3矩阵的特征值和特征向量
3矩阵的特征值和特征向量
3矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念之一，它们在许多应用中具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵的特征值和特征向量，并说明它们的性质和应用。
一、矩阵的特征值和特征向量定义对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么k称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。
我们可以用以下的形式表示矩阵的特征方程：det(A-λI)=0其中，det(A-λI)是矩阵A-λI的行列式，λ是一个常数，I是单位矩阵。
根据特征方程，我们可以求解出矩阵A的特征值λ。
然后，将每个特征值代入特征方程，可以求解出对应的特征向量x。
二、特征值和特征向量的性质1.特征值的性质：-一个矩阵的特征值可以是实数，也可以是复数。
-一个n×n的矩阵最多有n个不同的特征值。
- 特征值与矩阵的行列式有关，它们的乘积等于矩阵的行列式：det(A)=λ1*λ2*…*λn。
2.特征向量的性质：- 特征向量具有标量倍数的自由度，即如果x是矩阵A的特征向量，则kx也是矩阵A的特征向量，其中k是任意非零标量。
-特征向量可以用于表示矩阵的一组基，这意味着可以用特征向量表示矩阵的任意向量。
三、特征值和特征向量的计算对于一个给定的n×n矩阵A，我们可以通过以下步骤计算其特征值和特征向量：1. 解特征方程det(A-λI)=0，求得特征值λ1, λ2, ..., λn。
2. 将每个特征值代入特征方程，解出对应的特征向量x1, x2, ..., xn。
对于一些矩阵，特征值和特征向量可以通过简单的计算得到。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是其主对角线上的元素，而对应的特征向量可以是单位向量。
对于一些特殊的矩阵，如上三角矩阵和下三角矩阵，其特征值也可以很容易地得到。
四、特征值和特征向量的应用1.线性系统的稳定性分析特征值和特征向量在控制论中经常用于分析线性系统的稳定性。
对于一个线性系统，通过求解其特征值，可以判断系统是否稳定。
考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题
考研数学三（线性方程组与矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设三阶矩阵A的特征值为－1，1，2，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(3a2，－a3，2a1)，则P－1AP等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：显然3a1，－a3，2a1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P－1AP＝，选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．A．A，B相似于同一个对角矩阵B．存在正交阵Q，使得QTAQ＝BC．r(A)＝r(B)D．以上都不对正确答案：D解析：令A＝，B＝显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题3．设A＝，｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11＋a22＋a33＝_____________．正确答案：－2解析：因为｜A*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A－1＝A*，从而A－1的特征值为－，－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，得A的特征值为－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(2a3，－3a1，－a2)，则P－1(A－1＋2E)P＝_____________．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P＝P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A －1＋2E)P＝．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，a1，a2，a3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若a1，A(a1＋a2)，A2(a1＋a2＋a3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_____________．正确答案：≠0解析：令x1a1＋x2A(a1＋a2)＋x3A2(a1＋a2＋a3)＝0，即(x1＋λ1x2＋λ21x3)a1＋(λ2x2＋λ22x3)a2＋λ23x3a3＝0，则有x1＋λ1x2＋λ21x3＝0，λ2x2＋λ22x3＝0，λ23x3＝0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0λ2λ3≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
5.3矩阵特征值和特征向量
推论 : n 阶矩阵 A 可逆 A 的 n 个特征 , ,n 全不 1
T Th 2 :A 而特征值相同 . 与 A的特征多项式相同，从 T A E A T AE E
Th 3: A 的属于不同特征值的特 征向量线性无关 .
