湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题
湖北省重点高中联考2015届高三上学期期中数学试卷(文科)
湖北省重点高中联考2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，10小题共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．（5分）函数y=ln（2﹣x﹣x2）+的定义域是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．①若=，=，则=；②若∥，∥，则∥；③||=||•||；④若•=•，则=的逆命题．其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②③D．①②④7．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）A．9B．8C．7D．68．（5分）在数列{a n}中，a n+1=ca n（c为非零常数），前n项和为S n=3n+k，则实数k为（）A．0B．1C．﹣1 D．29．（5分）已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点10．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＜e2014f（0）二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上．答错位置，书写不清，模棱两可不得分．11．（5分）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=．12．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间上的奇函数，则f（m+1）=．13．（5分）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．14．（5分）已知角A、B、C是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量，，，且a=2，．则b=．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n﹣1•n，则S17=．16．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2=．17．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=+2．则函数g（x）的值域为；满足方程f（x）﹣g（x）=0的x的值是．三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．18．（12分）已知向量=（2cos（+x），﹣1），=（﹣sin（），cos2x），定义函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最大值和最小值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC 的面积S．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．（13分）已知函数，其中ω为使f（x）能在时取得最大值的最小正整数．（1）求ω的值；（2）设△ABC的三边长a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A 时，求f（x）的值域．21．（13分）设函数f（x）=，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，f（x1）=，f（x n）=x n+1（n∈N*）．（1）求f（x）的表达式；（2）求x2015的值；（3）若a n=﹣4023且b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜n+1．22．（14分）已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，当x1≠x2时，都有＜﹣1，求a的取值范围．湖北省重点高中联考2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，10小题共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．（5分）函数y=ln（2﹣x﹣x2）+的定义域是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．A．9B．8C．7D．6考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用．8．（5分）在数列{a n}中，a n+1=ca n（c为非零常数），前n项和为S n=3n+k，则实数k为（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由a n+1=ca n，知{a n}是等比数列，由S n=3n+k，分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3成等比数列，求出k的值．．解答：解：∵a n+1=ca n，∴{a n}是等比数列，∵a1=S1=3+k，a2=S2﹣S1=（9+k）﹣（3+k）=6，a3=S3﹣S2=（27+k）﹣（9+k）=18，∵a1，a2，a3成等比数列，∴62=18（3+k），∴k=﹣1．故选C．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用．9．（5分）已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点考点：轨迹方程；三角形五心．专题：计算题；数形结合．分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，但λ≠0则点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．解答：解：取AB的中点D，则∵∴=，而，∴P、C、D三点共线，∵λ≠0∴点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．故选D．点评：此题是个中档题．考查向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，和三角形的五心问题，综合性强，体现了数形结合的思想．10．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f＜e2014f（0）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，可求函数g（x）=在R上单调递减，即可得＞f（0），＜f（0）．解答：解：构造函数g（x）=，则g′（x）=．因为∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），并且e x＞0，所以g′（x）＜0，故函数g（x）=在R上单调递减，所以g（﹣2014）＞g（0），g＜g（0），即＞f（0），＜f（0），即e2014f（﹣2014）＞f（0），f＜e2014f（0）．故选：D．点评：本题主要考察了函数的单调性与导数的关系，其中，构造函数g（x），并讨论其单调性是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上．答错位置，书写不清，模棱两可不得分．11．（5分）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案解答：解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1）点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义12．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间上的奇函数，则f（m+1）=8．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的定义域关于原点对称可得m，即可得出．解答：解：∵幂函数在上是奇函数，∴m=1，∴f（x）=x3，∴f（m+1）=f（1+1）=f（2）=23=8．故答案为：8．点评：本题考查了奇函数的性质、函数求值，属于基础题．13．（5分）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．解答：解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得2﹣﹣3=0，③解③得=或=﹣1（舍），所以=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知角A、B、C是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量，，，且a=2，．则b=．考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据两向量垂直时数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则化简=0，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取2后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出此角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由B的范围及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，然后由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵，∴，∴，（4分）∴，（6分）∵0＜A＜π，∴，∴，（8分）∴；（9分）在△ABC中，，a=2，，∴，（10分）由正弦定理知：，（11分）∴═．∴b=．（13分）点评：此题综合考查了平面向量的数量积的运算法则，三角函数的恒等变换及正弦定理．要求学生掌握平面向量垂直时满足的关系及正弦函数的值域，牢记特殊角的三角函数值．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n﹣1•n，则S17=9．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得S17=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（15﹣16）+17，由此能求出结果．解答：解：∵S n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n﹣1•n，∴S17=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（15﹣16）+17=+17=﹣8+17=9．故答案为：9．点评：本题考查数列的前17项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意总结规律．16．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2=﹣6．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据等差数列{a x}的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8，即可得到a1+…+a10=﹣6，即可求出答案．解答：解：∵f（x）=2x，f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，∴a2+a4+a6+a8+a10=2，又{a n}的公差为2，∴a1+a3+a5+a7+a9=（a2+a4+a6+a8+a10）﹣5d=﹣8，∴a1+a2+…+a9+a10=﹣6，∴log2=log22﹣6=﹣6．故答案为：﹣6．点评：本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则．属基础题．17．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=+2．则函数g（x）的值域为（2，3]；满足方程f（x）﹣g（x）=0的x的值是log．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据指数函数的性质结合不等式求解，（2）分类求解方程：2x﹣﹣2=0，即可．解答：解：（1）∵2|x|≥1，∴，∴2＜+2≤3故g（x）的值域是（2，3]．故答案为（2，3]．（2）由f（x）﹣g（x）=0，当x≤0时，﹣2=0，显然不满足方程，即只有x＞0时满足2x﹣﹣2=0，整理得（2x）2﹣2•2x﹣1=0，（2x﹣1）2=2，故2x=1±，即x=log2（1+）．故答案为；log点评：本题考察了指数函数的性质，求解方程等问题，属于中档题．三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内．18．（12分）已知向量=（2cos（+x），﹣1），=（﹣sin（），cos2x），定义函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最大值和最小值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC 的面积S．考点：正弦定理的应用；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）首先对向量进行化简，利用三角函数的基本关系确定函数f（x）的解析式，从而求出f（x）的最大，最小值．（2）根据已知条件以及（1）中的结论确定A的值，再利用三角形的面积公式求出面积S．解答：解：（1）∵，．∴f（x）=•=（﹣2sinx，﹣1）•（﹣cosx，cos2x）=（﹣2sin x，﹣1）•（﹣cos x，cos 2x）=（﹣sinx）•（﹣cosx）﹣cos2x=sin 2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最大值和最小值分别是和﹣．（2）∵f（A）=1，∴，∴sin（2A﹣）=．又∵0＜A＜π∴2A﹣=或2A﹣=．∴A=或A=．又∵△ABC为锐角三角形，∴A=．∵bc=8，∴△ABC的面积S═×8×=2．点评：本题考查三角函数基本关系的应用，正弦定理等知识．属于中档题．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（13分）已知函数，其中ω为使f（x）能在时取得最大值的最小正整数．（1）求ω的值；（2）设△ABC的三边长a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A 时，求f（x）的值域．考点：两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为，再根据在时取得最大值可得，由此求得ω的最小正整数值．（2）△ABC中，由b2=ac 以及余弦定理可得，可得，即，再利用正弦函数的定义域和值域求得当x∈A时，f（x）的值域．解答：解：（1）∵函数=sin2ωx﹣=，由于f（x）能在时取得最大值，故，即，故ω的最小正整数值为2．…（5分）（2）△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，再由b2=ac，可得a2+c2﹣2accosB=ac，化简得，当且仅当a=c时，取等号．求得，可得，即．…（8分）∴，（）∴，∴，…（10分）∴函数f（x）的值域是．…（12分）点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（13分）设函数f（x）=，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，f（x1）=，f（x n）=x n+1（n∈N*）．（1）求f（x）的表达式；（2）求x2015的值；（3）若a n=﹣4023且b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜n+1．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由x=，得ax（x+2）=x（a≠0），由此能求出f（x）=．（2）由f（x n）=x n+1，得=x n+1，从而数列是以为首项，为公差的等差数列．由此能求出x n=，从而x2015==．（3）由x n=，得a n=2n﹣1，从而b n=1+﹣，由此能证明b1+b2+…+b n＜n+1．解答：（1）解：由x=，得ax（x+2）=x（a≠0），所以ax2+（2a﹣1）x=0，当且仅当a=时，方程x=f（x）有唯一解．从而f（x）=．（2）解：由已知f（x n）=x n+1，得=x n+1，∴=+，即=（n∈N*），∴数列是以为首项，为公差的等差数列．∴=+（n﹣1）×=，故x n=．∵f（x1）=，∴=，解得x1=．∴x n==，故x2015==．（3）证明：∵x n=，∴a n=4×﹣4 023=2n﹣1，∴b n====1+﹣，∴b1+b2+…+b n﹣n=﹣n=1﹣＜1．故b1+b2+…+b n＜n+1．点评：本题考查函数的表达式的求法，考查数列的第2005项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（14分）已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，当x1≠x2时，都有＜﹣1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；分类讨论；函数思想；导数的综合应用．分析：（1）对f（x）求导，利用f′（x）＞0判断函数单调增，f′（x）＜0函数单调减，求出单调区间；（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在（0，2]上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+，（x＞0）；∴f′（x）=﹣=，当a=时，令f′（x）＞0，即x2﹣x+1＞0，解得x＞2，或x，∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为（，2）；﹣﹣﹣5分（注：两个单调增区间，错一个扣1分）（2）∵＜﹣1，∴+1＜0，即＜0；设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数；﹣﹣﹣8分当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，h′（x）=﹣+1；令h′（x）≤0，解得a≥+（x+1）2=x2+3x++3对x∈时恒成立；设m（x）=x2+3x++3，则m′（x）=2x+3﹣，∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣＞0，∴m（x）在上是增函数，则当x=2时，m（x）的最大值为，∴a≥；…11分当0＜x＜1时，h（x）=﹣lnx++x，h′（x）=﹣﹣+1，令h′（x）≤0，解得a≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1，设t（x）=x2+x﹣﹣1，则t′（x）=2x+1+＞0，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0；﹣﹣﹣13分综上所述，a的取值范围{a|a≥}．﹣﹣﹣14分点评：本题考查了导数的综合应用问题，也考查了构造函数来研究函数的单调性与最值问题和分类讨论思想，是综合性题目．。
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(文)试卷
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学（文）试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数11z i=+的共轭复数是（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2、已知集合2{|,},{|2,}xM x x x x R N x y x R =≥∈==∈，则M N =( )A ．(]0,1B ．()0,1C ．[)0,1D ．[]0,1 3、”lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4， 则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165、经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据球的回归方程为ˆˆˆybx a =+，且直线:18100l x y +=，则点ˆˆ,a b 满足（ ） A ．在l 左侧 B ．在l 右侧 C ．在l 上 D ．无法确定 6、已知函数()2ln(28)f x x x =-++，则函数()f x 的增区间为（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()2,1-D ．()1,4 7、从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（ ）A ．483B ．482C ．481D ．4808、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点P 作与实轴平行的直线，交两渐近线于,M N 两点，若23PM PN b ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 B．3 D．39、非空数集123{,,,,}n A a a a a =(,0)n n N a *∈>中，所有元素的算术平均数即为()E A ，即()123n a a a aE A n++++=，若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆;②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“包均值子集”，据此，集合{}1,2,3,4,5的子集中是“包均值子集”的概率是（ ） A ．732 B ．316 C ．532D ．1810、已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡对应的题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题湖北卷和答案
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2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i为虚数单位，607i=（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】A.【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B.【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力. 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性. 6.函数256()4||lg3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题. 【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b<时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA =，则OA OB⋅=_________．【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题. 【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB=.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2g a. 当a=_________=-在区间[0,1]上的最大值记为()()||f x x ax时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法. 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π125π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力. 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向. 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC.四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x'<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1MN=．当栓子D在DN ON==，3滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题. 【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。
湖北省部分重点中学2015—2016 学年度上学期新高三起点考试数学试题(文科)(含详细答案)
湖北省部分重点中学2015—2016 学年度上学期新高三起点考试数学试题（文科）考试时间:本卷考试时间14:00—16:00 本卷满分150 分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数在复平面上对应点是2．设全集I=R，若集合3．等差数列中且a 1 + a 2 =10，a 3 + a 4 =26，则过点的直线A.2 B. 3 C.4 D. 54．设函数f (x )= sin（ωx+ φ）（ω>0，|φ|<）的图象关于直线x=—对称，它的周期T=π，则下面结论正确的是A.f (x ) 的图象的一个对称中心为（，0）B.f (x ) 的图象的两个相邻对称轴之间距离为C.f (x ) 在区间上是增函数D.5．如图1 是某区参加2015 届高考学生的身高条形统计图，从左到右的各条形图表示的学生人数依次记为（如A2 表示身高在［150,155）内的学生人数，图 2 是统计图1 中身高在［160,185）（单位：厘米）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．i ＜9? B．i ＜8? C．i ＜7?D．i ＜6?6．在ΔABC 中，“sin A>sin B”是“A>B”的（）条件A. 充分必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 不充分不必要7．在一次试验中，测得（x，y）的四组数据为（1，3）（2，3.8）（3，5.2）（4，6），则y 与x 之间的回归直线方程是A. y=x+1.9B. y=1.04x+1.9C. y=0.95x+1.04D. y=1.05x—0.98．实数a，b 满足a>0 ，b>1，a+b= ，则的最小植为9．从某企业的某种产品中抽取n 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：其中第二小组的频数为36，则n 为A. 200 B .400 C .2000 D. 400010．在区间［—π，π］内随机取两个数a ，b ；则使得函数f (x )= x2+ 2ax—b2+ π 2有零点的概率为11．已知A 为椭圆上一点，E ，F 分别为椭圆的左右焦点，∠EAF=90°，设AE 的延长线交椭圆于B，又|AB|=|AF|，则椭圆的离心率e 为A12．设函数，其中［x］表示不超过的最大整数，如[－1.8] ＝－2，[2.1]＝2，则下列命题①f (x )为周期函数;②f (x )的值域［0，1 ］;③f (x )的图象对称中心为（k，0）k∈ z;④f (x ) 为偶函数;⑤ y= f (x ) —的零点个数为3 ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ⑤①二、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分，共20 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知几何体的三视图，该几何体的体积为＿＿＿14 ．设变量满足约束条件, 则3x—2y 的最大值为＝＿＿＿＿15．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是＿。
湖北省百所重点中学2015届高三数学十月联合考试试题 文(含解析)新人教A版
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题文科试题【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合22{|60}{|50}M x Z x x N x x=∈-+>=-<，则M N等于A．{}1,2,3B．{}1,2C．{}2,3D．{}3,4【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】B 解析：由M中不等式变形得：x（x﹣6）＜0，解得：0＜x＜6，即M={1，2，3，4，5}；由N中不等式解得：﹣＜x＜，即N=（﹣，），则M∩N={1，2}．故选：B．【思路点拨】求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M 与N的交集即可．【题文】2、2014cos()3π的值为A．12 B．32 C．12-D．32-【知识点】运用诱导公式化简求值．C2【答案解析】C 解析：cos（）=cos（670+）=cos=cos（π+）=﹣cos=﹣，故选：C．【思路点拨】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【题文】3、已知“0(0)t m m<<>”是“函数()23f x x tx t=--+在区间()0,2上只有一个零点”的充分不必要条件，则m的取值范围是A．()0,2B．(]0,2C．()0,4D．(]0,4【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】C 解析：对于函数f（x）=﹣x2﹣tx+3t，在区间（0，2）上只有一个零点时，只能△=t2+12t ＞0，即t ＜﹣12，或t ＞0；此时，f （0）f （2）=3t （t ﹣4）＜0，解得0＜t ＜4；∵0＜t ＜m （m ＞0）是函数f （x ）在（0，2）上只有一个零点的充分不必要条件； ∴0＜m ＜4． 故选C ．【思路点拨】先根据函数f （x ）解析式求出该函数在（0，2）上存在零点时t 的取值范围：0＜t ＜4，所以由0＜t ＜m （m ＞0）是f （x ）在（0，2）上存在一个零点的充分不必要条件，得到：0＜m ＜4．【题文】4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．33B ．33-C ．13-D ． 23-【知识点】两角和与差的正弦函数．C5【答案解析】B 解析：把sinα+cosα=2m 两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=，故选：B【思路点拨】把sinα+cosα=2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案．【题文】5、已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2log (21)f x x =+，则1()2f -等于 A ．2log 3 B ．2log 5 C ．1 D ．1-【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】D 解析：∵由f （x ）是定义在R 上的奇函数可得f （﹣x ）=﹣f （x ）， ∴f （﹣）=﹣f （）=﹣=﹣1．故选：D ．【思路点拨】由f （x ）是定义在R 上的奇函数可得f （﹣）=﹣f （），由此可解得f （﹣）的值．【题文】6、已知非零向量,a b ，满足1b =，且b 与b a -的夹角为30，则a的取值范围是A ．1(0,)2B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】D 解析：根据题意，作；∴，且∠A=30°；过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长度便是的最小值；在Rt △CDA 中，CA=1，∠A=30°，∴CD=；∴的取值范围是[，+∞）．故选D ．【思路点拨】在空间任取一点C ，分别作，则，并且使∠A=30°．从而便构成一个三角形，从三角形中，便能求出的取值范围．【题文】7、设3518,log ,log 345a b c ===，则,,a b c 之间的大小关系是A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【知识点】对数的运算性质. B7【答案解析】C 解析：a=，b=log9，c=log8，∵=＜，．∴c ＞a ＞b ．故选：C ．【思路点拨】利用对数函数的单调性可得=＜，．即可得出．【题文】8、给出下列命题，其中错误的是 A ．在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D ．函数sin 3cos (0)y x x ωωω=+≠最小正周期为π的充要条件是2ω=【知识点】命题的真假判断与应用．A2 【答案解析】D 解析：对于A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，即由正弦定理有sinA ＞sinB ，故A 正确；对于B ．在锐角△ABC 中，A+B ＞，则A ＞﹣B ，由y=sinx 在（0，）上递增，则sinA ＞sin （﹣B ）=cosB ，故B 正确；对于C ．把函数y=sin2x 的图象沿x 轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin （ωx），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D错．故选D．【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x 而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D．【题文】9、已知,a b R∈，函数()tanf x x=在4xπ=-处于直线2y ax bπ=++相切，则()lng x bx x a=-+在定义域内A．有极大值1e B．有极小值1e C ．有极大值12e-D ．有极小值12e-【知识点】正切函数的图象. C3【答案解析】D 解析：由函数f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根据函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入直线y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定义域（0，+∞）上存在最小值为g（）=2﹣，故选：D．【思路点拨】先求出f′（x）=，再由条件根据导数的几何意义可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式．再根据g′（x）的符号，求出g（x）的单调区间，从而求得g（x）的极值．【题文】10、函数()f x是定义在R上的偶函数，且满足()()2f x f x+=，当[]0,1x∈时，()2f x x=，若方程()0(0)ax a f x a+-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A．1(,1)2 B．[]0,2C．()1,2D．[)1,+∞【知识点】抽象函数及其应用．B9【答案解析】A 解析：由f （x+2）=f （x ）可得函数f （x ）的周期为2，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x ，又f （x ）为偶函数，则当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣2x ， 由ax+a ﹣f （x ）=0得f （x ）=ax+a ，作出y=f （x ）和y=ax+a 的图象，要使方程ax+a ﹣f （x ）=0（a ＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a 的斜率必须满足kAC ＜a ＜kAB ，由题意可得A （﹣1，0），B （1，2），C （3，2），则kAC==， kAB==1．即有＜a ＜1．故选A ．【思路点拨】由f （x+2）=f （x ）可得函数f （x ）的周期为2，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x ，又f （x ）为偶函数，则当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣2x ，作出y=f （x ）和y=ax+a 的图象，要使方程ax+a ﹣f （x ）=0（a ＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足kAC ＜a ＜kAB ，运用斜率公式即可． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上 11、函数2ln(1)4y x x =-+-的定义域为 【知识点】函数的定义域及其求法．B1【答案解析】1,2解析：∵，∴1x2＜．故答案为：1,2．【思路点拨】根据对数的性质，二次根式的性质得不等式组，解出即可． 【题文】12、化简2log2lg 5lg 2lg 2+-的结果为【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25．【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【题文】13、设α为锐角，若3cos()65πα+=，则sin()12πα-=【知识点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．C5【答案解析】210 解析：根据题意求得sin （α+）=，再根据sin （α﹣）=sin[（α+）﹣]，再利用两角差的正弦公式计算求得结果．【思路点拨】∵α为锐角，cos （）=为正数，∴α+是锐角，sin （α+）=， ∴sin （α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin （α+）cos﹣cos （α+）sin=﹣=，故答案为：．【题文】14、已知函数()1011212x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()b f a ⋅的取值范围是【知识点】函数的零点；函数的值域．菁B9【答案解析】3,24 解析：由函数，作出其图象如图，因为函数f （x ）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以若满足a ＞b≥0时f （a ）=f （b ）， 必有b ∈[0，1），a ∈[1，+∞），由图可知，使f （a ）=f （b ）的b ∈[，1），f （a ）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a ）∈[，2）．故答案为[，2）．【思路点拨】首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a ＞b≥0时，要使f （a ）=f （b ），必然有b ∈[0，1），a ∈[1，+∞），然后通过图象看出使f （a ）=f （b ）的b 与f （a ）的范围，则b•f（a ）的取值范围可求．【题文】15、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 【知识点】复合命题的真假．A2【答案解析】(],2-∞;131,,2128⎛⎤⎡⎤-∞-⋃- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 解析：（1）若p 为真，则，解得：m ＞2，若￢p 是真命题，则p 是假命题，故实数m 的取值范围是：（﹣∞，2]；（2）对于q ：设f （x ）=4x2+4（m ﹣2）x+1，由q 为真可得，解得：﹣＜m ＜﹣，若q 为假，则m≤﹣或m≥﹣，∴若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，则有m≤﹣或﹣m≤2，即m 的范围是：（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]；故答案为：（﹣∞，2]，（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]．【思路点拨】（1））若p 为真，求出m 的范围，若￢p 是真命题，则p 是假命题，从而得出m 的范围；（2）由q 为真可得m 的范围，若q 为假，求出m 的范围，若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，从而求出m 的范围．【题文】16、如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上（1）若点F 是CD 的中点，则AE AF ⋅= (2)若2AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是【知识点】平面向量数量积的运算．菁优F3 【答案解析】（1）3; (2) 2解析：（1）=（）•（+）=（）•（）=++=×（2+4）+0=3； （2）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系， 则A （0，0），B （，0），C （，2），D （0，2），E （，1），设F （x ，2），则=（，0），=（x ，2），由•=，x=，则x=1，即F （1，2），=（1﹣，2），=（，1），则•=（，1）•（1﹣，2）=（1﹣）+2=．故答案为：3，【思路点拨】（1）由向量的加法和数乘及数量积的性质，即可求出•；（2）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，写出A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设F （x ，2），则=（，0），=（x ，2），由条件即可得到x=1．F （1，2），再由向量的坐标公式和数量积的坐标表示，即可得到所求．【题文】17、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2B a b =+，若ABC ∆的面积为32S c=，则ab 的最小值为【知识点】正弦定理．C8 【答案解析】12 解析：在△ABC 中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C ）+sinB ，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB ，∴2sinBcosC+sinB=0， ∴cosC=﹣，C=．由于△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c ，∴c=ab ．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b 时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．【思路点拨】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c ，求得c=ab ．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab 的最小值．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18、（本小题满分12分） 在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，满足()(sin sin )sin sin a b A B c C a B --=-．（1）求角C 的大小；（2）若7,c a b =>，且ABC ∆的面积为332，求ba 的值．【知识点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）C=．（2）=． 解析：（1）△ABC 中，由（a ﹣b ）（sinA ﹣sinB ）﹣csinC ﹣asinB ， 利用正弦定理可得（a ﹣b ）（a ﹣b ）=c2﹣ab ，即a2+b2﹣c2=ab ．再利用余弦定理可得，cosC==，∴C=．（2）由（1）可得即 a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC 的面积为=，∴ab=6 ②．由①②可得 =． 【思路点拨】（1）△ABC 中，由条件利用正弦定理求得 a2+b2﹣c2=ab ．再利用余弦定理求得cosC 的值，可得C 的值．（2）由（1）可得即 a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC 的面积为=，可得ab=6 ②．由①②可得的值． 【题文】19、（本小题满分12分）已知向量(sin,cos),(cos,cos) a x x b x x==-．（1）若()b a b⊥-，且cos 0x≠，求5sin2sin(2)2x xπ++的值（2）若()f x a b=⋅，求()f x在[,0]4π-上的最大值和最小值．【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．菁C7 F3【答案解析】（1）﹣；（2）最大值为﹣1，最小值为﹣﹣．解析：（1）∵向量=（sinx，cosx ），=（cosx，﹣cosx），∴=sinxcosx﹣cos2x，=2cos2x，∵⊥（﹣），∴（）=0，即有=，∴sinxcosx=3cos2x，∵cosx≠0，∴sinx=3cosx，即tanx=3．∴sin2x+sin（+2x）=sin2x+cos2x====﹣；（2）f（x）=•=sinxcosx ﹣cos2x=sin2x ﹣=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣，由于x∈[﹣，0]，则2x﹣∈[﹣，﹣]．则有sin（2x﹣）∈[﹣1，﹣]，故f（x）∈[﹣﹣，﹣1]，则f（x）在[﹣，0]上的最大值为﹣1，最小值为﹣﹣．【思路点拨】（1）由⊥（﹣），得到（）=0，即有sinxcosx=3cos2x，由cosx≠0，即tanx=3．再由诱导公式和二倍角公式，将所求式子化为含正切的式子，代入即可得到；（2）化简f（x），运用二倍角公式，注意逆用，及两角差的正弦公式，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【题文】20、（本小题满分13分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值．【知识点】函数模型的选择与应用．菁B10【答案解析】（1）330（万元）;（2）f （x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150）， 当x=90时，f （x ）取得最大值为350（万元）． 解析：（1）售价为50元时，销量为15﹣0.1×50=10万套， 此时每套供货价格为30+（元），则获得的总利润为10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20， ∴售价为100元时，销售总利润为；（15﹣0.1×1000（100﹣30﹣）=330（万元）．（2）由题意可知每套商品的定价x 满足不等式组，即0＜x ＜150，∴f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），∴f′（x ）=﹣0.2x+18，令f′（x ）=0可得x=90，且当0＜x ＜90时，f′（x ）＞0，当90＜x ＜150时，f′（x ）＜0， ∴当x=90时，f （x ）取得最大值为350（万元）． 【思路点拨】（1）由题意可得10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x＜150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值．【题文】21、（本小题满分14分）已知函数()2(0)2mx nf x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos22f xθθθ≤++-对任意的实数θ和正实数x恒成立，求实数m的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案解析】（1）0＜m≤．（2）（﹣∞，0）∪（0，2]．解析：（1）∵函数f（x）=（m≠0）是定义在R上的奇函数．∴f（0）=0，即=0，∴n=0，∴f（x）=，显然f（﹣x）=﹣f（x）成立，故n=0时f（x）为R上的奇函数，∴f′（x）==，∵m＞0，∴﹣m＜0，由f′（x）＞0可得x2﹣2＜0，解得﹣＜x＜，即f（x）的递增区间是（﹣，），由题意只需（﹣m，m）⊆（﹣，），∴0＜m≤，∴f（x）在（﹣m，m）上递增的充要条件是0＜m≤．（2）设g（x）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，∵f（x）≤sinθcosθ+cos2θ+﹣对任意的实数θ和正实数x恒成立，∴f（x）≤g（x）min恒成立，∵g（x）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣=sin2θ+﹣=sin2θ+cos2θ+=sin（2θ+）+，∴g（x）min=﹣+=，∴只需f （x）≤，即≤，∵x＞0，∴只需≤，即m≤（x+）恒成立，而（x+）≥×2=2，当且仅当x=时取得最小值2，∴m≤2，又m≠0，∴实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，2]．【思路点拨】（1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x）＞0解得即可；（2）设g（x）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，由题意得只需f（x）≤g（x）min恒成立，利用三角变换求得g（x）的最小值，列出不等式解得即可．【题文】22、（本小题满分14分）已知()ln(,1mf x n x m nx=++为常数)，在1x=处的切线为20x y+-=．（1）求()y f x=的单调区间；（2）若任意实数1[,1]xe∈，使得对任意的[]1,2t∈上恒有()322f x t t at≥--成立，求实数a的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12 【答案解析】（1）f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间．（2）[，+∞）．解析：（1）f（x）=+nlnx定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=1，把x=1代入x+y﹣2=0可得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x ）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x ）＜0，∴f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间．（2）由（1）可知，f（x）在[，1]上单调递减，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即2a≥t2﹣t+对任意的t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+则g′（t）=2t﹣1﹣=，∵t∈[，2]，∴2t3﹣t2﹣1=（t﹣1）（2t2+t+1），∴在t∈[，1]上g（t）单调递减，在[1，2]上g（t）单调递增，又g（）=，g（2）=，∴g（t）在[，2]上的最大值是，∴只需2a≥，即a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．【思路点拨】（1）利用导数的几何意义，求出函数的解析式，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）可知，f（x）在[，1]上单调递减，f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即2a≥t2﹣t+对任意的t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+，利用导数求得g（t）的最大值，列出不等式即可求得结论．。
2015年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。
湖北省部分学校2015届高三数学上学期一轮复习质量检测试题 文(含解析)
稳派湖北省部分学校2015届高三一轮复习质量检测文科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设i是虚数单位，若复数2i1im-+为纯虚数，则实数m的值为A．2B．2-C．12D．12-【答案】A【解析】依题意2i(2i)(1i)22i1i(1i)(1i)22m m m m----+==-++-．由复数2i1im-+为纯虚数可知22m-=，且22m+≠，求得2m=．故选A．【解题探究】本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念．2．某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y+的值为A．6B．8C．9D．11【答案】B．【解析】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是80，80x+，85，因为甲班学生成绩众数是85，所以85出现的次数最多，可知5x=．由茎叶图可知，乙班学生成绩为76，81，81，80y+，91，91，96，由乙班学生成绩的中位数是83，可知3y=．所以8x y+=．故选B．【解题探究】本题主要考查统计中的众数与中位数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x y+的值．甲乙8 9 7 65 x0 8 1 1 y6 2 9 1 1 63．已知()3sin f x x x π=-，命题:p (0,)2x π∀∈，()0f x <，则 A ．p 是假命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x ≥ B ．p 是假命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥C ．p 是真命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥ D ．p 是真命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x > 【答案】C ．【解析】因为()3cos f x x π'=-，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，即对(0,)2x π∀∈，()(0)0f x f <=恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥．故选C ．【解题探究】本题考查函数的单调性与全称命题的否定．解题首先判断命题p 的真假，然后再将命题p 写成p ⌝的形式，注意特称命题与全称命题否定形式的基本格式．4．执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D ．【解析】每次循环的结果分别为：0n =，0S =；1n =，1S =；2n =，112S =+=；3n =，213S =+=；4n =，325S =+=； 5n =，527S =+=，这时4n >，输出7S =．故选D ．