优化设计的数学基础
02-优化的设计数学基础

22
2.7 最优解与最优解条件
1.无约束优化设计问题的最优解条件
无约束优化问题的最优解的实质是求目 标函数的最 min f (X ) f (X *) X En
小值:
对一维问题
数x*等为于极零值的点ff ''的'((xx**)必)00要极条大件点 f’(x)=0。一阶导
点为驻点,极f '值'(x*点) 是0 极驻小点点 ,但驻点不一定
1
2
x1
x1(k ) ,
x2
x2(k ) ,,
xn
x(k) n
2 f (X (k x12
2 f (X (k x2x1
) )
) )
, ,
2 f (X (k x1x2 2 f (X (k
x22
) )
) )
,, ,,
2 f (X (k x1xn 2 f (X (k x2xn
) )
) )
x1 x2
x(k) 1
x(k) 2
.
2 f (X (k))
xnx1
,
2 f (X (k)) xnx2
,,
2
f (X xn2
(
k
)
)
xn
xn(k )
f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) ) 1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )(X X (k) ) 2
2 f (X (k x2x1
)
)
,
2
f (X x22
(k
)
)
,,
2 f (X (k x2xn
)
)
,,
2 f (X (k)
优化设计的数学模型

优化设计的应用
生产计划优化
生产计划优化
通过数学模型,对生产计划进行优化,以最小化成本、最大化利润为目标,制定最优的生产计划 。
生产调度优化
利用数学模型对生产调度进行优化,以提高生产效率、减少生产成本、缩短生产周期。
资源分配优化
通过数学模型对资源进行合理分配,以最大化资源利用率、最小化资源浪费为目标,实现资源的 最优配置。
总结词
生产计划优化是利用数学模型对生产过程中的资源、时间和成本进行合理配置, 以提高生产效率和降低成本。
详细描述
生产计划优化案例包括对生产流程、生产计划、生产调度等方面的优化。通过 建立数学模型,对生产计划进行优化,可以减少生产过程中的浪费,提高生产 效率,降低生产成本。
物流优化案例
总结词
物流优化是利用数学模型对物流运输过程中的路线、时间和 成本进行合理规划,以提高物流效率和降低物流成本。
线性规划
线性规划是数学优化技术中的一 种,它通过找到一组变量的最优 组合,使得一个线性目标函数达
到最大或最小值。
线性规划问题通常表示为在一组 线性不等式约束下最大化或最小
化一个线性目标函数。
线性规划问题可以通过使用单纯 形法、对偶理论等算法进行求解。
非线性规划
非线性规划是数学优化技术中的一种, 它通过找到一组变量的最优组合,使 得一个非线性目标函数达到最大或最 小值。
04
优化算法的进展
遗传算法
1
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法, 通过选择、交叉和变异等操作,寻找问题的最优 解。
2
遗传算法适用于解决大规模、多变量和非线性优 化问题,尤其在组合优化、机器学习、数据挖掘 等领域有广泛应用。
3
优化设计的数学基础

a11 a12 a11 0, a11 a12 a21 a22 0, , a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
即矩阵A的各阶主子式均大于零。当矩阵A为正定时,其对应的二次型 为正定二次型。 如果实二次型 XTAX 中的矩阵A的各阶主子式负、正相间(即所 有奇数阶主子式小于零,而所有偶数阶主子式大于零),即
■ 函数的泰勒近似展开式和黑塞矩阵 ■ 无约束优化问题的极值条件 ■ 凸函数与凸规划 ■
约束优化问题的极值条件
2.1 二次型与正定矩阵
在介绍优化方法时,常常是将二次型函数作为对象。其原因除了 二次型函数在工程优化问题中有较多的应用且比较简单之外,还因为 任何一个复杂的多元函数都可采用泰勒二次展开式做局部逼近,使复 杂函数简化为二次函数。因此,需要讨论有关二次型函数的问题。
A 称为二次型矩阵,因为 aij = aji ,所以 A =AT,称为对称矩阵,
因此二次型矩阵都是对称矩阵。
2. 正定矩阵
在采用泰勒二次近似展开式讨论函数的极值时,常要分析二次型 函数是否正定或负定。二次型的正定与负定的定义简述如下: 如果对于任意的非零向量 X = [x1, x2, …,xn]T,即x1,x2,…,xn 不全为零,若有 XTAX > 0,则称此二次型 f (X)=XTAX 是正定二次 型, 其对应的矩阵A 称为正定矩阵; 若有 XTAX ≥0,则称此二次型 f (X) = XTAX 为半正定二次型,并称 其相应的矩阵A为半正定矩阵; 若有XTAX < 0,则称此二次型 f (X)=XTAX 为负定二次型,其对应 的矩阵A为负定矩阵。 矩阵A的正定与负定的判别,可用矩阵A的各阶顺序主子式的正负 来判别。矩阵A的正定条件是:
a1n a2 n ann
五年级数学优化设计

五年级数学优化设计应该根据学生的实际情况和教学大纲的要求进行,以下是一些可能有用的建议:1. 重视基础知识的学习和掌握。
五年级是小学高年级阶段,需要注重数学基础知识的巩固和掌握,例如加减乘除、分数小数、平面几何等。
在教学过程中,可以采用多种形式的教学方法,如讲解、演示、练习等,帮助学生深入理解概念和方法。
2. 培养学生的思维能力和解决问题的能力。
五年级数学需要注重学生的思维能力、分析能力和解决问题能力的培养。
在教学过程中,可以采用探究式学习、小组合作学习等教学方法,引导学生自主学习、自主思考,通过自己的努力解决实际问题。
3. 强化数学的实际应用。
五年级数学与实际生活的联系更加紧密,需要注重数学在实际生活中的应用。
在教学过程中,可以采用案例分析、情境模拟等方法,引导学生将数学知识应用到实际生活中,增强数学的应用意识。
4. 培养学生的数学兴趣和自信心。
五年级数学难度逐渐增加,可能会让一些学生感到困难和沮丧。
在教学过程中,可以采用鼓励、奖励等方式,激发学生的学习兴趣和自信心,同时注重学生的情感教育,帮助学生克服困难,保持积极的学习态度。
5. 注重学生的个体差异和个性化需求。
五年级学生数学水平存在差异,需要针对不同学生的需求进行个性化教学。
在教学过程中,可以采用分层教学、差异化教学等方法,满足不同学生的需求,让每个学生都能在原有的基础上得到提高。
总之,五年级数学优化设计需要注重学生的实际情况和教学大纲的要求,采用多种形式的教学方法,注重数学的实际应用和学生的个体差异和个性化需求,激发学生的学习兴趣和自信心,培养学生的思维能力和解决问题的能力。
九年级数学优化设计答案人教版

九年级数学优化设计答案人教版九年级数学优化设计答案人教版:
一、数学基础知识
1、掌握基本的数学概念,如数、因数、倍数、约数、分数、
根式、平方根、立方根等;
2、掌握基本的数学运算,如加减乘除、乘方、开方、求和、
求积、求余数等;
3、掌握基本的数学表达式,如等式、不等式、函数、比例、
比值、比率等;
4、掌握基本的数学思维,如分析、推理、推断、归纳、概括、抽象、推导等;
5、掌握基本的数学解题方法,如分析法、比较法、推理法、
归纳法、概括法、抽象法、推导法等。
二、数学应用
1、掌握数学在实际生活中的应用,如购物、投资、财务管理、统计分析等;
2、掌握数学在科学技术中的应用,如科学计算、工程设计、
机器人技术等;
3、掌握数学在社会经济中的应用,如市场营销、经济分析、
社会调查等;
4、掌握数学在教育管理中的应用,如教学计划、教学评估、
教学研究等。
三、数学实践
1、组织学生参加数学竞赛,提高学生的数学素养;
2、开展数学实验,培养学生的实践能力;
3、开展数学游戏,激发学生的学习兴趣;
4、开展数学模拟,培养学生的分析思维;
5、开展数学讨论,培养学生的团队合作能力。
优化设计:跨领域提升产品性能、效率与创新智慧的利器

优化设计:跨领域提升产品性能、效率与创新智慧的利器优化设计是一种提高产品或系统性能、减少资源消耗、提高效率的方法。
它广泛应用于各种领域,如工程设计、生产计划、物流管理、金融投资等。
优化设计方法是一种系统性的方法,它通过数学建模、计算机模拟等技术手段,对设计参数进行优化,以实现最优的设计方案。
一、优化设计的基本概念优化设计是一种以数学建模为基础,利用计算机科学和工程学理论和方法,通过迭代和数值计算,寻找最优设计方案的技术手段。
它以目标函数的形式表达设计问题的优化目标,并利用约束条件限制设计变量的取值范围,从而找到满足所有约束条件的最优解。
二、优化设计的数学模型优化设计的数学模型通常由目标函数、设计变量和约束条件三部分组成。
目标函数是衡量设计方案优劣的标准,它可以是产品的重量、成本、性能等;设计变量是影响目标函数的参数,如材料的厚度、形状、尺寸等;约束条件是限制设计变量取值的条件,如强度、刚度、稳定性等。
三、优化设计的方法优化设计的方法主要包括传统优化方法、现代优化方法和混合优化方法。
传统优化方法主要包括梯度法、牛顿法、惩罚函数法等;现代优化方法主要包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等;混合优化方法则是将传统优化方法和现代优化方法进行结合,以实现更好的优化效果。
四、优化设计的实现步骤优化设计的实现步骤通常包括问题定义、建立模型、选择优化方法、编写程序、运行程序和结果分析。
问题定义是指明确设计问题的目标、约束条件和设计变量;建立模型是指根据问题定义建立数学模型;选择优化方法是指根据问题特点选择合适的优化方法;编写程序是指将优化方法编写成计算机程序;运行程序是指将程序运行得到最优解;结果分析是指对最优解进行分析,以验证其可行性和优越性。