Th 3 即：设 , 是方阵 A 的 m 个特征值 , 1, 2, m
那么 p A 的对应于特征值 . i 便是 i的特征向 ( 若 ,则 p ; i 为实数 i 可取实向量
若 ,则 p .) i 为复数 i 为复向量
则由方程 ( A E ) x 0 可求得非零解 x p i i,
1 3 A . 的特征值和特征 例1 求矩阵 1 3 3 1 2 ( 3 ) 1 E 解 A的特征多项式为 A 1 3 2 ( 4 )( 2 ) ， 8 6 所以 A 的特征值为 2 , 4 . 1 2 ( A 2 E ) x 0 , 当 2 时 , 对应的特征向量应满足 1 x 3 2 1 0 即 x1 x2 0 , 1 解得 x x , , 1 2 x x 0 . x 1 3 2 0 1 2 2 1 所对应的特征向量可取 为 p1 k 1 , k 0.
n n . A ( ii ) 令 0 （ 1 ） （ 1 ） 1 2 n 1 2 n
n1
n 12
设 n 阶矩阵 A ( a ) 的特征值 ,2 , ,n , A的迹， 称为 ij 1 记为tr(A) 可证明 ( i ) a a a ; 1 2 n 11 22 nn ( ii ) A . a1 1 a1 2 a1n 1 2 n
5.3矩阵特征值和特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
1定义 设 A 是 n 阶矩阵 , 如果 存在数λ 和 n 维非零向量 x 使 关系式Ax = λx (1)成立 , 那么 , 这样的数 λ 称为方阵 A 的 特征值 , 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量 . 说明 1. λ 是A的特征值 ⇔ ∃α ≠ 0, 使 Aα = λα ⇔
−2−λ − 2 1 1 解 A = 0 2 0 特征多项式为 A − λE = 0 − 4 1 3 −4
1 2−λ 1
1 0 3−λ
当 λ2 = λ3 = 2 时 , 解方程 ( A − λE ) x = 0 . 由 0 1 − 4 1 1 得基础 − 4 1 1 r p2 = 1 , p3 = 0 , 0 0 0 , A − 2E = 0 0 0 − 1 4 0 0 0 解系为 − 4 1 1 ∴ 属于 λ2 = λ3 = 2 特征向量 k 2 p2 + k 3 p3 ( k 2 , k3 不同时为零 ) . 说明： 属于同一特征值的特征向量的 说明： 属于同一特征值的特征向量的 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 仍是属于这个特征值的特征向量． 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量． 1 − 2 − 2 练习：已知A = − 2 x 0 ，A特征值1,4,−2.求x = ？ 答：x = 2 − 2 0 0
例3
(1)
( 2)
设 λ 是方阵 A 的特征值 , 证明 λ2 是 A2 特征值 ; 1 当 A 可逆时 , 是 A−1 的特征值 .
三阶矩阵求特征值和特征向量的例题
三阶矩阵求特征值和特征向量的例题一、三阶矩阵A的特征多项式f(λ) = λ3 - 6λ2 + 11λ - 6 = 0的根是什么？这些根即为矩阵A的特征值。
A. λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3B. λ1 = -1, λ2 = -2, λ3 = -6C. λ1 = 6, λ2 = 1, λ3 = -1D. λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 4（答案）A二、若三阶矩阵A的一个特征值为λ = 2，对应的一个特征向量为α = (1, 1, -1)T，则Aα等于多少？A. (2, 2, -2)TB. (1, 1, -1)TC. (0, 0, 0)TD. (4, 4, -4)T（答案）A三、三阶矩阵B的特征值为λ1 = λ2 = 1，λ3 = -2，那么矩阵B的迹（即所有特征值之和）是多少？A. 0B. 1C. -1D. -2（答案）A四、若三阶矩阵C的特征多项式为f(λ) = (λ - 1)(λ - 2)2 = 0，则矩阵C有几个不同的特征值？A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（答案）B五、三阶矩阵D的一个特征向量为β = (0, 1, -1)T，对应的特征值为λ = 3，那么D2β等于多少？A. (0, 3, -3)TB. (0, 6, -6)TC. (0, 9, -9)TD. (0, 1, -1)T（答案）C六、若三阶矩阵E的所有特征值都为正数，那么矩阵E的行列式det(E)的符号是什么？A. 正号B. 负号C. 零D. 无法确定（答案）A七、三阶矩阵F的特征值为λ1 = 4，λ2 = -1，λ3 = -3，那么F的逆矩阵F(-1)的特征值是什么？A. λ1' = 1/4，λ2' = -1，λ3' = -3B. λ1' = 4，λ2' = 1，λ3' = 3C. λ1' = 1/4，λ2' = -1/1，λ3' = -1/3D. λ1' = -4，λ2' = 1，λ3' = 3（答案）C八、若三阶矩阵G的特征向量为γ = (1, 0, -1)T，且Gγ = kγ，其中k为实数，那么k 是矩阵G的一个什么？A. 特征值B. 行列式C. 迹D. 逆矩阵的元素（答案）A。
第3章 矩阵特征值与特征向量的计算
刘广利
引言
在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求 解一个特征系统。 如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系 统的频率与振型； 物理学中的某些临界值的确定等等。
引言
引言
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使
B = P - 1AP
则称A与B相似。
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
x i0 = max x i
1＃ n i
则 max (x) = xi0
对任取初始向量x(0)，记
