最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社。施光燕

习题二包括题目: P36页5(1)(4)

5(4)

习题三

包括题目:P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14;15(1)

1(1)(2)的解如下

3题的解如下

5,6题

14题解如下

14、 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T

-处的牛顿方向。

解:已知 (1)

(4,6)T x

=-,由题意得

121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫

∇= ⎪+++-----⎝⎭

∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫

=∇=

⎪⎝⎭

21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛

⎫∇= ⎪

+--------+--⎝⎭

∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫

=∇=

⎪-⎝⎭

(1)1

1/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫

= ⎪--⎝⎭

∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫

=-=

⎪-⎝⎭

15(1)解如下

15、 用DFP 方法求下列问题的极小点

(1)22

121212min 353x x x x x x ++++

解:取 (0)

(1,1)T x

=,0H I =时,DFP 法的第一步与最速下降法相同

2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭, (0)(1,1)T x =,(0)

10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭

(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, (1)

1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭

以下作第二次迭代

(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭, (1)(0)

18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫

=∇-∇= ⎪-⎝⎭

0110

111011101

T T T T

H H H H H γγδδδγγγ=+- 其中,111011126.3096,247.3380T T T

H δγγγγγ===

11

1.1621 1.39451.3945 1.6734T

δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ , 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T T

H H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭

所以

10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭

(1)(1)1 1.4901()0.9776d H f x -⎛⎫

=-∇= ⎪⎝⎭

令 (2)

(1)

(1)

1x

x d α=+ , 利用 (1)(1)()

0df x d d αα

+=,求得 10.5727α=-

所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ , (2)

0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭

以下作第三次迭代

(2)

(1)

20.85340.5599x

x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ , (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭

22 1.4407T δγ=- , 212 1.9922T H γγ=

22

0.72830.47780.47780.3135T

δδ

-⎛⎫= ⎪-⎝⎭

1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

所以

22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T T H H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫

=+-= ⎪-⎝⎭

(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫

=-∇= ⎪-⎝⎭

令 (3)

(2)

(2)

2x

x

d

α=+ , 利用

(2)(2)()

0df x d d αα

+=,求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=

⎪

-⎝⎭

, 因为 (3)

()0f x ∇=,于就是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

习题四

包括题目: P95页 3;4;8;9(1);12选做;13选做 3题解如下

3、考虑问题21),(2)(min 21x x x f s

x x -=∈,其中

{}{

}

.10,1),(1),(21212

22121≤≤≤≤+=x x x x x x x x S T T I

(1)画出此问题的可行域与等值线的图形;

(2)利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;

(3)分别对点,)1,0(,)0,0(,)1,1(,)0,1(4

3

2

1

T

T

T

T

x x x x -==-==指出哪些约束就是紧约束与松约束。

解:(1)如图所示,此问题的可行域就是以O 点为圆心,1为半径的圆的上半部分;等值线就是平行于直线x 2=2x 1的一系列平行线,范围在如图所示的两条虚线内。

(2)要求f 的最小值,即求出这一系列平行线中与x 2轴相交,所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置,能取得极值。如图求出切点⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

51,52P ,此点即为最优解T

x )5

1,52(-

=*,解得最优值5-=*f

(3)对于区间集S 可以简化为g 1:012

22

1≥--x x

g 2:02≥-x

对于点T

x )0,1(1

=,g 1与g 2均为该点处的紧约束; 对于点T

x )1,1(2

-=,g 1与g 2均为该点处的松约束; 对于点T

x )0,0(3

=,g 1为该点的松约束,g 2为该点的紧约束; 对于点T

x )1,0(4

-=,g 1为该点的紧约束,g 2为该点的松约束。

4题解如下

4、试写出下列问题的K-T 条件,并利用所得到的表达式求出它们的最优解: