湖北省武汉市部分学校2015届高三9月起点调研数学理试题 Word版含答案

武汉市2015届高三9月调研测试

数 学（理科）

2014.9.5

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．1＋2i (1－i)2

＝ A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－1

2i 2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ A ． 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

A ．112

B ．5

C ．92

D ．4

6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于

A ．32

B ．33

2 C ．3＋62 D ．3＋394

7．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0．若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a

的值为

A ．12或－1

B ．2或1

2 C ．2或1 D ．2或－1 8．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝

A ．19

B ．22

C ．5

D ．27

9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，→OA ·→

OB ＝2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是

A ．28

B ．24

C ．2

2 D ． 2

10．已知函数f (x )＝x 2＋e x －1

2（x ＜0）与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，

则a 的取值范围是

A ．(－∞，1e )

B ．(－∞，e)

C ．(－1e ，e)

D ．(－e ，1

e )

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．

的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设二项式(x －1

3x

)5的展开式中常数项为A ，则A ＝ ．

12．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝ ．

13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)

分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ． 14．已知椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝ ．

15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的

中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，

R ，则有1AQ ＋1

AR ＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1

2．

（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝2

2，且0＜α＜π，求f (α)的值； （Ⅱ）当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．

17．（本小题满分12分）

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：a n ＋2－a n ＝λ；

（Ⅱ）当λ为何值时，数列{a n }为等差数列？并说明理由．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．

（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；

（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；

（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． 20．（本小题满分13分）

如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR |

|PQ |的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）若f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立，求实数k 的取值范围；

（Ⅲ）当n ＞m ＞1（m ，n ∈N *

）时，证明：n

m m n

＞m

n ．

武汉市2015届高三9月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B