第十三章早期量子论和量子力学基础2
量子力学的基本原理
1.简介量子力学的历史和发展量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为和相互作用。
以下是量子力学历史和发展的简介：•早期量子理论的兴起：在20世纪初，科学家们通过研究辐射现象和黑体辐射问题，开始怀疑经典物理学的适用性。
麦克斯∙普朗克的量子假设和爱因斯坦的光电效应理论为量子理论的发展奠定了基础。
•波粒二象性的提出：在这个阶段，德国物理学家路易斯∙德布罗意提出了物质粒子（如电子）也具有波动性的假设，即波粒二象性。
这一假设通过实验证明，如电子衍射实验，为量子力学奠定了基础。
•薛定谔方程的建立：奥地利物理学家埃尔温∙薛定谔于1926年提出了著名的薛定谔方程，用于描述微观粒子的运动和行为。
这个方程成功地解释了氢原子的能级和谱线，奠定了量子力学的数学基础。
•不确定性原理的发现：德国物理学家瓦尔特∙海森堡于1927年提出了著名的不确定性原理，指出在测量过程中，无法同时准确确定粒子的位置和动量。
这一原理挑战了经典物理学的确定性观念，成为量子力学的核心概念之一。
•量子力学的完备性和广泛应用：随着时间的推移，量子力学逐渐发展成为一个完善的理论体系，并在许多领域得到广泛应用。
它解释了原子和分子的结构、核物理现象、固体物理、粒子物理学等多个领域的现象，并为现代科技的发展提供了基础。
量子力学的历史和发展是科学进步的重要里程碑，对我们理解微观世界的行为和深入探索宇宙的奥秘具有重要意义。
2.波粒二象性和不确定性原理的解释在量子力学中，波粒二象性和不确定性原理是两个核心概念，对我们理解微观世界的行为提出了挑战，下面是它们的解释：•波粒二象性：根据波粒二象性的理论，微观粒子（如电子、光子等）既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波的特性。
这意味着微观粒子既可以像粒子一样具有局部位置和动量，也可以像波一样展现出干涉和衍射的现象。
这种波粒二象性的解释可以通过德布罗意的波动假设来理解。
根据德布罗意的假设，微观粒子具有与其动量相对应的波长，这与光波的性质相似。
高三物理学史《早期量子论和量子力学的准备》课件
1）辐射出射度 (辐出度) --- M
2) 单色辐射出射度（单色辐出度） （光谱辐射出射度） M
dM
M d
单位：W/(m2.Hz)
式中 dM 是频率在 ν ν +dν 范围内单位时间从物体表面单位
2. 光子与石墨中和原子核束缚很紧的内层电子 的碰撞，应看做是光子和整个原子的碰撞。
∵ m原子 m光子
∴ 弹性碰撞中，入射光子几乎不损失能量， 这时散射光子波长不变。
物理意义
光子假设的正确性，狭义相对论力学的正确性 . 微观粒子也遵守能量守恒和动量守恒定律.
29
氢原子光谱 玻尔的氢原子理论
一、氢原子光谱规律
4861.3Å 蓝
4340.5Å 紫
氢原子光谱经验规律（1885~1908年）
巴尔末公式
B
n2 n2
4
(n 3, 4,5, )
里德堡 波数 1 R( 1 1 )
22 n2
式中R：里德堡常数 R 4 1.096776107 m1 B
32
氢光谱的其他线系:
33
能量 h
质量 动量
E
P
mc2
mc
m
h
h
c2
光具有波粒二象性
一些情况下 突出显示波动性，如光的干涉和衍射
一些情况下 突出显示粒子性，如光电效应等
基本关系式 粒子性：能量 波动性：波长
动量P 频率
h
p h
22
四、光电效应的应用
量子力学基础
量子力学基础量子力学是20世纪物理学的一大突破，它不仅揭示了微观世界的奇妙现象，还对我们对世界的认知方式产生了颠覆性的影响。
在这篇文章中，我们将探讨量子力学的基本概念、原理和应用，并探讨一些关于量子力学的哲学和思考。
量子力学最早的基础可以追溯到1900年，当时德国物理学家马克斯·普朗克提出了能量的量子化概念。
他发现，能量不是连续的，而是以分立的单位存在，即能量量子。
这个想法颠覆了经典物理学中连续和无限的观念，揭示了微观世界的离散性质。
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦进一步推动了量子力学的发展，他提出了光的粒子性。
根据他的理论，光被看作是由一系列离散的粒子组成的，这些粒子被称为光子。
这个概念对光的行为做出了解释，也为后来量子力学的发展奠定了基础。
量子力学的核心是波粒二象性。
根据量子力学，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这就是说，微观粒子既可以像粒子一样独立存在，也可以像波一样传播和干涉。
这种双重性质在经典物理学中是难以理解的，但在量子力学中却是普遍存在的。
著名的双缝干涉实验就是一个很好的例子。
在这个实验中，一束光通过两个狭缝后形成干涉图案。
如果光被看作是粒子，那么预期结果应该是两个狭缝后出现两个亮斑。
然而，实验结果却展示出了干涉条纹。
