0,+ )上是减函数.
思考：f(x)= 的减区间是什么？
小结：①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
东北育才学校数学学科优秀教案
学部
双语
编者
课型
新课
课时
1/5
年级
直升
班型
普通班
使用教材
人民教育出版社Ｂ版必修１
课题
函数的单调性
教学
目标
知识
目标
了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思。
能力
目标
理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间。
3.定义理解：
（1）数的单调性是函数在某个区间上的性质，是局部的性质。
（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2。
（3）三种语言的相互转化：文字表达、图像表示、符号语言。
三、讲解例题：
例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
⒉引入：从函数y= 的图象（图1）看到：
图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+ )上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，这时我们就说函数y= = 在[0,+ )上是增函数.图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说,当x在区间（- ，0）上取值时，随着x的增大，这时我们就说函数y= = 在(- ,0)上是减函数.
2.1.3函数的单调性导学案
）
3. 在区间 (,0) 上为增函数的是（ A． y 2 x B． y
2 x
D． y x 2
4. 函数 y x3 1 的单调性是 5. 函数 f ( x) | x 2 | 的单调递增区间是 6．判断 f ( x) x 2 1 在（0，+∞）上是 7．判断 f ( x) x 2 2 x 在（ —∞，0）上是 8．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ （A）y=
y
f ( x)
f ( x1 ) x1
图3
f ( x2 ) x2
x
y
减函数的定义:如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1 , x2 , 当 x1 x2 时 , 都有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x ) 在区 间 D 上是减函数.如右图所示.
例 2、根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明. （1） f ( x) 3x 2 ； （2） f ( x) x2 2 x （3） f ( x)
1 x
（第 1 题）
（第 1 题）
（第 1 题）
f ( x)
1 在 (0,) 和 (,0) 上均为减函数， f ( x) 在整个定义域上是否为减函数？ x
3
5
鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2.1.3 函数的单调性 学习 目标 重点 难点
1. 理解函数单调性的概念 3. 会证明函数的单调性 2. 能由函数图象写出函数单调区间
函数单调性的x 2 2 x 1
画出下列函数的图象， （1） f ( x) 2 x 3
，单调递减区间是
高中数学 2.1.3 函数的单调性教学设计 新人教B版必修1
函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示X作用。
二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．四、教学重点、难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法：〔1〕合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题〔2〕自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动〔3〕探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知〔如例题的处理〕。
教学用具：电脑、多媒体。
教法：整堂课围绕“一切为了学生发展〞的教学原那么突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。
〔1〕新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
〔2〕理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。
函数的单调性教学设计
函数的单调性教学设计一、教材分析《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
二、学习目标分析知识与技能：1、通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。
2、学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。
过程与方法：1、通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。
2、通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。
情感与态度：1、通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。
2、通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。
三、教学重难点重点：函数单调性概念的理解及应用难点：函数单调性的判定及证明关键：增函数与减函数的概念的理解四、教法分析为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．五、学法分析在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。
然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。
整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
2.1.3函数的单调性(二)
2.1.3函数的单调性(二)【学习目标】（1） 准确说出函数单调性的定义，会用定义证明函数的单调性 。
（2）会函数的单调性比较大小求参数的取值范围。
【学习重点】证明判断函数的单调性，利用单调性解决问题。
【学习难点】利用单调性求参数范围。
自主学习探究1、设函数y=ƒ（x ）在（0，2）上是增函数，函数图像关于x=2对称，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系是注意：解这类题应利用函数的单调性作图，根据题目中的变量大小关系，寻找其对应函数 值大小的规律即可。