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过x 的最大整数[]x 的理解．要得到该程序运行后输出的S 的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件4?n >调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序．5．一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为922cm ，则h 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形 的四棱柱，其底面直角梯形的上底为2，下底为5，高为4，四棱柱的高为h ，则几何体的表面积2524(2452+⨯⨯+++2234)h ++92=，即1664h =，解得4h =．故选A ．【解题探究】本题考查立体几何中的三视图及几何体的表面积计算．通过题中给出的三视图，分析可以得到该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，然后依据四棱柱的表面积公式进行计算．6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb +的值为A ．22 B ．2 C ．2 D ．4【答案】C ．【解析】由正弦定理得sin sin 3sin cos 0B A A B -=，因为sin 0A ≠，所以0cos 3sin =-B B ．所以tan 3B =，又0B π<<，所以3B π=．由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即22()3b a c ac =+-，又2b ac =，所以224()b a c =+，求得2a cb +=．故选C ．【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B ，再由余弦定理列出关于a ，c 的关系式，然后进行合理的变形，求出a cb +的值．7．设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|z x y =-的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C ．【解析】依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数|3|z x y =-，当直线经过点(2,2)A -时，|3|z x y =-取得最大值，即max |232|8z =--⨯=．故选B ．【解题探究】本题考查线性规划问题中的最优解．求解先画出满足条件的可行域，再通过平移直线13y x=找到在可行域中满足使|3|z x y =-取得最大值的点．8．函数()2tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图象大致是【答案】D .【解析】定义域(,)22ππ-关于原点对称，因为()2tan (2tan )()f x x x x x f x -=-+=--=-，所以函数()f x 为定义域内的奇函数，可排除B ，C ；因为2()tan 0333f πππ=->，55()126f ππ=-tantan546(23)061tan tan 46πππππ+=-+<-⋅，可排除A .故选D .【解题探究】本题考查函数图象的识别. 求解这类问题一般先研究函数()y f x =的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破．9．已知双曲线:C 22221x y a b -=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB△的内切圆半径为A1 B1 C．3 D．3【答案】C ．【解析】由2c e a ====，可得b a =2b y x a p x ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --，所以122AOB bp p S a =⨯⨯=△ba =24p =，解得2p =．所以(A -，(1,B -，则AOB △的三边分别为2，2，AOB △的内切圆半径为r ，由1(222r ++=3r =．故选C ．【解题探究】本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．10．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，2x （12a x x b <<<），满足1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a -'=-，则称数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为[],a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m=-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是A .3(1,)2B . 3(,3)2C .(1,2)(2,3)D .33(1,)(,3)22【答案】B .【解析】由题意可知，在[]0,m 上存在1x ，2x （120x x m <<<），满足12()()f x f x ''==3221()(0)1303m m f m f m m m m --==--，因为2()2f x x x '=-，所以方程22123x x m m -=-在[]0,m上有两个不同的根.令221()23g x x x m m=--+（0x m<<），则222444031(0)032()031m mg m mg m m mm⎧=+->⎪⎪⎪=-+>⎪⎨⎪=->⎪⎪⎪>⎩△，解得332m<<，所以实数m的取值范围是3(,3)2．故选B．【解题探究】本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数()f x的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m 所满足的条件，解之即得所求.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）11．已知集合|A x y⎧⎫==⎨⎩，{}2|log(2)B x y x==-，则()A B=R．【答案】[)2,3．【解析】因为|(2,3)A x y⎧⎫===-⎨⎩，{}()2|log(2),2B x y x==-=-∞，则BR[)2,=+∞，所以()[)2,3A B=R．故填[)2,3．【解题探究】本题主要考查函数定义域的求解和集合的补集、交集运算．求解集合A时要注意两点：一是根式有意义的条件，二是分母不能为0；求解集合B的补集，要注意区间端点的取值．12．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为45y x a=+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为．【答案】9.5．【解析】由表中数据得7x =， 5.5y =，由(,)x y 在直线45y x a =+，得110a =-，即线性回 归方程为41510y x =-．所以当12x =时，41129.5510y =⨯-=，即他的识图能力为9.5．故填9.5．【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的a 值，方法是利用样本点的中心(,)x y 在线性归回方程对应的直线上． 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10k k S S +<的正整数k = ．【答案】12．【解析】依题意6650a S S =->，7760a S S =-<，67750a a S S +=->，则1111111()2a a S +=6110a =>，671121212()12()022a a a a S ++==>，11313713()1302a a S a +==<，所以12130S S <，即满足10k k S S +<的正整数k =12．故填12．【解题探究】本题考查数列的前n 项和与通项na 关系的应用．解题首先由675S S S >>得到6a ，7a 的符号，进而推理出12130S S <．14．过点(2,3)P 的直线l 将圆Q ：22(1)(1)16x y -+-=分成两段弧，当形成的优弧最长时，则 （1）直线l 的方程为 ； （2）直线l 被圆Q 截得的弦长为 ． 【答案】280x y +-=；【解析】（1）设圆心为(1,1)Q ，由圆的性质得，当直线l PQ ⊥时，形成的优弧最长，此时31221PQ k -==-，所以直线l 的斜率为12k =-．于是有点斜式得直线l 的方程为13(2)2y x -=--，即280x y +-=．故填280x y +-=．（2）圆心(1,1)Q 到直线280x y +-=的距离为d ==，设直线l 与圆Q 相交于点A ，B ，则弦长||AB==． 【解题探究】本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线l PQ ⊥时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线l 的方程；第（2）问先求出圆心到直线l 的距离，再计算直线l 被圆Q 截得的弦长．15．已知正实数a ，b 满足123a b +=，则(1)(2)a b ++的最小值是 ．【答案】509．【解析】因为0a >，0b >，所以123a b =+≥3≥，求得89ab ≥，当且仅当12123a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以ab 的最小值是89．又1223b a a b ab ++==，即2a b += 3ab ，所以850(1)(2)22424299a b ab a b ab ++=+++=+≥⨯+=．故填509．【解题探究】本题考查二元均值不等式的应用．首先由条件123a b +=得到89ab ≥，再对(1)(2)a b ++展开求出其最小值．16．我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．【答案】32π．【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又2Г的体积为3443V π=⨯- 3422643ππ⨯⨯=，于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景，考查旋转体的体积求解和类比推理能力．解题时首先由问题给出的图形旋转，求出旋转体2Г的体积，然后利用祖暅原理分析出旋转体1Г的体积与旋转体2Г的体积之间的关系，进而得到1Г的体积．17．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点． （1）若向正方形ABCD 内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形ABD 内的概率为 ； （2）设PAB θ∠=，向量AC DE AP λμ=+(λ，μ∈R )，若1μλ-=，则θ= .【答案】4π；2π.【解析】（1）所求概率为扇形ABD 的面积与正方形ABCD 的面积的比值，设正方形边长为a ，则所求概率为22144a P a ππ==.故填4π. （2）不妨设正方形边长为1，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则1(,1)2DE =-，(1,1)AC =，(cos ,sin )AP θθ=.由AC DE AP λμ=+，得1cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2sin 2cos sin 2cos 3sin 2cos θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.由1μλ-=，求得sin 1θ=，从而2πθ=.故填2π. 【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边长为1，则点P 在单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点P 的坐标.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）BACDEPxy18.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若4OQ =，5OP =，13PQ =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位后得到函数()y g x =的图象，当(1,2)x ∈-时，求函数()()()h x f x g x =⋅的值域．【解析】（1）由条件知2224(5)(13)5cos 5245POQ +-∠==⨯⨯，所以(1,2)P ． （2分） 由此可得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=．将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，于是()2sin()63f x x ππ=+． （6分）（2）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x xπππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦． 所以2()()()4sin()sin 2sin 23sin cos 636666h x f x g x x x x x xππππππ=⋅=+⋅=+⋅ 1cos3sin12sin()3336x x x ππππ=-+=+-． （9分）当(1,2)x ∈-时，），（22-6x 3ππππ∈-，所以）（,11-)6x 3sin(∈-ππ，即）（,31-)6x 3sin(21∈-+ππ．于是函数()h x 的值域为（-1,3）． （12分）【命题立意】本题主要考查三角函数的图象和性质．第（1）问从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，14T的长度，由此推理出三角函数的解析式；第（2）问考查三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，求解三角函数的值域，关注自变量x 的取值范围是解题的关键，同时还要结合三角函数的图象进行分析，才能准确求出其函数值域.19.（本小题满分12分）设二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ，0a <），关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素． （1）设数列{}n a 的前n 项和()n S f n =（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2n f n b n -=（n *∈N ），则数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．【解析】（1）因为关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，所以二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ）的图象与x 轴相切， 则2()420a =--⨯=△，考虑到0a <，所以a =-．从而22()2(f x x x =++=+，所以数列{}n a 的前n项和2(nS n =（n *∈N ）． （3分）于是当2n ≥，n *∈N时，221((1)21n n n a S S n n n -⎡=-=--+=+⎣， 当1n =时，211(13a S ===+ 所以数列{}n a的通项公式为3121,2,n n a n n n *⎧+=⎪=⎨+≥∈⎪⎩N ． （6分）（2）()2n f n b n n -==+假设数列{}n b 中存在三项p b ，q b ，r b （正整数p ，q ，r 互不相等）成等比数列，则2qp r b b b =，即2((q p r +=++，整理得2()2)0pr q p r q -++-=． （9分） 因为p ，q ，r 都是正整数，所以2020pr q p r q ⎧-=⎨+-=⎩，于是2()02p r pr +-=，即2()0p r -=，从而p r =与p r ≠矛盾． 故数列{}n b 中不存在不同的三项能组成等比数列． （12分）【命题立意】本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，得到()n S f n =，然后由此求出数列{}n a 的通项公式，由n S 求通项n a 时注意检验初始项1a 是否满足；第（2）问判断数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．20.（本小题满分13分）如图，AB 为圆O 的直径，E 是圆O 上不同于A ，B 的动点，四边形ABCD 为矩形，且2AB =，1AD =，平面ABCD ⊥平面ABE ． （1）求证：BE ⊥平面DAE ；（2）当点E 在AB 的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33．【解析】（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以DA AB ⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABE ， 且平面ABCD平面ABE AB =，所以DA ⊥平面ABE ，而BE ⊆平面ABE ，所以DA ⊥BE ． （3分） 又因为AB 为圆O 的直径，E 是圆O 上不同于A ，B 的 动点，所以AE BE ⊥． 因为DAAE A =，所以BE ⊥平面DAE ． （6分）（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，过点E 作EH AB ⊥交AB 于点H ，则EH ⊥平面ABCD ．在Rt BAE △中，记BAE α∠=（02πα<<），因为2AB =，所以2cos AE α=，sin 2cos sin sin 2HE AE αααα=⋅==，所以11221sin 2sin 2333E ABCD ABCD V S HE αα-=⨯=⨯⨯⨯=． （10分）由已知33E ABCD V -=，所以23sin 233α=，即3sin 22α=．BDCO•HBADCEO•因为02πα<<，所以23πα=，即6πα=；或223πα=，即3πα=．于是点E 在AB 满足6EAB π∠=或3EAB π∠=时，四棱锥E ABCD -的体积为3． （13分）【命题立意】本题考查立体几何中的线面关系的证明和四棱锥体积的计算．第（1）问先证明线线垂直，再证明线面垂直；第（2）问探求点E 在AB 的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为，从研究BAE α∠=的大小着手思考，通过体积建立关系求出α的大小．