定义 x (1) = A y (0)
y (0) = x (0) max(x (0) )
一般地，若已知x(k)，称下面的公式为规范化乘幂法公式 （改进的乘幂公式）：
（2）当
1 2 3
时
a）若1 = 2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；
b）若1 = -2，对i = 1, 2, …, n
lim x i(k + 2) x i(k )
2 = l1
k
收敛速度取决于 r = l 3 < 1 的程度。向量 (k + 1) 、 x + l 1x (k ) l1
¢ b 3 = a 3 - ( a 3 , b 1 )b 1 - ( a 3 , b 2 ) b 2
ⅱ 则 ( b 3 , b1 ) = ( b 3 , b 2 ) = 0
即与1, 2正交，将其单位化为
ⅱ b3 = b3 b3
2
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
轾1 a 犏 犏 [a 1, a 2 , a 3 ] = [b1, b 2 , b 3 ] 犏 犏 犏 犏 臌
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例1 求的特征值和特征向量.解的特征多项式为=所以的特征值为当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.§２相似矩阵定义2 设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～，则～；⑶传递性：若～，～，则～．相似矩阵还具有下列性质：定理2 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设～，则存在满秩矩阵，使于是推论若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．定理 3 设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．例3设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．解的特征多项式为所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的一个特征向量.显然是线性无关的，取，即有.例4设，考虑是否相似于对角矩阵．解所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量.由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．§４实对称矩阵的相似对角化定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．定理10实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．定理11设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．定理12设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．例7设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解，所以的特征值，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，因此属于的标准特征向量为.对于，解齐次线性方程组，得基础解系这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量， .于是得正交矩阵易验证.。
矩阵的特征值和特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义和计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 特征值和特征向量的定义在矩阵A中，如果向量v在进行线性变换后，仍然保持方向不变，只改变了长度，那么v称为A的特征向量，它所对应的标量λ称为A的特征值。
即满足下述等式：Av = λv其中，A是一个n阶方阵，v是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值和特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，需要求解线性方程组(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵，x是一个非零向量。
解这个方程组，可以得到λ的值，即特征值，以及对应的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质- 特征值可以是实数或复数，特征向量通常是复数。
- 特征向量可以相互线性组合，但特征向量的数量不超过矩阵的阶数n。
- 特征值的个数等于矩阵的阶数n，不同特征值对应的特征向量线性无关。
4. 特征值和特征向量在几何中的应用矩阵的特征值和特征向量在几何中有重要的应用，可以帮助我们理解线性变换的性质。
例如，在二维空间中，对应于矩阵的特征向量可以表示空间中的特定方向，特征值代表了沿该方向进行线性变换的比例因子。
5. 特征值和特征向量在物理学中的应用在量子力学中，特征值和特征向量与物理量的测量和量子态的演化密切相关。
例如，在求解薛定谔方程时，特征值对应于能量的可能取值，特征向量对应于量子态的波函数。
6. 特征值和特征向量在数据分析中的应用特征值和特征向量在数据分析中也有广泛的应用。
例如，在主成分分析（PCA）中，特征向量可以帮助我们找到数据集中的主要变化方向，特征值可以衡量这些变化的重要性。
另外，在图像处理中，特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
总结：矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在几何、物理学和数据分析等领域都有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以更好地理解线性变换的性质，同时也可以应用于解决实际问题。
