度量空间与连续映射

1
（2）* 蕴涵（2）． 设（2）* 成立． 对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域， 即 存在包含 f（x）的一个开集V U．
f （U）． 从而 x∈ f （V）
1 1
f （V）是一个开集， 根据（2）*，
1 f 所以 （U）是x的一个邻域，
1
因此 对于x而言，（1）*成立， 于是 f在点x处连续． 由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．
证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0， B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有 一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属 于它的每一个球形邻域．
2 1 (2) 如果B（x， ）和 B（x， ）是 x∈X的两个 球形邻域，
任意选取实数ε＞0，使得ε＜mi n{ 1 , 2 }， 则易见有 2 1 B（x， ）∩ B（x，ε） B（x， ） 即B（x，ε）满足要求．
f在x0点处连续 B ( f ( x0 ), ) U f ( x0 ) , B ( x0 , ) U x0 , 使得f ( B ( x0 , )) B ( f ( x0 ), ).
• 如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f 是一个连续映射．
2、定理
•定理2.1.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以 x0 及 ∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于 条件(1)*和(2)*： x0 (1)f在点 处是连续的； x0 x0 (1)* f( )的每一个邻域的原象是 的一个 邻域； (2)f是连续的； (2)* Y中的每一个开集的原象是X中的一个 开集．
二、开集
1、球形邻域 •定义2．1．2 设（X，ρ）是一个度量空间， x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合 {y∈X|ρ（x，y）<ε} B ( x ) 记作B（x，ε），或 ，称为一个以x为中 心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形 邻城，有时也称为x的一个ε邻域．
B ( x, )
y X
( x, y )

此处的球形邻域是球状的吗？ 图示
B ( x, )
y X
( x, y )

例：求实数空间、离散度量空间的球形邻域？
B ( x, )
y X
( x, y )

•球形邻域的性质 定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有 以下基本性质： （1）每一点x∈X, 至少有一个球形邻域， 并且点x属于它的每一个球形邻域； （2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存 在x的一个球形邻域同时包含于两者； （3）如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域 ， 则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．
B( x0 , ) U x0 , 使得B( x0 , ) f 1 ( B( f ( x0 ), ))
对上式两边同取f, 得:
f ( B ( x 0 , )) ff
由定义f在 x 0 连续.
1
( B ( f ( x 0 ), )) B ( f ( x 0 ), )
证明：（1）蕴涵（1）*：
令 U U f ( x0 ) , （要证 f 1 (U ) U x ）
0
则 B( f ( x0 ), ) U
∵f在 x 0 连续
B( x0 , ), 使得f ( B( x0 , )) B( f ( x0 ), ) U
对上式同取原象,得:
即：U ( X )为x的领域 开集V X , 使得x V U .
def
•定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X 的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有 某一个球形邻域包含于U．
即：U是x的一个领域 0, 使得x B ( x, ) U
证明 如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义 存在开集V使得x∈V U，又根据开集的定义，x 有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也 就包含于U．这证明U满足定理的条件． 反之，如果U满足定理中的条件，由于球形 邻域都是开集，因此U是x的邻域．
( x, y )
2 ( x y ) i i i 1
n
例2.1.3
Hlbert空间H．

记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合,即
H {x ( x1 , x2 ,...) xi R, i Z ; xi2 }
定义ρ如下：对于任意 x ( x1 , x2 ,...) , y ( y1 , y2 ,...) H
3、开集的三条性质 定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质： （1）集合X本身和空集 都是开集； （2）任意两个开集的交是一个开集； （3）任意一个开集族（即由开集构成的族 ）的并是一个开集． 4、领域 定义2.1.4．设x是度量空间X中的一个点，U是X 的一个子集．如果存在一个开集V满足条件： x∈V U，则称U是点x的一个邻域．
三、连续映射
1、定义 •定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f: X→Y， x0 x0 以及 ∈X如果对于f( )的任何一个球形邻域 x0 x0 B（f( ),ε），存在 的某一个球形邻域 x0 x0 x0 B( ,δ),使得f(B（ ,δ）) B(f( ),ε), x0 则称映射在 点处是连续的．
B( x0 , ) f 1 f ( B( x0 , )) f 1 ( B( f ( x0 ), )) f 1 (U )
f 1 (U ) U x0
(1)*蕴涵(1):
根据定理2.1.3
B( f ( x0 ), ) U f ( x0 ) f 1 ( B( f ( x0 ), )) U x0
[a，b]={x∈R|a≤x≤b} 却不是R中的开集．因为对于 a∈[a，b]而言， 任何ε＞0，B（x，ε） [a,b] 都不成立．类 似地，半开半闭的区间 （a，b]={x∈R |a＜x≤b}， [a，b)＝{x∈R|a≤x＜b} 无限的闭区问 [a，∞)={x∈R|x≥a} , （－∞，b]={x∈R|x≤b} 都不是R中的开集．
（3）设y∈B(x，ε)．
1 -ρ(x，y)． 显然 ＞ 1 0． 令 ＝ε
如果 z∈B（y， ）， 1 则
1 +ρ(y,x)=ε ρ(z,x)≤ρ(z,y)+ρ(y,x)＜
所以 z∈B(x,ε).这证明B(y， ) B(x,ε)． 1
2、开集
定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A 中的每一个点都有一个球形邻域包含于A （即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得 ，则称 A是度量空间 X中的一个开 B（a，ε） A 集．
第2章
度量空间与连续映射
§2.1 度量空间与连续映射
本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量 空间中的连续映射的概念。 注意区别：数学分析中度量、连续映射的概 念与本节中度量、连续映射的概念 注意:在本节的证明中,应细细体会证明的方 法
一、度量
•定义 2.1.1 设 X是一个集合，ρ：X×X→R． 如果对于任何x，y，z∈X，有 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0 当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． • 如果ρ是集合X的一个度量， 称（X，ρ）是一 个度量空间，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y) 称为从点x到点 A, B (a, ) A.
•球形邻域都是开集
def
例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．
设a，b∈R，a＜b．我们说开区间 （a，b）={x∈R|a＜x＜b} 是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b）， 若令ε＝ min{ x- a，b- x}， 则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明 无限的开区间 （a，∞）＝{x∈R|x＞a}， （-∞，b）＝ {x∈R|x＜b} （-∞,∞）＝R 都是R中的开集．然而闭区间
（2）蕴涵（2）*． 设（2）成立．令V为Y中的一个开集， U＝ f（V）． 对于每一个x∈U，我们有f（x）∈ V． 由于 V是一个开集，所以V是f（x）的一个邻域． 由于 f在每一点处都连续， 故 根据（1）*，U是x的一个邻域． 于是有包含x的某一个开集 U x 使得 U x U ． 易见 U xU． Ux 由于每一个 U x 都是开集， 根据定理2．1．2，U是一个开集．
令
i 1
( x, y )
2 ( x y ) i i i 1


2 ( x y ) i i <∞） 说明这个定义是合理的（即验证 i 1
以及验证ρ是H的一个度量。
例2.1.4 离散的度量空间． 设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ） 是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量，如果 对于每一个x∈X，存在一个实数 ＞0使得 x ρ（x，y）＞ x 对于任何y∈X，x≠y，成立． 例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使 得对于任何x，y∈X，有 xy 0 ρ(x,y)= x y 1 容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空 间（X，ρ）是离散的． 通过这几个例子，可知，度量也是一种映射， 但它的象空间是实数。
例2.1.1．实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任 意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．（通常度量） 例2.1.2 n维欧氏空间 （通常度量） 对于实数集合R的n重笛卡儿积 n ＝ R×R× … ×R R
n n R R 定义ρ： × →R 如下：对于任意
n x ( x1 , x2 ,...xn ) ， y ( y1 , y2 ,... yn ) R 令