21.（本小题满分14分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．（1）当2a =时，求函数()f x 的最值；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a ee --<<． 【解析】（1）当2a =时，()ln 2(1)f x x x =--，定义域为(0,)+∞．对()f x 求导，得112()2x f x x x -'=-=． （2分）当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减．所以max 111()()ln 2(1)1ln 2222f x f ==--=-，没有最小值． （5分）（2）设切线2l 的方程为2y k x=，切点为22(,)x y ，则22x y e =，22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==．由题意知，切线1l的斜率为1211k k e ==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==，所以1111x y ax e ==-，111a x e =-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e -+-=． （8分）令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('x x x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e ∈，而111a x e =-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<． （10分） 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e=，所以1110a x e =-=（舍去）． （13分）综上可知，211e e a ee --<<． （14分） 【命题立意】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题.第（1）问利用导数求函数的单调区间，求解函数的最值；第（2）问背景为指数函数xy e =与对数函数ln y x =关于直线y x =对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y x =对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明．22.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且12||4A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN △面积的最大值． 【解析】（1）由12||24A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A -，2(2,0)A ．设00(,)P x y ，则000022002322414y y x x x y b ⎧⋅=-⎪++⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得23b =．于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ． （5分）（2）①当直线MN 垂直于x 轴时，设MN 的方程为x n =，由22143x y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得(M n，(,N n ，从而12OMN S n =⨯⨯=△当n =OMN △（7分） ②当直线线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，得222(34)84120k x kmx m +++-=． 2222644(34)(412)0k m k m =-+->△，化简得22430k m -+>． （9分）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122834kmx x k -+=+，212241234m x x k -=+，||MN ==，原点O 到直线MN的距离d =所以11||22OMNS MN d=⋅=≤=△当且仅当22342k m+=时，OMNS△（13分）综合①②知，OMN△．（14分）【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值讨论．第（1）问首先由12||4A A=得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA和2PA的斜率之积为34-求出几何量b的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN△的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN△的面积最值．。
试题精选_湖北省重点中学2015届高三上学期第二次月考数学文调研试卷_精校完美版
湖北省重点中学2015届高三上学期第二次月考数学文试题说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知全集{}2250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若MN ≠Φ，则a 等于（ ）A.1-B.2C.1-或2D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a ＝( )A.1-B.1C.D.3．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A. 23n a n =- B. 23n a n =+ C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ D. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩4．有关命题的说法中正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+=”； B ．命题“若2230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2230x x --≠，则3x ≠”； C ．若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有210x x ++≥。
5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）正视图侧视图6．若对正数x，不等式21x x≤+都成立，则a的最小值为（）A.1C.2D.127．已知ABC∆的三内角A、B、C所对边长分别为是a、b、c，设向量(),sina b C=+m，),sin sinc B A=+-n，若m n，则角B的大小为（）A.56πB.6πC.23πD.3π8．已知各项均为正数的的等比数列{}n a的前n项和为n S，若39a=，313S=，则{}n a的公比q等于（）A．43-B．3 C.3或43- D.139．定义在R上的偶函数()f x满足(2)()f x f x-=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（）A．(sin)(cos)f fαβ>B．(cos)(cos)f fαβ<C．(cos)(cos)f fαβ>D．(sin)(cos)f fαβ<10．点P是函数22lny x x=-的图象上任意一点，则点P到直线31y x=-的最小距离是．A B．(22ln210-C．(2ln210+D非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量()()1,1,2,2m nλλ=+=+，若()()m n m n+⊥-，则=λ．12．设数列{}n a是首项为1,公比为2-的等比数列,则12|a a+13．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为．俯视图A B C D14．在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 。
2015年高考文数真题试卷(湖北卷)【答案加解析】
2015年高考文数真题试卷（湖北卷）一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.（2015·湖北）i为虚数单位，（）A. -iB. iC. -1D. 12. （2015·湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3.(2015·湖北）命题“，,”的否定是（）A. B.C. ,D.4. （2015·湖北）已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是（）A. 与负相关，与负相关B. 与正相关，与正相关C. 与正相关，与负相关D. 与负相关，与正相关5.（2015·湖北）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（）A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（2015·湖北）函数的定义域为（）A. B. C. D.7.（2015·湖北）设,定义符号函数,则（）A. B. C. D.8.（2015·湖北）在区间的概率，为事件“”的概率，则（）A. B. C. D.9.(2015·湖北）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A. 对任意的B. 当时，；当时，C. 对任意的D. 当时，；当时，10.（2015·湖北）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A. 77B. 49C. 45D. 30二.填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡相对应的位置11.(2015湖北）已知向量，则________ ．12.（2015·湖北）.若变量x,y满足约束条件x+y≤4x-y≤23x-y≥0,则3x+y的最大值是________ ．13.(2015·湖北）函数fx=2sinxsinx+π2-x2的零点个数为________ .14. （2015湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的________ ；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为________ .15.(2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度=________ m.16.(2015湖北）a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当________ 时，的值最小.17.(2015·湖北）如图，已知圆c与x轴相切于点T1,0 ，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB=2（Ⅰ）圆C的标准方程为________ ；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________ .三.解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.（2015·湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．19.(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点，连接DE,BD,BE(I)证明：DE⊥底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值．20.(2015·湖北）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）设，，证明：当时，.四.综合题21.(2015·湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕[MISSING IMAGE: , ]转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（2）（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．答案解析部分一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的加减运算，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为,所以应选A.【点评】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.【答案】B【考点】简单随机抽样【解析】【解答】设这批米内夹谷的个数为，则由题意并结合简单随机抽样可知，，既，故应选B。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (文科)解析版
2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A .【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B .【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l表示空间中的两条直线，若p：12,l l是异面直线；q：12,l l不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A.【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.6.函数256()4||lg3x xf x xx-+=-+-的定义域为（）A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)(3,4] D．(1,3)(3,6]-【答案】C.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（）A．|||sgn|x x x=B．||sgn||x x x=C．||||sgnx x x=D．||sgnx x x=【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 【答案】C.【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)AB=.T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y-+-=；（Ⅱ）12--.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2()||f x x ax=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a=_________时，()g a的值最小. 【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a的表达式和分段函数在区间上的最值求法.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A xωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2 π 3π22π x π12 π3 7π12 5π6 13π12sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面A B C D ，所以P D B C ⊥. 由底面A B C D 为长方形，有B C C D ⊥，而P D C D D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.VV =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y+=（Ⅱ）当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题.【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。
湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题
湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题考试时间：8月10日 14:00-16:00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2. i 为虚数单位，512iz i=-, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64．已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则 ( )A. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,cos 1p x R x ⌝∀∈>D. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>5．若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 2C. 8D. －16．直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)(第3题图)8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则 ( )A. 123S S S ==B. 23S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 12S S =且 13S S ≠9．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C的离心率之积为，则2C 的渐近线方程为 ( )A.0y ±=B. 0x =C.20x y ±=D.20x y ±=10．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1f x <'，则不等式 ()1f x x <+的解集为 ( )A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .12. 某几何体的三视图如右图所示，根据所给尺寸（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm 。
