全国版201x版高考数学一轮复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质理
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行或在平面内,则它们所成的角直是角________.
(2)范围:____. [0, ] 2
0°的角
3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念: ①二面角:从一条直线出发的___________所组成的图
两个半平面 形叫做二面角; ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点 为垂足,在两个半平面内分别作_________的两条射线, 这两条射线所构成的角叫做二面垂角直的于平棱面角.
4.(2014·辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,α 表示平面,下列说法正确的是 ( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直 线AA1,AB1相交,故选项A错误;根据线面垂直 的定义,一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平
【解析】
所以有4个直角三角形. 答案:4
感悟考题 试一试 3.(2015·浙江高考)设α,β是两个不同的平面,l,m是 两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β ( ) A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
【解析】选A.选项A中,由平面与平面垂直的判定,故正 确;选项B中,当α⊥β时,l,m可以垂直,也可以平行,也 可以异面;选项C中,l∥β时,α,β可以相交;选项D 中,α∥β时,l,m也可以异面.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
【知识梳理】
1.直线与平面垂直
(1)定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,就 任意
说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理:
文字语言
一条直线与一个平面 判 定 内的两条_____直线都 定 垂直,则该相直交线与此平 理
面垂直
图形语言
符号语言 a,b⊂α a____ll⇒⊥⊥∩____ ____l⊥____abb____=__αO__
(2)(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面 ( ) A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
【解题导引】解答(1)(2)均可依据线面平行、垂直的 判定与性质逐一判断.
(2)平面和平面垂直的定义:
两个平面相交,如果所成的二面角是_________,就说这 直二面角
两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言
判 一个平面过另一 定 个平面的_____, 定 则这两个平垂面线 理
垂直
图形语言 符号语言 l⊥α
⇒l__α⊂__ __β⊥__ __ β
面内的任一条直线,可见选项B正确;直线AA1⊥平面ABCD, AA1⊥BC,但直线BC⊂平面ABCD,故选项C错误;直线AA1∥ 平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线CD⊂平面CC1D1D,故选项D 误.
5.(2016·石家庄模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底
面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直 线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线 也垂直于第三个平面. 2.证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一 条件.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的 是( ) A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平 面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平 行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存 在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那 么l⊥γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l 可能平行平面β,也可能在平面β内.
2.(必修2P73习题A组T3改编)如图,在三棱锥V-ABC中, ∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形 中直角三角形的个数为________.
C中,因为CF∥AB,AB⊂平面PAB,CF⊄平面PAB, 所以CF∥平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故D结论不正确.
考向一 与线面垂直有关的命题的真假判断 【典例1】(1)(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直 线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
文字语言
性 两个平面垂直,则 质 一个平面内垂直于 定 _____的直线与另一 理 个交平线面垂直
图形Hale Waihona Puke Baidu言
符号语言
_α__⊥__β__
_____
_l_⊂_β______
_α__∩_ β=a
⇒l⊥l⊥a α
【特别提醒】 1.线面平行或垂直的有关结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也 垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面 内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
是( )
A.CD∥平面PAF
B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB
D.CF⊥平面PAD
【解析】选D.A中,因为CD∥AF,AF⊂平面PAF,CD⊄平 面PAF,所以CD∥平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DF⊥AF. 又因为PA⊥平面ABCDEF,所以PA⊥DF,又因为 PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF成立;
文字语言
性
质 垂直于同一个平面
定 的两条直线_____
理
平行
图形语言 符号语言 a⊥α ⇒b__ __⊥a__∥__α__ b
2.直线和平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_射__影__所成的 _____叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂 锐角 直于平面,则它们所成的角是_____;一条直线和平面平
(2)范围:____. [0, ] 2
0°的角
3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念: ①二面角:从一条直线出发的___________所组成的图
两个半平面 形叫做二面角; ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点 为垂足,在两个半平面内分别作_________的两条射线, 这两条射线所构成的角叫做二面垂角直的于平棱面角.
4.(2014·辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,α 表示平面,下列说法正确的是 ( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直 线AA1,AB1相交,故选项A错误;根据线面垂直 的定义,一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平
【解析】
所以有4个直角三角形. 答案:4
感悟考题 试一试 3.(2015·浙江高考)设α,β是两个不同的平面,l,m是 两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β ( ) A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
【解析】选A.选项A中,由平面与平面垂直的判定,故正 确;选项B中,当α⊥β时,l,m可以垂直,也可以平行,也 可以异面;选项C中,l∥β时,α,β可以相交;选项D 中,α∥β时,l,m也可以异面.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
【知识梳理】
1.直线与平面垂直
(1)定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,就 任意
说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理:
文字语言
一条直线与一个平面 判 定 内的两条_____直线都 定 垂直,则该相直交线与此平 理
面垂直
图形语言
符号语言 a,b⊂α a____ll⇒⊥⊥∩____ ____l⊥____abb____=__αO__
(2)(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面 ( ) A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
【解题导引】解答(1)(2)均可依据线面平行、垂直的 判定与性质逐一判断.
(2)平面和平面垂直的定义:
两个平面相交,如果所成的二面角是_________,就说这 直二面角
两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言
判 一个平面过另一 定 个平面的_____, 定 则这两个平垂面线 理
垂直
图形语言 符号语言 l⊥α
⇒l__α⊂__ __β⊥__ __ β
面内的任一条直线,可见选项B正确;直线AA1⊥平面ABCD, AA1⊥BC,但直线BC⊂平面ABCD,故选项C错误;直线AA1∥ 平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线CD⊂平面CC1D1D,故选项D 误.
5.(2016·石家庄模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底
面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直 线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线 也垂直于第三个平面. 2.证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一 条件.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的 是( ) A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平 面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平 行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存 在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那 么l⊥γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l 可能平行平面β,也可能在平面β内.
2.(必修2P73习题A组T3改编)如图,在三棱锥V-ABC中, ∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形 中直角三角形的个数为________.
C中,因为CF∥AB,AB⊂平面PAB,CF⊄平面PAB, 所以CF∥平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故D结论不正确.
考向一 与线面垂直有关的命题的真假判断 【典例1】(1)(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直 线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
文字语言
性 两个平面垂直,则 质 一个平面内垂直于 定 _____的直线与另一 理 个交平线面垂直
图形Hale Waihona Puke Baidu言
符号语言
_α__⊥__β__
_____
_l_⊂_β______
_α__∩_ β=a
⇒l⊥l⊥a α
【特别提醒】 1.线面平行或垂直的有关结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也 垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面 内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
是( )
A.CD∥平面PAF
B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB
D.CF⊥平面PAD
【解析】选D.A中,因为CD∥AF,AF⊂平面PAF,CD⊄平 面PAF,所以CD∥平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DF⊥AF. 又因为PA⊥平面ABCDEF,所以PA⊥DF,又因为 PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF成立;
文字语言
性
质 垂直于同一个平面
定 的两条直线_____
理
平行
图形语言 符号语言 a⊥α ⇒b__ __⊥a__∥__α__ b
2.直线和平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_射__影__所成的 _____叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂 锐角 直于平面,则它们所成的角是_____;一条直线和平面平