《市场调查与预测》(01395)电子教案(第8章)

• 相关分析与回归分析既有一定的区别，又有一 定的联系。相关分析是确定现象之间的相关方 向和相关的密切程度，回归分析是对具有相关 关系的两个或两个以上的变量确定一个相应的 数学表达式，并从一个已知变量来推测另一个 变量。两者的联系表现在相关分析需要回归分 析来表明现象数量关系的具体形式，而回归分 析必须以相关分析为基础，只有通过相关分析 表明现象之间具有密切相关，回归分 析的数学表达式才有代表性，回归分 析才有实际意义。可见，相关分析在 回归分析预测中具有重要意义。
2. 对数曲线回归模型
对数曲线回归模型的数学表达式为： Y=a+b㏑X 设Y/=Y，X/=㏑X，则上式对数曲线回归模型可 转化为单元线性回归预测模型： Y/=a+bX/ 利用原始数据先求出X/，再利用单 元线性回归预测法就可求出a，b的值。
3. 指数曲线回归模型
指数曲线回归模型的数学表达式为： Y=abX 对上式两端取对数得：㏑Y=㏑a+X㏑b 设Y/=㏑Y，a/=㏑a，b/=㏑b，则指数曲线回归模 型可转化为单元线性回归预测模型： Y/=a/+b/X 利用原始数据先求出Y/，然后利用单元线性回 归预测法求出a/，b/的值，
8.4.2非线性回归预测法的步骤
非线性回归预测法与线性回归预 测法的步骤大体相同，也是要建立 模型、求解参数、模型检验、进行 预测。 但是非线性回归预测法求解参 数的关键是要把所建立的非线性回 归模型转化为线性回归模型，用线 性回归模型的求解方法进行求解参 数，然后，再将求得的参数还原。
我们主要介绍几种常见的非线性回归模型 的线性化方法。 1．多项式回归模型
第8章 回归分析预测
• • • • 相关分析的意义 一元线性回归预测法 多元线性回归预测法 非线性回归预测法
学习目标
• · 了解相关关系的概念、类型及 非线性回归预测法 • · 掌握多元线性回归预测法的 基本理论及应用 • 熟练掌握一元线性回归预测法的基本理 论及应用
8．1相关分析的意义
• 相关关系的概念 • 相关关系的类型 • 相关分析的方法
从相关图可以看出，广告费支出与商品销售额之间存 在着较密切的相关关系，两者的变化方向一致，属于正相 关关系，而且现象之间的发展变化趋势近似呈直线，说明 两者为线性相关关系。
2.5
2 流 通 1.5 费 用 率 0.5 1
0 0 20 40 销售额 60 80 100
从相关图可以看出，商品销售额与流通费用率之间存在着 较密切的相关关系，属于负相关关系，而且现象之间的发 展变化趋势近似呈曲线，即为非线性相关关系。
8.3.2二元线性回归预测法 1.二元线性回归预测法的概念 二元线性回归预测法是分析一个因变量与二 个自变量之间线性关系的预测方法。 2.预测步骤 （1）建立预测模型为：Yc=a+b1X1+b2X2 其中，a、b1、b2为模型参数，X1、X2为自变量， Yc为预测值。 （2）求解模型参数。二元线性回归预测模型参数a、 b1、b2的计算也是采用最小二乘法。根据最小二 乘法的原理， （3）对回归模型进行检验。 （4）进行预测。将X1、X2的值代入预测模型中， 求得的Yc值，即为预测值。
８．2
一元线性回归预测法
• 一元线性回归预测 法概念 • 预测的步骤 • 应用举例
8．2．1一元线性回归预测法概念 一元线性回归预测法是分析一个因 变量与一个自变量之间的线性关系的预 测方法。一元线性回归预测法是回归预 测中最基本、最简单的预测方法，也是 掌握其它回归预测方法的基础。
8．2．2预测的步骤
