第三章集合与关系最终版解读
离散数学第3版课件ch32集合与关系3.33.5贲
(A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠∧B≠∧C≠时)
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5) AC∧BDA×BC×D
3
我们给出性质(4)第一个式子的证明。
说明:(1)把关系这种“无形”的联系用集合这种“有形”的实体来描述。
(2)有序对是讲究次序的。
8
on numbers: a=b a<b a≥b
on integers: a|b on subsets: A B
|A|=|B| on people: a is married to b
a is younger than b a is a descendant of b.
例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
16
例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4> } EA={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
定义3.16 设A,B,C是三个任意集合,R是A到B的二元关系,S是B到C 的二元关系，则定义关系R和S的合成或复合关系 RοS＝{<a,c>| aA,cC ∧ bB,使 <a,b>R且<b,c>S }。
例11 集合A＝{a,b,c},B＝{1,2,3}，R是A上关系，S是A到B
离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
第三章 集合与关系
(2)、全集： 定义5：在所研究的同一个问题中，如果涉及到的集合均 是某一个集合的子集，则称该集合是全体。记作。 全集的概念是相对。要看具体研究的问题。 例：在考虑某大学的部分学生组成的集合（如系，班级 等）时，该大学的全体学生组成了全集。 (3)、幂集： 定义6：设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合称为 A的幂集，记作ρ(A)或2A 。 例如：A={a,b,c}
设A、B、C为三个集合，则下列分配律成立。 a) A∩(B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） b) A∪(B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 证明： 设S=A∩(B∪C），T=（A∩B）∪（A∩C）， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C， x∈A且x∈B或x∈C， 即x∈A且x∈B或 x∈A且x∈C， 即X∈A∩B或x∈A∩C， 即x∈T，所以ST。 反之，若x∈T，则x∈A∩C， 即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C， 即 x ∈ A且 x ∈ B∪ C， 于是x∈S，所以TS。因此T=S。
集合论-第三章2
M＞
三、关系矩阵包含关系的信息 设MR是关系R的关系矩阵，则 (1) R是自反的⇔MR的对称线上的元素全为1。 (2) R是反自反的⇔MR对称线上的元素全为0。 (3) R是对称的⇔MR是对称的。 (4) R是反对称的⇔若i≠j,则rij与rji不能同时为1。 [或rij+rji≢1] (5) R是传递的⇔若rij＝1且rjk＝1，则rik＝1。 〔或MR· R≢MR，即R· M R⊆R〕 (6) R-1的关系矩阵为MRT。
tij (ri1 s1 j ) (ri 2 s2 j ) (rip s pj ) (rik skj ), i 1, 2, n“·”运算是先取最小，再取最大]
二、求R∪S，R∩S，R·S关系矩阵 (1)MR∪S= MR∨MS； (2)MR∩S= MR∧MS； (3)MR·S= MR·MS。
6.3 等价类 一、定义 定义2 设R是非空集合A上的一个等价关系，x∈X， 令[x]R={y|y∈X且(x,y)∈R } 则称集合[x]R为x关于R的等价类，简称x的等价类，简 记为[x]。 例：在上例中的等价关系R的三个不同等价类为：
[1]R {1, 4, 7} [4]R [7]R [2]R {2, 5,8} [5]R [8]R [3]R {3, 6} [6]R
二、说明： (1)集合A的商集就是集合A的一个划分，但划分不一定 是商集； (2)当划分块的块数有限时，将划分∏写成： ∏={∏1 ,∏2,„, ∏n}，n为块数。 显然，对于有限集合来说，它的划分块数一定是 有限的。 (3)但对无限集合划分块数不一定有限。 例：1.给定整数集合I的一个划分： ∏1={E,O},其中E是偶数集，O是奇数集; I的另外划分: ∏2={I+,I-,{0}}; ∏3={„,{-2},{-1},{0},{1},{2},„} 等等。
集合的关系ppt课件
子集
定义：如果集合A中的每一个元素都是集合B中 的元素，则称集合A为集合B的子集。
符号表示：A ⊆ B
例子：集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的子集， 但{1, 2, 3, 4}不是{1, 2, 3}，并且集合A和集合 B不相等，则称集合A为集合B的真子集。
集合的表示方法
列举法
将集合中的所有元素一一列举出来， 用逗号分隔。
描述法
通过描述集合中元素所具有的共同特 征，来表达集合。
集合的元素
元素是构成集合的基本单位。
元素具有无序性，即元素的排 列顺序不影响集合的性质。
元素具有可替代性，即在一个 集合中，任何一个元素都可以 被另一个相同的元素所替代。
02 集合之间的关系
集合的关系
目录
• 集合的基本概念 • 集合之间的关系 • 集合的运算性质 • 集合的特殊关系 • 集合的应用
01 集合的基本概念
集合的定义
1
