机械振动_第二章 习题

m2e
n m1 m2
例. 图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放 在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esinωt， 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。
解：
1）取测振仪为研究对象
s
l0
测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬 挂点的运动规律就是s=esinωt 。
振幅b与激振力频率ω之间的关系
b
2 n
h
2
绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线
将纵轴取为β= b/b0，横轴取为λ=ω/ωn， β和λ都是无量纲的 量，绘出无量纲的振幅频率曲线。
b
b
b0
n
1
n
(3) 共振现象
上述分析，当ω=ωn时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在 理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。
2）位移分析
st
x
O
取t=0时物块的平衡位置为坐标原
点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0，
x
δst为其静伸长。设任一时刻t时，物
块的坐标为x，弹簧的变形量为
s
st x s
3）物块运动的微分方程：
mx mg k( st x s)
整理为：
s
l0
st
x
O
mg k st , s e sin t
令： H m2e 2
h m2e 2
m1 m2
受迫振动振幅：
b
h
2 n
m2e 2 k (m1 m2 ) 2
绘出振幅频率曲线。 b
此曲线当ω<ωn时，振幅 从零开始，随着频率增大 而增大；
当ω=ωn时，振幅趋于∞； 当ω>ωn时，振幅随着增大而减 小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。 O
由式
b
2 n
h
2
b0
h
2 n
H k
(2)若0<ω<ωn
b
2 n
h
2
ω值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率ω单调上升，当ω接近ωn时，振 幅将趋于无穷大。
(3)若ω>ωn
b
2 n
h
2
按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对值， 而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。 随着激振力频率ω增大，振幅b减小。当ω趋于∞，振幅b减小趋 于零。
二. 单自由度系统的有阻尼受迫振动
图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢 复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。
若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：
Fk kx
Fc
c
c
dx dt
F H sint
可建立质点运动微分方程
m
d2x dt 2
k x
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sin t
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
h sin ]cos(t
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1 0.2 0.5 1.0
4.0 2.0
0
1.0 4.0 0.5 0.2 0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
当ω=ωn时
b
2 n
h
2
是没有意义的
无阻尼受迫振动微分方程 此时特解应设为：
d2x dt 2
2 n
x
h sin(t
)
得：
B h
2 n
共振时受迫振动的运动规律为:
它的幅值为：
b h t 2 n
x2 Bt cos(nt )
x2
h
2 n
t
cos ( nt
)
x2
h
2 n
t
cos ( nt
)
t
当ω=ωn时，系统共
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
sin(t
)
解得：
b
2 n
h
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
Fk kx
设F为简谐激振力， F在坐标轴上的投
影写成：
F H sin(t )
质点的运动微分方程为
m
d2x dt 2
k x
H
sin(t
)
两端除以m，并设：
2 n
k m
h H M
则得：
d2x dt 2
2 n
x
h sin(t
)
k
O
Fk
x
m
m
F
x
该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式
d2x dt 2
b
h
(
2 n
2
)2
4n2
2
当 n2 2n2 n 1 2 2
时
振幅bmax具有最大值，这时的频率ω称为共振频率。 在共振频率下的振幅为：
h
bmax 2n
n2 n2
或
bmax
2
bo
1 2
在一般情况下，阻尼比ζ<<1，可认为共振频率ω=ωn ，
即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。
)
0
对任意瞬时t，必须满足：
b(
2 n
2)
h cos
0
2nb h sin 0
两方程联立，可解出：
b
h
(n2 2 )2 4n2 2
tan
2n
2 n
2
得微分方程的通解为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
x Aent sin( n2 n2t ) bsin(t )
其中A和为积分常数，由运动的初始条件确定。 有阻尼受迫振动由两部分合成： 第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动
2.受迫振动的振幅 x2 b sin(t )
b h
2 n
2
在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动 频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关， 与振动系统的固有频率ωn激振力的力幅H、激振力频率ω 有关。
下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系
(1) 若ω→0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振 动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。
b
h
(
2 n
2 )2
4n2
2
b
1
bo (1 2 )2 4 22
tan
2n
2 n
2
tan
2 1 2
不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线
b
h
(n2 2 )2 4n2 2
0 0.15 0.20 0.25
0.50 0.70
1.00
阻尼对振幅的影响程度与频率有关 1当）作当无ω阻<尼<ω处n理时。，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而 2有）明当显ω的→影ω响n ，（即即阻λ→尼1增）大时，，振振幅幅显显著著地地下增降大。。这时阻尼对振幅
振，受迫振动的振幅
O
随时间无限地增大，
t
其运动图线如图示。
实际上，由于系统存在阻尼，共振时振幅不可能达到无限大， 一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大 的变形，甚至造成破坏。
因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。
例. 图示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚 度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力 F=F0sinωt,其中激振力的频率ω=1/2ωn , ωn为系统的固有频率。忽略阻尼， 求系统的受迫振动规律。
(x
e sin t )
m1
d dt
[m1
dx dt
m2
d dt
(x
e sin t )]
kx
O
整理后得： (m1 m2 )x kx m2e 2 sin t
m2
t
x Fk
此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2eω2sinωt 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。 激振力力幅为 m2eω2 等于离心惯性力的大小 激振力的圆频率等于转子的角速度ω。 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。
解： 1) 取电机与偏心块质点系为研究对象 设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置O 的坐标为x，
则偏心块坐标为：x+esinωt 。
2）作用力：在系统上的恢复力:
Fk kx
3) 质点系动量定量的微分形式
x
m2
m1
t Fk x
O
d dt
px
kx
d dt
px
kx
x
px miix
m1
dx dt
m2
d dt
k
m
弹性梁上的电动机由于转子偏心在
转动时引起的振动等。
简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：F H sin(t )
H：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位
1.振动微分方程
图示振动系统，物块质量为m。 物块受力有恢复力Fk和激振力F。 取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下.