只有将光看作是波动性的才能解释这个结果。
这种波粒二象性的存在挑战了我们对物质的传统认知，并使量子力学成为一门充满挑战的科学。
量子力学还有一个重要的概念是不确定性原理，由奥地利物理学家维尔纳·海森堡提出。
不确定性原理认为，我们无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
如果我们尝试使用更准确的测量工具来测量粒子的位置，那么对粒子动量的测量就会变得不确定，反之亦然。
这种无法完全确定一个粒子状态的现象被称为测不准原理。
量子力学的发展产生了许多令人惊叹的应用。
其中最著名的是量子计算和量子通信。
量子计算利用了量子叠加和纠缠的特性，在某些问题上可以迅速解决，远远超过了传统计算机的能力。
(完整版)南华物理练习第13章答案
第十三章 早期量子论和量子力学基础练 习 一一. 选择题1. 内壁为黑色的空腔开一小孔，这小孔可视为绝对黑体，是因为它（ B ） (A) 吸收了辐射在它上面的全部可见光； (B) 吸收了辐射在它上面的全部能量； (C) 不辐射能量； (D) 只吸收不辐射能量。
2. 一绝对黑体在温度T 1 = 1450K 时，辐射峰值所对应的波长为λ1，当温度降为725K 时，辐射峰值所对应的波长为λ2，则λ1/λ2为（ D ） (A)2； (B) 2/1； (C) 2 ； (D) 1/2 。
3. 一般认为光子有以下性质（ A ）(1) 不论在真空中或介质中的光速都是c ；(2) 它的静止质量为零；(3) 它的动量为h ν/c 2； (4) 它的动能就是它的总能量；(5) 它有动量和能量，但没有质量。
以上结论正确的是 （ A ）(A) （2）（4）； (B) （3）（4）（5）； (C) （2）（4）（5）； (D) （1）（2）（3）。
4. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0（使电子从金属逸出需做功eU 0），则此单色光的波长λ必须满足：（A ） (A) 0hc eU λ≤； (B) 0hc eU λ≥； (C) 0eU hc λ≤； (D) 0eU hcλ≥。
二. 填空题1. 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 1.416×103K 。
2. 设太阳表面的温度为5800K ，直径为13.9×108m ，如果认为太阳的辐射是常数，表面积保持不变，则太阳在一年内辐射的能量为 1.228×1034 J ，太阳在一年内由于辐射而损失的质量为1.3647×1017 kg 。
3. 汞的红限频率为1.09×1015Hz ，现用λ=2000Å的单色光照射，汞放出光电子的最大初速度0v =57.7310 m/s ⨯ ，截止电压U a = 1.7V 。
程守洙《普通物理学》(第6版)(下册)-第13章 早期量子论和量子力学基础-复习笔记【圣才出品】
第13章 早期量子论和量子力学基础13.1 复习笔记一、热辐射 普朗克的能量子假设1．热辐射现象任何固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射，物体向四周所发射的能量称为辐射能．2．基尔霍夫辐射定律（1）辐射相关的物理量单色辐出度M辐出度M （T ）单色吸收比和单色反射比（2）黑体黑体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1．（3）基尔霍夫提出的重要定律在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比的比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度，即式中，表示黑体的单色辐出度，基尔霍夫定律表明，吸收能力强的物体辐射能力也较强．3．黑体辐射实验定律（1）斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体的总辐出度随温度的升高而增大，且满足式中，为斯特藩常量，数值上等于．σ（2）维恩位移定律：黑体单色辐出度的峰值波长与温度成反比，即bT =m λ式中，b 是维恩常量，数值上等于．4．普朗克的能量子假设（1）普朗克能量子假设：辐射黑体分子、原子的振动可以看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能．但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不像经典物理所允许的具有任意值．相应的能量是某一最小能量的整数倍ε，其中n 为正整数，称为量子数．这个假设称为普朗克能量子假设．对于频率为v 的谐振子，最小能量为ε＝hv （h 为普朗克常量）（2）普朗克公式式中，c 是光速，k 是玻耳兹曼常量，h 是普朗克常量，h ＝6.6260693（11）×10－34 J·s.二、光电效应 爱因斯坦的光子理论1．