误差的估算

第三节 误差的估算

由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。

一、直测量的误差估算 1．算术平均误差

在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ∆。

按定义 ∑=-=∆n

i i X X n X 101

或 ∑=∆=∆n

i i X n X 1

1

其中0X X X i i -=∆。

当n 较大时，可用下式估算为

()

1--=

∆∑n n X

X X i

此法比前法得到的偏差要大些。

2.绝对误差

误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的i X ∆，X ∆。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。 3.相对误差

绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为

%100⨯∆=

X

X

E r 广义地讲，后面要讨论的X

S x 、

X

σ

等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差)

按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。即

()∑=-=n

i i x X X n 1

201σ

需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。

实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。

由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为： ()

∑=--=

n

i i x X X n S 1

2

11

或 ⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=

∑∑==2

112

111n i i

n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差，实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差

算术平均值的标准差与实验标准差的关系为

x x S n S •=

1

类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系

X n X ƥ=

∆1

而且x S X 80.0≈∆。

二、间测量的误差计算（误差的传递）

上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。

1.误差传递公式的一般形式

设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为

()z y x f f ,,=

测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ∆±=

y y y ∆±= z z z ∆±= 和 f f f ∆±= 其中,()z y x f f ,,=。

将()z y x f ,,在()z y x ,,点按泰勒级数展开有

()()()

()()

⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-•∂∂+-•∂∂+

-•∂∂±=z z z f

y y y f x x x

f z y x f z y x f ,,,, +…(高阶小量)

将此结果与前面假定关系式f f f ∆±=比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为 z z

f

y y f x x f f ∆•∂∂+∆•∂∂+∆•∂∂=

∆ 相对误差为

z z

f

y y f x x f f f ∆•∂∂+∆•∂∂+∆•∂∂=

∆ln ln ln

根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到z y x ,,是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为

2

2

22

22

z y x f z f y f x f σσσσ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 相对形式为

2

2

22

22

ln ln ln z y x f

z f

y f

x f f σσσσ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂= 其中

x f ∂∂、x f ∂∂ln 分别为x f ∂∂、x

f ∂∂ln 在()

z y x ,,点处的值。

为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：

(1)如果f 由z y x ,,按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。

(2)如果f 由z y x ,,按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。

(3)如果z y x ,,彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。例如：若

y x f •=，当y x =（仅数值相等）时的误差传递，与取y x =（x 与y 完

全相关）后2x f =的误差传递是不一样的。 因为，当y x f •=时有

2

2

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x f y x f

σσσ，

再取y x =时，化为

x

f x

f

σσ•

=2 。

而当2x f =时

x

f x

f

σσ•

=2 。

可见，前者在取y x =时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而后者，则为完全相关，即x 与y 为同一个变量了，故结果也不一样了。

2．误差传递公式的具体形式

为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。 函数关系

一般误差传递公式

标准差传递公式