误差的估算

第三节 误差的估算
由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。

广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。

然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。

因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。

此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。

下面就介绍几种常用的误差估算方法。

一、直测量的误差估算 1．算术平均误差 在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。

记为X ∆。

按定义 ∑=-=∆n
i i X X n X 101
或 ∑=∆=∆n
i i X n X 1
1
其中0X X X i i -=∆。

当n 较大时，可用下式估算为
()
1--=
∆∑n n X
X X i
此法比前法得到的偏差要大些。

2.绝对误差
误差的绝对值叫绝对误差。

狭义的绝对误差，如上面的i X ∆，X ∆。

而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。

3.相对误差
绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。

记为r E 。

其估算方法为
%100⨯∆=
X
X
E r 广义地讲，后面要讨论的
X
S x 、
X
σ
等都可叫相对误差。

4.标准误差(实验标准差)
按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。

即
()∑=-=n
i i x X X n 1
201σ 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。

实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。

因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。

常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。

应用上，一般使用Bessel 方法。

由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为：
()
∑=--=n
i i x X X n S 1
2
11
或 ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==2
112
111n i i
n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。

通常所说的标准误差，实际上就是x S 。

5.算术平均值的标准差
算术平均值的标准差与实验标准差的关系为
x x S n
S ∙=
1
类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系
X n
X ∆∙=
∆1
而且x S X 80.0≈∆。

二、间测量的误差计算（误差的传递）
上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。

我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。

下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。

1.误差传递公式的一般形式
设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f ,,=
测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ∆±=
y y y ∆±= z z z ∆±= 和 f f f ∆±=
其中,(
)
z y x f f ,,=。

将()z y x f ,,在()z y x ,,点按泰勒级数展开有
()()
()
()()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∙∂∂+-∙∂∂+
-∙∂∂±=z z z f
y y y f x x x
f z y x f z y x f ,,,, +…(高阶小量)
将此结果与前面假定关系式f f f ∆±=比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为 z z
f
y y f x x f f ∆∙∂∂+∆∙∂∂+∆∙∂∂=∆ 相对误差为
z z
f
y y f x x f f
f ∆∙∂∂+∆∙∂∂+∆∙∂∂=
∆ln ln ln 根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到z y x ,,是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为
2
2
22
22
z y x f z f y f x f σσσσ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 相对形式为
2
2
22
22
ln ln ln z y x f
z f
y f
x f f σσσσ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂= 其中
x f ∂∂、x
f
∂∂ln 分别为x f ∂∂、x f ∂∂ln 在()
z y x ,,点处的值。

为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：
(1)如果f 由z y x ,,按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。

(2)如果f 由z y x ,,按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。

(3)如果z y x ,,彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。

例如：若y x f ∙=，当y
x =
（仅数值相等）时的误差传递，与取y x =（x 与y 完全相关）后2x f =的误差传递是不一样的。

因为，当y x f ∙=时有
2
2
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=y
x f y
x f
σσσ ， 再取y x =时，化为
x
f
x
f
σσ∙
=2 。

而当2x f =时
x
f
x
f
σσ∙
=2 。

可见，前者在取y x =时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而后者，则为完全相关，即x 与y 为同一个变量了，故结果也不一样了。

2．误差传递公式的具体形式
为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。