湖北省大冶市部分重点中学2015届高三上学期期末联考数学文试题 Word版含答案
2014年秋季湖北省部分重点中学期末联考高三数学试题（文科）考试时间：2015年2月9日下午15：00—17：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合B A m B R x x x x A ⊆=∈-==若},,1{},,2|{2，则m 的值是（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．2或22．已知复数20152i i Z +-=（i 为虚数单位），则复数Z 的共轭复数Z 为（ ） A ．i 21+- B. i 21-- C. i 2 D. i 2- 3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=x 3B ．y=|x|+1C ．y=－x 2+1D ．y=||2x -4．对于单位向量)1,3()21,23(,,21121=+=a a a a a 是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知变量x,y 满足不等式组y x Z y x y x y x 28,02022012⋅=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-+则的最小值为（ ）A ．2-B ．41 C ．4 D ．8 6．互不相等的三个正数x 1,x 2,x 3成等比数列，且点)log ,(log 111y x P b a 、)log ,(log 222y x P b a 、 )l o g ,(l o g333y x P b a 共线（a>0,a ≠1，b>0,b ≠1），则y 1,y 2,y 3成（ ） A ．等差数列，但不成等比数列 B ．等比数列，但不成等差数列C ．等比数列，也可能成等差数列D ．既不是等差数列，又不是等比数列7．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足1()0M x M f x x M∈⎧=⎨∉⎩，（M 是R 的非空真子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且φ=⋂B A ，则1)()(1)()(+++=⋃x f x f x f x F B A B A 的值域为（ ）A ．]32,0(B ．{1}C ．{1,32,21}D ．[1,31]8．若函数f(x)在(0,1)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.01，则需对区间(0,1)至少二等分A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次9. 从双曲线15322=-y x 的左焦点F 引圆x 2+y 2=3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段PF 的中点，O 为原点，则|MO|－|MT|=（ ）A ．3B ．5C ．5－3D ．5+310．设函数,)(,ln )(xb ax x g x x f +==它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x>1时，f(x)与g(x)的大小关系是（ ）A ．f(x)>g(x)B ．f(x)<g(x)C ．f(x)=g(x)D ．f(x)与g(x)的大小不确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在题中的横线上.11．若实数a,b 满足a 2+b 2≤1，则关于x 的方程x 2－2x+a+b=0有实数根的概率是_______.12．已知空间几何体的正视图，侧视图都是边长为1的正方形，而俯视图是一个圆，则这一几何体的体积为__________.13．设函数f(x)=(x+sinx)(e x +a x e -)(x ∈R)是偶函数，则实数a=__________.14．若曲线C ：x 2+y 2+2ax －4ay+5a 2－4=0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为________.15．某程序框图如图所示，则输出的S=__________.16从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，则a =_________.17．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长AB=6，侧棱长AA 1=27，它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上任意一点，有以下判断： ①PE 的长的最大值是为9；②三棱锥P —EBC 的体积的最大值是332； ③三棱锥P —AEC 1的体积的最大值是20；④过点E 的平面截球O 所得截面面积最大时，B 1C 垂直于该截面，其中正确的命题是__________（ 把你认为正确的都写上 ）。
湖北省部分重点中学高三数学上学期起点考试试卷 文(含
湖北省部分重点中学2015 届高三上学期起点考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．（5分）i为虚数单位，z=，则i的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x∈R，cosx≥1B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1D．￢p：∃x∈R，cosx＞15．（5分）若x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）A．0 B．2 C．8 D．﹣16．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f （x）可以是（）A．f（x）=4x﹣1 B．f（x）=（x﹣1）2 C．f（x）=e x﹣1 D．f（x）=ln（x﹣）8．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S19．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=010．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据所给尺寸（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．13．（5分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查．若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为．14．（5分）已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．15．（5分）设x，y∈R，=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则（﹣2）•=．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B 两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．17．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=e x+x；②y=x2；③y=3x﹣sinx；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为．三、解答题：本大题共5小题，满分65分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．19．（12分）已知递增等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．20．（13分）如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=，BC=1，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B．（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．21．（14分）已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数t的取值范围．22．（14分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．解答：解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．2．（5分）i为虚数单位，z=，则i的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的除法运算化简z，由共轭复数的概念得答案．解答：解：z==，∴复数z的共轭复数为2﹣i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x∈R，cosx≥1B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1D．￢p：∃x∈R，cosx＞1考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可解答：解：命题p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称命题∴￢p：∃x∈R，cosx＞1，故选D．点评：本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．5．（5分）若x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）A．0 B．2 C．8 D．﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2，确定m的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2，得y=x﹣z，即当z=﹣2时，函数为y=x+2，此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方，由，解得，即A（3，5），同时A也在直线x+y=m上，即m=3+5=8，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．7．（5分）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f （x）可以是（）A．f（x）=4x﹣1 B．f（x）=（x﹣1）2 C．f（x）=e x﹣1 D．f（x）=ln（x﹣）考点：函数的零点．专题：计算题；压轴题．分析：先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25．解答：解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续，且g（）=+﹣2=﹣＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．又f（x）=4x﹣1零点为x=；f（x）=（x﹣1）2零点为x=1；f（x）=e x﹣1零点为x=0；f（x）=ln（x﹣）零点为x=，故选A．点评：本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法，属于基础题．8．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1考点：空间直角坐标系．专题：空间向量及应用．分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．9．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．10．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和，而﹣3和 2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5，由此求得所求不等式的解集．解答：解：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和，而﹣3和 2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5，故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据所给尺寸（单位：cm），则该几何体的体积为15cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以主视图为底面的柱体，计算出柱体的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以主视图为底面的柱体，棱柱的底面积S=2×2+×2×1=5，棱柱的高h=3，故棱柱的体积V=Sh=15，故答案为：15点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．13．（5分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查．若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样和古典概率计算公式求解．解答：解：采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校，则小学抽取=3所，中学抽取=2所，大学抽取=1所，∴从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率：p===．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意分层抽样的合理运用．14．（5分）已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由sinα﹣cosα=﹣，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．解答：解：由sinα﹣cosα=﹣，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=，化为1﹣sin2α=，则sin2α=．故答案为：．点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题．15．（5分）设x，y∈R，=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则（﹣2）•=﹣20．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．解答：解：∵⊥，∥，∴=2x﹣4=0，2y+4=0，解得x=2，y=﹣2．则（﹣2）•==﹣2×[2﹣2×（﹣4）]=﹣20．故答案为：﹣20．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、向量坐标运算，属于基础题．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B 两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M 是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．17．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=e x+x；②y=x2；③y=3x﹣sinx；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为①③．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=e x+x为增函数，满足条件．②函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．③y=3x﹣sinx，y′=3﹣cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为①③，故答案为：①③点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分65分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知递增等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．考点：数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）由题意，得，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ），S n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），所以数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1，使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．解答：解：（I）由题意，得，…（2分）解得…（4分）由于{a n}是递增数列，所以a1=2，q=2即数列{a n}的通项公式为a n=2•2n﹣1=2n…（6分）（Ⅱ）…（8分）S n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）①则2S n=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）②②﹣①，得S n=（2+22+…+2n）﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1即数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1…（10分）则S n+n•2n+1=2n+1﹣2＞62，所以n＞5，即n的最小值为6．…（12分）点评：本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．20．（13分）如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=，BC=1，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B．（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出∠ADB为二面角A﹣DE﹣B平面角，AD⊥面BCD，从而AD⊥BE，由此能证明BE⊥面ADC，从而得到面ABE⊥面ADC．（Ⅱ）连结BE交CD于H，连结AH，过点D作DO⊥AH于O．由已知条件推导出∠DAO为AD与平面ABE所成角．由此能求出直线AD与平面ABE所成角的正切值．解答：解：（Ⅰ）由∠B=90°，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，得DE∥BC，DE⊥AD，DE⊥BD，∴∠ADB为二面角A﹣DE﹣B平面角，．∴AD⊥面BCD，又∵BE⊂面BCD，∴AD⊥BE，又，∴△BDE～△DBC，∴∠EBD=∠DCB，∴BE⊥DC，∴BE⊥面ADC，又BE⊂面ABE，∴面ABE⊥面ADC．（Ⅱ）连结BE交CD于H，连结AH，过点D作DO⊥AH于O．∵AD⊥BE，BE⊥DH，∴BE⊥面ADHDO⊂面ADH，∴BE⊥DO，又DO⊥AH，∴DO⊥面ABE，∴∠DAO为AD与平面ABE所成角．Rt△BDE中，，Rt△ADH中，．∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（14分）已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：创新题型．分析：（1）先根据斜率公式求f（x），再由极值确定m的取值范围，（Ⅱ）恒成立问题通常转化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．故f（x）在x=1处取得极大值．∵函数f（x）在区间上存在极值．∴得，即实数m的取值范围是．（Ⅱ）由题意得，令，则，令h（x）=x﹣lnx，（x≥1），则，∵x≥1∴h′（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1＞0从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=2，∴实数t的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查了学生对极值问题的掌握，同时考查了恒成立问题的处理方法，涉及到2次求导，相对比较难．22．（14分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．。
