数据处理

设xi<x<xi+1，应存在
y a kx
内插公式：将所得的k和a代入函数式，得： yi 1 yi x xi y yi xi 1 xi 类似方法可以推出外延公式： 向前外延：若xn和yn是最后一组数据。设 x> xn，则x及 对应值是测量范围之外的数据 yn yn 1 x xn y yn xn xn 1 向后外延：若x1 为x的最小值，则设 x< x1，则x及对应 值是测量范围之外的数据 y y 注意：外延法具有 y y1 2 1 x1 x 一定冒险性。 x2 x1
S/mm
40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 I/mA 30 35 40 45
图1 I～S图线
（5）不标志测量数据点或标志符号不 正确； 必须选用明显的标志符号表示 数据点，如“△、×、○、◇、□”等， 不能用“· 。 ”
45
（8）不标出求直线斜率的取点 标志和坐标值； （7）连线不正确，随意徒手画； 必须标出求斜率的取点坐标， 连线必须使用工具，透明的直 （9）任取一点或两点求斜率； 尺、三角板、曲线板等 。 必须取两点求斜率，两点不是 变化规律容易判断的曲线平滑 任取的；①不是测量数据点；②在 连线，曲线不必通过每个实验点， 测量范围内，两点尽量远些。 （10）求斜率没有必要的计算过 但应均匀分布在曲线两边；难以确 程，结果不写单位，有效数字少； 定规律的曲线可以用折线连接。 要有必要的过程，结果有单位， 校准曲线连线成折线形式，相 有效数字位数一般要多于测量数据 邻两点连成直线段。 的。
F合 M 2 g 10 -3 N
M 总 M1 M 2
M1 g
1
2
3
4
5
6
其中：a实

x 2 t 2
x 2 t1
2S
a理
M2g M1 M 2
4. 线性插值法与外延法
插值法与外延法是利用已得到的自变量和因变量实验数 据，求未测到的自变量对应的因变量数值的方法。 线性插值法是函数在插值点附近为线性函数时，求函数 的某一未测自变量所对应的函数值的方法。
1.2000
P(×105Pa)
改正为：
1.1500
1.1000
1.0500
t(℃)
1.0000 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00
定容气体压强～温度曲线
3. 作图法的应用
（1）判断各量的相互关系 通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有 完全掌握科学实验的规律和结果的情况下，或还没有找出 适合的函数表达式时，作图法是找出函数关系式并求得经 验公式的最常用的方法之一。 如二极管的伏安特性、弹簧振子振幅衰减规律等，都 可从曲线图上清楚地表示出来。
y yi
yi 1 yi ( x xi ) xi 1 xi
47 47.542 *10 2 (50.32832.542) *10 2 * (32.5 32) 33
48.885 *10 2 Pa
用向
yn yn 1 y yn ( x xn ) xn xn 1 1081 .11 *10 2 Pa
第5章 数据处理常用方法
5.1 列表法
列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系 的一种方法。 1. 列表法的特点
（1）记录数据排列有序，对应 关系简单明了； （2）采用内插和外延法求未测 量的数据； （3）便于随时检查数据是否合 理，及早发现问题，提高数据处理 效率等。 （4）作图法和最小二乘法的基 础。
表1 V，使作图和读图都 很困难。实际在选择坐标 分度值时，应既满足有效 数字的要求又便于作图和 读图，一般以1 mm 代
6.00
4.00 2.00
表的量值是10的整数 次幂或是其2倍或5倍。
0
1.00
2.00
3.00
U (V)
电学元件伏安特性曲线
改正为：
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
（6）坐标纸大小、坐标轴 比例和坐标原点选择不合适； 根据测量数据有效数字位 数选择坐标纸的大小；适当放 大或缩小倍数在10或0.1之内。 选择合适坐标轴比例和原 点位置，使图线在图纸中央。
40 35 30
S/mm
25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 I/mA 30 35 40 45
若函数为非线性函数y=f（x） ，△x较小时，有
f x0 f x0 2 y x0 x y0 x x 1! 2!
略去二阶小量
y x0 x y0 f x0 x
若xi 与xi+1 这些测量数据的间距不太大，则 y yi f xi i 1
电压U/V
6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60
电流I/mA 图1 测量100欧电阻的伏安特性曲线
2. 作图要求
（1）根据各变量之间的变化规 律，选择相应类型的坐标纸。鼓励 使用优秀的软件，如Origin, Excel 计算机绘图。 （2）正确选择坐标轴的比例和 标度。 （3）注明图名，坐标轴代表的 物理量、单位和数值的数量级。 （4）测量数据点应采用比较明 显的标志符号，如“△、×、○、 ◇、□”等，不能用“·” 。 （5）变化规律容易判断的曲线 平滑连线，曲线不必通过每个实验 点，但应均匀分布在曲线两边；难 以确定规律的曲线可以用折线连接。
2. 列表的要求
（1）栏目清楚，项目分明。 （2）写明表的序号和名称， 标明物理量、单位及数量级。 （3）表中所列数据应是正确 反映测量结果和精度的有效数字， 数据栏中不要出现单位和数量级。 （4）注明测量日期、数据来 源和必要的测量条件。
3. 列表举例
表1 伏安法测100电阻数据表
温度 t 25 C
1. 作图法的优点
（1）能够形象直观地反映各物理量之间的变化规律，帮助找 出合适的经验公式。 （2）可以粗略看出测量误差的大小及变量之间的相关程度。 （3）可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其它点。 （4）通过求斜率和截距求得有关未知量。 （5）可以排除粗大误差、消除某些恒定系统误差。 （6）有取平均、减小随机误差对结果的影响的作用。
2.1197 *10 2 Pa
线性内插法的应用
光谱分析
使用铁光谱作为已知谱。因为在可见与紫外波段，铁光谱谱线较均匀 而密集地分布着，并且前人已经标定了每条谱线。
5.3 作图法
作图法是将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观 地表示出来，并且通过所作图线求解未知量或经验方程，是一种 最常用的粗略的数据处理方法。
x
i 2 1 3
kx ，
2 4 3
如果测量6次数据，按逐项逐差法
x6 x1 5
x x x x x x x x x x x
5 4 6
5
5
5