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
2
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有重复 的元素。
3
集合中的元素具有确定性，即集合中的元素是明 确的，不会存在模糊不清的情况。
集合的分配律是指一个集合与另外两 个集合的交集或并集进行运算时，可 以将该集合分别与两个集合进行运算 后再进行合并或交集运算。
详细描述
在集合运算中，如果一个集合M与另 外两个集合N和P进行运算，可以使用 分配律将M与N和P分别进行运算后再 进行合并或交集运算。例如， M∪(N∩P)等于(M∪N)∩(M∪P)。
符号表示：A ⫋ B
例子：集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的真子集，但{1, 2, 3, 4}不是{1, 2, 3}的真子集。
集合的关系与包含总结
集合的关系与包含总结集合是数学中的基础概念，它描述了一组对象的集合。
在集合的研究中，我们常常需要探讨集合之间的关系，特别是包含关系。
本文将总结集合的关系与包含的相关知识。
一、集合的基本概念首先，我们需要明确集合的基本概念。
集合是由一些元素所组成的整体。
集合中的元素可以是任意事物，如数字、字母、物体等。
用大写字母表示一个集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A={1,2,3,4}，其中元素1、2、3、4属于集合A。
二、集合间的关系集合间的关系主要有两种：相等关系和包含关系。
1. 相等关系集合的相等关系指的是两个集合的元素完全相同。
即如果两个集合A和B的所有元素都相同，我们可以说集合A等于集合B，并用A=B 表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,1,3}，则A=B。
2. 包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们可以说集合A包含于集合B，用A⊆B 表示。
反之，如果集合A包含于集合B并且集合B也包含于集合A，则两个集合互相包含，称为集合的相等包含关系。
三、集合的运算除了基本的集合关系外，还存在集合的运算。
常见的集合运算包括并集、交集和补集。
1. 并集集合的并集指的是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
并集用符号∪表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集集合的交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素组成的集合。
交集用符号∩表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的交集为A∩B={3}。
3. 补集补集是指相对于某个全集，集合中不属于该全集的元素组成的集合。
补集一般用符号(A)'或A^c表示。
例如，对于集合A={1,2,3}，如果全集为自然数集N，那么A的补集为A^c=N\A={0,4,5,6,7,…}。
四、集合关系的图示为了更好地理解集合的关系与包含，我们可以通过图示来表示。
集合集合的基本关系课件
ppt2023-10-28CATALOGUE目录•集合的基本概念•集合之间的关系•集合的基本运算•集合在数学中的应用•总结与展望•练习与思考01集合的基本概念集合元素集合的特性集合中的每一个对象称为元素。
确定性、互异性、无序性。
03集合的定义02 01由具有某种特定属性的对象汇集而成的集体。
列举法把集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
描述法用集合中元素的共同特征来描述集合，用大括号括起来。
集合的表示方法集合中的元素是确定的，每个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。
元素的确定性集合中的元素是互不相同的，即集合中没有重复的元素。
元素的互异性集合中的元素没有固定的顺序，元素在集合中的位置是可以改变的。
元素的无序性集合的元素02集合之间的关系子集如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，那么我们称A是B的子集，记为A ⊆B。
超集如果一个集合A包含了另一个集合B的所有元素，并且集合A中可能包含集合B中没有的元素，那么我们称A是B的超集，记为A ⊇B。
子集与超集如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。
用数学符号表示为：如果A=B，则A和B具有相同的元素。
定义两个相等集合的子集也相等；反之，如果两个集合的子集相等，则这两个集合不一定相等。
性质相等集合交集、并集与补集交集01如果一个集合同时包含了两个或多个已知集合的所有元素，那么这个集合称为这些已知集合的交集。
用数学符号表示为：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
并集02如果一个集合包含了两个或多个已知集合的所有元素，但不包含这些集合中重复的元素，那么这个集合称为这些已知集合的并集。
用数学符号表示为：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
补集03如果一个集合的所有元素都不在另一个集合中出现，那么这个集合称为另一个集合的补集。
用数学符号表示为：A′={x|x∉A}。
03集合的基本运算设A、B是两个集合，A∩B表示所有既属于A又属于B的元素组成的集合。
集合的交、并、补的运算交运算设A、B是两个集合，A∪B表示所有属于A或属于B的元素组成的集合。
高一数学高效课堂资料03集合之间的关系
探究学习（前黑板）
思考1
思考3
要求： ①有展示任务的同学迅速到达相应位置； ②规范性：字迹工整，书写认真，步骤规范； 学有余力的同学：一.修改学案上的错题，进行方法规律总结.