湖北省武汉市部分学校新2015届高三数学起点调研考试试题 文(含解析)
武汉市2015届高三9月调研测试数 学（文科）【试卷综析】这套试题具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【知识点】集合中元素个数的最值；集合的确定性、互异性、无序性．A1【答案解析】B 解析：因为集合A={1，2，3}，B={4，5},M={x|x=a+b,a ∈A ，b ∈B}， 所以a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B ．【思路点拨】利用已知条件，直接求出a+b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 【题文】2．(2－i)2i＝A ．4－3iB ．4＋3iC ．－4－3iD ．－4＋3i 【知识点】复数代数形式的混合运算．L4【答案解析】C 解析：222243431ii i i iii i,故选C.【思路点拨】化简复数的分子，同时对复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可． 【题文】3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．y^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】A 解析：∵变量x 与y 正相关，∴可以排除C ，D ；样本平均数x -＝3，y -＝3.5，代入A 符合，B 不符合，故选A ．【思路点拨】变量x 与y 正相关，可以排除C ，D ；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【题文】4．设x ∈R ，则“x＞12”是“2x2＋x －1＞0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案解析】A 解析：由2x2+x-1＞0，可知x ＜-1或x ＞12；所以当“x ＞12”⇒“2x2+x-1＞0”；但是“2x2+x-1＞0”推不出“x ＞12”．所以“x ＞12”是“2x2+x-1＞0”的充分而不必要条件．故选A ．【思路点拨】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可． 【题文】5．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝ A ． 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】C 解析：因为,a b 的夹角为45°，且|a |=1，|2a b |=10，所以42a -4ab +2b =10，即22260bb ，解得32b 或2b （舍），故选C ．【思路点拨】将|2a b |=10平方，然后将夹角与|a |=1代入，得到b的方程，解方程可得．【题文】6．右图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入 A ．q ＝N MB ．q ＝M NC ．q ＝N M ＋ND ．q ＝M M ＋N【知识点】循环框图.L1【答案解析】D 解析：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q ＝MM ＋N．故选D ． 【思路点拨】通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．【题文】7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为【知识点】空间几何体的三视图．G2 【答案解析】A 解析：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选A ．【思路点拨】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可．【题文】8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2【知识点】基本不等式.E6【答案解析】A 解析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a 和b ，行驶的路程S则2s 2ab vs s a ba b, 0a b ＜＜, a b 2ab 0＞＞,2ab aba b 2ab ＜＝, 22ab2ab a aba(b a)v aa 0a ba ba b ＞,∴v a ＞,综上可得，a ＜v ab 故选A【思路点拨】设小王从甲地到乙地按时速分别为a 和b ，行驶的路程S ，则2s 2ab vss a ba b,及0a b ＜＜，利用基本不等式及作差法可比较大小【题文】9．已知椭圆C ：x24＋y23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝ A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【知识点】椭圆的定义;椭圆的基本性质的应用.H5 【答案解析】B 解析：如图：MN 的中点为Q ，易得|QF2|＝12|NB|，|QF1|＝12|AN|，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF1|+|QF2|=2a=4，∴|AN|+|BN|=8．故选B ．【思路点拨】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【题文】10．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 A ．14 B ．12 C ．34 D ．78【知识点】几何概型.K3【答案解析】C 解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ， 由题意可得0≤x ≤4，0≤y ≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x-y|≤2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：11622232164,故选C【思路点拨】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得0≤x ≤4，0≤y ≤4，要满足条件须|x-y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．一组样本数据的茎叶图如图所示，则这组数据的平均数等于 ． 【知识点】茎叶图；平均数.I2【答案解析】23 解析：平均数为14212223232434237，故答案为23.【思路点拨】根据茎叶图的的读法计算平均数即可.【题文】12．已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝ ．【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数值．B1【答案解析】1 解析：由f （x ）-g （x ）=x3+x2+1，将所有x 替换成-x ，得 f （-x ）-g （-x ）=-x3+x2+1，根据f （x ）=f （-x ），g （-x ）=-g （x ），得f （x ）+g （x ）=-x3+x2+1，再令x=1，计算得，f （1）+g （1）=1．故答案为1． 【思路点拨】将原代数式中的x 替换成-x ，再结合着f （x ）和g （x ）的奇偶性可得f （x ）+g （x ），再令x=1即可．【题文】13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA1＝2cm ，则四棱锥A-BB1D1D 的体积为 cm3．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．G7【答案解析】6 解析：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以3332AO232，所以四棱锥A-BB1D1D 的体积为132V232632．故答案为：6．【思路点拨】过A 作AO ⊥BD 于O ，求出AO ，然后求出几何体的体积即可． 【题文】14．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ． 【知识点】余弦定理. C8【答案解析】332解析：在△ABC 中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB •BCcosB把已知AC=7，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4-4AB ×12整理可得，AB2-2AB-3=0,∴AB=3,作AD ⊥BC 垂足为DRt △ABD 中，AD=AB ×sin60°=332，即BC 边上的高为332,故答案为：332.【思路点拨】在△ABC 中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB •BCcosB 可求AB=3，作AD ⊥BC ，则在Rt △ABD 中，AD=AB ×sinB 即可得到结果.【题文】15．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2， x≤0，2x －6＋lnx ，x ＞0的零点个数是 ．【知识点】函数零点个数.B9【答案解析】2 解析：当x ≤0时，由f （x ）=0得x2-2=0，解得x=−2或x=2（舍去），当x ＞0时，由f （x ）=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x ，作出函数y=lnx 和y=6-2x 在同一坐标系图象，由图象可知两个函数只有1个零点，故函数f （x ）的零点个数为2,故答案为：2 【思路点拨】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论． 【题文】16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…；依此类推，则 （Ⅰ）按网络运作顺序第n 行第1个数（如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，）是 ； （Ⅱ）第63行从左至右的第3个数是 ． 【知识点】合情推理;等差数列求和公式.D2 M1【答案解析】（Ⅰ）2 22n n ；（Ⅱ）2014解析：（1）由题意，前（n-1）行一共已出现了1+2+3+…+（n-1）= (1)2n n 个数字，∴按网络运作顺序第n 行第一个数字是(1)2n n +1= 2 22n n ；（2）第63行的数字从左至右是由大到小出现的，64行的数字从左至右是由小到大出现的，且第一个数字为2017,∴第63行的数字从左至右依次为2016，2015，2014，2013，…，1954，∴第63行从左至右的第3个数应是2014故答案为：2 22n n ，2014．【思路点拨】（1）前n 行的数字个数之和刚好等于本行的最大数字，并且奇数行，从大到小排列；偶数行，从小到大排列，所以利用等差数列的求和公式，即可求得结论；（2）第63行的数字从左至右是由大到小出现的，64行的数字从左至右是由小到大出现的，且第一个数字为2017，即可得到结论．【题文】17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C1：y ＝x2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C2：x2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝ ．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．B12 H2 【答案解析】94解析：圆x2＋(y ＋4)2＝2的圆心为（0，-4）圆心到直线y=x22,∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l ：y=x的距离为22,则曲线C1：y=x2+a 到直线l ：y=x,令y ′=2x=1解得x=12，故切点为11a 24（，）,切线方程为11y a x42（）,即x-y-14+a=0 由题意可知x-y-14+a=0与直线y=x 1|a|4=2,解得97a44或-当74a=-时直线y=x 与曲线C1：y=x2+a 相交，故不符合题意，舍去故答案为：94【思路点拨】先根据定义求出曲线C2：：x2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y=x 的距离，然后根据曲线C1：y ＝x2＋a 的切线与直线y=x 平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12．（Ⅰ）若sinα＝55，且π2＜α＜π，求f(α)的值； （Ⅱ）当f(x)取得最小值时，求自变量x 的集合．【知识点】平方关系；二倍角公式；三角函数的最值.C2 C4 C6 【答案解析】（Ⅰ）－110 （Ⅱ）{x|x ＝k π－3π8，k ∈Z}．解析：（Ⅰ）∵sinα＝55，且π2＜α＜π， ………………2分 ∴cosα＝－1－sin2α＝－1－(55)2＝－255．………………4分 ∴f(α)＝cosα(sinα＋cosα)－12＝－255×(55－255)－12＝－110．………………6分（Ⅱ）f(x)＝sinxcosx ＋cos2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． ……………… 当2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，f(x)取得最小值，………此时自变量x 的集合为{x|x ＝k π－3π8，k ∈Z}．………………………………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据已知条件借助于平方关系计算出cosα再代入即可；（Ⅱ）把f(x)化简后即可求出最小值. 【题文】19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an ≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an ＋2－an ＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由． 【知识点】数列递推式；等差关系的确定． D1 D2 【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）λ＝4. 解析：（Ⅰ）由题设，anan ＋1＝λSn －1，an ＋1an ＋2＝λSn ＋1－1．………………1分 两式相减，得an ＋1(an ＋2－an)＝λan ＋1． ………………2分由于an ＋1≠0，所以an ＋2－an ＝λ．…………………………………………4分 （Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．………………6分 由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4． ………………6分故an ＋2－an ＝4，由此可得{a2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n －1＝4n －3；………………8分 {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n ＝4n －1．………………10分 所以an ＝2n －1，an ＋1－an ＝2．因此当λ＝4时，数列{an}为等差数列．………………………………………12分 【思路点拨】（Ⅰ）利用anan+1=λSn-1，an+1an+2=λSn+1-1，相减即可得出；（Ⅱ）先由题设可得a2＝λ－1，由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1，解得λ＝4，然后判断即可. 【题文】20．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D ，E 分别是棱BC ，CC1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B1C1的中点．求证： （Ⅰ）平面ADE ⊥平面BCC1B1； （Ⅱ）直线A1F ∥平面ADE ．【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 解析：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC ， ………………2分∵AD ⊂平面ABC ，∴CC1⊥AD ． ………………3分 ∵AD ⊥DE ，CC1，DE ⊂平面BCC1B1，CC1∩DE ＝E ，∴AD ⊥平面BCC1B1． ………………4分∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC1B1．……………………………………6分 （Ⅱ）∵A1B1＝A1C1，F 为B1C1的中点，∴A1F ⊥B1C1． …………7分 ∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F ⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥A1F ． ………………9分 ∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，∴A1F ⊥平面BCC1B1……………10分 由（Ⅰ）知，AD ⊥平面BCC1B1，∴A1F ∥AD ． ………………11分 ∵A1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，∴A1F ∥平面ADE ．………13分 【思路点拨】（Ⅰ）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC ，从而AD ⊥CC1，结合已知条件AD ⊥DE ，DE 、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD ⊥平面BCC1B1，从而平面ADE ⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F ⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F ⊥平面BCC1B1，结合AD ⊥平面BCC1B1，得到A1F ∥AD ，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F ∥平面ADE ． 【题文】21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax2＋bx －lnx （a ＞0，b∈R）． （Ⅰ）设a ＝1，b ＝－1，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意x ＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna 与－2b 的大小． 【知识点】导数最值的应用；利用导数研究函数的单调性．B12 B3 【答案解析】（Ⅰ）单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．（Ⅱ）lna ＜－2b ． 解析：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx －lnx ，x∈(0，＋∞)，得f ′(x)＝2ax2＋bx －1x ．……………2分∵a＝1，b ＝－1，∴f ′(x)＝2x2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x （x ＞0）．………………3分令f ′(x)＝0，得x ＝1．当0＜x ＜1时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；………………4分当x ＞1时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．…………………6分 （Ⅱ）由题意可知，f(x)在x ＝1处取得最小值，即x ＝1是f(x)的极值点， ∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a ．………………8分 令g(x)＝2－4x ＋lnx （x ＞0），则g ′(x)＝1－4xx ．令g ′(x)＝0，得x ＝14． ………………10分当0＜x ＜14时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增；当x ＞14时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减．………………12分∴g(x)≤g(14)＝1＋ln 14＝1－ln4＜0．∴g(a)＜0，即2－4a ＋lna ＝2b ＋lna ＜0，故lna ＜－2b ．……………………………………………………………………14分【思路点拨】（Ⅰ）a=1，b=-1时，得f （x ）=x2-x-lnx ，从而f ′(x)＝2ax2＋bx －1x ，进而f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）由题意当a ＞0时，x ＝1是 f(x)的极值点，再结合对于任意x ＞0，f （x ）≥f （1）．可得出a ，b 的关系，再要研究的结论比较lna 与-2b 的大小构造函数g （x ）=2-4x+lnx ，利用函数的最值建立不等式即可比较大小 【题文】22．（本小题满分14分）如图，动点M 与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ|＜|PR|，求|PR||PQ|的取值范围．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．B4 C3 D1【答案解析】（Ⅰ）x2－y23＝1（x ＞1）．（Ⅱ）(1，7)．解析：（Ⅰ）设M 的坐标为(x ，y)，显然有x ＞0，且y ≠0．…………………1分 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．…………………2分 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan2∠MAB ，即－|y|x －2＝2|y|x ＋11－(|y|x ＋1)2，…………………4分 化简可得，3x2－y2－3＝0．而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，…………………5分综上可知，轨迹C 的方程为x2－y23＝1（x ＞1）．………………………………6分 （Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，x2－y23＝1．消去y 并整理，得x2－4mx ＋m2＋3＝0．（*）…………7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx ＋m2＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －－4m 2＞1，f(1)＝12－4m ＋m2＋3＞0，△＝(－4m)2－4(m2＋3)＞0．解得m ＞1，且m ≠2．……………9分∵m ＜2，∴1＜m ＜2． …………………10分设Q ，R 的坐标分别为(xQ ，yQ)，(xR ，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有xR ＝2m ＋3(m2－1)，xQ ＝2m －3(m2－1)，∴|PR||PQ|＝xR xQ ＝2m ＋3(m2－1)2m －3(m2－1)＝2＋3(1－1m2)2－3(1－1m2)＝－1＋42－3(1－1m2)． 由1＜m ＜2，得1＜－1＋42－3(1－1m2)＜7．…………………12分 故|PR||PQ|的取值范围是(1，7)．……………………………………………………14分 【思路点拨】（Ⅰ）设出点M （x ，y ），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB ，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M 的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=-2x+m 与3x2-y2-3=0（x ＞1）联立，消元可得x2-4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内,可知，m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标，求出xR ，xQ ，利用|PR||PQ|＝xR xQ ，即可确定|PR||PQ|的取值范围．。
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湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题考试时间：8月10日 14:00-16:00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2. i 为虚数单位，512iz i=-, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64．已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则 ( )A. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,cos 1p x R x ⌝∀∈>D. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>5．若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 2C. 8D. －16．直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )(第3题图)A. 123S S S ==B. 23S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 12S S =且 13S S ≠9．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积，则2C 的渐近线方程为 ( )A.0y ±=B. 0x =C.20x y ±=D.20x y ±=10．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1f x <'，则不等式 ()1f x x <+的解集为 ( )A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .12. 某几何体的三视图如右图所示，根据所给尺寸（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm 。
13．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_________14. 已知1sin cos 5αα-=- ,则 sin 2________α=15．设,x y ∈R ，(,1)x a =r ，(1,)y =r b ，(2,4)=-r c ，且⊥r r c a ，rb ∥c ，则⋅（）r r r a -2b c =____16．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .17．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有 1122122()()()()x f x x f x x f x x f x+>+，则称函数()f x 为“H 函数”. 给出下列函数①xy e x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .俯视图左视图三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18.（本小题满分12分）在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知2cos(A )cosCa b C c ++= (Ⅰ) 求角C 的大小;(Ⅱ) 若c=2，求使ΔABC 面积最大时，a, b 的值.19．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.20．（本小题满分13分）如图，ABC ∆中，90,1,B AB BC D E ∠==、两点分别是线段AB AC 、 的中点，现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --。
(Ⅰ) 求证：ADC ABE ⊥面面； (Ⅱ)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值.21．（本小题满分14分）已知O 为坐标原点，(,)P x y 为函数1ln y x =+图像上一点，记直线OP 的斜率()k f x =.(Ⅰ) 若函数()f x 在区间1(,)(0)2m m m +>上存在极值，求实数m 的取值范围;(Ⅱ) 当1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范围.ABCD E ABCDE22．（本小题满分14分）已知点A （0，2-），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. (Ⅰ) 求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程.湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期新高三起点考试数 学（文科 ）参考答案一、选择题(每小题5分,共50分)二、填空题(每小题5分,共35分) (,3][2,-∞-+∞ 1515 242520-2①③ 三、解答题：18. 解：(Ⅰ)cos(A C)cos(B)cosB π+=-=-由题意及正弦定理 2sin sin cos sin cosCA B BC +-∴=即 2sin cosC (sinBcosC cosBsinC)sin(B C)sinA A =-+=-+=-(0,)A π∈ s i n 0A ∴> 从而1cos 2C =- 又(0,)C π∈ 23C π∴= …………………6分(Ⅱ) 由余弦定理 2222cos c a b ab C =+-22142()2a b ab ∴=+-⋅- 即 224a b ab =++22423a b ab ab ab ab ∴=++≥+=4433ab ab ∴≥≤， (当且仅当a b =时成立)1sinC 24ABC S ab ==a b ∴=当时ΔABC面积最大为3，此时=3a b =故当a b =ΔABC19．解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又数列{}n a 单调递增，∴ 2q =，12a =，∴数列{}n a 的通项公式为2.nn a =…………………6分(Ⅱ) 122l o g 22n n nn b n ==-⋅，∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅，2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅， 两式相减，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅1262n n S n +∴+⋅>即12262n +->，即162642n +>=16n ∴+> 16n ∴+> 从而5n > 故正整数n 的最小值为6.∴使1262n n S n +∴+⋅>成立的正整数n 的最小值为6. …………………12分20. 解：(Ⅰ) 由90,B D E ∠=、两点分别是线段AB AC 、的中点，得//,DE BC DE AD DE BD ⇒⊥⊥，ADB ∴∠为二面角A DE B --平面角，2ADB π∠=。
,,AD BCD BE BCD AD BE ∴⊥⊂∴⊥面又面又1,1,,2BD BC BD DE BC BDE DBC DE BD====∴∆∆即 ,EBD DCB BE DC ∴∠=∠∴⊥ ,BE ADC ∴⊥面,BE ABE ABE ADC ⊂∴⊥又面面面 ……………7分 (Ⅱ) 连结BE 交CD 于H ，连结AH 过点D 作DO AH ⊥于O 。
,AD BE BE DH BE ADH ⊥⊥∴⊥面,DO ADH BE DO ⊂∴⊥面，,DO AH DO ⊥∴⊥又面ABE所以DAO ∠为AD 与平面ABE 所成角。
Rt BDE ∆中，12BD DE BD DE DH BE ⋅=∴==A CDE HORt ADH ∆中，tan DH DAO DA ∠==所以直线AD 与平面ABE。
……………13分21. 解：(Ⅰ) 由题意1ln (),(0)x k f x x x +==> ，所以21ln ln ()(),(0)x xf x x x x''+==-> 当01x <<时，()0;f x '> 当1x >时，()0;f x '< ()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值.()f x 函数在区间1(,)(0)2m m m +>上存在极值01112m m <<⎧⎪∴⎨+>⎪⎩ 得112m <<， 即实数m 的取值范围是112m <<. …………7分 (Ⅱ) 由题意 ()1t f x x ≥+得(1)(1ln )x x t x ++≤， 令(1)(1ln )(),(1)x x g x x x ++=≥ , 则 2ln (),(1)x xg x x x'-=≥， 令()ln ,(1)h x x x x =-≥,则11()1x h x x x'-=-=1x ≥ ()0h x '∴≥ 故()h x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)10h x h ∴≥=> 从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上单调递增， ()(1)20g x g ∴≥=>∴实数t 的取值范围是(,2]-∞. …………. …………14分22. 解：(Ⅰ) 显然F 是椭圆的右焦点，设(c,0)F由题意2AF K c ==c ∴=又离心率c a = 2a ∴=，1b ∴== 故椭圆E 的方程为2214x y += …………. …………5分(Ⅱ) 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ,方程为2y kx =-联立直线与椭圆方程： 22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得：22(14k )16120x kx +-+= 22316(4k 3)0,k 4∆=->∴>设1122(,),(,)P x y Q x y ，则 1212221612,1414k x x xx k k+==++ 212443k PQ x -∴-坐标原点O 到直线l 的距离为d =22211443441221OPQk k S l d k k ∆-∴==+=+令 (0)t t =>，则 24444OPQ t S t t t∆==++44t t +≥ （当且仅当4t t= 即2t =时等号成立）1OPQ S ∆∴≤ 故当 2t =即2=，2k =±时O P Q ∆的面积最大 从而直线l 的方程为 22y x =±- .…………. …………14分。