湖北省武汉市部分学校2017届高三上学期起点考试数学(理)试题(图片版)
湖北省武汉市部分学校2016-2017学年度高三3月联考试卷(数学理)(含答案)word版
2016〜2017学年度武汉市部分学校高三年级3月联考理科数学试卷武汉市教育科学研究院命制本试卷共150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上。
答在试题卷上无效。
3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么I.如果事件A 、B 相互独立，那么•如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.回归直线方程：相关指数：，其中是与对应的域归估计值. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一,项是满足题目要求的.1.已知集合，则= A.B. C. D. R 2. 若复数，则z 的实部为A. B. C. 1 D. -13. 设P(x,y)是图中的四边形内的点或四边形边界上的点，则的最大值是A. – 2B. -1C. 1D.24. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(单位cm)，则这个几何体的体积是A.B.C.D.5. 设，则A.a<c<bB. c<a <bC. b<c < aD. c < b < a6. 如果执行右面的框图，输入W=5，则输出的数等于A. B.C. D.7. 对于平面a和异面直线m，n，下列命题中真命题是A.存在平面a,使B存在平面a,使C. 存在平面a满足D. 存在平面a,满足8. 设a,b,c分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是A.平行.B.重合C.垂直D.相交但不垂直9. 如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播.若D是DFE弧与x轴的交点，设，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分），则函数的图象大致是10. 已知函数则方程的实根共有A.5个B. 6个C, 7个D.8个 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题,其答案按先后次序填写.填错位置,书写不清,模凌两可均不得分. 11.的展幵式中的常数项是________(用数字作答). 12. 如果，且a 是第四象限的角,那么=_______. 13. 已知点分别是摘圆的左、右焦点,过且垂直于-轴的直线与椭圆交于两点，若为正三角形,则该摘圆的离心率e 是_______.14. 用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长为_______m,宽为_______ m.15. 等差数列的前n 项和为，公差d <0.若存在正整数，使得，则当时,有_______(填“ >”、“ <”、“=”） 三、解答题；本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，16. (本小题满芬12分） 已知向量• (I)求关于x 的表达式,并求的最小正周期； (I I )若时的最小值为5，求m 的值.17. (本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形,且AD =2,AB = 1 ,PA 平面ABCD,E 为BC 上的动点.(1)当E 为BC 的中点时,求证PE DE ；(II)设PA= 1，在线段B C 上存在这样的点E ，使得二面角P -E D -A 的大小为.试确定点E 的位置18. (本小题满分12分）设数列的前n项和为’且；数列为等差数列,且(I)求数列的通项公式；(II)若为数列的前n项和.求证19. (本小题满分12分）已知动圆过定点（1，0),且与直线x=-1相切.(I )求动画圆心c的轨迹方程；(II)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点,且满定若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.20(本小题满分13分）为了对某校高三(1)班9月调考成绩进行分析,在全班同学中随机抽出5位，他们的数学分数（已折算为百分制)从小到大排列为75,80；85、90、95，物理分数从小到大排列为 73、77、80、87、88.(I )求这5位同学中恰有2位同学的数学和物理分数都不小于85分的概率；(II )若这5位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：从散点图分析，y 与x,z 与x 之间都有较好的线性相关关系,分别求y 与x,z 与x 的线性回归方程,并用相关措数比较所求回归模型的拟合效果参考数据:21(本小题满分14分） 已知函数(1)当a=0时，求的最小值； (II)若在上单调递增,求a 的取值范围；(II)若定义在区同D 上的函数对于区同D 上的任意两个值总有以下 不等式成立,则称函数为区间D 上的“凹 函数”.试嵌：当时，为“凹函数”.参考答案。
数学---湖北省部分重点中学2017届高三上学期期末联考(理)
湖北省部分重点中学2017届高三上学期期末联考（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则A B = ( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．若复数43(cos )(sin )i 55=-+-z θθ是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4-θπ的值为( )A ．7-B ．17-C ．7D ．7-或17-3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，记S n 是数列{}n a 的前n 项和，则5S = ( )A ．32B ．62C ．27D ．81 4．已知函数()sin()(0,)2=+><f x x ωϕωϕπ的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线12=x π对称 B ．关于直线512=x π对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻 的概率为( ) A ．110B ．23C ．13D ．146．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时, 2()log (1f x x =+）,则(31)f = ( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 7．若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框（1）中应填入的是( ) A ．6?i >B ．6?i ≤C ．5?i >D ．5?i <8．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有( ) A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 9．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为A ．514B ．513C ．49D ．5910．已知变量,x y 满足48050,10x y x y y +-+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥若目标函数(0)z ax y a =+>取到最大值6，则a 的值为( )A ．2B ．54C ．524或 D ．2-11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A ．8πB ．252πC ．12πD ．414π12.设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)m ∈+∞，都存在唯一的R ∈x ，满足22(())2f f x a m am =+，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[)2,+∞D ．()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．14．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则AE B D ⋅＝ ．15．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6+=+b C a c π．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．18．(本小题满分12分)为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ,90BCD ∠= ,PA ABCD⊥底面ABM ∆是边长为2的等边三角形，PA DM ==（Ⅰ）求证：平面PAM PDM ⊥平面；（Ⅱ）若点E 为PC 中点,求二面角P M D E --的余弦值．20．（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=， 线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．21．（本题满分12分）已知函数ln ()(0)1x xf x a a x =-<-．（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）若()(1)()h x x x f x =-⋅,且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ． 求证：121x x +>．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线； （Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()f x R ．（Ⅰ）求实数m 的范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．A13．6480- 14．2- 152 16．311,44-⎛⎫⎪⎝⎭ 三、解答题17．解答：（Ⅰ）12sin (sin cos )sin sin 2B C C A C +⋅=+，sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，sin cos sin sin B C B C C =+，cos 1B B =+，所以2sin()16-=B π，得3=B π． ………6分（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3=B π，,AD AC ∴=∴=，由正弦定理知，4sin x BAC =∠sin BAC ∠=. ………12分解法二：由（Ⅰ）知3=B π，又M 为BC 中点， 2a BM MC ∴==， 在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+-222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-3,2a c b ∴=∴=，由正弦定理知，sin a BAC ∠sin BAC ∠=. 18 ．解：（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56， 故X ～5(3,)6B ，3315()()()66k k kP x k C -==，0,1,2,3k =， 52EX np ==.（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.19．解答：（Ⅰ）ABM ∆ 是边长为2的等边三角形, 底面ABCD 是直角梯形，CD ∴又3,DM CM =∴=314,AD ∴=+=222,.AD DM AM DM AM ∴=+∴⊥又,PA ABCD ⊥底面,DM PA ∴⊥,DM PAM ∴⊥平面DM PDM ⊂∴ 平面，平面.PAM PDM ⊥平面 ………6分（Ⅱ）以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴， 过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则CM (0,4,P 设平面PMD 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111130,40y y +=+=⎪⎩取113,(3,2).x n =∴=………8分 E 为PC中点，则E， 设平面MDE 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222230,+20y x y +=+=取2213,(3,).2x n =∴= ………10分 由121213cos 14n n n n θ⋅==u r u u ru r u u r ．∴二面角P M D E --的余弦值为1314． ………12分 20．解答：（Ⅰ）设点200(,)2x P x p ，由22x py =得22x y p=，求导'x y p =，因为直线PQ 的斜率为1，所以1x p=且200102x x p --=，解得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． ………4分 （Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则121200,,22x x y y x y ++== ()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--，∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--， 即02(4)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,4). ………6分 联立0022002:2()228024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得2200044(28)0x x x ∆=--⇒-＞＜AB 12x =-， ………8分设()4,0C 到AB的距离d CM ==12ABC S AB d ∆∴=⋅8=， ………10分 当且仅当22004162x x +=-，即20±=x 时取等号，ABC S ∆∴的最大值为8. ……12分21．解答：（Ⅰ）21ln '(),(1)x x f x x --=-设()1ln ,g x x x =--则1'()1,g x x =- ∴当(0,1)x ∈时，'()0()(1)0,'()0,g x g x g f x <∴>=∴>()f x ∴在(0,1)上单调递增． ………4分（Ⅱ）22()ln (0),h x x x ax ax a =-+< '()2ln 2,h x x x x ax a ∴=+-+ ''()2ln 23h x x a ∴=-+''()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，当(2)a x e -=时，''()0,''(1)320,h x h a <=-> ∴必存在(2)(e,1),a α-∈使得''()0,h x =即2ln 230,a α-+='()h x ∴在(0,)α上单调递减，在(,)α+∞上单调递增，当0x α<<时，'()(2ln 12)(2ln 2ln 2)0h x x x a a x x a α=+-+=+-+<又'()20,'(1)10,h a h a αα=-<=->则存在0(,1),x α∈使0'()0,h x =()h x ∴在0(0,)x 上单调 递减，在0(,)x +∞上单调递增，当0(0,)x x ∈时，()[ln (1)]0h x x x x a x =--< 又(1)0,h =不妨设12,x x <则10020,1,x x x x <<<<由（Ⅰ）知21010112202022()()()()()()()()()()f x f x h x f x x x f x f x h x f x x x ⎧<>-⎫⎪⇒⎬⎨><-⎪⎭⎩， 2202221011()()()()()()f x x x h x h x f x x x ∴->=>-，222211212112()()()(1)0, 1.x x x x x x x x x x ∴---=-+->∴+> ………12分22．解答：（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点，而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ∥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线. ………5分 （Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF ∆∆≌，∴CF FE =，设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =⋅， 即279+5x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC == ………10分 23．解答：（Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. ………5分（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +--=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅= ………10分24． 解答：（Ⅰ） 函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m .………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由柯西不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b ++++1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++， 当且仅当15,2626a b ==时取等号， 47a b ∴+的最小值为23. ………10分。
2017高考数学试卷湖北卷含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（湖北卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x 2．复数ii 31)31(2++-的值是（ ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ）A ．21xx+ B ．212xx+-C ．212xx+ D ．21xx+-4．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅ （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3 C ．779 D ．497．函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21 C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(2++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P=QD ．P Q=11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++= 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： zz ①A B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A B ⇔=B A③A B ⇔A⊇B④A B ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.19．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值. 20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题 17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1， 于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF. 连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影. ∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF. ∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点. ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分 （II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ， 设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42，∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）FAB E D CD F x x D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AB D 111111111111,.21210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-⇔=⋅⇔⇔⊥⊥=-=⋅∴==--=∴（1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.31898983||||cos ).0,43,43(),1,41,41(),0,43,43(),1,1,1(11111-=⨯-=⋅=∠∴--==HC HA AHC HC H C .31arccos .31arccos )31arccos(11----=-=∠ππ的大小为故二面角即A EF C AHC19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一.cos 2121)(222222θa a a a AC AB AP a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅= .0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设 .0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BC BC PQ a a CQ BP a by cx aby cx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ 20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l .022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得 .01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及26=c 代入③式化简得 .066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得 （II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立. 故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b n n。
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数学真题及答案
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2017年高考全国卷1理科数学适用地区：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建
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湖北省部分重点中学2017届新高三上学期起点考试 数学(理) Word版含答案
湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期新高三起点考试数学试卷(理科）命题人:武汉四中 汤闪审题人:武汉中学 杨银舟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A = {x||x-1|＜2},B= {]2,0[,2∈=x y x } ,则A ∩B=( ) A.[0,2] B.[1,3) C.(1,3) D.(1,4)2.已知复数i iz 2310-+=(其中i 为虚数单位),则|z | = ( ). A. 23 B. 22 C. 32D. 333.已知m,n 是两条不同的直线，α，β，γ，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若m//α，n//α，则m//nB.若m//α，n//β，则a //βC.若a 丄γ，β丄γ，则a //βD.若m 丄α，n 丄α，则m//n4.己知命题P: ＞ax 5),3,2(2+∈∀x x 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. [52，+∞)B.[29, +∞） C .[314, +∞） D.(-∞，52] 5.把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的 摆法有 ( )种.A. 12B. 24C. 36D. 48 6.若⎰===πsin 41,215,2ln xdx c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. b < a < cC. c < b < aD. b < c < a7.己知等比数列{n a }满足14,25311=++=a a a a ，则=++321111a a a ( ). A.1813 B.913 C.87 D. 47 8.在5⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中，3a 的系数等于-5，则该展开式各项的系数中的最大值为（ ）A.5B.10C.15D. 209.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A.340 B. 380 C. 40 D. 80 10.如图，F 1，F 2分别是双曲线＞0)(12222a by a x =-的左、右焦点，过F1的直线L 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A 两点.若△ABF 2为等边三角形，则△B F 1F 2的面积为（） A.8 B. 28 C. 38 D.1611.若函数⎪⎩⎪⎨⎧-≥-=＜2)(,1)21(2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (-∞，2)B.[813, 2） C. (0, 2） D.(-∞，813] 12.设定义域为R 的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=＜,111),11＞,1)(x xx x x xx f ,若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有且仅有三个不同的解321,,x x x ,则232221x x x ++的值为（ ） A. 1 B.3 C.5 D.10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13.已知向量 的夹角为6π，且||= 3, ||=2,则 |-|为 。
2017年成考高起点数学(理)真题及答案
2017年成考高起点数学（理）真题及答案一、选择题(本大题共17小题，每小题5分，共85分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M={1，2，3，4，5)，N={2，4，6)，则M∩N=（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5，6}【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为交集.【应试指导】M∩N={2,4}.最小正周期是（）2．函数的ｙ＝sinπ４A．8πB．4πC．2πD．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为最小正周期.=8π.【应试指导】T=2π143．函数的定义域为（）A．B．C．D．.【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为定义域.【应试指导】x(x-1)≥0时,原函数有意义,即x≥1或x≤0.4．设a，b，C为实数，且a>b，则（）A．B．C．D．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为不等式的性质. 【应试指导】a>b,则a-c>b-c.5．若（）A．B．C．D．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为三角函数.【应试指导】因为π2<θ<π,所以cosθ<0,cosθ=−√1−sin2θ=−√1−(13)2=−2√23.6．函数的最大值为A．1B．2C．6D．3【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的最大值.【应试指导】y=6sinxcosx=3sin2x,当sin2x=1时y取最大值3.7．右图是二次函数Y=X2+bx+C的部分图像，则（）A．b>0，C>0B．b>0，C<0C．b<0，C>0D．b<0，c<0【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为二次函数图像.【应试指导】由图像可知，当x=0时y=c>0，也就是图像与y轴的交点；图像的对称<0,则b>0轴x=−b28．已知点A(4，1)，B(2，3)，则线段AB的垂直平分线方程为（）A．z-Y+1=0B．x+y-5=0C．x-Y-1=0D．x-2y+1=0【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为垂直平分线方程.【应试指导】线段AB的斜率为k1=3−1=−1,A、B(的中点坐标为(3，2)，则AB的垂直平分线方程y-2=x-3,即x-y-1=0.9．函数（）A．奇函数，且在(0，+∞)单调递增B．偶函数，且在(0，+∞)单调递减C．奇函数，且在(-∞，0)单调递减D．偶函数，且在(-∞，0)单调递增【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的奇偶性及单调性.【应试指导】f(−x)=−1x =−f(x),f′(x)=−1x2,当x<0或x>0时f(x)<0,故y=1x是奇函数，且在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.10．一个圆上有5个不同的点，以这5个点中任意3个为顶点的三角形共有（）A．60个B．15个C．5个D．10个【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为效列组合.【应试指导】C:=5×4×33×2=10.11．若（）A．5mB．1-mC．2mD．m+1【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为对数函数.=1−lg5=1−m.【应试指导】lg2=lg10512．设f(x+1)-x(x+1)，则f(2)=（）A．1B．3C．2D．612.【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数.【应试指导】f(2)=f(1+1)=1×(1+1)=2.13．函数y=2x的图像与直线x+3=0的交点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为线的交点.,则函数y=2ˣ与直线x+3=0的交点坐标为【应试指导】x+3=0,x=−3,y=2−2=18)(−3,1814．双曲线的焦距为（）A．1B．4C．2D．根号2【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为双曲线的焦距.【应试指导】c=√a2+b2=√3+1=2,则双曲线的焦距2c=4.15．已知三角形的两个顶点是椭圆的两个焦点，第三个顶点在C上，则该三角形的周长为（）A．10B．20C．16D．26【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为椭圆的性质.【应试指导】椭圆的两个焦点的距离为2c=2√a2−b2=6.又因为第三个顶点在C上，则该点与两个焦点问的距离的和为2a=2×5=10,则三角形的周长为10+6=16.16．在等比数列{an}中，若a3a4=l0，则ala6+a2a5=（）A．100B．40C．10D．20【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为等比数列.q1•a1q3=a12q5=10,a1a6=a12q5,a2a5=a1q•a4q4=【应试指导】a i a4=α1a13q5,a1a6+a2a6=2a1a4=2017．若l名女牛和3名男生随机地站成一列，则从前面数第2名是女生的概率为（）A．1B ．13C ．12D ．34【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为随机事件的概率. 【应试指导】设A 表示第2名是女生，P (A )=1C 41=14.第Ⅱ卷(非选择题，共65分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分。