显然利用这样的处理方法来求平均值是不可取的，失去了多次测量的意义。 为了使其保持多次测量的优越性，对数据处理方法上作一些变化。把数据分为两
图1 I～S图线
普通坐标纸(线性坐标纸)
半对数坐标纸
双对数坐标纸
不当图例展示：
n
1.7000 1.6900Leabharlann Baidu1.6800
曲线太粗，不 均匀，不光滑。
应该用直尺、曲 线板等工具把实 验点连成光滑、 均匀的细实线。
1.6700 1.6600 1.6500 400.0
500.0
600.0
700.0
（2）求未知量及不确定度— 图解法 非实验点（x1,y1）（x2,y2）测量范围内取尽量远两点
y
x1 , y1
x2 , y2
x3 , y3
x
纵坐标最小分度的一半 uy 3 横坐标最小分度的一半 u x＝ 3
y2 -y1 k x2 -x1
b y3-k x3
（3）曲线改直――非线性函数未知量的求法
已测得x和y的对应数据如表，假设y=a+kx，
表1 x、y对应数值表
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
......xn
......yn
若不存在测量误差，则
yi a kxi yi 1 a kxi 1
k
y x
i 1 i 1

y x
i
i
yi 1 yi a yi xi xi 1 xi
例如，冰在－10度和－9度的蒸汽压分别为2.5997×102Pa和2.8397Pa， 水在32度和33度的蒸汽压分别为47.547 ×102Pa和50.328 ×102Pa， 在98度和99度的蒸汽压分别为942.99 ×102Pa和977.52 ×102Pa，求 冰－12度时的、水在32.5度和103度时的蒸汽压。 解：用内插法求32.5度时的蒸汽压：
lg y2 lg y1 求斜率k b lg x2 lg x1 直线求解 求截距B lg a
5.4、逐差法
逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响而引入的一种数据处理方 法。是把测量数据中的因变量进行逐项相减或按顺序分为两组进行对应项相减， 然后将所得差值作为因变量的多次测量值进行数据处理的方法。 我们先看下面例子，函数 y 进行处理求平均值则可以得到：
玻璃材料色散曲线图
λ(nm)
改正为：
n
1.7000 1.6900 1.6800
1.6700 1.6600 1.6500 400.0
500.0
600.0
700.0
玻璃材料色散曲线图
λ(nm)
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00
横轴坐标分度选取 不当。横轴以3 cm 代
6 5 4 3 2 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60
电压U/V
3 2 1 0
电流I/mA 图1 测量100欧电阻的伏安特性曲线
自制表/mA
0
10
20
30
40
50
-1 自制表/mA -2
图2 电流表校准曲线
45
常见错误与正确做法
（1）不用坐标纸； 必须选用相应类型的坐标 纸或计算机软件绘图。 （2）不写图号和图名； 必须注明图号和图名。 （3）不画坐标轴； 必须画出坐标轴和方向。 （4）不标明坐标轴的物 理量、单位和分度值； 必须标明坐标轴物理量、 单位和分度值。
物理实验中经常遇到的图线类型有：直线、抛物线、双 曲线、指数函数曲线等。一般情况下，直线是最能够精确绘 制的曲线，并能在曲线上可以求出一些常数。因此，往往要 通过坐标代换，将非直线画成直线，称为曲线改直技术。 例如： y=axb 幂函数形式，a 、b为常数。函数形式可以 作如下变换，将方程两边取对数(以10为底)得到： 1gy=b1gx＋1ga
o
1.00
2.00
3.00
4.00
U (V)
电学元件伏安特性曲线
1.6000
P(×105Pa)
图3
1.2000
0.8000
图纸使用不当。 实际作图时， 坐标原点的读 数可以不从零 开始。
0.4000
t(℃)
o
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
定容气体压强～温度曲线
相对湿度=72%
2008/2/18
注： （1）电压表量程 7.5V，精度等级 1.0。 （2）电流表量程 50mA，精度等级 1.0。 （3）采用外接法。
表2 验证系统总质量不变时加速度与外力成正比数据记录表
S= 0.5000 m
M2 g
Δx= 10mm 次数
t1 ms t2 ms t1 ms t2 ms
xi 1 xi
因此，对非线性函数： 插值公式
y yi
yi 1 yi x xi xi 1 xi
外延公式（向前） y yn yn yn1 x xn
xn xn 1
外延公式（向后）
y y1
y2 y1 x1 x x2 x1
x xn 方向的外延法求103度时水的蒸汽压
977 .52 *10 2 (977.52942.99) *10 2 * (103 99) 9998
用向 x
x1 方向的外延法求－12度时冰的蒸汽压
y2 y1 y y1 ( x1 x ) x2 x1
5997 2.5997 *10 2 ( 2.(8397(2.10) ) *10 2 *[10 (12)] 9 )