光电效应的实验规律（1）实验原理图13-1-1 光电效应实验图如图13-1-1所示，K 为光阴极，A 为阳极，在光照射下阴极可能释放电子，称为光电子．在两极间加上电势差U ，U 不同则形成不同大小的电流由电流计读出，称为光电流．光电流为0时外加电势差的绝对值称为遏止电势差．（2）实验规律①饱和电流单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比．②遏止电势差光电子从金属板逸出时具有一定动能，最大初动能等于电子的电荷量和遏止电势差的乘积，与入射光的强度无关．③遏止频率（红限）光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系．当入射光频率小于时，不会产生光电效应．0 ④弛豫时间从入射光开始照射直到金属释放出电子，无论光多微弱，几乎都是瞬时的，弛豫时间不超过．910s 图13-1-2 光电效应的伏安特性曲线图13-1-3遏止电势差与频率的关系2．光的波动说的缺陷按照光的经典电磁理论，金属在光的照射下，金属中的电子将从入射光中吸收能量，从而逸出金属表面．逸出时的初动能应决定于光振动的振幅，即决定于光的强度．因而按照光的经典电磁理论，光电子的初动能应随入射光的强度而增加．但实验结果是，任何金属所释出的光电子的最大初动能都随入射光的频率线性地上升，而与入射光的强度无关．3．爱因斯坦的光子理论把光当成以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子，每一个光子的能量为光电效应解释如下：当金属中一个自由电子从入射光中吸收一个光子后，可获得能量．如果此能量大于金属表面逸出功A ，这个电子逸出，否则不逸出，与光强无关．光强只决定光子数的多少，决定光电流的大小．根据能量守恒定律，可以得到爱因斯坦光电效应方程式中，是入射光的频率，m 和分别是出射光电子的质量和速度．νmv 4．光的波粒二象性光子的动质量m φ可由相对论的质-能关系式得到m φ的量值应是有限的，视光子的能量而定，而光子的静质量m φ0＝0．光子的动量为动量和能量是描述粒子性的，而频率和波长则是描述波动性的．光的这种双重性质称为光的波粒二象性.三、康普顿效应1．康普顿效应在散射光中，除有与入射线波长相同的射线外，同时还有波长的射线．这种0λ0λλ>改变波长的散射称为康普顿效应．实验结果表明：（1）波长的偏移Δλ＝λ－λ0随散射角φ（散射线与入射线之间的夹角）而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线强度减小，而新波长的谱线强度增大；（2）在同一散射角下，对于所有散射物质，波长的偏移Δλ都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小．2．光子理论的解释将光子当作能量为、动量为的粒子，与电子发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒（电子动能应考虑狭义相对论修正），得到康普顿公式式中，称为康普顿波长．四、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论1．氢原子光谱的规律性氢原子发光频率满足以下里德伯方程式中，是波数，k ＝1,2,3,…，n ＝k ＋1,k ＋2,k ＋3,…，R 是里德伯常量，其大小为ν%2．玻尔的氢原子理论玻尔理论的基本假设：（1）定态假设：原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状态电子不辐射也不吸收电磁波．（2）频率条件：当原子从一个能量为的定态跃迁到另一个能量为的定态时，会n E k E 发射或吸收一个频率为的光子．kn ν（3）量子化条件：电子绕核作圆周运动，其稳定状态的角动量L 需满足。
第十三章 早期量子论和量子力学基础
14
练习13-19．在氢原子中，处于 3d 量子态的电子的四个 量子数 (n, l , m l , ms ) 可能的取值为：
(A)
(3,1,1,
( 2,1,2,
1 )（B） (1,0,1, 1 ) 2 2
（C）
1 ) 2
（D） (3,2,0,
1 ) 2
√
1 2
练习13-20．在主量子数 n 3 ，自旋磁量子数 中，能够填充的最多电子数是 。
2
dV 1
。填：相同
光电效应——光的粒子性 康普顿散射——光的粒子性 戴维孙-革末实验——电子波动性 施特恩-格拉赫实验——电子自旋
（8）势阱
2 概率图的峰值个数 n： 概率最大的个数，位置 （9）填充电子遵守两个原理 泡利（Pauli）不相容原理， 能量最小化原理。 3
势阱宽 a 与物质波波长 ：a n
﹏
代入数据得：
E 2.56 eV
上式用氢原子能量表示：
13.6 13.6 Em E2 ( 2 ) ( 2 ) 2.56 m 2
2
13.6 eV
m2 16.2
m 4 Em 0.85 eV