二.做课后习题
探究一
拓展提升1
探究二拓展提升
总结
1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合 A叫做集合B的子集。
②集合与集合的相等怎么怎样用图形表示？
③你能总结出集合的关系与特征性质的关系么？ 根据集合的特征 性质判断集合之间的关系。
• 要求： （1）小组长首先安排任务先一对一分层讨论，再小组内集中讨论， 力争拓展提升，解决好大部展示问题。
（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题解 决，未解决的问题，组长记录好，准备展示质疑。
高效课堂精品课件
高一数学 市实验中学 数学组
集合之间的关系
------能识别集合之间的关系
学习目标
1.通过实例能用自己的话说出子集、真子集、 集合相等的概念； 2.会判断集合之间的关系； 3.体会分类讨论、数形结合的数学思想。
作业中存在的问题
讨论交流
• 内容：
集合的含义：
①子集和真子集的概念是怎样描述的？ 用图形描述出来。
符号语言：A B B A
2.真子集 如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B中至少有一 个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。
符号语言 AB B A
特殊的，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3.集合的相等 如果集合A是集合B的子集，反过来，集合B也是集合A的子集，那么 我们就说集合A等于集合B。
离散数学第三章
第三章集合与关系
3.等价类性质 R是A上等价关系，任意a,b,c∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。 即任意x,y∈[a]R，必有<x,y>∈R
证明：任取x,y∈[a]R，由等价类定义得，<a,x>∈R, <a,y>∈R ,由R对称得，<x,a>∈R，又由R传递得
<x,y>∈R。 ⑵ [a]R∩[b]R=Φ， 当且仅当 <a,b>R。 证明:(充分性)设<a,b>R，假设[a]R∩[b]R≠Φ,则存在
所以商集A/R是A的一个划分。
定理2： 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，则 R1=R2当且仅当A/R1=A/R2 。
(这个定理显然成立。)
第三章集合与关系
证明:(必要性) 因为A/R1={[a]R1 |a∈A}； A/R2={[a]R2 |a∈A}，由于R1=R2，对任意的 a∈A有 [a]R1={x|x ∈A,<a,x>∈R1} ={x|x ∈A,<a,x>∈R2}= [a]R2 即A/R1=A/R2 。 (充分性)对任意的<a,b>∈R1 a ∈[a]R1∧ b∈[a]R1
A/R={[a]R |a∈A} 例如A={1,2,3,4,5,6,7} , R上模3同余关系，则
A/R= {[1]R,[2]R,[3]R} ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}
练习 X={1,2,3},X上关系R1、R2 、R3，如上图所示。
X/R1={[1]R1,[2]R1,[3]R1}={{1},{2},{3}}
3-12 序关系
第三章集合与关系
次序关系也是常遇到的重要关系，例如： 数值的≤、＜、≥、＞关系； 集合的、关系； 图书馆的图书按书名的字母次序排序； 词典中的字(词)的排序； 计算机中文件按文件名排序； 程序按语句次序执行；…….