三阶矩阵的特征值和特征向量
三阶矩阵的特征值和特征向量
一旦我们得到了特征值，我们就可以求解特征向量。
对于每个
特征值λ，特征向量是矩阵A减去λ乘以单位矩阵I后的矩阵的
零空间的非零向量。
换句话说，它是满足方程式(A-λI)v=0的非零
向量v，其中v是特征向量。
特征向量对应于特征值，它们描述了
矩阵在特定方向上的行为。
特征值和特征向量在许多领域都有重要的应用，比如在物理学、工程学和计算机科学中。
它们可以帮助我们理解线性变换的性质，
解决微分方程，以及在数据分析和图像处理中应用。
特征值和特征
向量也与矩阵的对角化和相似性有密切关系。
总之，特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我
们理解矩阵的行为和性质，并且在许多领域都有重要的应用。
通过
求解特征值和特征向量，我们可以深入理解矩阵的特性，并且在实
际问题中进行应用。
矩阵的特征值及特征向量
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解
解之得基础解系
求得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角 解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
特征值与特征向量的概念性质及其求法
特征值与特征向量的概念性质及其求法特征值与特征向量是矩阵的一个重要特性，它们描述了矩阵在一些方向上的特殊性质。
特征值是一个标量，特征向量是一个向量。
特征值与特征向量的关系可以用方程表示：A*v=λ*v，其中A是一个矩阵，v是这个矩阵的特征向量，λ是对应的特征值。
换句话说，一个矩阵A作用在它的特征向量v上，结果是一个与v方向相同但大小为λ倍的新向量。
1.特征向量可以是零向量，但非零向量的特征向量被称为非零特征向量。
2.矩阵的特征值与特征向量是成对出现的，一个特征向量可以对应多个特征值，但一个特征值只能对应一个特征向量。
3.如果一个矩阵A的特征向量v对应的特征值λ，那么任意与v成比例的向量都是A的特征向量，且对应的特征值也是λ。
4.一个n×n的矩阵最多有n个特征值，即使重复的特征值，在进行特征值分解的时候也有对应的不同特征向量。
求解特征值与特征向量的方法有很多种，以下介绍两种常用的方法：1. 特征方程法：对于一个n×n的矩阵A，它的特征值可以通过求解特征方程 det(A−λI) = 0 来获得。
其中，λ表示特征值，I表示单位矩阵。
解特征方程得到的根即为特征值。
2. 幂迭代法：该方法适用于大型矩阵的求解。
假设矩阵A的最大特征值为λ1，对应的特征向量为x1、选取一个初始向量x0，通过迭代xk = A*xk−1，可以逼近特征向量x1、最终，通过归一化得到单位特征向量。
1.数据降维：在主成分分析（PCA）中，特征向量被用来定义新的特征空间，从而实现数据降维。
2.图像处理：特征值与特征向量被用来表示图像的特征，例如人脸识别中的特征向量。
3.振动分析：特征向量被用来描述物体的固有振动模式，通过求解特征值和特征向量，可以预测物体在不同频率下的振动表现。
总结来说，特征值和特征向量是矩阵的一个重要特性，它们描述了矩阵在一些方向上的特殊性质。
特征值与特征向量可以通过特征方程法和幂迭代法来求解。
在实际应用中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维、图像处理、振动分析等领域。
方阵的特征值与特征向量
§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λA p =p， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量.为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n n n n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n E A()()()1122n na aa λλλ=---+ , (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TTλλλ-=-=-n n n E A E A E A. 这说明A 和T A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ 的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i i i i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n n a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝ 11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑ ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11n ni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++ 为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f fλ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k k λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k k λ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
矩阵的特征值与特征向量
1
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 3 1,
7
当 1 2 时, 解方程组 ( 2 I A ) x 0 ,
1 x1 2 1 x 2 0, 即 1 2 x 3 1 解之得基础解系为 p 1 1 , 1 2 1 1 1
故 1是 A1的特征值, 且 x 也是 A1对应于1的特征向量.