8.3 多元线性回归预测法
• 多元线性回归预测法的概念 • 二元线性回归预测法 • 应用举例
8.3.1多元线性回归预测法的概念
多元线性回归预测法是分析一个因变量与多个自 变量之间线性关系的预测方法。 多元线性回归预测法是利用回归预测的基 本原理，通过模型将预测对象与影响因素之间 的变化规律表示出来，进行预测。这里我们只 讨论最简单、最有代表性的二元线性回归预测 法，多元线性回归预测法与二元线性回归预测 法的原理完全相同。
8．1．3 相关分析的方法
1. 绘制相关图 将收集到的大量的数据资 料以散点的形式在坐标平面上 反映出来，形成散点图，就称 为相关图。相关图可以直观形 象地反映事物之间是否具有相 关关系及相关关系的类型，并 能粗略地反映事物之间相关程 度。
70 60 50 销 40 售 额 30 20 10 0 0 2 广告费 4 6
2. 相关系数 相关系数是表明两个或两个以上变量之间相关关系密切程 度的指标。其计算公式为：
１．
,
ห้องสมุดไป่ตู้r=
r=
• r代表相关系数，其取值范围是：│r│≤1。 当│r│=1时，表明x与y完全相关，即存在着函数关系。 • 当0＜│r│＜1时，表明x与Y之间存在着一定的相关关 系。│r│数值愈大，愈接近于1，表明x与Y之间相关 程度愈高；反之，│r│数值愈小，愈接近于0，表明x 与Y之间相关程度愈低。一般认为，当0.6＜│r│＜1 时，x与Y之间高度相关；当0.3＜│r│＜0.6时，x与Y 之间中度相关；当│r│＜0.3时，x与Y之间低度相关。 • 当│r│=0时，表明x与y无相关。 • 另外，r值为正数时，表明x与y为正相关，r值为负数 时，表明x与y为负相关。
所谓拟和优度检验，就是通过计算判定系数R，来检验模 型优劣的一种方法。
R=
R的取值范围为：0≤R≤1，当R的值越接近0，表明模型的 拟和度越差；当R的值越接近1，表明模型的拟和度越好； 当R=1时，说明所有的数据均落在直线Yc=a+bx上，即两 现象为完全相关。
（4）利用回归模型进行预测。利用检验通过的模型进 行预测，通常的方法有两种，一种是点预测，另一种 是区间预测。 所谓的点预测，就是将自变量的值代入回归预测模型， 求出因变量的预测值。 所谓的区间预测，就是在点预测的基础上，确定一个预 测值的最可能变化范围，我们通常也称其为置信区间 预测。 置信区间的计算公式为：（Yc －tSy ，Yc＋tSy） 式中：Yc为因变量的估计值，Sy表示回归标准差，t为 概率度，它的大小取决于可靠程度F（t）的大小。 8.2.3应用举例
解方程组，可以求出a和b的计算公式为：
（3）对回归预测模型进行检验。回归预测模型进行检验的常用方 法有回归标准差检验、拟合优度检验。 所谓回归标准差，就是在回归分析中，因变量的实际值Y与估计值 Yc离差平方平均数的算术平方根，其计算公式为：
SY=
式中，Sy表示回归标准差，Y是因变量实际值，Yc是根据回归方程 推算出来的因变量的估计值，分母n-m称为回归估计自由度，m为模 型参数的个数。 Sy大小可以衡量模型对实际数据的拟和程度。Sy越接近于0，说明 模型估计值与实际值的偏差越小，模型拟和程度越好；相反，Sy越 大，说明模型估计值与实际值的偏差越大，模型拟和程度越差。但 由于受计算单位和数据本身大小的影响，Sy缺乏可比性，因此，在 实际中常用回归标准差系数（ ）来判断模型拟和的程度，一般 认为回归标准差系数小于15%时，模型的拟和程度良好。
