《高等数学》第6章常微分方程

x2 4 y = − + 2 4 x
想一想
一电机开动后 , 每分钟温度升高 10 o C,同时将按冷却定律不断 发散 热量.设电机安置在 15 o C恒温的房子里 , 求电机温度 θ与时间 t的函 数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
− P ( x ) dx − P ( x ) dx 两边求导 , 得 y ′ = C ′( x )e ∫ .将 y 与 y ′代 − C ( x )P ( x ) e ∫
入原方程 , 得 C ′( x ) = Q ( x )e ∫ C ( x ) = C + ∫ Q ( x )e ∫
P ( x ) dx
6.2.2 一阶线性微分方程
dy 形如 + P ( x ) y = Q ( x )的方程称为 一阶线性微分方程 . dx dy 当 Q ( x ) = 0时 , 方程变为 + P ( x ) y = 0, 称为 一阶线性 dx 齐次微分方程 .
求方程 dy + P( x) y = 0的通解分为两步： dx dy (1) 分离变量： = − P( x)dx； y
第6章
常微分方程
知识目标
了解二阶微分方程解的结构； 了解二阶微分方程解的结构； 理解微分方程、 通解、 理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各 特解等概念； 特解等概念； 掌握可分离变量方程的解法； 掌握可分离变量方程的解法； 掌握一阶线性微分方程的解法； 掌握一阶线性微分方程的解法； 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性 微分方程的解法. 微分方程的解法.
6.1.1 实例分析
想一想： 想一想：
已知曲线上各点的切线斜率等于该点横坐标的二倍, 且过 点(0,1), 求曲线方程.
解析： 解析：
已知曲线上各点的切线 斜率等于该点横坐标的 二倍,且过 , 设所求曲线方程为 y = f ( x), M ( x, y )为曲线上任意一点, 则 依题意有 dy = 2 x.两端对x积分, 得y = ∫ 2 xdx,即y = x 2 + c dx (c为任意常数).又因曲线通过点(0,1)(或写成条件y |x=0 = 1, 也 y = x2 + 1 .
1. 判断下列各方程的阶数 ： (1) y′′ + 2 y′ − y = 2 x (2 ) 3 xdy − 2 xdx = 0
2. 验证 y = C1e x + C 2 e 2 x 是微分方程 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 0的通解 , 求满足
y′′ − 3 y′ + 2 y = C1e x + 4C2e 2 x − 3 C1e x + 2C2e 2 x + 2 C1e x + C2e 2 x = 0 同时, C1 , C2为任意常数 故y = C1e x + C2e 2 x是微分方程的通解 , . C1 + C2 = 0 C1 = −1 将条件代入通解中得 , ⇒ . C1 + 2C2 = 1 C2 = 1 故所求特解为： = −e x + e 2 x . y
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解 微分方程的解. 微分方程的解
例 函数y = x 2 + c和y = x 2都是微分方程的解.
微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意 常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微 微 分方程的通解. 分方程的通解 2
d S 例 函数S = −0.4t + c1t + c2是微分方程 2 = −0.8的通解. dt 注 形如y ( n ) = f ( x )的微分方程,只要通过逐次积分(n次),
2
便可得到它的通解.
初始条件
确定微分方程通解中的任意常数值的条件称为初始条件 初始条件. 初始条件
d 2S 例 S (0) = 0, S ′(0) = 40就是微分方程 2 = −0.8的初始条件. dt
6.1.2 微分方程的基本概念
微分方程
含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程 微分方程.未 微分方程 知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 常微分方程；未知函 常微分方程 数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 偏微分方程. 偏微分方程
dy d 2S = 2 x, 2 = −0.8都是常微分方程. 例 dx dt
能力目标
通过微分方程的学习，进一步培养学生独 通过微分方程的学习， 立自主的思考能力，明辨是非的判断能力. 立自主的思考能力，明辨是非的判断能力.
德育目标
培养学生小心求证， 培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 学生小心求证 合能力. 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
(
) (
) (
)
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 1 是绿地的 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与 10 时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
(1)
分离变量：化原方程为
dy = f ( x)dx的形式； g ( y)
dy (2) 两边积分： ∫ g ( y) = ∫ f ( x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例
题
dy dy = 2 xdx , 两边积分得 ∫ = ∫ 2 xdx ⇒ ln y = x 2 + C1 . y y
2
1. 求微分方程
2
y = C ( x + 1) .用常数变易法 , 令 y = C ( x )( x + 1) 是原方程的通解 ,
2 2
[
]
1 2 2 4 2 1 y = ( x + 1) + C ( x + 1) = ( x + 1) + C ( x + 1) (C 为任意常数 ). 2 2
2 y = − x 满足条件 y (2 ) = 0的特解 . x dy 2 2 先解方程 y ′ + y = 0 ⇒ = − dx , 两边积分得 y = Cx − 2 . 解： x y x C ′( x )x 2 + 2 xC ( x ) −2 令 y = C ( x )x 是原方程的通解 , 则 y ′ = . 4 x C ′( x )x 2 + 2 xC ( x ) 2 C ( x ) 将 y 与 y ′代入原方程 , 得 + = −x 4 2 x x x 1 ′( x ) = − x 3 , 两边积分得 : C ( x ) = − x 4 + C .因此原方程通解为 : ⇒C 4 x2 C 1 4 1 y = − x + C 2 = − + 2 (C 为任意常数 ). 4 x 4 x 将初始条件 y ( 2 ) = 0 代入通解中 , 得 C = 4, 故所求特解为： 2. 求微分方程 y ′ +
微分方程的阶
在一个微分方程中,未知函数导数的最高阶数称为微分 微分 方程的阶. 方程的阶
dy d 2S = 2 x是一阶微分方程 , 2 = −0.8都是二阶微分方程. 例 dx dt 注 通常n阶微分方程的一般形式为：F ( x, y, y′, y′′,L, y ( n ) ) = 0.