基 态
7
练习13-23 基态的氢原子被外来单色光激发后，仅观察 到三条可见光谱线。求（1）外来光的波长；（2） 被观察到的三条谱线的波长。
(a x a)
那么粒子在 x 5a 6 处出现的概率密度为：
(A) 1 (2a )
√
(B) 1 a
(C) 1
2a
(D) 1 a
11
例 试确定处于基态氦原子中电子的量子数。 解：氦原子有两个电子。 据能量最小原理，两电子处于1s态，即n=1，则：
程守洙《普通物理学》(第5版)辅导系列-课后习题-第13章 早期量子论和量子力学基础【圣才出品】
第13章 早期量子论和量子力学基础13-1 估测星球表面温度的方法之一是：将星球看成黑体，测量它的辐射峰值波长λm ，利用维恩位移定律便可估计其表面温度。
如果测得北极星和天狼星的λm 分别为0.35 μm 和0.29 μm，试计算它们的表面温度。
解：根据维恩位移定律，可知与黑体辐射本领极大值相对应的波长与绝对温度T 的乘积为一常数。
则北极星表面温度：天狼星表面温度：。
13-2 在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由0.69 μm 变化到0.50μm，求总辐出度改变为原来的多少倍?解：设加热前后黑体的温度分别为T 1、T 2，其单色辐出度的峰值波长分别为、，则根据维恩位移定律，可得黑体温度之比为：根据斯特藩-玻尔兹曼定律，可得总辐出度之比为：因此，总辐出度变为原来的3.63倍。
13-3 假设太阳表面温度为5 800 K ，太阳半径为6.96×108 m 。
如果认为太阳的辐射是稳定的，求太阳在1年内由于辐射，它的质量减小了多少?解：由斯特藩一玻尔兹曼定律，太阳通过其表面辐射出的总功率为：太阳在一年内辐射出的总能量为。
由狭义相对论质能关系，可得太阳在一年内的质量亏损：*13-4 黑体的温度T 1＝6000 K ，问λ1＝0.35 μm 和λ2＝0.70 μm 的单色辐出度之比等于多少?当温度上升到T 2＝7000 K 时，λ1的单色辐出度增加到原来的多少倍?解：（1）利用普朗克单色辐出度公式：可得时，和的单色辐出度之比：而因此，单色辐出度之比：。
（2）当黑体温度上升到时，的单色辐出度：与温度为T 1时，黑体的单色辐出度的比值：解得：代入上式可得：。
*13-5 假定太阳和地球都可以看成黑体，如太阳表面温度T S ＝6 000 K ，地球表面各处温度相同，试求地球的表面温度（已知太阳的半径R S ＝6.96×105 km ，太阳到地球的距离r ＝1.496×108 km ）。
量子力学简史
量子力学的建立与发展历程具有重要历史意义，可以归纳为以下四个阶段：
早期量子论阶段：在这一阶段，科学家们开始发现原子并非固体不可压缩的小球体，而是具有空间结构。
19世纪末，一系列实验和观察表明原子具有离散能级，并且能发生辐射和吸收。
这些发现为后来的量子力学奠定了基础。
旧量子论阶段：在这一阶段，科学家们开始用量子化概念来解释原子结构和原子光谱的规律性。
这些努力为后来的量子力学框架的形成提供了启示和参考。
量子力学的建立阶段：这一阶段开始于20世纪初，科学家们提出了许多重要的量子力学原理，如波粒二象性、不确定性原理、哈密顿表述和薛定谔方程等。
这些原理为量子力学的发展奠定了坚实的基础。
量子力学的发展与完善阶段：在这一阶段，科学家们不断探索和研究量子力学的各种应用，包括半导体物理、超导现象、核物理、粒子物理等。
这些应用不断推动着量子力学的发展和完善。
总之，量子力学的发展历程是一个充满挑战与突破的历史过程。
科学家们通过不懈的努力和深入的研究，逐步建立起一套完整的量子力学理论体系，为现代物理学的发展奠定了坚实的基础。
电子科大-早期量子论
赖曼系 激发态向基态的跃迁
h En E1
hc
13.6eV
(
1 12
1 n2
)
13.6eV
n2 1 n2
13.6eV hc
n2 n2 1
max
n2 n2 1
n2 91.3 n2 1 (nm)
例7，处于第一激发态的静止的氢原子发出一个光 子后，氢原子的速度为多少？
先算出发出的光子的频率 再利用动量守恒，得出氢原子的速度
（1）由此发出的光电子的最大动能为多少？ （2）遏止电压为多大？ （3）铝的红限为多少？
解：（1）由爱因斯坦光电效应公式：
h A 1 mv 2
2
求得： 1 mv 2 h A h c A 3.231019 J 2.0eV
2
（2）根据：
eU a
1 2
mv 2
求得遏止电压为：
Ua
mv 2 2e
2，里兹合并原理
~
T(m) T(n)
总之，原子光谱有如下规律
（1）所有原子光谱都是分立的线状光谱，各条光谱线 有确定的波长。
（2）每一条光谱线的波数可以用两相光谱项之差表示
（3）前项保持固定值，后项改变，就给现同一谱系中 各谱线的波长。改变前项，就给现不同的线系。
二、原子光谱与经典物理的矛盾
考虑原子核质量后,能级公式成为
En
m折合e 4
8 02h2
1 n2
,n
1,2,3,...
