卷积

1
2
3
4
5
x
常用函数及其傅里叶变换（1）
（1）常数c
F c c f x
F x x0 exp j 2 f x x0
（2） 函数
（3）余弦函数
cos 2f 0 x
sin 2f 0 x
1 f x f0 f x f0 2
rff ( x)



f f x d f ( x) f ( x)
自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即
r ff x r ff 0

这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据
互相关与自相关比较
互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值
F cos 2 f0 x
（4）正弦函数
F sin 2 f0 x
1 f x f0 f x f0 2
常用函数及其傅里叶变换（2）
（5）阶跃函数
1, 1 step x , 2 0 ,
x0 x0 x0
用于表示开关


第三讲 卷积与相关的概念
卷积的定义
• 对于两个复值函数 其卷积定义为

f (x)
和
h(x)
，
g ( x)

f hx d
f ( x ) * h( x )
• 式中Hale Waihona Puke Baidu表示卷积运算。
卷积过程图示（1）


原函数 折叠 位移 相乘—得到被积函数
1 f ( x) 0 1 h x 2 0
vx wx* h( x) vx * hx wx * hx
3、结合律
vx * wx* h( x) vx* wx * hx
这几个定律不难证明。
包含δ函数的卷积----函数的移位
任意函数和脉冲函数的卷积：
f x * ( x) f x d
1 1 F step x f x 2 j 2 f x
（6）符号函数
1, sgn x 0 , 1 ,
F sgn x 1 j f x
x0 x0 x0
用于改变极性 （正负号）
常用函数及其傅里叶变换（3）
（7）矩形函数
sin a f x x F rect a sinc af x a a f x a
其它常用函数和傅立叶变换

矩形函数
rect(x)
1
-1/2
0
1/2
x
Sinc 函数
Sinc(x/a) 主瓣宽度: 2a
描述单缝和矩孔的夫琅 和费衍射振幅分布, 其平方 表示衍射光强
-3a
-2a -a 0
a
2a
3a
x
梳状函数
Comb(x)=∑δ(x-n) (n=-∞ —— ∞) Comb(x)
-5 -4 -3 -2 -1 0
常用函数及其傅里叶变换（4）
（9）梳状函数 combx
n
x n 用来表示光栅，抽样

F comb x comb f x
（10）高斯函数 exp x 2


用于表示激光光束光强分布
F exp x 2 exp f x 2


这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、双缝等
卷积的物理意义----透镜的非相干成象

理想的物象关系是点点对应，物象共轭。 实际成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个点共同产生

如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具体象（高斯 物点所成的）的位置无关
像点的总光能表示为

f x f x0 hx x0 dx0


相关运算

两个函数的互相关定义为：

rfg ( x)



f g x d f ( x) g ( x)
与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，不 满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。 函数本身的自相关定义为
光学信息技术原理及应用
(二)
－－上海理工大学光电学院
学习内容:

复习脉冲函数(δ函数) (定义,性质,物理含义)
光学中几种常见的函数 矩形函数,阶跃函数,三角函数等

δ函数的概念和定义
空间δ函数的图示
z δ(x,y) δ(x+a) δ(x) δ(x-a)
y
0
x
-a
0
a
x
δ函数的基本性质和物理意义



原点处的篩选性质有
f x * ( x) f x d f x



任意函数和位于 x 0 处的脉冲函数的卷积得到
f x * ( x x0 ) f x x0 d f x x0
x 1， rect a 0 ,
a 表示狭缝 2 其它 x
（8）三角形函数
x x 1 ， tri a a 0 ,
x a 表示矩形光 其它
瞳OTF
sin 2 a f x x 2 F tri a sinc af x a 2 a a f x
(0 x 1) (其它） (0 x 1) (其它）
卷积过程图示（2）
卷积过程的两个效应

展宽 平滑化：被积函数经过卷积 运算，其微细结构在一定程 度上被消除，函数本身的起 伏变得平缓圆滑。
卷积运算定理
1、交换律
f x * h( x) hx * f x
2、分配律