第三章 集合与关系
第11页
河南工业大学离散数学课程组
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
河南工业大学离散数学课程组
例3-5.4
(1)设A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6}，R表示A与B的整除
关系，写出关系R的四种表示法。
解：由题意得
枚举法： R={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2, 2>, <2, 4>, <2, 6>,
<3, 6>, <4, 4>}；
谓词公式法：R={<x, y>|x能整除y，x∈A,y∈B} 。
从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。
从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若
？1 0 1 ？1
有边的话，则有方向相反的
两条边。 1。
01？
2。 。3
第12页
河南工业大学离散数学课程组
四、反对称性
定义:设R为集合A上的关系，若对任何x, y∈A，有 <x,y>R和<y,x>R，就有x=y，则称R为A中的反对称 关系 。 R是A上反对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧<y,x>R) x=y) (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧xy)<y,x>R)
离散数学课件 第三章 集合与关系-2
② 对称闭包 s(R)=R∪Rc
③ 传递闭包 t(R)=
i 1
R = R∪R2∪R3∪…
i
证明 r(R)=R∪IA
证：设R‟ = R∪IA ∵ ① xA,<x,x>R‟ ∴R‟具有自反性 ② RR‟ ③ 设R”是自反的，且RR” ∵R‟‟是自反的，∴IAR” 又∵RR” ∴R‟=IA∪RR” 综上所述，R‟满足自反闭包定义的三个条件， ∴ r(R)= R‟= R∪IA
证明
st(R) ts(R)
证：① 先证 R对称t( R )对称 t( R )-1 = (RR2R3…)-1 = R-1(R2)-1(R3)-1… = R-1(R-1)2(R-1)3… ((F◦G)-1=G-1◦F-1，定理3-7.2 ) = R R2 R3 … = t( R ) t( R )对称. ② 因为 R s(R),故 st( R ) st(s( R )) 而st(s( R ))= sts(R) = s(ts( R )) = ts( R ) st( R ) ts( R ).
i i 1
必s,t,使得<a,b>∈Rs,<b,c>∈Rt ∴<a,c>∈ Rt◦Rs
i i 1
=
Rt+s
i i 1
i 1
R
i
∴<a,c>∈ R ∴t(R) R
i 1
∴ R 是传递的
i
② ∵ t(R)是包含R的最小传递关系
由（1），（2）得 t(R) =
3-9 集合的划分和覆盖
除了把两个集合相互比较外，还常把一个集合 分成若干子集讨论。
定义3-9.1 设A为非空集，S={S1…Sm},SiA，Si
第三章 集合与关系
四、集合与集合 1． 集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , , A B x (xAxB) A=BABBA ABABAB A ⊈ B x (xAxB) 思考： 和 的定义 2．注意和是不同层次的问题
五、空集和全集 1．空集 ：不含有任何元素的集合 实例： {x|xRx2+1=0} 定理 6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合 A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2．全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集 六、幂集 1．定义：P(A)={x | xA} 2．实例： P()={}, P({})={,{}} 3．计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2n.
第三章 集合与关系 3-1~3-3
主要内容 集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集、 文氏图等 集合的基本运算----并、交、补、差等 集合恒等式----集合运算的算律、 恒等式的证明 方法 与后续内容的关系 是集合论后续内容的基础 是典型的布尔代数系统
第一节 集合的基本概念
一、集合的定义 集合没有精确的数学定义 直观理解： 由离散个体构成的整体称为集合， 称这些个体为集合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有理数、实数、 复数集合 二、集合的表示法 1．枚举法----通过列出全体元素来表示集合 2．谓词法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={x| x 是实数，x21=0}
3．广义运算的性质 （1）=，无意义 （2）单元集{x}的广义并和广义交都等于 x （2）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） （3）广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1,A2,…,An}=A1A2…An {A1,A2,…,An}=A1A2…An 4．引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x}|xR}=R 这里的 R 代表实数集合.