探究2、已知函数1222-+-=a ax x y 在(－∞,1)上是减函数，求a 的取值范围。
探究提升例1、如果5)1()(2+--=x a x x f 在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？注：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。
例2：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －1)<f(x2－1), 求x 的取值范围。
注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。
保证实施的是等价转化 巩固练习的取值范围。
求实数上是减函数，在区间（已知函数a x a x x f ]5,2)1(2)(.12∞-+++=课后练习与提高1、函数2xy-=的单调增区间为（）A.]0,(-∞ B.),0[+∞ C.),(+∞-∞ D.),1(+∞-2、函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f等于（）A.-3B.13C.7D.由m而定的常数3、函数||)(xxf=的减区间是____________________.4、若函数nxmxf+-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m的取值范围是______.5、.若)(xfy=在R上是减函数,且)1()2(mfmf+<，,求实数m的取值范围.的取值范围。
课堂互动探究单调性——函数单调性课堂教学教案
课堂互动探究单调性——函数单调性课堂教学教案1. 教学目标与要求在本次教学活动中，我们将通过多元化的教学方式，让学生们了解函数单调性的概念，认识单调性的性质，学会如何进行单调性的证明，并且通过实际算例进行理解和探索，在激发学生的主动性和动手能力的同时，让学生掌握函数单调性相关的基本概念、基本方法和基本技巧，提高学生的数学素养和解决实际问题能力。
2. 教学内容与重点2.1 函数单调性的定义和性质2.1.1 函数单调性的基本概念及性质2.1.2 单调性的分类2.1.3 单调性与函数增减性的关系2.2 函数单调性的探究和证明2.2.1 函数单调性的初步探究2.2.2 单调性的证明方法2.2.3 案例分析与总结3. 教学方法与手段3.1 想象模拟法3.1.1 视觉模拟3.1.2 语音模拟3.2 实际探究法3.2.1 实际数学模型的构建3.2.2 软件模拟仿真3.3 互动教学法3.3.1 学生讨论交流3.3.2 班级竞赛小组合作3.3.3 教师情景讲解4. 教学过程与重难点4.1 教学过程4.1.1 函数单调性的定义及性质讲解 4.1.2 案例分析及交流4.1.3 实际探究验证及总结4.1.4 单调性证明方法和技巧4.1.5 课堂练习和解答4.2 教学重点与难点4.2.1 函数单调性的概念及性质4.2.2 单调性的分类4.2.3 单调性与函数增减性的关系 4.2.4 单调性的证明方法和技巧5. 课后作业与答案解析5.1 课堂习题解答及讲评5.2 预习练习和自主学习任务5.3 学生小组探究报告6. 教学效果与评价6.1 教学效果展示及分析6.2 学生评价和教师评价6.3 教学反思和改进建议本文主要介绍了函数单调性的相关知识，包括其定义、性质、分类、证明方法与技巧，以及教学目标和要求，教学重点与难点，教学方法和手段等。
通过多元化的教学方式，如想象模拟法、实际探究法、互动教学法等，让学生主动参与探究和交流，提高其数学素养和解决实际问题的能力。
函数的单调性和奇偶性教案!(学生版)
函数的单调性和奇偶性一、目标认知学习目标：1.理解函数的单调性、奇偶性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点、难点：1.对于函数单调性的理解；2.函数性质的应用.二、知识要点梳理1.函数的单调性(1)增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：[1]“任意”和“都”；[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：[1]奇偶性是整体性质；[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；[6]，.三、规律方法指导1.证明函数单调性的步骤：(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.3.常见结论:(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减) 函数；(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.(4)若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在是增函数，且有最小值；若偶函数在是减函数，则在是增函数.经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. .（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计(表格式)
§2.1.3函数的单调性
一、教学目标
1.知识与技能目标
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观目标
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.
二、教学重点与难点
重点：函数单调性的概念形成和初步运用．
难点：函数单调性的概念形成．
三、教法与学法
（一）教法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法，通过“提出问题、思考问题、解决问题”的教学过程，借助实物试验、多媒体课件引导学生进行试验探究、观察类比、概括归纳出增函数和减函数的定义,再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
（二）学法
学生通过“试验观察、思考探究、归纳总结”的自主学习解惑过程，体验从特殊到一般的数学思维过程，体会学以致用和数学的严谨之美，增强学习的兴趣和信心。
四、教学教具
多媒体课件
五、教学过程设计。
函数的单调性
《函数的单调性》的教学设计
一．教材分析：函数单调性是学生了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是学生进入高中后学习的第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习其他函数性质提供了方法依据。
二．学情分析：对于函数单调性学生在初中已经从图象的上升和下降角度有了初步的了解，本节课的内容就是引导学生用数学符号语言去刻画图象的上升和下降，这种由直观到抽象的转化对于刚升入高中的学生是困难的，另外对于函数单调性证明的代数化简也是一个难点，考虑到我校学生基础薄弱，数学思维能力相对较弱的特点，本节课将函数单调性的概念的形成和理解作为重点和难点。
三．教学目标：1.理解函数单调性的概念,根据函数图象会判断函数的单调性.