湖北省部分重点中学2017届高三第一次联考理数试题 Word版含解析
湖北省部分重点中学2017届高三第一次联考理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.错误！未找到引用源。
为虚数单位，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】A考点：复数的运算.2.已知集合错误！未找到引用源。
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中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
中的元素个数为错误！未找到引用源。
，故选B.考点：（1）一元二次不等式的解；（2）集合的交集.3.下列函数中既是奇函数，又在区间错误！未找到引用源。
内是增函数的为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】试题分析：A.错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上没有单调性，∴该选项错误；B．错误！未找到引用源。
是偶函数，∴该选项错误；C．由错误！未找到引用源。
，得错误！未找到引用源。
，∴该函数为奇函数；在错误！未找到引用源。
上为增函数，∴该选项正确；D.错误！未找到引用源。
为非奇非偶函数，∴该选项错误．故选C．考点：（1）函数单调性的判断与证明；（2）函数的奇偶性.4.设等差数列错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和为错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
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，则错误！未找到引（）用源。
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C5.设错误！未找到引用源。
是两条不同的直线，错误！未找到引用源。
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若错误！未找到引用源。
2017年湖北省高考理科数学试题与答案
2017年湖北省高考理科数学试题与答案1.选择题1.已知集合 $A=\{x|x<1\}$，$B=\{x|3x<1\}$，则A。
$A\cap B=\{x|x<0\}$B。
$A\cup B=\mathbb{R}$C。
$A\cup B=\{x|x>1\}$XXX2.如图，正方形 $ABCD$ 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A。
$\dfrac{1}{4}$B。
$\dfrac{\pi}{8}$C。
$\dfrac{1}{2}$D。
$\dfrac{\pi}{4}$3.设有下面四个命题p_1$：若复数 $z$ 满足$\operatorname{Re}(z)\in\mathbb{R}$，则 $z\in\mathbb{R}$；p_2$：若复数 $z$ 满足 $z^2\in\mathbb{R}$，则$z\in\mathbb{R}$；p_3$：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1z_2\in\mathbb{R}$，则$z_1=z_2$；p_4$：若复数 $z\in\mathbb{R}$，则 $z\in\mathbb{R}$。
其中的真命题为A。
$p_1,p_3$B。
$p_1,p_4$C。
$p_2,p_3$D。
$p_2,p_4$4.记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。
若$a_4+a_5=24$，$S_6=48$，则 $\{a_n\}$ 的公差为A。
1B。
2C。
4D。
85.函数$f(x)$ 在$(-\infty,+\infty)$ 单调递减，且为奇函数。
若 $f(1)=-1$，则满足 $-1\leq f(x-2)\leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是A。
$[-2,2]$B。
$[-1,1]$C。
$[0,4]$D。
$[1,3]$6.$(1+x)^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数为A。
湖北省部分重点中学2017届高三理联考一数学试卷（解析版）
湖北省部分重点中学2017届⾼三理联考⼀数学试卷（解析版）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的⽂字说明⼀、选择题1．i 为虚数单位，若i z i -=+3)3(，则=||z （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得：()()()i i ii i ii z 23214322333332-=-=-+-=+-=，则1=z ，故选A.考点：复数的运算.2．已知集合}0352|{2≤--=x x x A ，}2|{≤∈=x Z x B ，则B A 中的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得?≤≤-=321x x A ，{}2,1,0=B ，则{}2,1,0=B A ，故B A 中的元素个数为3，故选B.考点：（1）⼀元⼆次不等式的解；（2）集合的交集.3．下列函数中既是奇函数，⼜在区间)2,0(内是增函数的为（） A ．R x x y ∈=,sin B ．R x x y ∈=|,|ln 且0≠xC ．R x e e y xx∈-=-, D ．R x x y ∈+=,13 【答案】C 【解析】试题分析：A.x y sin =在)2,0(上没有单调性，∴该选项错误；B ．x y ln =是偶函数，∴该选项错误；C ．由()xxee xf --=，得()()x f e ex f x x-=-=--，∴该函数为奇函数；在)2,0(上为增函数，∴该选项正确；D.13+=x y 为⾮奇⾮偶函数，∴该选项错误．故选C ．考点：（1）函数单调性的判断与证明；（2）函数的奇偶性.4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m （） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：21=-=-m m m S S a ，311=-=++m m m S S a ，所以公差11=-=+m m a a d ，()021=+=m m a a m S ，得21-=a ，所以()2112=?-+-=m a m ，解得5=m ，故选C ．考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前n 项和.5．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平⾯，下列命题中正确的是（） A ．若βα⊥，α?m ，β?n ，则n m ⊥ B ．若βα//，α?m ，β?n ，则n m //C ．若n m ⊥，α?m ，β?n ，则βα⊥D ．