24
性质2 矩阵 A 和 AT 的特征值相同. 证 因为 IAT = ( I)TAT = ( IA)T 所以 det ( IA) = det ( IAT)
因此, A 和AT 有完全相同的特征值.
补充 性质 设 是方阵 A 的特征值.设
(*)式中不含 的常数项为
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn
21
( 1) A ,
n
即 c n ( 1) A
n
f 所以， ( ) I A ( 1 )( 2 ) ( n )
的全部特征向量.
9
例
2 设矩阵 A 2 0
2 1 2
0 2 , 求 A 的特征值. 0
解 A 的特征多项式为
2 I A
2 0 2 0 2 ( 2 )( 1 )( 4 ),
1
2
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 3 4 . 特征值的计算不容易！！
0 A 1 1 1 0 1 1 1 0
所以 k 1 p 1 是对应于 1 2 的全部特征向量;
特征值特征向量的计算
A的特征多项式
方程 A lE 0
A的特征方程
定义 2 设A为n阶方阵，l1,l2,L L ,lm为其特征值组，
则其特征方程可表示为：
l l1 k1 l l2 k2 L L l lm km 0
则ki称为 li的代数重数(重数)，而li 特征子空间的维数
称为几何重数(度数)。
di dimVi 显然：
证明：设l是A的特征值，是A的属于l的特征向量 则 0，且A l 方程A2 3A 2E O两边右乘
A2 3A 2E A2 3A 2E Al 3l 2
l 2 3l 2 (l 2 3l 2) 0
由 0
l2 3l 2 0
l 1l 2 0
l 1 或l 2
把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得
(A -2E)X=O
3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 1 0 0 x3 0
3x1 4x1
x2 x2
0 0
x1 0
x1 x2
0 0
0取 x3Fra bibliotek1,得一基础解系
V1
0
于是，A的属于l1
1
=2的全部特征向量为：c1V1
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式
l0使 A lE 0成立 l0是特征方程A lE 0的根
A lE
(2)令 A lE 0
解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11
A
a21 an1
a12 a22 an2
A的对应于特征值li的特征向量: 方程组(A-liE)X=O的全部非零解
步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O 得一齐次线性方程组(A-liE)X=O
矩阵的特征值与特征向量的求法及其应用
，
于是 － 2） ＝ 0， 又 因 为 是 特 征 向 量 ， 所 以 0， 所 以 － 2＝ 0 ，所以 B 的特征值便只 （ 能是 0 或 1 注：因为满足条件 B 2＝ B 的矩阵很多，上题中我们仅求出了这一例矩阵的特征值的取值 范围，如果想要明确究竟是哪些特征值，我们还需要更多的已知条件。当然若想要求它的特 征向量则需要看具体的已知条件，具体问题具体分析，这里我们就不做过多的研究了。
二、矩阵的特征值与特征向量的求法
1 直接法-利用特征多项式来求特征值与特征向量
对于具体的数字矩阵 A
( a ij ) m n ，求 A
的特征值与特征向量，我们一般利用特征多项式
来求特征值特征向量，可用如下定理证明： 定理 1：设 A 是 n 阶方阵， E 为 n 阶单位阵， 为待求特征值，若对于矩阵 ( A ) T 施行 一系列行初等变换，可以得到上三角矩阵 B ( ) 的主对角线上元素乘积为零，求得 值即为矩 阵 A 的特征值。 其具体步骤如下： 第一步：由 A E 0 求得 A 的 n 个特征值，设 1 , 2 , ... n 是 A 的互异特征值，其重数分 别为 r1 , r2 , ...rt 且 r1 + r2 +...rt = n 第二步： 求解齐次线性方程组 ( A i E ) x 0 ( i 1, 2, ...t ) ， 其基础解系就是 A 对应特征值 i 的线性无关的特征向量。设基础解系为： p i1 , p i 2 , ... p is 特征向量为: k i1 p i1 k i 2 p i 2 值与特征向量。