h
Em
En
m折合e4
8 02h2
1 ( n2
1 m2 )
将氘核的质量代入，可以得到6561.15Å ，与实验符 合得非常好。于是证明了有核电荷数相同但质量不 同的氢原子存在，这就是同位素。
第十三章 早期量子论和量子力学基础2
（3）角动量量子化条件：电子绕核作圆周运动时 角动量是量子化的，取值为：
h L mvn rn n n 2
n = 1，2，3 … 量子数
三、氢原子轨道半径和能量的计算
经典理论结合Bohr 理论
vn
rn -e m
mp +e
En
• 氢原子的半径和玻尔半径
0h 2 r1 a0 0.053nm 2 me
可以证明：只有处于束缚态的电子才可能吸收光子，自由 电子不能吸收光子。
例1 波长为 0 0.02nm 的X射线与静止的自 由电子碰撞，现在从和入射方向成 90 角的方向去 观察散射辐射。求： (1) 散射X射线的波长；(2)反冲 电子的 能量；(3)反冲电子的动量。 解： (1) 散射后X射线波 长的改变为：
• X 射线光子与原子“内层电子”的弹性碰撞
内层电子与核结合较为紧密（keV)，他认为碰撞实际上可以 看作是发生在光子与质量很大的整个原子间的碰撞—光子基 本上不失去能量—保持原性质不变。
• X 射线光子与原子“外层电子”的弹性碰撞
外层电子与核结合较弱（几个eV）—与 X 光子相比，这些 电子近似看成为 “静止” 的 “自由”电子。
2d sin 1.65 A
0
2 、电子多晶薄膜的衍射实验（G.P.汤姆孙实验）
金多晶 薄膜
电子束
在此之后，人们陆续用实验证实了原子，分子，中子，质 子也具有波动性。
实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜，其分辨 本领比普通光学仪器要高几千倍，如我国制造的电子显微镜， 其放大率高达８０万倍,其分辨本领达 1.44Å,可分辨到单个原子 的尺度，为研究分子结构提供了有力武器。
• 康普顿散射的实验装置
量子力学基础教程
量子力学基础教程量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将为读者介绍量子力学的基础知识，帮助大家对这一领域有一个初步的了解。
第一章：量子力学的起源量子力学起源于20世纪初，当时科学家们发现传统物理学无法解释一些实验现象，例如黑体辐射和光电效应。
为了解决这些难题，一些科学家开始重新思考物质和能量的本质。
这些思考最终导致了量子力学的诞生。
第二章：波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
在经典物理学中，我们认为光可以被看作是一种波动现象。
然而，量子力学揭示了光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种奇妙的特性不仅出现在光中，也出现在其他微观粒子（如电子和中子）中。
第三章：不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。
它指出，在测量某个粒子的位置和动量时，我们无法同时获得精确的结果。
这意味着，我们无法完全预测微观粒子的行为。
不确定性原理的提出颠覆了经典物理学中确定性的观念，揭示了微观世界的混沌和难以捉摸的一面。
第四章：量子态和波函数量子态是描述微观粒子状态的数学概念。
它可以用波函数来表示，波函数是一个复数函数，描述了粒子的概率分布。
通过对波函数的测量，我们可以获得粒子的位置、动量等信息。
波函数的演化由薛定谔方程描述，它是量子力学的基本方程之一。
第五章：量子力学的应用量子力学在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。
例如，它在原子物理学中用于解释原子的结构和性质；在材料科学中用于研究材料的电子结构和导电性；在量子计算中用于开发新型的计算机技术等等。
量子力学的应用正在不断拓展，为人类的科技发展带来了巨大的潜力。
结语：量子力学是一门复杂而奇妙的学科，它颠覆了传统物理学的观念，揭示了微观世界的独特规律。
本文介绍了量子力学的起源、波粒二象性、不确定性原理、量子态和波函数以及量子力学的应用。
希望通过这篇文章，读者对量子力学有了初步的了解，并能进一步探索这一神秘的学科。
量子力学基础知识
量子力学基础知识一、引言量子力学是研究微观领域的物质与能量相互作用的理论框架。
自从其诞生以来，量子力学一直在推动科学的发展，并给人们对宇宙的认识带来了巨大的变革。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括量子力学的起源、基本原理、波粒二象性以及量子力学的测量等内容。
二、量子力学的起源量子力学起源于20世纪20年代，由一系列学者的贡献构建而成。
其中，德国物理学家普朗克的能量量子化假设和波尔的量子化条件为量子力学的产生奠定了基础。
普朗克假设能量的辐射是离散的，而非连续的，基于这一假设，波尔提出了电子只能存在于特定的能级上，并且在能级间跃迁时会放出或吸收能量。
这些基本思想为量子力学的建立提供了理论依据。
三、量子力学的基本原理1. 状态和波函数在量子力学中，一个粒子的状态可以由波函数来描述。
波函数是一个数学函数，描述了粒子在空间中的概率分布情况。
根据波函数的不同形式，可以分为定态波函数和非定态波函数。
定态波函数描述的是粒子在确定能级的状态，而非定态波函数描述的是粒子在多个能级之间的叠加态。
2. 波粒二象性量子力学中最重要的原理之一是波粒二象性。