微分方程的解
微分方程的特解
微分方程的不包含任意常数的解称为微分方程的特解 微分方程的特解. 微分方程的特解
例 函数y = x 2是微分ຫໍສະໝຸດ Baidu程y′ = 2 x的特解.
例
题
(3)
y (4 ) + y 2 = 3 y
解：1) 二阶微分方程 (2) 一阶微分方程 (3) 四阶微分方程 (
初始条件 y (0 ) = 0, y ′(0 ) = 1的特解 . 解： ′ = C1e x + 2C2e2 x , y′′ = C1e x + 4C2e2 x , 代入微分方程得： y
P ( x ) dx
, 两边积分得：
dx .因此原方程通解为：
− P ( x ) dx P ( x ) dx y=e ∫ C + ∫ Q ( x )e ∫ dx ( C 为任意常数 ).
例
题
2 3 y = ( x + 1) 的通解 . x +1 解：先解方程 y ′ − 2 y = 0, 分离变量 , 得 dy = 2 dx , 两边积分 , 得 x +1 y x +1 1. 求微分方程 y′ −
6.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方 程的一般形式为 y′′ + py′ + qy = f ( x) ) １ ( 其中p、q是常数, f ( x)是已知函数. 当f ( x) = 0时, 方程 y′′ + py′ + qy = 0 ) (2 称为二阶常系数齐次线性微 分方程 ； 当f ( x) ≠ 0时, 方程称为二阶常系数非齐次线性 微分方程. y 设函数y1与y2是方程(2)的两个线性无关的特解,即 1 不是常 y2
则 y ′ = C ′( x )( x + 1) + 2 ( x + 1)C ( x ).将 y 与 y ′代入原方程 , 得 2 2 3 ′( x )( x + 1)2 + 2 ( x + 1)C ( x ) − C C ( x )( x + 1) = ( x + 1) , x +1 1 2 ⇒ C ′( x ) = x + 1, 两边积分得 : C ( x ) = ( x + 1) + C .因此原方程通 2 解为 :
了解可分离变量的微分方程的概 念，掌握求解的步骤；了解一阶 齐次线性微分方程和非齐次线性 微分方程的概念；掌握求解一阶 线性方程的基本步骤，并能够灵 活运用.
6.2.1 可分离变量的微分方程
dy 形如 = f ( x) g ( y )的一阶微分方程称为可分离变量的微分 dx 方程.
这类方程的求解一般分为两步：
可写成y (0) = 1), 将其代入到上式得 c = 0, 于是所求曲线方程 为:
想一想： 想一想：一辆汽车以 40 m / s的速度在直道上行驶 , 制动后汽车的加
速度为 − 80m / s 2 , 求开始制动后汽车继续 向前行驶的路程
解析： 解析：
S关于时间 t的函数.
d 2S 由题意知, 制动阶段汽车运动规律 函数S = S (t )应满足 2 = −0.8, dt dS 且满足条件 : t = 0时S = 0, v = = 40(或写成 S (0) = 0, S ′(0) = 40). dt d 2S dS 将 2 = −0.8两端对 x积分, 得v = = −0.8t + c1.再积分一次 , 得 dt dt S = −0.4t 2 + c1t + c2 (其中c1 , c2都是任意常数 ).将所满足的条件代入 上式, 得 : c1 = 40, c2 = 0.于是, 路程S关于时间 t的函数为 : S = −0.4t 2 + 40t.
dy = 2 xy的通解 . dx
2
解：分离变量为
所以 y = ± e x
+ C1
= Ce x (由于 y = 0也是解 , 故 C为任意常数 ).
2. 求微分方程 y ′ = e 2 x − y 满足条件 y (0 ) = 0的特解.
解：
分离变量为 e y dy = e 2 x dx , 两边积分得 ∫ e y dy = ∫ e 2 x dx ⇒ 1 1 e y dy = ∫ e 2 x d (2 x ) ⇒e y = e 2 x + C (C为任意常数 ). ∫ 2 2 1 将初始条件 y (0) = 0代入通解中 , 得C = , 故所求特解为： 2 1 1 e y = e2 x + . 2 2
(2)
两边积分, 得通解y = Ce ∫
− P ( x ) dx
(C为任意常数).
6.2.2 一阶线性微分方程
当 Q ( x ) ≠ 0 时 , 称方程 非齐次微分方程
求方程
dy + P ( x ) y = Q ( x ) 为 一阶线性 dx
.
dy + P ( x ) y = Q ( x )的通解分为两步： dx (1) 分离变量 , 先解方程 dy + P ( x ) y = 0 , 得通解 y = Ce − ∫ P ( x ) dx； dx − P ( x ) dx (2 ) 用常数变易法 , 令 y = C (x )e ∫ 是原方程的通解 , 对通解