《集 合之间的关系》 讲义
《集合之间的关系》讲义在数学的广阔领域中，集合是一个基础且重要的概念。
而集合之间的关系，则是我们理解和处理集合问题的关键。
首先，让我们来明确一下什么是集合。
集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起所组成的整体。
比如说，一个班级里所有的男生可以组成一个集合，一个水果篮里的各种水果也能组成一个集合。
集合之间最基本的关系之一是“包含”关系。
如果集合 A 中的所有元素都同时是集合 B 中的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或者集合 B 包含集合 A。
用符号表示就是 A ⊆ B 或者 B ⊇ A。
举个例子，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，那么 A 就包含于 B。
与“包含”关系密切相关的是“相等”关系。
如果集合A 包含于集合B，并且集合 B 也包含于集合 A，那么我们就说集合 A 和集合 B 相等。
也就是说，两个集合拥有完全相同的元素，它们就是相等的集合。
比如集合 C ＝｛x ｜ x 是小于 5 的正整数}，集合 D ＝｛1, 2, 3, 4}，这两个集合其实是相等的。
还有一种常见的关系是“真包含”关系。
如果集合 A 包含于集合 B，但是集合 A 不等于集合 B，那么我们就说集合 A 真包含于集合 B，或者集合 B 真包含集合 A。
用符号表示为 A ⊂ B 或者 B ⊃ A。
比如说，集合 E ＝｛1, 2}，集合 F ＝｛1, 2, 3}，那么 E 真包含于 F。
接下来，我们再说说子集和真子集。
一个集合的子集，就是包含这个集合的所有元素或者部分元素的集合。
而真子集则是除了集合本身以外的子集。
比如说，集合 G ＝｛a, b, c}，它的子集有｛a}，｛b}，｛c}，｛a, b}，｛a, c}，｛b, c}，｛a, b, c} 和空集∅。
而它的真子集就是除了｛a, b, c} 以外的那些子集。
空集也是集合中一个特殊但非常重要的存在。
空集是不含任何元素的集合，用符号∅表示。
集合和关系
2019/1/15
空集
空集：没有任何元素的集合。
对任一集合A， 有A
A x(x∈→x∈A)
空集是唯一的。 若存在空集 1 ，2 ，由以上定理
1 2 ∧ 2 1 1 ＝ 2
2019/1/15
离散数学
15
例：设a,b,c 各不相同，判断下述等式中哪个等式 成立。
2019/1/15
离散数学
33
集合运算的主要运算律
排中律： A ~A＝E 矛盾律： A~A＝ 吸收律： A (AB)＝A A(A B)＝A 德· 摩根律： A(B C)＝(AB)(AC) A(BC)＝(AB)(AC) ~(B C)＝~B~C ~(BC)＝~B ~C ~＝E ~E＝ 双重否定律： ~(~A)＝A 补交转换律: A－B＝A ∩ ~B
20
练习
例1：集合A为以空集为唯一元素的集合， B = ρ(ρ(A))，判断下列式子是否正确。 （1） ∈ B （2） B （3）{} B （4）{{} ，{{}}} B （5）{ ，{{}}} ∈ B
解: A={}, P(A)={,{}} P(P(A))={,{},{{}},{,{}}}
离散数学 5
2019/1/15
例如，集合A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}
这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但是 b A , {d} A. b 和 {d}是A的元素的元素.