8．1．1 相关关系的概念 通过对大量的社会经济现象的研究发现， 现象之间存在着两类关系，一种是函数关系， 一种是相关关系。函数关系是指现象之间存在 着严格的依存关系，对于某一个变量的每一个 数值，都有另一个变量的确定的值与之相对应， 并且两者的关系可以用一定的数学表达式表达， 即y=f（x）。这里x为自变量，y为因变量。而 相关关系是指现象之间存在着一定的依存关系， 但不是严格的依存关系。在相关关系中，某一 个变量的每一个数值，都可能有另一个变量的 若干个值与之相对应，所以，相关关系是一种 不完全的依存关系。
再利用a=ea/，b=eb/，就可求
出a，b的值。
4. 幂函数曲线回归模型
幂函数曲线回归模型的数学表达式为： Y=aXb 对上式两端取对数得：㏑Y=㏑a+b㏑X 设Y/=㏑Y，a/=㏑a，b/=b，X /=㏑X，则幂函数 曲线回归模型转化为单元线性回归预测模型： Y/=a/+b/X/ 求解过程与指数曲线回归 模型求解类似。
８．4非线性回归预测法
• 非线性回归预测法的概念 • 非线性回归预测法的步骤 • 应用举例
8.4.1非线性回归预测法的概念
非线性回归预测法是分析因变量与自变量之 间非线性关系的预测方法。 非线性回归预测法按照自变量的个数，可 分为单元非线性回归预测法和多元非线性回归 预测法。按照自变量与因变量变化的趋势类型， 可分为多项式回归模型、对数曲线回归模型、 指数曲线回归模型、幂函数曲线回归模型、三 角函数曲线回归模型、双曲线回归模型。
8．1．2 相关关系的类型
相关关系从不同的角度，有多种划分方法。 (1)按照相关关系的方向，可以把相关关系分为正 相关和负相关。 (2)按照相关关系的程度，可以把相关关系分为完 全相关、高度相关、中度相关、低度相关。 (3)按照相关关系的表现形式，可以把相关关系分 为线性相关和非线性相关。 (4)按照相关关系涉及的因素多少，可以 把相关关系分为单相关和复相关。
5. 三角函数曲线回归模型 三角函数曲线回归模型的数学表达式为： Y=a+bsinX ， 或 Y=a+bcosX， 或 Y=a+btgX，或Y=a+bctgX 设Y/=Y，X/=sinX，或X/=cosX，或 X/=tgX， 或 X/=ctgX,则三角函数曲线回归模型可 转化为单元线性回归预测模型： Y/=a+bX/ 利用原始数据先求出Y/，X/，再利用单元 线性回归预测法就可求出a，b的值。
6.双曲线回归模型 双曲线回归模型的数学表达式为： Y=a+b/X,或1/Y=a+b/X 设Y/=Y或1/Y，X/=1/X，则双曲线回归模型 可转化为单元线性回归预测模型： Y/=a+bX/ 利用原始数据先求出Y/，X/，再利用单元 线性回归预测法就可求出a，b的值。
多 项 式 回 归 模 型 的 数 学 表 达 式 为 ： Y=a+b1X+b2X2+，… ，+bnXn 在多项式回归模型中，设X1=X，X2=X2，… ， Xn=Xn，则上式多项式回归模型就转化为多元 线性回归预测模型： Y=a+b1X1+b2X2+，… ，+bnXn 利用多元线性回归预测法就可求出a，b1， b2，… ，bn的值。
1．回归预测的一般步骤 第一步：确定预测目标。 第二步：寻找影响因素。 第三步：收集整理历史和现实资料。 第四步：进行相关分析。 第五步：建立回归模型。 第六步：求解模型参数 第七步：对回归预测模型进行检验。 第八步：利用回归模型进行预测
2.一元线性回归预测法的步骤 （1）进行相关分析。 （2）建立回归模型。 Yc=a+bX 式中：Yc为因变量，表示Y的估计值，x为自变量，a、b为回归模 型的参数。根据最小二乘法原理，可得：