2.通过对函数单调性的探究，体会数形结合的思想，培养学生抽象概括能力.
3.通过引导学生用符号语言刻画函数单调性的过程让学生体会到严谨的态度，认真细心对于数学学习的重要性，让学生体会从具体到抽象由特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
四．学习重难点
重点：函数单调性的概念，函数单调性的判断。
难点：归纳抽象函数单调性的定义。
五．教学方法：学生自主探究与教师启发讲授相结合。
以学生为本，通过课前自主学习，教师初步掌握学生的理解深度和思维想法，针对学生思维上的问题，教师课堂通过提问给予纠正和完善，最后通过练习检测学生理解掌握情况，做好课后完善工作。
2.1.3函数的简单性质——单调性(第一课时)
苏教版高中数学教材必修1
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质 10 T(C°) 8 6 4 2 O −2 2 4 6
创设情境
8 10 12 14 16 18 20 22 24 t(时刻) (时刻)
如图，气温 是关于时间 的函数，记为T＝ ． 是关于时间t的函数 如图，气温T是关于时间 的函数，记为 ＝f(t)． （1）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？ ）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？ （2）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“随着时间 ）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“ 的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？ 的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？ （3）在区间上，气温是否随时间增加而增大？ ）在区间上，气温是否随时间增加而增大？
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质
例题讲解
1 求证： 在区间(－ ， 例2 求证：函数 f(x)＝－ －1在区间 －∞，0) ＝－ 在区间 x 上是单调增函数． 上是单调增函数．
证明：任取 证明：任取x1＜x2＜0，则 ， f(x2)－f(x1)＝(－ － ＝－
1 1 －1)－(－ －1) －－ x2 x1 1 x2－x1 1 ＝ － ＝ ． x1 x1x2 x2
＋ ＞ ， x1 x2 0，
所以f(x － 在定义域上是减函数． 所以 2)－f(x1)＜0，所以 ＜ ，所以f(x)在定义域上是减函数． 在定义域上是减函数
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质
课堂训练
1 课后探究：求函数f(x)＝x+ 的单调区间． 课后探究：求函数 ＝ （x>0)的单调区间． 的单调区间 x
《函数的单调性》优秀教案
课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“随的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
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2.1.3 函数的单调性
【学习要求】
1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念．
2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】
考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，
改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.
2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单
调区间).
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．
探究点一函数单调性的有关概念
问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值
增大时，函数值f(x)是如何变化的？
问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？
问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1，
如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？
“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？
问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函
数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
跟踪训练1 根据下图说出函数在每一个单调区间上，是增函数还是减函数．
探究点二增函数、减函数的证明或判断问题1 判断函数单调性的方法有哪些？
问题2证明函数单调性的方法有哪些？
问题3根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？例2 证明函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．
跟踪训练2 证明函数f(x)＝1
x
在区间(0，＋∞)上是减函数．
探究点三函数单调性的应用
问题1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
问题2已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？
例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)<f(x)，求满足f(1－a)<f(2a－1)的a的取值范围．
跟踪训练3 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34的大小关系．
练一练：课堂检测、目标达成落实处
1.若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．
2.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x 的取值范围是_______．
3.物理学中的玻意耳定律p ＝k V
(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．
课堂小结：
1.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减．
2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，也可以用一个不等式来替代：
(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0或1－2x 1－x 2
>0. 对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：
(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]<0或1－2x 1－x 2
<0. 3.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：
①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，
②－f(x)单调递减，
③1单调递减(f(x)≠0)．
4.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商12与1比较.。