2019/1/15
离散数学
6
常用集合符号
N：全体自然数的集合,
称作自然数集; Z：全体非负整数的集合, 称作非负整数集; I： 全体整数的集合, 称作整数集; P：全体素数的集合, 称作素数集; Q：全体有理数的集合, 称作有理数集; R：全体实数的集合, 称作实数集; C：全体复数的集合, 称作复数集;
高一数学高效课堂资料03集合与集合的关系
高一数学高效课堂资料课题：集合之间的关系——能识别集合之间的关系【使用说明及学法指导】1.仔细阅读课本必修1的P10—P13页，用红色笔进行勾画；再回答导学案中设计的预习问题。
2.限时完成预习案，书写规范，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】 1.通过实例能用自己的话说出子集、真子集、集合相等的概念；2.会判断集合之间的关系；3.体会分类讨论、数形结合的数学思想。
【情境引入】271教育是以人为本的教育，项目管理是学生自主管理的基本形式，高效科研小组是学生自主管理的主要团队之一，每个班级都有各科的高效科研小组，山东省潍坊美加实验中学高一有10个班，数学高效科研小组的2位成员构成的集合}{甲，乙A ，语文高效科研小组构成的集合}{甲，乙，丙B ，英语高效科研小组的三位成员构成的集合}{丙，甲，乙C。
【问题导引】问题1：情境中，集合A 和集合B 之间有什么关系，试描述子集、真子集的概念。
【思考1】①若的约数是12|x x A，的约数是36|x x B , 则集合A 与B 关系怎样？②分别用符号语言、图形语言表示:集合A 是集合B 的子集、真子集.问题2：情境中集合B 和集合C 之间有什么关系？对于两个集合的相等，你是怎样理解的？【想一想】已知2{|1}A x x,{|||1}B x x ，则集合A 与B 关系如何？【思考2】1、空集与任意一个集合有怎样的关系,如何表示?2、（1）判断对错（对的打“√”，错的打“×”）①0（）②空集是任何一个集合的真子集（）③空集的元素个数为0（）④若集合A 与B 相等，则A 、B 元素可以具有不同的特征性质（）（2）如右图，填写最准确的符号：A ____U____ B问题3：集合关系与其特征性质之间有怎样的关系？【思考3】若{|3}Ax x ，{|5}B x x ，则集合A 与B 关系怎样？【概念深化】用适当的符号填空（∈，?，＝，，）（1）3_____{1,2,3,5}（2）{a}______{a,b,c}（3）{a,b,c}______{c,b,a}（4）?_____{x|x 2+ 2x + 1=0} （5）?_____{x ∈R|x 2+ 4=0} （6）?_____{ 0}【我的疑问】AUB【例1】A={0,1,2},写出A 的所有子集和真子集. 【拓展提升】1.若A={0,1,2}，B={1},BCA, 写出集合 C.2.若集合A=x 31，，，B=1x 2，，BA ，则满足条件的实数x 的个数是___________【小结】探究二：判断集合的关系【例2】已知集合{|12}或Ax xx,{|480}Bx x ,判断A 与B 的关系并用图形表示.【拓展提升】已知集合2{|320}Ax xx ，{|20}Bx ax ，若BA ，求实数a 的取值集合.【开阔视野】1.设A={ x|1<x <2},B= { x|x<a},若AB ，求a 的取值范围.2.判断下列四个集合之间的关系，并用维恩图表示：}{是平行四边形x x A ；}{是菱形x x B ；}{是矩形x x C；}{是正方形x x D【我的收获】1.知识方面：2.数学思想方法：。
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固定的符号
N
I
Q
R
C
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三、集合与元素的关系
客体a与集合A之间的关系只能是属于和不属于之一。 a是集合A的元素或a属于集合A，记为aA，称a是A的 成员，A包含a，a在A中。 a不是集合A的元素或a不属于集合A，记为aA，或者
(aA)，称a不是A的成员，A不包含a，a不在A中。
适用场景： 一个集合仅含有限个元素。 一个集合的元素之间有明显关系 。
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2、谓词表示法（隐式法、叙述法）
用谓词描述集合中元素的属性，称为谓词表示法（叙述法、
隐式法） 一般表示方法：A＝{x|P(x)}
P(x)是谓词公式，x 具有的性质P
若个体域内，客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。
✓ 枚举法（列举法） ✓ 谓词表示法（隐式法、叙述法）
✓ 文氏(Venn)图-辅助的集合的表示方法
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1、枚举法（显式表示法）
就是把集合的元素（全部或部分）写在花括号的里面， 每个元素仅写一次，不考虑顺序，并用”,”分开。 例 （1）命题的真假值组成的集合：S={T,F} （2）A＝{a，e，i，o，u}
1、互异性－ 集合中的元素都是不同的，凡是相同 的元素，均视为同一个元素；
{1,1,2}={1,2} 2、确定性－ 一旦给定了集合A，对于任意客体a，
可以准确地判定a是否在A中。 3、无序性－ 集合中的元素是没有顺序的。
{2,1}={1,2}
集合中的元素可以是集合。 如 S={a,{1,2},p,{q}}
