初中数学试卷

一．选择题1．若x=a1+a2×10+a3×100，y=a4+a5×10+a6×100，且x+y=736，其中正整数a i满足1≤a i≤7，（i=1，2，3，4，5，6），则在坐标平面上（x，y）表示不同的点的个数为（）A．60 B．90 C．110 D．1202．在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）108 13A．S=24 B．S=30 C．S=31 D．S=393已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．264．（2006•南宁）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．5．（2013•合肥校级自主招生）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB6．（2012•涪城区校级自主招生）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%二．选择题（共6小题）7．（2007•青羊区校级自主招生）已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）=．8．（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．9．（2011•成都）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l 平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为（计算结果不取近似值）．10．（2011•玉溪一模）如图，⊙O1和⊙O2的半径为2和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=7，若将⊙O1绕点P按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周，请写出⊙O1与⊙O2相切时的旋转时间为秒．11．（2011•罗田县校级自主招生）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．12．（2015•黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．三．选择题（共2小题）13．如图，直线AB与⊙0相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙0的半径为5，CD=8，求弦EF的长．14．如图，已知△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，B在AD上的射影为E，EB交AM于N，求证：DN∥AB．四．解答题（共1小题）15．（2015•永春县自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．2016年02月29日1031941295的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2010•鹿城区校级自主招生）若x=a1+a2×10+a3×100，y=a4+a5×10+a6×100，且x+y=736，其中正整数a i满足1≤a i≤7，（i=1，2，3，4，5，6），则在坐标平面上（x，y）表示不同的点的个数为（）A．60 B．90 C．110 D．120【考点】整数问题的综合运用．【分析】根据x=a1+a2×10+a3×100，y=a4+a5×10+a6×100，且x+y=736判断出a2，a5不能大于3，1≤a1≤5，1≤a3≤6，进而求出满足条件x的个数，即可求出坐标平面上（x，y）表示不同的点的个数．【解答】解：∵x=a1+a2×10+a3×100，y=a4+a5×10+a6×100，且x+y=736，∴a2，a5不能大于3，1≤a1≤5，1≤a3≤6，∴x可以111～115，121～125，211～215，221～225…611～615，621～625共60个数，同理也可以求出满足y的数为111～115，121～125，211～215，221～225…611～615，621～625共60个数，进而求出x也有对应的60个数字，满足x的数总共有120个，∴坐标平面上（x，y）表示不同的点的个数为120个点，故选D．【点评】本题主要考查了整数问题的综合应用的知识点，解答本题的关键是处理好正整数a i满足1≤a i≤7这个条件，此题难度一般．2．（2013•天心区校级自主招生）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）108 13A．S=24 B．S=30 C．S=31 D．S=39【考点】二元一次方程的应用．【专题】数字问题．【分析】如图，b x a108 y 13因为要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，则得到x+10+y=8+y+13且b+11+a=8+10+a，即可得到S．【解答】解：如图，b x a108 y 13∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S．∴x+10+y=8+y+13，∴x=11，∵b+11+a=8+10+a，∴b=7，∴S=b+10+13=30．故选：B．【点评】这是一道关于发散性思维的典型题例，可从设未知数入手，找题目里的等量关系，层层深入，进而求解．3．（2013•天心区校级自主招生）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．26【考点】认识平面图形．【分析】图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个．【解答】解：根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．故选D．【点评】本题可分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏．4．（2006•南宁）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；轴对称图形．【专题】应用题．【分析】先根据轴对称的性质分别求出5种图象中是轴对称图形的个数，除以总数5即为一次过关的概率．【解答】解：∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，∴一次过关的概率是．故选D．【点评】本题考查概率公式及轴对称图形的特点，有一定的综合性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（2013•合肥校级自主招生）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB【考点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．【解答】解：过点B作BM∥AD，∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，∴AB=DM，AD=BM，又∵∠ADC+∠BCD=90°，∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，∴MC2=MB2+BC2，∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，=，=，即AD2=，BC2=，∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+=，∵S1+S3=4S2，∴MC2=4AB2，MC=2AB，CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．