恢复力Fk 在坐标轴上的投影为
共振的振幅为
bm a x
bo
2
（3）当ω>>ωn时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，这 时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。
由微分方程的特解 x2 b sin(t )
有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角ε，ε
称为相位差。
tan
2n
2 n
2
或
tan
2 1 2
ε表达了相位差随谐振力频率的变化关系。
第二章 单自由度系统强迫振动
一. 单自由度系统的无阻尼受迫振动
工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止 实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼 的消耗，有的承受外加的激振力。 在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
交流电通过电磁 铁产生交变的电 磁力引起振动系 统；
x
mx kx kesint
s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
x bsint
s
l0
st
x
O
激振力的力幅为
H ke
h
ke
e
x
b
2 n
2
m(
2 n
2)
1(
)2
n
s
b为物块绝对运动的振幅。
由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于 测振仪的振幅 a=|b-e|。当ωn <<ω时，b≈0，有a≈e。 一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使ωn很小。 用它来检测频率ω不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的 振幅也就接近于被测物体的振幅。
2 n
h
2
sin t
l 2 O
m
将ω=1/2ωn代入上式
解得：
h sint
3 4
2 n
2
4F0 /(3 4k sin t)
ml 4 m
4F0 sint
3k l
l
2
k
A
F
例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1， 偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速 度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。
x
A s in( nt
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 n
h
2
sin(t
)
x
A s in( nt
)
2 n
h
2
sin(t
)
表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：
第一部分是频率为固有频率的自由振动；
第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去， 因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。
有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率 等于激振力的频率，其振幅表达式为：
b
h
(n2 2 )2 4n2 2
受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率ω以及振 动系统的参数m、k和阻力系数c有关。
采用无量纲形式，横轴表示频率比λ=ω/ωn,纵轴表示振幅比β=b/b0。 阻尼的改变用阻尼比ζ=c/cc=n/ωn来表示。
c
dx dt
H
sin t
kc
Fk
Fc
m
F
x
m d 2x kx c dx H sint
dt 2
dt
两端除以m，并令：
2 n
k m
,
2n c , m
h H m
整理得：
d2x dt 2
2n
dx dt
2 n
x
h
sin
t
有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程
其解由两部分组成： x x1 x2
x1 ：齐次方程的通解 在小阻尼（n< ωn ）情形下，有
x1 Aent sin(
2 n
nn2 t
)
kc
Fk
Fc
m
F
x
d2x dt 2
2n
dx dt
2 n
x
h
sin
t
x2 ：对应齐次方程的特解
设它的形式为： x2 b sin(t )
其中ε表示受迫振动的相位落后 于激振力的相位角。 代入微分方程，可得：
解：
设任一瞬时刚杆摆角为φ， 根据刚体转动微分方程可以 建立系统的运动微分方程。
l 2 O
m
l
2
k
A
F
m(
l )2
2
kl2
F0l
sin
t
微分方程整理为：
n2 h sin t
令
2 n
kl2 m( l )2
4k m
2
h FOl 4F0 m( 1 )2 ml 2
n2 h sin t
研究受迫振动方程特解
x Aent sin(
2 n
n2
t
)
b
sin(t
)
x O
x O
x
由于阻尼的存在
第一部分振动随时间
t
的增加，很快地衰减，
这段过程称为过渡过
程（瞬态过程）.
t
过渡过程是很短暂的。
过渡过程之后，系统 进入稳态过程。
O t
下面研究稳态过程的振动。
由受迫振动的运动方程特解可知：x2 b sin(t )