早期量子论习题

−10
m0c
2
h
λ
h
e
λ0
e0
ϕ
p = mv
由能量守恒： hc hc hc ∆E = hυ0 − hυ = − = (λ − λ0 ) λ0 λ λ0λ
.6×10 J = 6.7×10 eV =10
3 −19
（3）反冲动量 由动量守恒（图示） h = p cosθ
h
λ 1 2 2 2 λ0 + λ p h 2 = λ ⋅λ
4π r2M(T ) = 4π R2 I0
R2 I0 ∴M(T) = 2 r
由 M(T) = σT 4
故太阳表面温度为
R2 得 T 4 = 2 I0 σ r
T=4
R2 I0 = 5.76×103 (K) σ r2
例2. 以钠作为光电管阴极，把它与电源的正极相连，而把光电管阳极 以钠作为光电管阴极，把它与电源的正极相连，
c
U0
ν2 −ν1
2
− U0 1
ν2 =
c
λ2
= 9.62×10 (Hz), ν1 =
14
λ1
= 6.91×1014 (Hz)
∴h = 6.61×10−34 (J ⋅ s)
波长为λ的单色光照射某金属M表面发生光电效应 表面发生光电效应， 例3. 波长为λ的单色光照射某金属 表面发生光电效应，发射的光电子 (电量绝对值为 ，质量为 经狭缝 后垂直进入磁感应强度为 B的均匀磁 电量绝对值为e， 经狭缝S后垂直进入磁感应强度为 电量绝对值为 质量为m)经狭缝 如图示)， 中作圆运动的最大半径为R。 场(如图示 ，今已测出电子在该磁场 中作圆运动的最大半径为 。 如图示 金属材料的逸出功； 求：(1)金属材料的逸出功； 金属材料的逸出功 (2)截止电势差。 截止电势差。 截止电势差 2
h λc = 解：（1） 粒子的康普顿波长 mc 0 h 粒子的德布罗意波长 λD = p
由相对论粒子能量和动量的关系
2 E2 = c2 p2 + E0
∴p =
1 c
2 E2 − E0
代 λD中 λD = 入 ：
hc
2 E2 − E0
λc = λD
2 E2 − E0
mc 0
2
=
2 E2 − E0
E
2
h = psin θ
λ0
λ
h
e
λ0
e0
ϕ
p = mv
−1
4.4×10 kg⋅ m⋅ s = ° cosϕ = 0.752 ϕ = 4112′
−2
例1 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量 Io 称
为太阳常量， 太阳、 为太阳常量，实验测得其值为 Io =1.35 kW/m2 。太阳、地球之 间的平均距离为R 间的平均距离为 =6.960×108m，太阳半径为 =1.496×1011m. × ，太阳半径为r × 试把太阳近似当作黑体，由太阳常数估计太阳表面的温度。 试把太阳近似当作黑体，由太阳常数估计太阳表面的温度。 解: 太阳辐射能
2
电子的动能等于碰撞前光子的能量减去碰撞后光子的能量 λ − λ0 hc hc 2 2 Ek = mc − m0c = h 0 − h = − = hc ν ν 由相对论质量关系， 由相对论质量关系，可得
m0c2m0c2 = hc
λ − λ0 λλ0
λ − λ0 h λ − λ0 ∴ =1+ ( )⋅ =1+ λc =1+ 4.335×10−5 λλ0 m0c λλ0 1−v2 c2
解：
由光电效应方程
最大初动能
1 2 E0 = mum = e U0 2
1 2 h = mum + A ν 2
∴e U0 = h − A ν
即截止电压与光波频率呈线性关系
d U0 h = , 斜 率 dν e ∴普 克 数 h = 朗 常 d U0 dν ⋅e
根据线性关系， 根据线性关系，可写成
h = e⋅
三.康普顿效应
物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞 物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞
能量守恒： 能量守恒 动量守恒： 动量守恒：
h 0 + m0c2 = h + mc2 ν ν
h0 ν h ν n0 = n + mv c c Ek = mc2 − m0c2 = h 0 − h ν ν
2 0
=
E 2 ( ) −1 E0
两波长相等时， （2） 两波长相等时，即 有 此时动能为
λc = λD
E 2 ( ) −1 =1 得 = 2E0 , E E0
Ek = E − E0 = ( 2 −1 E0 )
试结合以下具体例子， 用不确定关系说明： 例 8. 试结合以下具体例子 ， 用不确定关系说明 ： 在原子中电 子轨道运动的概念完全没有意义，而在α 子轨道运动的概念完全没有意义，而在α粒子散射实验中粒子 的轨道还是有意义的，可以近似把它们当作经典粒子来处理。 的轨道还是有意义的，可以近似把它们当作经典粒子来处理。 原子的尺度10 原子中电子的动能10eV; 10eV （1）原子的尺度10-10 m，原子中电子的动能10eV; 带电粒子在威尔逊云室中的轨迹是一串小雾滴， （2）带电粒子在威尔逊云室中的轨迹是一串小雾滴，雾滴的 线度约有1 1000eV eV. 线度约有1μm, 所观测的粒子的动能为 1000eV.
1.玻尔的量子理论 1.玻尔的量子理论
1）定态假设 2）跃迁条件
h = En − Em ν
3）轨道角动量量子化假设
2.玻尔的氢原子理论结果 2.玻尔的氢原子理论结果
h L = rmv = nℏ = n 2π
−11
rn = n a
2
a = 5.29×10
玻尔半径
1 En = 2 E1 n
me4 E = − 2 2 2 = −13.6 eV 1 8ε0 h n
六.不确定性关系
粒子位置和动量之间的不确定关系 粒子位置和动量之间的不确定关系
ℏ ∆x ⋅∆px ≥ 2
物理意义: 微观粒子位置和动量不可能同时精确测定 位置和动量不可能同时 物理意义: (1) 微观粒子位置和动量不可能同时精确测定 (2) 微观粒子不可能静止 (3) 给出了宏观物理与微观物理的分界线 h 给出了宏观物理与微观物理的分界线─ 本质：反映了微观粒子的运动必须用量子力学方法来处理。 本质：反映了微观粒子的运动必须用量子力学方法来处理。 描述微观粒子的运动状态必须用波函数。 描述微观粒子的运动状态必须用波函数。 波函数 粒子能量和时间之间的不确定关系 粒子能量和时间之间的不确定关系
教学要求
一. 黑体辐射 普朗克的能量子假说
黑体：在任何温度下， 黑体：在任何温度下，对一切外来的电磁辐射的吸 收比都等于1 的物体。 收比都等于1 的物体。 单色辐出度：单位时间内从热力学温度为T的物体单 单色辐出度：单位时间内从热力学温度为T的物体单 内从热力学温度为 位表面积发出的波长在 发出的波长在λ 位表面积发出的波长在λ附近单位波长范围内的 电磁波的能量， 表示。 电磁波的能量，用Mλ(T)表示。 表示 辐出度：单位时间内从热力学温度为 的物体单位 内从热力学温度为T 辐出度：单位时间内从热力学温度为T的物体单位 表面辐射的各波长电磁波的能量总和 辐射的各波长电磁波的能量总和。 表面辐射的各波长电磁波的能量总和。
B
1 2 eBR ∴ mvm = 2 2m 2m
2
例4. 一个波长
λ = 0.5nm 的光子与原子中电子碰撞，碰撞后 的光子与原子中电子碰撞，
角方向反射， 光子以与入射方向成 150o 角方向反射，求碰撞后光子的波长 与电子的速率。 与电子的速率。 2θ 解：由康普顿散射 λ − λ0 = 2λc sin 2 o 2θ λ = λ0 + 2λc sin = 5.045A 碰撞后光子的波长为
1
解得
v2 1− 2 = 0.9999, v = 2.8×106 (m⋅ s−1) c
原则上讲，波尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子， 例5. 原则上讲，波尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子，太阳相 当于核，而万有引力相当于库仑力。 当于核，而万有引力相当于库仑力。 （1） 求地球绕太阳运动的允许半径公式； ） 求地球绕太阳运动的允许半径公式； 多大？ （2） 地球运行实际半径为 1.50×1011m, 与此半径对应的量子数 n 多大？ ） × （3） 地球实际轨道和它的下一个较大可能半径差值多大？ ） 地球实际轨道和它的下一个较大可能半径差值多大？ （ ME=5.98×1024 kg, Ms=1.99×1030 kg, G=6.67×10-11Nm2kg-2) × × ×
R 为地球绕太阳运动的允许半径公式。 为地球绕太阳运动的允许半径公式。
（2）地球实际运动半径为 Rn，则相应的量子数为
ME n= ℏ
（3） 值为
RnGMs = 2.53×1074
地球实际轨道和它的下一个较大可能轨道半径差
ℏ2 ℏ2 ∆R = (n +1)2 − n2 ≈ 2n =1.19×10−63 (m) GM M GME Ms E s
成功之处：定态能级， 成功之处：定态能级，能级跃迁决定辐射频率 不足之处：仍然使用“轨道” 不足之处：仍然使用“轨道”这一经典概念
五.德布罗意物质波假设
1. 德布罗意假设
E =h ν
戴维逊——革末实验 革末实验 戴维逊 电子多缝干涉实验
实物粒子的波粒二象性 h P=
2. 德布罗意物质波的实验验证
λ
G.P.汤姆逊电子衍射实验 汤姆逊电子衍射实验
指它与物质相互作用的“颗粒性” a.粒子性 指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体 .
性”。 但不是经典的粒子！在空间以概率出现。没有 但不是经典的粒子！在空间以概率出现。 确定的轨道 确定的轨道