例如，对元素2和自然数集合N，就有2属于N，即 2N，
对元素-2和自然数集合N，就有-2不属于N，即 -2N。
有限集：组成集合的元素个数是有限的。 |A|：有限集合A中元素的个数。
无限集：组成集合的元素个数是无限的。
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四、集合的表示方法
集合是由它包含的元素完全确定的，为了表 示一个集合，通常有：
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集合与关系的结构图
概念及表示方法
枚举法 有向图 矩阵
自反 对称
等价关系
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
性 二 质 传递
元
关
反对称
系
反自反
相容关系
简 化
图
相 容 类
容 类
最 大 相
完 全 覆 盖
偏序关系 全
序
哈 斯 图
重要 元素
复合
计算方法
运 算
求逆
运算性质
闭包
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例如：
代表元素
大于10的整数的集合： S={x| x∈I∧x>10)}
命题的真假值组成的集合：S={F,T}={x|x=F∨x=T}
适用场景：
一个集合含有很多或无穷多个元素；
一个集合的元素之间有容易刻画的共同特征。
其突出优点是原则上不要求列出集合中全部元河南工业大学离散数学课程组
第二篇 集合论
主要包括如下内容：
集合论初步 二元关系
第三章内容（重点）
函数
第四章内容（自学）
实数集合与集合的基数
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第三章 集合与关系
本章的主要内容 3-1 集合的概念和表示法 3-2 集合的运算 3-3 包含排斥原理* 3-4 序偶和笛卡尔积 3-5 关系和表示 3-6 关系的性质（重点） 3-7 复合关系和逆关系 3-8 关系的闭包（重点） 3-9 集合的划分和覆盖 3-10 等价关系与等价类（重点） 3-11 相容关系 3-12 序关系
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3、文氏(Venn)图-辅助的集合的表示方法
文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图 形来形象展示集合的一种方法，用一个矩形的 内部表示全集，其他集合用矩形内的园面或一 封闭曲线圈成的面积来表示。
U A
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说明： 集合的三大特征
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3-1 集合
一、集合的概念 集合（SET）： 即是由一些确定的彼此不同的客体（事物）汇集 到一起组成一个整体，称为集合。 讨论： 客体：泛指一切，可以是具体的、抽象的。 元素(element，成员)： 即组成集合的客体，称之为元素。
二、集合的记法 通常用带(不带)标号的大写字母A、B、C、...、A1、 B1 、C1 、...、X、Y、Z、...表示集合； 通常用带（不带）标号的小写字母a、b、c、...、a1、 b1 、c1 、...、x、y、z、...表示元素。
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1-2节的内容提要
1
集合的概念
2 集合的表示方法 3 集合间的关系
4
特殊集合
5
集无合限的集运合算
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1-2节学习要求
重点掌握
一般掌握
1
1 集合的概念 及集合间关系 2 集合的表示 3 集合运算及 定律 4 幂集P(A)
2
1 集合的归纳 法表示 2 集合的对称 差运算
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在使用中，分两种情况：
（1）当集合中元素个数有限且较少时，将元素全部写出。 例1：设集合A是由绝对值不超过3的整数组成。 A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
（2）当集合A元素的个数无限或有限但个数较多时，不 能或不需要一一列举出来，只要写出少数元素，以显示 出它的规律。（当规律不明确，不能用此方法）。 例2：设集合B是由自然数的平方构成的集合。 B = {0, 1, 4, 9, 16, …, n2, …}
离散数学
河南工业大学 信息科学与工程学院
第3章 集合与关系
2
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第二篇 集合论
集合论是现代数学的基础，几乎与 现代数学的各个分支都有着密切联系， 并且渗透到所有科技领域，是不可缺 少的数学工具和表达语言。
集合论的起源可以追溯到16世纪末 期，为了追寻微积分的坚实基础，开 始时，人们仅进行了有关数集的研究。 1876～1883年，康托尔(Georg Cantor) 发表了一系列有关集合论研究的文章， 奠定了集合论的深厚基础。集合论在 程序语言、数据结构、编译原理、数 据库与知识库、形式语言和人工智能 等领域都得到了广泛的应用，并且还 得到了发展。