优化设计2数学建模

2.目标函数 目标函数
优化的目标，称为目标函数 目标函数，以F(X)表示。 目标函数
F ( x) = F ( x1，x2， ，xn ) L
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向调整逼 调整逼 近，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。 在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含 包含全部设计变量； 包含 在机械设计中，可作为参考目标函数的有： 在机械设计中，可作为参考目标函数的有： 体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动 精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、能耗最小、动负荷最 小等等。
5.数学建模练习 数学建模练习6 数学建模练习
运输问题 运输问题
某两个煤厂A1、A2每月进煤数量分别为60顿和100 吨，联合供应3个居民区B1、B2、B3。3个居民区每 月对煤的需求量依次为50吨、70吨、40吨，煤厂A1 离三个居民区B1、B2、B3的距离依次为10、5、6 B B B 10 5 6 （千米），煤厂A2离三个居民区B1、B2、B3的距离 依次为4、8、12（千米），如何分配供煤量使得运 输量达到最小？
1.设计变量 设计变量
设计变量：一组变量，可用一个列向量表示。 设计变量
x1 x x = 2 = [ x1 , x2 ,L, xn ]T M x n
n个设计变量，则称为n维设计问题。
1.设计变量 设计变量
两个设计变量：图a所示的平面直角坐标表示 两个设计变量 三个设计变量：图b所表示的空间直角坐标表示 三个设计变量
1.设计变量 设计变量
如何选定设计变量
设计变量时应注意以下几点： （1）抓主要，舍次要 抓主要， 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小 的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。 （2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量 例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹 簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪 切应力 和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计 弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。
约束条件规定的可行域D 约束条件规定的可行域
3.约束条件 约束条件
约束可行域
g1( x1 ,x2 ) = 9 x1 + 4 x2 ≤ 360 g 2 ( x1 ,x2 ) = 3 x1 + 10 x2 ≤ 300 g3 ( x1 ,x2 ) = 4 x1 + 5 x2 ≤ 200 g 4 ( x1 ,x2 ) = x1 ≥ 0
5.数学建模 机械练习 数学建模
直齿圆柱齿轮副
已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料，设 计该齿轮副，使其重量最轻。写出数学建模。
3.约束条件 约束条件
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作 约束条件，简称约束 约束。 约束 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类 型：
(1)等式约束 (1)等式约束
h( x ) = 0 g ( x) ≤ 0
(2)不等式约束 (2)不等式约束
3.约束条件 约束条件
2.目标函数 目标函数
在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数 单目标函数。 单目标函数 当在同一设计中要提出多个目标函数时，称为多目标函数 多目标函数。 多目标函数 在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数 愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。
2.目标函数 目标函数
3.约束条件 约束条件
约束可行域
设计空间中的约束面（或约束线） 设计空间中的约束面（或约束线）
(a)二变量设计空间中的约束线 (a)二变量设计空间中的约束线 (b) 三变量设计空间中的约束面
3.约束条件 约束条件
约束可行域
例：画出了满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16 ≤ O和g2（X） ＝2—X2≤0的二维设计问题的可行域D，它位于X2=2的上面和圆 x12 ＋x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内。
表a，每小时生产零件利润量 ，
零件种类 1 2 3 1 5 5 6
机器序号 2 6 4 7
3 4 5 2
4 3 4 8
表b，各机器生产零件速率 ，
零件种类 1 2 3 1 8 7 4
机器序号 2 2 6 8
3 4 6 5
4 9 3 2
5.数学建模练习 数学建模练习4 数学建模练习
混合饲料配合 以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需 要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不 超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主 要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分 为： 每磅配料中的营养含量 每磅成本（元） 配料 石灰石 谷物 大豆粉 钙 0.380 0.001 0.002 蛋白质 0.00 0.09 0.50 纤维 0.00 0.02 0.08 0.0164 0.0463 0.1250
等值线或等值面： 等值线或等值面 对于具有相等目标函数值的设计变量点构成的平面曲线或曲面
F ( x) = c
c为一系列常数，代表一族n维超曲面。 如：二维设计空间中，F(x1,x2)=c 代表x1-x2设计平面上的一族曲线
2.目标函数 目标函数
等值线或等值面
等值线
图表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2所构成的关系曲 面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构 成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等 值线，它们构成目标函数的等值线族 目标函数的等值线族。 目标函数的等值线族
优化设计
数学建模
优化设计的数学模型： 优化设计的数学模型
描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设 计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各 主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。
