概率论与数理统计答案(东华大学出版)第二章 (1)
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第二章 离散型随机变量及其分布律
第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题
1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示
所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：
2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，
问ξ的分布律是什么？
解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。所以：
ξ的分布律为：1030170
10
200
{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-=== 。 3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球
才停止。设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第
1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_
i A 表示第i 次取到的是黑球。则ξ的
分布律为：
__
12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m n n n k n k
ξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+- 。
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿
灯显示时间相等。以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。因此ξ的分布律为：
_
11{0}()2
P P A ξ===
， _
_
12121{1}()()()4
P P A A P A P A ξ====
， {2}P ξ==_
_
_
_
1231231()()()()8
P A A A P A P A P A ==
， _
_
_
_
_
_
123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。
5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为
1
,(1,2,3)1
i p i i =
=+。用ξ表示3个零件合格品的个数，求ξ的分布律。 解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以i A 表示第i 个零件是合格的，则()1/(1)i P A i =+。因ξ表示零件的合格数，因此ξ的分布律为：
_
_
_
_
_
_
1231231111{0}()()()()(1)(1)(1)2344
P P A A A P A P A P A ξ====---=，
______
12312312311
{1}()()()24
P P A A A P A A A P A A A ξ==++=，
___
1231231236
{2}()()()24
P P A A A P A A A P A A A ξ==++=，
1231
{3}()24
P P A A A ξ===。
6、 设随机变量ξ的分布律为{},0,1,2,!
k
P k c
k k λξ=== ，式中λ为大于0的常数。试
确定常数c 的值。 解答：因{},0,1,2,!
k
P k c
k k λξ=== 如果是随机变量ξ的分布律，则应该满足如下两个
条件：1、对任意的k ，{}0P k ξ=≥，因此可得0c ≥；2、0
1{}k P k ξ∞
==
=∑0
!k
k c k λ∞
==∑ce λ=，
所以可得c e
λ
-=。
7、 设在每一次试验中，事件A 发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3时，指示灯发出
信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n 次试验，则事件A 在n 次试验中发生的次数ξ服从参数为n 和()0.3p P A ==的二项分布。因为当A 在n 次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，{}{3}P P ξ=≥发出信号3
{}n k P k ξ==
=∑3
0.30.7n
k k n k n
k C
-==∑。第
一小题中的n 等于5，第二小题中的n 等于7。计算即可。
8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率
都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？
解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于{3}1{0}P P ξξ≥=-={1}P ξ-=
{2}P ξ-=5049482
50*4910.950*0.9*0.10.90.12
=---
。 9、 把一个试验独立重复地做n 次，设在每次试验中事件A 出现的概率为p ，求在这n 次试
验中A 至少出现一次的概率是多少。
解答：同上一题，n 次试验中A 出现的次数服从参数为n 和p 的二项分布。因此，所要求的概率等于{1}1{0}1(1)n P P p ξξ≥=-==--。
10、 甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，
如果甲首先射击，求： （1） 两人射击总次数ξ的分布律； （2） 甲射击次数1ξ的分布律； （3） 乙射击次数2ξ的分布律。
解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令i A 表示甲第i 次射击时射中，则()0.6i P A =（1,2,i = ）；令i B 表示乙第i 次射击时射中，则
()0.7(1,2,)i P B i == 。由此可知：
（1）_
_
_
_
_
_
111111{21}()()()()k
k
k k k P k P A B A B A P A P B P A ξ+=+== 0.12*0.6k
=，
0,1,k =
_____
111111{2}()()()()k
k k k P k P A B A B P A P B P B ξ-=== 10.12*0.28k -=，1,2,k =
（2） ______
_
_
111111111
1{}()()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ--==+= +_
_
1
11111()
()()0.88*0.12,1,2,k k k P A P B P A k ---==
（3） __
_
_
_
_
_
_
121111111
1{}()()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ-+
==+=