根据波粒二象性，物质既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
对于微观粒子，如电子、光子等，它们的波动特性可以通过波函数来描述，而粒子性则体现在其具有一定的质量和动量。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的又一基本原理。
它指出，在同一时刻，无法准确测量一个粒子的多个性质，如位置和动量，或者能量和时间。
这是因为在测量的过程中，会对被测量粒子产生扰动，从而导致测量结果的不准确性。
四、量子力学的测量在量子力学中，粒子的测量是通过测量算符来实现的。
测量算符对应于一个可观测量，如位置、动量、能量等。
在测量的过程中，波函数会坍缩到一个特定的本征态上，这个本征态对应于特定的测量结果。
五、应用与展望量子力学在科学技术领域有着广泛的应用。
其中，量子计算、量子通信和量子物质等领域备受关注。
第十三章早期量子论和量子力学基础3
一维运动自由粒子(v <<c ) 的薛定谔方程
2. 在势场中粒子的薛定谔方程 对处于保守力场U(x, t) 中的粒子：
2 px E U ( x, t ) 2m
薛定谔方程变为：
2 2 ( x, t ) [ i U ( x, t )]( x, t ) 2 t 2m x
f (t ) 1 i E t f (t )
2
f (t ) e
i Et
— E 代表粒子的总能量
2 1 2m ( r ) U ( r ) ( r ) ( r ) E 2m 2 2 ( E U ) 0
马克斯· 玻恩(1882～1970)，德国犹太裔理论物理学家，量 子力学奠基人之一。主要成就是创立矩阵力学和对薛定谔 的波函数作出统计解释。获得1954年的诺贝尔物理学奖。
玻恩25岁获哲学博士学位，27岁获大学任教资格。33岁去柏林大学任理论 物理学教授，与普朗克、爱因斯坦、能斯特并肩工作。1925年至1926年与 泡利、海森堡和帕斯库尔· 约尔丹（Pascual Jordan）一起发展了现代量子 力学（矩阵力学）的大部分理论。1926年又发表了他自己的研究成果玻恩 概率诠释（波函数的概率诠释），后来成为著名的“哥本哈根解释”。 卢瑟福-玻尔的原子行星模型和玻尔关于电子能级的假设（其中把普朗 克的量子概念与原子光谱联系起来了）曾被用来解释后来知道的一些数据和 现象，但只取得了一些微不足道的成功。在物理理论从经典向现代过渡的这 一时期（约在1923年前后），泡利和海森堡都在哥廷根大学做玻恩的助手。 玻恩以海森堡的测不准原理和德布罗意物质波为起点进行研究，系统地 提出了一种理论体系，在其中把德布罗意的电子波认为是电子出现的几率波。 玻恩-海森堡-约当矩阵力学与薛定谔发展起来的波动力学的数学表述不同， 狄拉克证明了这两种理论体系是等效的并可相互转换。今天，我们把它称为 量子力学。
早期量子论
1
c—光速 k 玻尔兹 曼常数
h
普朗克公式与实验完全吻合
M (T ) 2 hc
2
5
1 e
hc k T
1
mT =b
M (T ) T 4
dM T m =b d 0 M (T ) M (T )d T 4 0 hc hc k T 很大时 e 1 k T
实验规律
瑞利 琼斯公式 M (T ) 2 c
kT
很小时
hc e 1 k T 维恩公式
hc k T
4
e
hc kT
M (T )
2 hc 2
5
M (T ) 2 hc
2
5
1 e
hc k T
1
普朗克公式结果圆满， 他发现要从理论上导出这 个公式，必须引进一个假 设：能量子假设
M (T ) M (T )d
面积
m
T m T 面积 M (T )
M (T )
实验得出两个重要公式：
mT =b
b 2.898 103 mK
=5.67 10-8TWm-2 K -4
m3 m1
m2
——维恩位移定律
M (T )
A K
O O O O
如图，光从石英窗口照到阴极K,有电 子逸出，即光电子。光电子被电场加 速，飞到阳极A，回路形成光电流 i 。
研究黑体是为了研究实际物体的辐射规律。可以证明， 实际物体的辐出度与黑体辐出度有关系
M aM B
虽然实际物体不是黑体，但可以设计黑体模型
设想，用不透明材料制成一个 空腔并开一小孔。
13-0 早期量子论和量子力学基础
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选择进入下一节 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 波尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
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本章目录 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 波尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
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பைடு நூலகம்
§13-0 教学基本要求
一 理解黑体辐射、光电效应、康普顿效应和 氢原子光谱等的实验规律，经典理论解释的困难和 早期量子论的解释.
二 理解戴维孙-革末实验规律，德布罗意的 物质波假设.理解物质波的波粒二象性和不确定关系.
三 理解波函数及其概率解释，理解薛定谔方 程及其对一维无限深势阱、一维势垒和遂道效应的 量子力学描述.
早期量子论202-精品文档98页
光控继电器、自动控制、 自动计数、自动报警等.