若α⊥m ，n m //，β//n ，则βα⊥【答案】D 【解析】试题分析：选项A ，若βα⊥，α?m ，β?n ，则可能n m ⊥，n m //，或m ，n 异⾯，故A 错误；选项B ，若βα//，α?m ，β?n ，则n m //，或m ，n 异⾯，故B 错误；选项C ，若n m ⊥，α?m ，β?n ，则α与β可能相交，也可能平⾏，故C 错误；选项D ，若α⊥m ，n m //，则α⊥n ，再由β//n 可得βα⊥，故D 正确．故选D ．考点：（1）空间中直线与平⾯的位置关系；（2）命题真假的判断与应⽤；（3）平⾯与平⾯之间的位置关系.6．设等⽐数列}{n a 的公⽐为q ，则“10<""试题分析：∵数列}{n a 是公⽐为q 的等⽐数列，则“10<""故选：D.考点：充要条件.7．某⼏何体的三视图如图所⽰，图中的四边形都是边长为2的正⽅形，两条虚线互相垂直，则该⼏何体的体积是（）A ．320 B ．316 C ．68π-D ．38π-【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知原⼏何体是⼀个棱长为2的正⽅体挖去⼀四棱锥得到的，该四棱锥的底为正⽅体的上底，⾼为1，如图所⽰，∴该⼏何体的体积为3203481231223=-=??-，故选A ．考点：由三视图求⾯积、体积.8．某企业⽣产甲、⼄两种产品，已知⽣产每吨甲产品要⽤A 原料3吨、B 原料2吨；⽣产每吨⼄产品要⽤A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨⼄产品可获得利润3万元，该企业在⼀个⽣产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最⼤利润是（）A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业⽣产甲产品为x 吨，⼄产品为y 吨，则该企业可获得利润为y x z 35+=，且≤+≤+≥≥183213300y x y x y x ，联⽴=+=+1832133y x y x ，解得3=x ， 4=y ，由图可知，最优解为()4,3P ，∴z 的最⼤值为274335=?+?=z （万元）．故选D ．考点：简单的线性规划.【⽅法点睛】在解决线性规划的应⽤题时，其步骤为：①分析题⽬中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可⾏域?③分析⽬标函数z 与直线截距之间的关系?④使⽤平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．在该题中先设该企业⽣产甲产品为x 吨，⼄产品为y 吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可⾏域，设y x z 35+=，再利⽤z 的⼏何意义求最值，只需求出直线y x z 35+=过可⾏域内的点时，从⽽得到z 值即可．9．已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0( D ．]2,0(【答案】A 【解析】试题分析：∵??∈ππ,2x ，0>ω，∴??? ??++∈+44214πωππωππω，x ，∵函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，∴周期πωπ≥=2T ，解得2≤ω，∵)4sin()(πω+=x x f 的减区间满⾜：Z k k x k ∈+<+<+,223422πππωππ，∴取0=k ，得≤+≥+2342421ππωπππωπ，解之得4521≤≤ω，故选A.考点：三⾓函数的性质.【⽅法点睛】本题给出函数()?ω+=x A y sin 的⼀个单调区间，求ω的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三⾓函数的图象变换等知识，属于基础题；根据题意，得函数的周期πωπ≥=2T ，解得2≤ω．⼜因为)4sin()(πω+=x x f 的减区间满⾜：Z k k x k ∈+<+<+,223422πππωππ，⽽题中??++∈+4,4214πωππωππωx ．由此建⽴不等关系，解之即得实数ω的取值范围． 10．已知P 是ABC ?所在平⾯内⼀点，若3243-=，则PBC ?与ABC ?的⾯积的⽐为（）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】A 【解析】试题分析：在线段AB 上取D 使AB AD 32=，则32-=，过A 作直线l 使BC l //，在l 上取点E 使43=，过D 作l 的平⾏线，过E 作AB 的平⾏线，设交点为P ，则由平⾏四边形法则可得3243-=，设PBC ?的⾼线为h ，ABC ?的⾼线k ，由三⾓形相似可得3:1:=k h ，∵PBC ?与ABC ?有公共的底边BC ，∴PBC ?与ABC ?的⾯积的⽐为31，故选：A.考点：平⾯向量基本定理及其意义.11．如图所⽰，已知在⼀个60的⼆⾯⾓的棱上，有两个点B A 、，BD AC 、分别是在这个⼆⾯⾓的两个⾯内垂直于AB 的线段，且cm AB 4=，cm AC6=，cm BD 8=，则CD 的长为（）A ．172B ．412C ．2D ．10 【答案】A 【解析】试题分析：∵AB CA ⊥，AB BD ⊥，∴0=?=?，60=，∴120=．∵++=，∴+++++=2222222680120cos 8620846222=+++++= ．∴172=CD ．故选：A ．考点：与⼆⾯⾓有关的⽴体⼏何.12．已知函数≤<+≤≤-+-=)20(11ln)02(2)(2x x x x x x f ，若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,0(eB ．)21,0(eC ．)1,33ln [e D ．)21,33ln [e【答案】C 【解析】≤<+≤≤-+-=)20(11ln )02(2)(2x x x x x x f ，∴()()≤<+≤≤--=20,1ln 02,22x x x x x x f ，∵a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，∴函数()x f 与函数a ax y +=的图象有3个不同的交点；作函数()x f 与函数a ax y +=的图象如下，图中()0,1-A ，()3ln 2，B ，故此时直线AB 的斜率()33ln 103ln =---=x k ；当直线AB 与()()1ln +=x x f 相切时，设切点为()()1ln ,+x x ；则()()11101ln +=---+x x x ，解得1-=e x ；此时直线AB 的斜率e k 1=；结合图象可知，ea 133ln <≤；故选C ．考点：根的存在性及根的个数判断.第II 卷（⾮选择题）请点击修改第II 卷的⽂字说明⼆、填空题13．将参数⽅程为21（t 为参数）化为普通⽅程为 . 【答案】0323=-+y x 【解析】试题分析：由t x 521+=得()125-=x t ，代⼊t y 511+=化简可得0323=-+y x ，故答案为0323=-+y x .考点：参数⽅程化为普通⽅程.14．所谓正三棱锥，指的是底⾯为正三⾓形，顶点在底⾯上的射影为底⾯三⾓形中⼼的三棱锥，在正三棱锥ABC S -中，M 是SC 的中点，且SB AM ⊥，底⾯边长22=AB ，则其外接球的表⾯积为 .【答案】π12 【解析】试题分析：设O 为S 在底⾯ABC 的投影，则O 为等边三⾓形ABC 的中⼼，∵⊥SO 平⾯ABC ，?AC 平⾯ABC ，∴SO AC ⊥，⼜AC BO ⊥，∴⊥AC 平⾯SBO ，∵?SB 平⾯SBO ，∴AC SB ⊥，⼜SB AM ⊥，?AM 平⾯SAC ，?AC 平⾯SAC ，A AC AM = ，∴⊥SB 平⾯SAC ，同理可证⊥SC 平⾯SAB ．∴SA ，SB ，SC 两两垂直．∵S O C ≌≌S O B S O A，∴SC SB SA ==，∵22=AB ，∴2===SC SB SA ．设外接球球⼼为N ，则N 在SO 上．∵3622332=?=AB BO ．∴33222=-=BO SB SO ，设外接球半径为r ，则r r SO NO -=-=332，r NB =，∵222NB ON OB =+，∴2233238r r =-+，解得3=r ．∴外接球的表⾯积ππ1234=?=S ．故答案为：π12．考点：（1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）球的表⾯积和体积.