故选：B．【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．6．（2012•涪城区校级自主招生）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．【解答】解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1=（2+x%）x%．故选D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．二．选择题（共6小题）7．（2007•青羊区校级自主招生）已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）=8．【考点】因式分解的应用．【专题】计算题．【分析】把每个等式的结果等于3，得到与（a+1），（b+1），（c+1）有关的值，进而代入所给代数式求值即可．【解答】解：由题意得ab+a+b=3，∴（a+1）（b+1）=4，同理可得（b+1）（c+1）=4，（a+1）（c+1）=4，∴[（a+1）（b+1）（c+1）]2=4×4×4，∵a、b、c为正数，∴（a+1）（b+1）（c+1）=8．故答案为：8．【点评】考查了代数式的求值，利用因式分解得到和所给代数式相关的值是解决本题的关键．8．（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．【考点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．【分析】由OC=r，点C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．【解答】解：∵OC=r，点C在上，CD⊥OA，∴DC==，∴S△OCD=OD•，∴S△OCD2=OD2•（r2﹣OD2）=﹣OD4+r2OD2=﹣（OD2﹣）2+∴当OD2=，即OD=r时△OCD的面积最大，∴∠OCD=45°，∴∠COA=45°，∴的长为：=πr，故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°是解答此题的关键．9．（2011•成都）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l 平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为14﹣2（计算结果不取近似值）．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】应用题；压轴题．【分析】关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AT取最大值6和当点N与C重合时，AT的最小值8﹣2．所以可求线段AT长度的最大值与最小值之和．【解答】解：当点M与A重合时，AT取最大值是6，当点N与C重合时，由勾股定理得此时AT取最小值为8﹣=8﹣2．所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：6+8﹣2=14﹣2．故答案为：14﹣2．【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．10．（2011•玉溪一模）如图，⊙O1和⊙O2的半径为2和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=7，若将⊙O1绕点P按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周，请写出⊙O1与⊙O2相切时的旋转时间为3或6或9秒．【考点】相切两圆的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题根据两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是2和3，O1O2=7，∴O1P=4，∴分别过O2，P以4为半径可找到相切2次，当在上面垂直时，旋转时间为3秒，当在下面垂直时，旋转时间为9秒，O1O2的延长线可找到相切1次，此时转了180°，即6秒，故答案为：3或6或9．【点评】此题考查了两圆相切的位置关系，外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．11．（2011•罗田县校级自主招生）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．【考点】标准差；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差．【解答】解：由方程x2﹣3x+2=0解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2故这组数据是3，1，4，2，5其平均数（3+1+4+2+5）=3方差S2=[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]=2故五个数据的标准差是S==故本题答案为：．【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．12．（2015•黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．三．选择题（共2小题）13．如图，直线AB与⊙0相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙0的半径为5，CD=8，求弦EF的长．【考点】切线的性质．【分析】首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．【解答】解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH=CD=×8=4，∵⊙O的半径为5，∴OA=OC=5，∴OH==3，∴AH=OA+OH=5+3=8，∴AC==4．∵∠CDE=∠ADF，∴=，∴=，∴EF=AC=4．【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，已知△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，B在AD上的射影为E，EB交AM于N，求证：DN∥AB．【考点】梅涅劳斯定理与赛瓦定理．【专题】证明题．【分析】注意到AE既平分∠BAC又垂直BE，延长BE、AC交于点F，根据三线合一可知△ABF是等腰三角形，从而E是BF中点，又由于M是BC中点，连接ME，则ME∥AF，于是，对于△BDE和截线AMN由梅涅劳斯定理可得，又CM=BM，从而，于是，即，结论得证．【解答】证明：延长BE、AC交于点F，连接ME，如图：∵AE平分∠BAC，AE⊥BE，∴BE=EF，∵BM=CM，∴EM∥AF，∴，∴，对于△BDE和截线AMN，由梅涅劳斯定理可得，∴，∴，∴DN∥AB．证毕．【点评】本题主要考查了劳涅劳斯定理的应用、三线合一、中位线、平行线分线段成比例定理及其逆定理等知识点，难度较大，对学生的数学素质要求较高．根据线段AE的“三线合一”特性构造等腰三角形是本题的突破口，后面的工作就是比例推导而已．四．解答题（共1小题）15．（2015•永春县自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．【考点】二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=，x1x2=来化简代数式的值．。