五、优化设计的应用优化设计广泛应用于各种领域,如机械设计、建筑设计、电子设计、金融投资等。
在机械设计中,优化设计可以用于提高机械部件的性能和效率,如发动机、减速器等;在建筑设计中,优化设计可以用于提高建筑物的空间利用率和结构安全性;在电子设计中,优化设计可以用于提高电子产品的性能和降低成本;在金融投资中,优化设计可以用于制定最优的投资策略和风险控制方案。
机械优化设计第二章

第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二次n维函数用向量和矩阵的表示方法:
若f ( x)是n维函数,则可按下式化为向量及矩阵形式: f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j bk xk c
i 1 j 1 k 1 n n n
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。 二元函数的偏导数: 一个二元函数f ( x1 , x2 )在点x0 ( x10 , x20 )处的偏导数是
f x1 f x2 f x10 x1 , x20 f x10 , x20 lim x1 0 x1 f x10 , x20 x2 f x10 , x20 lim x2 0 x2
向量d1的方向为:1 2 向量d 2的方向为:1
4
,
3
, 2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f T x f f 梯度: 二元函数f ( x1 , x2 )在点x0处的梯度是f ( x 0 ) 1 , f x1 x2 x0 x 2 x
d 0
偏导数与方向导数之间的数量关系:
f d lim
x0
f x10 x1 , x20 x2 f x10 , x20 d
d 0
lim lim f x1
d 0
f x10 x1 , x20 x2 f ( x10 x1 , x20 ) x2 x2 cos 1
第三章优化设计的数学基础

第三章优化设计的数学基础一等值(线)面目标函数是n维变量的函数,它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。
为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况,常采用目标函数等值面的方法。
对于可计算的函数f(x),给定一个设计点X(k),f(x)总有一个定值c 与之对应;而当f(x)取定值 c 时,则有无限多个设计点X(i)(i=1,2, …)与之对应,这些点集构成一个曲面,称为等值面。
即具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。
目标函数F(x)的等值面(线)数学表达式为:F(x)=C当 c 取c1,c2, …等值时,就获得一族曲面族,称为等值面族。
等值线的“心”(以二维为例)一个“心”:是单峰函数的极(小)值点,是全局极(小)值点。
没有“心”:例,线性函数的等值线是平行的,无“心”,认为极值点在无穷远处。
多个“心”:不是单峰函数,每个极(小)值点只是局部极(小)值点,必须通过比较各个极值点和“鞍点”(须正确判别)的值,才能确定极(小)值点。
等值线的形状:同心圆族、椭圆族,近似椭圆族;严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。
等值线的疏密:沿等值线密的方向,函数值变化快;沿等值线疏的方向,函数值变化慢。
等值线的疏密定性反应函数值变化率。
二 方向导数与梯度1 方向导数二元函数在点x 0处沿某一方向s 的方向导数方向导数是偏导数概念的推广。
方向导数与偏导数之间的数量关系是n 元函数在点x 0处沿s 方向的方向导数2 梯度二元函数的梯度▽F (x 0)为函数F (x 1,x 2)在x 0点处的梯度。
设010*********(,)(,)lim S F F x x x x F x x s s ∆→∂+∆+∆-=∂∆x 0001212cos cos F F F s x x θθ∂∂∂=+∂∂∂x x x 0000012121cos cos cos cos n n n ii i F F F F s x x x F x θθθθ=∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂=∂∑x x x xx O x 110x 0001212cos cos F F F s x x θθ∂∂∂=+∂∂∂x x x 01212cos cos F F x x θθ⎡⎤⎡⎤∂∂=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦x 0010122()T F x F F F F x x x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎡⎤∂∂⎢⎥∇==⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦x x x 12cos cos s θθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦s 方向和梯度方向重合时,方向导数值最大。