【⽅法点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．设棱锥的⾼为SO ，则由正三⾓形中⼼的性质可得OB AC ⊥，SO AC ⊥，于是⊥AC 平⾯SBO ，得AC SB ⊥，结合AM SB ⊥可证⊥SB 平⾯SAC ，同理得出SA ，SB ，SC 两两垂直，从⽽求得侧棱长，外接球的球⼼N 在直线SO 上，设r BN SN ==，则r SO ON -=，利⽤勾股定理列⽅程解出r ．15．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满⾜)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，则【答案】3 【解析】试题分析：因为()x f 为R 上的奇函数，故??? ?--=-2323x f x f ，易得()x f x f -=??? ?-23，则()()x f x f x f x f =??? ?--=??? ??--=-2323233，即函数()x f 是以3为周期的周期函数，故()()()()322131=--==-=-f f f f ，()()063f f =-，则()()36331=-+-f f ，故答案为3.考点：（1）函数的奇偶性与周期性；（2）函数的值.【⽅法点晴】本题考查了函数的奇偶性与周期性，函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运⽤．对于抽象函数中常出现的转化形式有：1、形如()()x f x t f =-，得到函数的对称性，即对称轴为2tx =；2、形如()()x f t x f -=±或()()x f t x f 1=±时，得到函数是以t 2为周期的周期函数.当奇偶性与对称性结合时可得周期性等.16．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对任意的*N n ∈，321)1(-++-=n a S nn nn 且0))((1<--+p a p a n n 恒成⽴，则实数p 的取值范围是 .【答案】)411,43(- 【解析】试题分析：由321)1(-++-=n a S n n nn ，得431-=a ；当2≥n 时，()()()()()12111312113211111111+--+-=+------++-=-=------n n n n n n n n n n n n n n a a n a n a S S a ．若n 为偶数，则1211-=-n n a ，∴1211-=+n n a （n 为正奇数）；若n 为奇数，则11121312112121212-+--=+-??--=+--=n n n n n n a a （n 为正偶数）．函数1211-=+n n a （n 为正奇数）为减函数，最⼤值为431-=a ，函数n n a 213-=（n 为正偶数）为增函数，最⼩值为4112=a ．若0))((1<--+p a p a n n 恒成⽴，则21a p a <<，即41143<<-p ．故答案为：)411,43(-．考点：数列递推式.【⽅法点晴】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想⽅法和数学转化思想⽅法，是中档题．由数列递推式求出⾸项，写出2≥n 时的递推式，作差后对n 分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数1211-=+n n a （n为正奇数）为减函数，最⼤值为431-=a ，函数n n a 213-=（n 为正偶数）为增函数，最⼩值为4112=a ．再由0))((1<--+p a p a n n 恒成⽴求得实数p 的取值范围．三、解答题17．已知4||=，3||=， 61)2()32(=+?-. （1）求与的夹⾓θ；（2）若=，=，21=，32=，且AD 与BC 交于点P ，求||OP .【答案】（1）32πθ=；（2）27||=. 【解析】试题分析：（1）将61)2()32(=+?-展开，利⽤向量数量积的定义可得其夹⾓；（2）由平⾯向量基本定理可得2141+=，对其平⽅结合（1）可得||. 试题解析：（1）∵61)2()32(=+?-b a b a ，∴61||34||422=-?-b b a a . ⼜4||=，3||=，∴6127464=-? -，∴6-=?. ∴21346||||cos -=?-==b a b a θ. ⼜πθ≤≤0，∴32πθ=. （2） b x a x OD x OA x OP 3)1(2)1(-+=-+=， a yb y OC y OB y OP 21)1(-+=-+=，∴21,21=-=y y x ，∴)1(32,41x y x -==，∴2141+=，∴474141161||222=+?+=，∴27||=.考点：（1）向量的数量积；（2）平⾯向量基本定理；（2）向量的模长.18．已知函数)()cos (sin cos 2)(R m m x x x x f ∈+-=，将)(x f y =的图象向左平移4π个单位后得到)(x g y =的图象，且)(x g y =在区间]4,0[π内的最⼤值为2. （1）求实数m 的值；（2）在ABC ?中，⾓C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1)43(=B g ，且2=+c a ，求ABC ?周长l 的取值范围. 【答案】（1）1=m ；（2）)4,3[. 【解析】试题分析：（1）先利⽤两⾓和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定()x g 的解析式，根据x的范围和三⾓函数的图象与性质确定()x g 的最⼤值的解析式，求得m ；（2）根据第⼀问中函数的解析式确定B 的值，进⽽利⽤余弦定理和基本不等式确定b 的范围，最后确定周长的范围．试题解析：（1）由题设得m x m x x x f +--=+--=1)42sin(212cos 2sin )(π，∴m x m x x g +-+=+--+=1)42sin(21]4)4(2sin[2)(πππ，∵当]4,0[π∈x 时，]43,4[42πππ∈+x ，∴由已知得242ππ=+x ，即8π=x 时，212)(max =+-=m x g ，∴1=m .（2）由已知，1)423sin(2)43(=+=πB B g∵在ABC ?中，23230π<π=B ，⼜∵2=+c a ，由余弦定理得：14)(3)(3)(cos 222222222=+-+≥-+=-+=-+=c a c a ac c a ac c a B ac c a b ，当且仅当1==c a 时等号成⽴，⼜∵2=+考点：（1）三⾓函数图象变换；（2）余弦定理.19．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等⽐数列. （1）求证：}2{nna 是等差数列；（2）求证：2≥n S .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利⽤21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等⽐数列，可得1112242+-+=?=-n n n n a a ，从⽽12211=-++nnn n a a ，即可证明结论；（2）由于数列的通项是⼀个等差数列与等⽐数列的积构成的新数列，利⽤错位相减法求出数列的和即可．试题解析：（1）∵4212=-a a ，8223=-a a ，∴11242-+?=-n n n a a ，∴12211=-++n n n n a a ，∴}2{nna 是以1为⾸项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可得n n an n =-+=）（112，∴n n n a 2?=，∴nn n S 223222132++++= ①143222322212+?++?+?+?=n n n S ②由①-②得22)1(1+?-=-n n n S ，∵*N n ∈，∴2≥n S .考点：（1）等⽐数列的性质；（2）等差关系的确定. 【⽅法点晴】求数列的前n 项和⼀般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和⽅法，常⽤的求和⽅法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法；常见的数列求和的⽅法有公式法即等差等⽐数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ?=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等⽐数列等.20．如图，已知四棱锥ABCD P -的底⾯A B C D 为菱形，且60=∠ABC ，2==PC AB ，2==PB PA .（1）求证：平⾯⊥PAB 平⾯ABCD ；（2）设H 是PB 上的动点，求CH 与平⾯PAB 所成最⼤⾓的正切值；（3）求⼆⾯⾓B AC P --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）721. 【解析】试题分析：（1）取AB 中点O ，连结PO 、CO ，由PB PA =可得AB PO ⊥，利⽤特殊三⾓形的性质计算PO ，OC ，PC ，可证OC PO ⊥，于是⊥PO 平⾯ABCD ，故平⾯⊥PAB 平⾯ABCD ；（2）由⾯⾯垂直的性质可知CHO ∠为CH 与平⾯PAB 所成的⾓，故当OH 最⼩值，OHOCCHO =∠tan 取得最⼤值；（3）以AB 中点为原点，建⽴空间直⾓坐标系，求出⾯PAC 的法向量为)1,1,33(-=，得到⾯BAC 的法向量为)1,0,0(=，求出法向量的夹⾓即可得到⼆⾯⾓.试题解析：（1）证明：取AB 中点O ，连结CO PO ,，由2==PB PA ，2=AB ，知PAB ?为等腰直⾓三⾓形，∴1=PO ，AB PO ⊥，由2==BC AB ， 60=∠ABC ，知60=?ABC 为等边三⾓形，∴3=CO ，由2=PC 得222PC CO PO =+，∴CO PO ⊥，⼜O CO AB = ，∴⊥PO 平⾯ABC ，⼜?PO 平⾯PAB ，∴平⾯⊥PAB 平⾯ABCD .（2）解：如图，连结OH ，由（1）知CO PO ⊥，AB CO ⊥，∴⊥CO 平⾯PAB ，CHO ∠为CH 与平⾯PAB 所成的⾓.在COH Rt ?中，∵OHOH OC CHO 3tan ==∠，要使CHO ∠最⼤，只需OH 最⼩，⽽OH 的最⼩值即点O 到PB 的距离，这时PB OH ⊥，22=OH ，故当CHO ∠最⼤时，6tan =∠CHO ，即CH 与平⾯PAB 所成最⼤⾓的正切值为6.（3）解：如图建⽴空间直⾓坐标系，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(C ，)1,0,0(P ，∴)0,1,3(=AC ，)1,1,0(=AP ，设平⾯PAC 的法向量为),,(z y x =，则=+=?=+=?03z y y x AC n ，取1-=y ，则33=x ，1=z ，即)1,1,33(-=n ，平⾯BAC 的⼀个法向量为)1,0,0(=，设⼆⾯⾓B AC P --的⼤⼩为θ，易知其为锐⾓，∴72111311||||||,cos |cos =++==><=m n m n θ. ∴⼆⾯⾓B AC P --的余弦值为721.考点：（1）平⾯与平⾯垂直的判定；（2）直线与平⾯所成的⾓；（3）平⾯与平⾯所成的⾓.【⽅法点晴】本题主要考查的是线⾯垂直、⼆⾯⾓、空间直⾓坐标系和空间向量在⽴体⼏何中的应⽤，属于中档题．解题时⼀定要注意⼆⾯⾓的平⾯⾓是锐⾓还是钝⾓，否则很容易出现错误．证明线⾯垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常⽤的⽅法是直⾓三⾓形、等腰三⾓形的“三线合⼀”和菱形、正⽅形的对⾓线．21．设函数)0)(1ln(21)(2≠++=b x b x x f . （1）若函数)(x f 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（2）求函数)(x f 的极值点；（3）令1=b ，x x x f x g +-=221)()(，设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x g y =上相异三点，其中3211x x x <<<-.求证：23231212)()()()(x x x g x g x x x g x g -->--. 【答案】（1）),41[+∞；（2）411b x -+-=，410<和⼀个极⼩值点2411b x -+-=，41≥b 时，)(x f ⽆极值点；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意，求导函数，要使()x f 在()+∞-,1上为单调函数，只须在()+∞-,1上0)(≥'x f 或0)(≤'x f 恒成⽴，分类讨论，分离参数，即可求b 的取值范围；（2）在定义域内按①当01≥b 时三种情况解不等式()0>'x f ，()0<'x f ，根据极值点的定义即可求得；（3）利⽤分析法将所证转化为11111ln1212++->++x x x x ，令t x x =++1112（1>t ），()11ln -+=t t t p ，对其求导根据其单调性得()()01=>p t p ，得证.试题解析：（1）141)21(1)(22+-++=+++='x b x x b x x x f ，∵函数)(x f 在定义域上是单调函数，∴0)(≥'x f 或0)(≤'x f 在),1(+∞-上恒成⽴.若0)(≥'x f 恒成⽴，得41≥b . 若0)(≤'x f 恒成⽴，即41)21(2++-≤x b 恒成⽴. ∵41)21(2++-x 在),1(+∞-上没有最⼩值，∴不存在实数b 使0)(≤'x f 恒成⽴. 综上所述，实数b 的取值范围是),41[+∞.（2）由（1）知当41≥b 时，函数)(x f ⽆极值点.当41<b 时，0)(=x f 有两个不同解，24111b x ---=，24112b x -+-=，∵0b x ，124112->-+-=bx ，即),1(1+∞-?x ，),1(2+∞-∈x ，∴024112b x -+-=；当410<4111->---=b x . ∴),1(,21+∞-∈x x ，0)(=x f 在),1(1x -上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增，)(x f 有⼀个极⼤值点24111b x ---=和⼀个极⼩值点24112bx -+-=.综上所述， 0411bx -+-=，410<411b x ---=和⼀个极⼩值点2411bx -+-=；41≥b 时，)(x f ⽆极值点. （3）先证：)()()(2'1212x g x x x g x g >--，即证111)1ln()1ln(2121122++>-+--++x x x x x x x ，即证1111)1()1(111ln2121221212++-=++-+=+->++x x x x x x x x x x ，令t x x =++1112（1>t ），1()ln 1p t t t =+- ，211'()0p t t t =->,所以1()ln 1p t t t=+-在(1,)+∞ 上单调递增，即()(1)0p t p >= ,即有1ln 10t t+->, 所以获证. 同理可证：)()()(22323x g x x x g x g '<--，所以23231212)()()()(x x x g x g x x x g x g -->--. 考点：（1）利⽤导数研究函数的单调性；（2）利⽤导数研究函数的极值.22．在直⾓坐标系xOy 中，圆C 的参数⽅程为?=+=sin cos 1y x （?为参数），以O 为极点，x 轴⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系.（1）求圆C 的极坐标⽅程；（2）直线l 的极坐标⽅程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）θρcos 2=；（2）2||=PQ . 【解析】试题分析：（1）把1sin cos22=+??代⼊圆C 的参数⽅程为?=+=sin cos 1y x （?为参数），消去参数化为普通⽅程，把θρcos =x ，θρsin =y 代⼊可得圆C 的极坐标⽅程；（2）设),(11θρP ，联⽴圆C ，解得1ρ，1θ；设),(22θρQ ，联⽴直线l ，解得2ρ，2θ，可得PQ ．试题解析：（1）圆C 的普通⽅程为1)1(22=+-y x ，⼜θρcos =x ，θρsin =y ，∴圆C 的极坐标⽅程为θρcos 2=.（2）设),(11θρP ，则由==3cos 2πθθρ解得??==3111πθρ.设),(22θρQ ，则由??==+333)cos 3(sin πθθθρ解得==3322πθρ. ∴2||=PQ .考点：（1）参数⽅程化为普通⽅程；（2）简单曲线的极坐标⽅程.。