光控继电器示意图 光
放大器 接控件机构
光的波粒二象性
粒子性
波动性
（具有能量） E
（具有频率）
h
（具有动量） P
（具有波长）
二者通过h来联系
E h
P E
/Chh C
I光强 Nh
N为单位时间垂直通过单位面积的光子数
由相对论动量能量关系式 E2p2c2m02c4
光子m0=0
p E h h c c
光子动量：
p h
h
爱因斯坦光电方程
1 2
mVm2
h
A
A
为电子逸出功，
1 2
m
V
2 m
为光电子的最大初动能。
解释光电效应
1）光强越大 光子数越多 光电子越多 饱和光电流越大 --- 入射频率一定时饱和光电流和入射光强成正比
例. 某金属红限波长为 λ0 ， 波长为λ(λ<λ0 )照射该金属， 金属释放出的电子(质量为 me )的动量？
相对能量变化 ΔE1.0 51 03321 026 E 51 08
24.2 光电效应与爱因斯坦理论
24.2.1 光电效应
光电效应 光电子
实验规律
1. 饱和电流 2. 遏止电压 3. 红限频率 4. 具有瞬时性
光电管
K
照射光
A.
OO
OO
OO
G
V
B
OO
1. 饱和电流
I
入射光频率一定时，饱和光电流强度 饱
U
Uc
Uc KU0
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鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界 上第一台电子显微镜，1986年诺贝尔物理学奖。
三、微观粒子的波粒二象性
少女？ 老妇？
两种图象不会 同时出现在你 的视觉中。
例2 试估算热中子的得布罗意波长 (中子的质量 mn=1.67×10-27㎏)。 解：热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热
(2)弱电子束入射 电子几乎是一个一个地通过双缝，衍射图样不是电子相互作用
的结果。
底片上出现一个一个的点子显示出电子具有粒子性。开始时 底片上的点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样，衍 射图样来源于“一个电子”具有的波动性。
一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。
(3)概率波的干涉结果。
实物粒子的能量 E 和动量 p 与它相应的波动频率 和波长λ
的关系与光子一样
E mc2
p mv
h
h
这种和实物粒子相联系的波通常称为德布罗意波, 或叫物质波。
具有静止质量m0的实物粒子以速度v 运动，则和该粒子相联系 的平面单色波的波长为：
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
德布罗意公式
例3 氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，求电 子速度的不确定度。
—— 玻尔轨道角动量量子化条件
二、德布罗意波的实验验证
1 、戴维孙—革末的电子衍射实验
德布罗意波是1924年提出的，1927年 便得到了验证。戴维孙—革末看到电子 的德布罗意波波长与 X 射线的波长相近， 因此想到可用与 X 射线衍射相同的方法 验证。
I 2d sin k
U
电流出现了周期性变化
➢ 实验结果的解释
按德布罗意假设，电子加速后的波长满足
12.3
0
A
U
如果电子束确有波动，则入射到晶体上的电子,当其满足布拉
格公式时，
2d sin k
应在反射方向上观察到最强电流
戴维孙和革末在实验中，保持d和不变，则波长λ满足布拉
格公式时：
2d sin k k 12.3
U
U k 12.3 kc
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义： (1)强电子束入射
单位时间内许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样。 这是许多电子在同一个实验中的统计结果。
1961年琼森（Claus Jönsson）将一束电子加速到 50Kev，让其通过一缝宽为a=0.510-6m，间隔为 d=2.010-6m的双缝,当电子撞击荧光屏时,发现了类似 的双缝衍射图样。
平衡的中子，平均动能：
3 kT 6.211021J
2 方均根速率： v 2 2700 m s
mn
德布罗意波长： h 0.15nm
mnv
例3 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏
转角 为 2 ，铝的晶格常数 a 为 4.05×10-10m，求
电子速度。
解：
第一级最大的条件是：
a sin k , k 1
xpx
h
xpx ~ h
再考虑其它衍射条纹
xpx h
即，如果对光子的坐标测量得越精确 (Δx 越小) ，动量 ΔPx 不确定性就越大；反之亦然。
海森堡（ 1926 ）严格的理论给出光子坐标与动量的不 确定关系为
xpx
2
ypy
2
zpz
2
h 1.05458871034 J s
2
海森伯获1932年诺贝尔物理学奖。
h 1 12.3 A0
2m0e U U
例如，当Ｕ１５０Ｖ时，＝１Å，Ｕ＝104Ｖ时，＝0.12Å
这说明德布罗意波的波长一般很短,因而在普通的实验 条件下难以观察出其波动性。
例1 （1）估算：m=5g，v=300m/s 的子弹的波长。
子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！ （2）电子质量 m0= 9.110-31kg，Ek =100 eV 的电子的物质波波长：
0
2d sin 1.65 A
2 、电子多晶薄膜的衍射实验（G.P.汤姆孙实验）
金多晶 薄膜
电子束
在此之后，人们陆续用实验证实了原子，分子，中子，质 子也具有波动性。