1.设计变量 设计变量
设计变量： 设计变量： 指在设计过程中可以进行调整和优选的独立参 数。 设计变量的选择：应该选择那些与目标函数和 约束函数密切相关的，能够表达设计对象特征 的基本参数。又叫做优化参数 优化参数。 优化参数
4x1 + 4
X = [x1, x 2 ] ∈ R 2
s .t . g 1 ( X ) = x 1 g 2 (X ) =
x 2 + 2 ≥0 1 ≥0
x 12 + x 2
g 3 ( X ) = x 1 ≥0 g 4 ( X ) = x 2 ≥0
图1 示例1等值线与约束函数 图形
图2 示例1含设计空间等值线的目标函数图形 图3 示例1最优解在设计空间中的图解分析法
约束可行域是由约 束边界线围成的封 闭 五 边 形 OABCD 。
g5 ( x1 ,x2 ) = x2 ≥ 0
线性约束下的可行域
3.约束条件 约束条件
可行域与等值线
g1 (x)＝0
x﹡
g2 (x)＝0
g3 (x)＝0
可行域与等值线
4.数学建模 数学建模
优化设计问题一般数学形式： 优化设计问题一般数学形式：数学建模
设计变量； 目标函数； 约束条件 ：
X = [ x1 , x2 ,L , xn ]T F ( X ) → min
g j(X ) ≤ 0 ( j = 1, 2,L , m )
hk ( X ) = 0
( k = 1, 2,L , l )
最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值 最小值。若目标函数 最小值 的最优点为可行域中的最大值 最大值时，则可看成是求［-F（X）］的 最大值 最小值，因为min［-F（X）］与maxF（X）是等价的。当然，也 可看成是求1／F（X）的极小值。
3.约束条件 约束条件
约束可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两个部分，满足所 有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域， 记作D。 可行域可看作满足所有约束条件的所构成的空间（设计点的集 合），因此，可用集合式表示如下：
X | gu ( X ) ≤ 0，hv ( X ) = 0,(u = 1,2,⋅⋅⋅,m；v = 1,2,⋅⋅⋅, p), D= n X ∈E
根据约束的性质，可以把约束条件区分为 根据约束的性质，可以把约束条件区分为：
性能约束——是根据设计性能或指标要求而定的一种约束条件。 性能约束 是对设计变量所加的间接变量。例如：零件的强度条件，刚度条 件，稳定性条件均属于性能约束；
边界约束——对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约 边界约束 束。是对设计变量本身所加的直接限制。例如，允许机床主轴选 择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。
5.数学建模练习 数学建模练习5 数学建模练习
生产资源分配问题
某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为PA 万元， B 产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位A 产品需 消耗煤aC 吨，电aE 度，人工aL 个人日；每生产一个 单位B 产品需消耗煤bC 吨，电bE 度，人工bL 个人日。 现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人 日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。
4.数学建模 数学建模
5.数学建模练习 数学建模练习1 数学建模练习
箱盒优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m， 不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2， 高x3，使箱盒用料最省。写出数学建模
x2 x1 x3
5.数学建模练习 数学建模练习2 数学建模练习
最大产值生产资源分配 某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工 时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电 力见下表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得 的利润最大。写出数学建模
设计变量所组成的设计空间 （a）二维设计问题 （b）三维设计问题
1.设计变量 设计变量
设计空间的维数： 设计空间的维数：表征设计的自由度，设计变量愈多，则 设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难 度亦愈大、求解亦愈复杂。
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量； 中型设计问题：10—50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 例：货担问题(又称为旅行商问题、TSP问题)； 有n个城市，一个 推销员要从其中某一个城市出发，唯一走遍所有的城市，再回到 他出发的城市，求最短的路线。
4.数学建模 数学建模
建立优化设计问题的数学模型一般步骤： 建立优化设计问题的数学模型一般步骤：
1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化 对象进行分析 进行分析。 进行分析
2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和 原始参数、 原始参数 设计变量。 设计变量 3）根据设计要求，确定并构造目标函数和约束条件 目标函数和约束条件，有时要构造 目标函数和约束条件 多目标函数。 4）必要时对数学模型进行规范化 规范化，以消除诸组成项间由于量纲不 规范化 同等原因导致的数量悬殊的影响。
2.目标函数 目标函数
等值线或等值面
2 函数 f ( x1 , x2 ) = 60 − 10 x1 − 4 x2 + x12 + x2 − x1 x2 的等值线图。 的等值线图。 从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中f=40的等 值线就是使f(x1,x2)=40的各点[x1,x2]T所组成的连线。
产品 甲 乙
材料 /kg 9 4
工时/h 工时/h 3 10
电力/(kw.h) 电力/(kw.h) 4 5
利润/ 利润/元 60 120
供应量
3ຫໍສະໝຸດ Baidu0
300
200
5.数学建模练习 数学建模练习3 数学建模练习
生产管理优化 某车间有四台机器，每台拟生产3种类型零件，每小时个零件或利 润间表a，生产不同零件的速率见表b，本月对1，2，3种零件的 需求量分别为700，500，400个；四台机器可提供的工作时间分 别为90，75，90，80h，如何安排生产可获利最大？
等值线簇
2.目标函数 目标函数
等值线或等值面 目标函数f(x)＝一60x1一120x2的等值线族
线性函数的等值线簇
2.目标函数 目标函数
等值线或等值面
可描绘出该函数的等高线： 用Matlab可描绘出该函数的等高线： 可描绘出该函数的等高线
2.目标函数 目标函数
数学模型 1：
2 min f ( X ) = x 12 + x 2