概率论与数理统计答案(东华大学出版)第二章 (1)

第二章 离散型随机变量及其分布律

第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题

1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示

所得球上的数字，求ξ的分布律。

解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：

2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，

问ξ的分布律是什么？

解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。所以：

ξ的分布律为：1030170

10

200

{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-=== 。 3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球

才停止。设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。

解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第

1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_

i A 表示第i 次取到的是黑球。则ξ的

分布律为：

__

12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m n n n k n k

ξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+- 。

4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿

灯显示时间相等。以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。因此ξ的分布律为：

_

11{0}()2

P P A ξ===

， _

_

12121{1}()()()4

P P A A P A P A ξ====

， {2}P ξ==_

_

_

_

1231231()()()()8

P A A A P A P A P A ==

， _

_

_

_

_

_

123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。

5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为

1

,(1,2,3)1

i p i i =

=+。用ξ表示3个零件合格品的个数，求ξ的分布律。 解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以i A 表示第i 个零件是合格的，则()1/(1)i P A i =+。因ξ表示零件的合格数，因此ξ的分布律为：

_

_

_

_

_

_

1231231111{0}()()()()(1)(1)(1)2344

P P A A A P A P A P A ξ====---=，

______

12312312311

{1}()()()24

P P A A A P A A A P A A A ξ==++=，

___

1231231236

{2}()()()24

P P A A A P A A A P A A A ξ==++=，

1231

{3}()24

P P A A A ξ===。

6、 设随机变量ξ的分布律为{},0,1,2,!

k

P k c

k k λξ=== ，式中λ为大于0的常数。试

确定常数c 的值。 解答：因{},0,1,2,!

k

P k c

k k λξ=== 如果是随机变量ξ的分布律，则应该满足如下两个

条件：1、对任意的k ，{}0P k ξ=≥，因此可得0c ≥；2、0

1{}k P k ξ∞

==

=∑0

!k

k c k λ∞

==∑ce λ=，

所以可得c e

λ

-=。

7、 设在每一次试验中，事件A 发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3时，指示灯发出

信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n 次试验，则事件A 在n 次试验中发生的次数ξ服从参数为n 和()0.3p P A ==的二项分布。因为当A 在n 次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，{}{3}P P ξ=≥发出信号3

{}n k P k ξ==

=∑3

0.30.7n

k k n k n

k C

-==∑。第

一小题中的n 等于5，第二小题中的n 等于7。计算即可。

8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率

都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？

解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于{3}1{0}P P ξξ≥=-={1}P ξ-=

{2}P ξ-=5049482

50*4910.950*0.9*0.10.90.12

=---

。 9、 把一个试验独立重复地做n 次，设在每次试验中事件A 出现的概率为p ，求在这n 次试

验中A 至少出现一次的概率是多少。

解答：同上一题，n 次试验中A 出现的次数服从参数为n 和p 的二项分布。因此，所要求的概率等于{1}1{0}1(1)n P P p ξξ≥=-==--。

10、 甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，

如果甲首先射击，求： （1） 两人射击总次数ξ的分布律； （2） 甲射击次数1ξ的分布律； （3） 乙射击次数2ξ的分布律。

解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令i A 表示甲第i 次射击时射中，则()0.6i P A =（1,2,i = ）；令i B 表示乙第i 次射击时射中，则

()0.7(1,2,)i P B i == 。由此可知：

（1）_

_

_

_

_

_

111111{21}()()()()k

k

k k k P k P A B A B A P A P B P A ξ+=+== 0.12*0.6k

=，

0,1,k =

_____

111111{2}()()()()k

k k k P k P A B A B P A P B P B ξ-=== 10.12*0.28k -=，1,2,k =

（2） ______

_

_

111111111

1{}()()()()()k

k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P

B ξ--==+= +_

_

1

11111()

()()0.88*0.12,1,2,k k k P A P B P A k ---==

（3） __

_

_

_

_

_

_

121111111

1{}()()()()()k

k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P

B ξ-+

==+=