要设计一个系统，这个系统是由 n 个完成工作的单元组成的，并且其中的每个单元都有 m 种不同的操作。我们现在设第 j 个单元进行的第 i 个操作数量记为 m ji ，并且记进行操作所用 的时间为 t ji ，单位时间所需费用为 c ji ， 由此我们可以得到单位操作费用为： e ji 此时我们称矩阵 E e ji m n 为系统的效率矩阵。我们另设第 j 个单元的费用为
3矩阵特征值及特征向量的计算
第3章 矩阵特征值与特征向量的计算一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。
3.1 特征值的估计较粗估计ρ(A )≤ ||A ||欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。
3.1.1盖氏图定义3.1-1 设A = [a ij ]n ⨯n ，称由不等式∑≠=≤-nij j ijii aa z 1所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图，记为G i ，i = 1，2，…，n 。
>≤-=<∑≠=}:{1nij j ij ii i a a z z G定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 ni iG1=∈λ证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞≤≤==xx x i ni k 1max因为k nj j kjx x aλ=∑=1⇒∑≠=-nkj j kjk kk x ax a )(λ⇒∑∑∑≠=≠=≠≤≤=-nkj j kj nkj j kj kjnk j kj kj kk a x x a x x a a 11λ⇒ ni ik GG 1=⊂∈λ例1 估计方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A 特征值的X 围解：G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。
注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
3.1.2盖氏圆的连通部分称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。
孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。
定理3.1-2若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。
证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A –D ，记)10(000)(212211122211≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=εεεεn n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。
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若 为 A 的特征值，则
() a0 a1 L amm
是 ( A) 的特征值.
详细的证明见82页
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设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求 （1） A的主 对角线元素之和
（2） A
(3) A2 A I
解 a11 a22 a33 1 2 3 1 2 3 6
取为
1
1
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当2 4时
34
1
1 x1
3
4
x2
0
0
1
1
1 1
x1 x2
0 0
x1 x2
对应的特征向量可取为
2
1
1
k（1 k 0）是对应于1的全部特征向量
k（2 k 0）是对应于2的全部特征向量
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3.1.2 特征值与特征向量的性质
Ax1 d1x1, L , Axn dn xn
由B可逆便知：x1, L , xn 都是非零向量，因而都是A的特征
向量，且 x1 , L , xn 线性无关。
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推论 如果n阶矩阵A的特征值 1,L , n 互不相同
则A相似于对角矩阵
1
O
n
定理 3.7
线性无关.
推论 若 n 阶方阵有互不相同的特征值 1, 2 ,L , m
则其对应的特征向量 x1, x2 ,L , xm 线性无关。
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定理3 设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2 ,L , n
(重特征值按重数算), 则有
(1) 12 L n A (2) 1 2 L n a11 a22 L ann TrA,
在主对角线元素乘积项中出现,故有
|I-A|= n (a11 a22 L ann ) n1 L (1)n | A | 比较 n1前的系数可得
1 2 L n a11 a22 L ann =trA
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定理4
设 A 是 n 阶方阵，
( A) a0I a1A L am Am,
证 (1)由于1, 2 ,L , n为A的特征值,故 | I A | ( 1)( 2 )L ( n )
=n (1 2 L n ) n1 L (1)n 12 L n
令 0,得 | A | (1)n 12 L n,即 | A | 12 L n
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定理1 n 阶方阵 A 与它的转置矩阵 AT 有相同的特征值。
定理2设 n 方阵 A 有互不相同的特征值 1，2，L ，m， （i I A）x 0 的基础解系为i1，i2，L ，iri
（i 1，2，L ，m）,则
11,12 ,L ,1r1 ;21,22 ,L ,2r2 ;L ;m1,m2 ,L ,mrm
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例 矩阵
A = 1 1 0
能否相似于对角阵？ 4 3 0
1 0 2
1 1 0
解 I A 4 3 0 =(λ- 2)(λ-1)2
1 0 2
所以 A的特征值为 λ1 = 2 λ2 =λ3 = 1
对于 λ2 =λ3 = 1，解方程组 (I – A )χ= 0
命题2 如果x是矩阵A的对应特征值的特征向量， 则k（x k 0）也是A的对应特征值的特征向量。
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0， Ax 1x， Ax 2x
1x 2x
0
（1
2）x
x0
0
1
2
0
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怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
i 1
方阵的迹是它的主对角线上的元素和
例5
2 A 0
4 9 3 5
1 6 0
Tr(A)=2+(-3)+0=-1
性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)
(2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1)
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性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1)
定义3.1
设A是n阶方阵,如果存在n维非零向量x和数
满足
Ax x
称是矩阵A的特征值(eigenvalue)， 称x是矩阵A的对应于特征值的特征向量
(eigenvector)。
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2 1 1
例1
A
4
0
2
3 2 4
1
x1
2
1
2
x2
1
3
A 123 123 6
A2 A E 的特征值依次为
111 3, 22 2 1 7, 32 3 1 13
A2 A I 3713 273
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试证 n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充要条件是 A 中至少 有一个特征值为0。
证明 因为 A 12 L n (1,2,L ,n 为A的特征值） 所以 A 0 的充分必要条件是至少有一个特征值
求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量
便得属于 i 的全部特征向量。
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例2：求矩阵的特征值和特征向量
2 1 1
A
0
2
0
4 1 3
解 A的特征多项式为
2 1 1
AI 0
2
0
2 (2 )
1
4 1 3
4 3
(2 )(2 6 4) (2 )( 2 2)
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3.2.2 矩阵的对角化
定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充 分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
充分性
设A的n个特征向量x1 ,L , xn线性无关，
它们对应的特征值分别是1 ,L , n , 则
Ax1 1 x1 , L ,
Axn n xn
第三章
矩阵的特征值与特征向量
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第三章 矩阵的特征值与特征向量
§1 方阵的特征值与特征向量 §2 矩阵的对角化
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第1节
方阵的特征值与特征向量
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3.1.1 特征值与特征向量的基本概念
n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件
是对于每一个ni 重特征值 i ,对应着 ni 个线
性无关的特征向量.
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相似变换
A
1
P1AP
2
O
n
AI 0
P ( x1 x2 L xn )
解出特征值i
A iI x 0
求出基础解系i
若A有n个线性无关的特征向量则A相似于 对角阵
当2 3 2时，解方程 （A 2I）x 0
系
4
A 2I
0
4
1 0 1
1
0
r3
r1
1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
11
3
0
4
对应于2 3 2的全部特征向量为
k22 k33 （k2，k3不同时为0）
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练习:求下列矩阵的特征值和特征向量
对系数矩阵作初等变换
1 0 1
2
4
1 2
0
0
1
0
1
0 1 2 0 0 0
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解方程组
x1
x2
x3 2x3
0 0
x1 x3
得通解
x2
2x3
x3 x3
x1 1 x2 k 2 x3 1
(k 为任意常数）
因为 λ2 =λ3 = 1 是二重根，而对应于λ2 =λ3 = 1无两 个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。
A(x1 L xn ) (1x1 L n xn )
记 P (x1 L xn )
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1
2
O
26
n
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AP P P1AP
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必要性
设A相似于对角矩阵
d1
D
O
dn
即存在可逆矩阵B，使得 B1AB D