实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜，其分辨 本领比普通光学仪器要高几千倍，如我国制造的电子显微镜， 其放大率高达８０万倍,其分辨本领达 1.44Å,可分辨到单个原子 的尺度，为研究分子结构提供了有力武器。
2d sin
当 U 逐渐变化时（即波长逐渐变化时），其平方根值等于
一个常数 C 的整数倍时，接收器测到的电子数量应出现峰值，
结果理论和实验符合很好。
例如，对d=0.91Å的镍片,使＝600 ， 当加速电压U=54V时,
电流有第一级极大 ,
德布罗意公式,算得
12.3
0
A
1.67
0
A
U
布拉格公式, 算得
3. 电子双缝干涉实验
约恩孙(C. Jonsson) 1961年
• 量子围栏 镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面
的扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的 电子形成驻波。
• 微观粒子波动性的应用 1933年 德国的鲁斯卡（E.Ruska）等人 研制成功第一台电子显微镜。
由于德布罗意波的存在，使我们不得不接 受一个经典概念无法理解的原理，即海森伯 的不确定原理，这是一个普遍原理。
对于宏观粒子来说, 我们可以用某个时刻 粒子确定的坐标、速度、能量等来描述它在 这个时刻的运动状态（自然也就导致了轨道 的出现）。
微观粒子具有波粒二象性，如果我们也把经典力学表征宏观 粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子时，那么粒 子的波动性就会不可避免地要对这种观念加以某种“限制”。
解:
1
mV
h mV 2 eU
2
h 1 12.3A0
2em0 U
U
U (12.3)2 150V
练习3 能量为 15 eV的光子，被处于基态的氢原子吸收， 使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长。
解：远离核的光电子动能为（非相对论效应）
Ek
1 mv2 2
E
A 1513.6 1.4eV
按德布罗意公式： h
mv
m m0
h
h
5.14 107 m s
m0v m0a sin
四、德布罗意波的统计解释
机械波是机械振动在介质中的传播，电磁波是变化的电磁 场在空间的传播,那么实物粒子波是什么形式呢?
按照经典物理的观点，粒子是分立的，集中在一定的范围内， 而波是连续的，是弥漫在整个空间的。二者如何统一起来呢?
E 称为原子激发态的能级宽度 t 为原子处于该激发态的平均寿命
例1 设子弹的质量为0.01kg枪口的直径为0.5cm。试求 子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
解： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的
不确定量： x 5 103 m
px mvx
vx
2mx
1.05 1030 m
s
和子弹飞行速度每秒几百米相比 ，这速度的不确定 性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。
Px Ｐ
x
Py
y
光子沿y轴方向通过狭缝后散布在一衍射角为 2 的范围内,衍 射角、缝宽 x (a) 和入射波波长间满足衍射反比关系
asin k
考虑中央极大 K =1
狭缝处的光子在 x 方向坐标不确定范围：
x ~ a
x 方向动量的不确定范围：
px p sin
又由
p
h
a sin
x px p
实验说明电子的干涉图样是大量电子的一种统计运动的结 果。对于单个电子，在某一时刻，它到底是通过哪一个缝,过 缝后落在屏上哪一点是随机的，无规律的；对于大量电子 (或一个电子的多次行为) 来说，它们到达光屏上的位置则是 遵从某种统计规律的。
练习1 已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同。 （ 1 ）它们的动量大小是否相同？为什么？ （ 2 ）它们的（总）能量是否相同？为什么？
例2 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
vx v
所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的， 波动性不起什么实际影响。
答 (1) 电子和光子的动量大小相同．因为ｐ＝ｈ／λ对两 者都成立，而λ相同，故 p 相同。
(2)电子和光子的能量不相等。 电子的能量 E1 ＝ m1c2 光子的能量 E ＝ mc2
由（ 1 ）知，电子和光子的动量相等 ,即
m1v=mc E1 ／ E ＝ m1 ／ m
=c ／ v
E1>E
练习2 为使电子的德布罗意波长为1Å ，需要的加速电压为多少V。
1926 年,玻恩提出了物质波是一种概率波的观点。
爱因斯坦已从统计学的观点指出：光强的地 方，光子到达的概率大；光弱的地方，光子到达 的概率小。
玻恩有同样的观点，认为微观粒子也一样对 个别粒子在何处出现，有一定的偶然性；对大 量粒子在空间何处出现的空间分布服从一定的 统计规律。
物质波的这种统计性解释把粒子的波动性和粒子性正确 地联系起来了，成为量子力学的基本观点之一。 物质波是一种既不同于机械波,又不同于电磁波的一种概率波。
性，那么实物粒子，如电子，是否也应具有波粒二象性？
1924 年法国青年物理学家德布罗意,在 光的波粒二象性的启发下提出了此问题,他 认为：19世纪物理学家对光的研究只重视了 光的波动性而忽视了光的微粒性,而在实物 粒子 (即中子，质子，电子，原子,分子等) 的研究上可能发生了相反的情况，即过分重 视了实物粒子的微粒性，而没有考虑其波动 性。因此他提出实物粒子也具有波动特性的 观点。