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机械设计问题一般是非线性规划问题。
实质上是多元非线性函数的极小化问题,因 此,机械优化设计是建立在多元函数的极值 理论基础上的。
机械优化设计问题分为:
无约束优化 无条件极值问题
约束优化
条件极值问题
第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数
从多元函数的微分学得知,对于一个连续可
设目标函数在 x*点至少有二阶连续的偏导数,则
在这一点的泰勒二次近似展开式为:
n f x* f x f x*
i1 xi
xi x*
1 n 2 f x* 2 i, j1 xix j
xi xi*
x j x*j
2 f xk 2 f xk
2 f xk
0
e
0 1
2 5 1 5
5
2 5
5
5
1
1 5
5
f
X1
3x12
4x1x2
x22
|X 0Hale Waihona Puke 26 525
几个常用的梯度公式:
1. f X C 常数 则,f X 0
即,C 0
2. f X bT X 则,f X b
.
3. f X X T X 则,f X 2X
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
1 0 2 0
根据拉格朗日乘子法,此问题的极值条件:
F x
f x
1
dg1 dx
2
dg2 dx
df dx
1 2
对于二维函数 f x1, x2 在 x0 点处的梯度
f x0 f x0 T
f x0
,
x1
x2
x0
设
d
cos 1 cos2
为d方向的单位向量,则有
f d
x0
f
x 0 T
d
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
三、多元函数的梯度
f x0 f x0
多元函数f(x)在 x* 处取得极值,则极值的条件为
(1) ▽F(X*)=0; 必要条件 (2)Hesse矩阵G(X*)为正定。 充分条件
为无约束优化问题的极值条件
同学考虑二元函数在 x*处取得极值的充分必
要条件。
f
f
x
x1
0
f
x2
2 f
G
x0
x12 2 f
x2x1
2 f
因此,一元函数在给定区间的极值条件,可以表示为:
df dx
1
dg1 dx
2
dg2 dx
0
多元
1g1 x 0 2g2 x 0
1 0 2 0
库恩-塔克条件
df dx
1
dg1 dx
2
dg2 dx
df dx
1 2
0
分析极值点 x*在区间的位置,有三种情况
当 a x* b 时,此时 1 2 0
x1x2
2 f
x22
x0
x0
x10
x20
各阶主子式大于零
例:求函数的 f x1, x2 x12 x22 4x1 2x2 5 极值
第三节 无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题是使目标函数取得极小值,所 谓极值条件就是指目标函数取得极小值时极值 点所应满足的条件。
第四节 凸集、凸函数与凸规划
恒成立。
2.根据二阶导数( Hesse矩阵)来判断函数的凸性
设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数,则f(x)在R上为凸函数的充要条件
Hesse矩阵在R上处处半正定。
四、凸规划
对于约束优化问题
min f x
s.t. gj x 0
j 1, 2,..., m
若 f x g j x都为凸函数,则此问题为凸规划。
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程中大多数优化问题,可表示为不等式约束 条件的优化问题。
有必要引出非线性优化问题的重要理论,是不等式 约束的多元函数的极值的必要条件。
库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
一元函数f(x)在给定区间[a,b]上的极值问题,可以 写成下列具有不等式约束条件的优化问题:
将原来的目标函数作如下改造:
l
F x, f x khk x
k 1
拉格朗日函数
待定系数
新目标函数的极值的必要条件
F 0 xi
F 0
k
例2-4 用拉格朗日乘子法计算在约束条件
h x1, x2 2x1 3x2 6 0 的情况下,目标函数
f x1, x2 4x12 5x22 的极值点坐标。
df x* 0 dx
,则极值条件为
当
x* a 时,此时
1 0, 2 0
则极值条件为
df dx
1
0
即
df x* 0
dx
当 x* b 时 ,此时 1 0, 2 0,则极值条件为
df
dx
2
0
即 df x* dx
0
从以上分析可以看出,对应于不起作用的约束的 拉格朗日乘子取零值,因此可以引入起作用约束 的下标集合。
消元法
求解这一问题的方法
拉格朗日乘子法
1.消元法(降维法)
2、拉格朗日乘子法(升维法)
2、拉格朗日乘子法(升维法)
2、拉格朗日乘子法(升维法)
对于具有L个等式约束的n维优化问题
x* 处有 df x* f x* T dx 0
dhk
x*
l i 1
hk xi
dxi
hk
x* T dx 0
称 f x 是定义在凸集上的一个凸函数。
三、凸性条件 1.根据一阶导数(函数的梯度)来判断函数的凸性 设f(x)为定义在凸集R上,且具有连续的一阶导数 的函数,则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸
集R内任意不同两点x1 x2 ,不等式
f x2 f x1 x2 x1 T f x1
函数的梯度方向与函数等值面相垂直,也就是 和等值面上过x0的一切曲线相垂直。
由于梯度的模因点而异,即函数在不同点处的
最大变化率是不同的。因此,梯度是函数的一种局 部性质。
梯度两个重要性质:
性质一 函数在某点的梯度不为零,则必与过该点 的等值面垂直;
性质二 梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
x2
f(x0)
f
x
f
x* f
x* T
x x*
1 2
x
x* T
G x* x
x*
∵ f x* 0
f
x
f
x*
1 2
x
x*
T
G
x*
x
x*
∵ f x f x* 0
则极小点必须满足
x x* T G x* x x* 0
x*为无约束极小点的充分条件
其Hesse矩阵G(X*)为正定的。
min f x
s.t. g1 x a x 0
g2 x x b 0
拉格朗日乘子法,除了可以应用于等式的极值问题,还可 以用于不等式的极值问题。
需引入松弛变量,将不等式约束变成等式约束。
设a1和b1为两个松弛变量,则上述的不等式约束可写为:
h1 x, a1 g1 x a12 a x a12 0 h2 x,b1 g2 x b12 x b b12 0
微函数f(x)在某一点 x(k )的一阶偏导数为:
f (xk ) ,f (xk ) ,… ,f (xk )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x(k )点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数,如图2-1所示。
图2-1 函数的方向导数
其函数在 x0点沿d方向的方向导数为
f x0
f
x (0) 1
最速上升方向
x0
-f(x0) 最速下降方向
下降方向
上升方向 变化率为零的方向
O
x1
图2-2 梯度方向与等值面的关系
例题 2-1
求函数
f
(x)
x2 1
x2 2
4x1
4
在点[3,2]T 的 梯度。
解:
f
f
(
x)
x1 f
2
x1 2 x2
4
x2
在点x(1)=[3,2]T处的梯度为:
.
4. Q对称矩阵。 f X X TQX 则,f X 2QX
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数,则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零,即
f x* 0
满足此条件仅表明该点为驻点,不能肯定为极值 点,即使为极值点,也不能判断为极大点还是极 小点,还得给出极值点的充分条件
凸规划的性质:
x0
1.若给定一点
,则集合
R
x f x f x0
为凸集。
R x 2.可行域
g j x0 j1,2,...,m
为凸集
3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解
第五节 等式约束优化问题的极值条件
等式约束 约束优化
不等式约束
min f x
s.t. hk x 0 k 1, 2,...,l
前面我们根据函数极值条件确定了极小点 x* 则函数f(x)在x* 附近的一切x均满足不等式
f x f x*
所以函数f(x)在 x* 处取得局部极小值,称x*为
局部极小点。 而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。 函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢?