优化设计数学模型.ppt

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1-1 优化设计实例
其中： f (x1, x2 ) 代表设计目标，称为目标函数 gi (x1, x2 ) 代表5个已知的生产指标，称为约束函数 5个不等式代表5个生产条件，称为约束条件
由于目标函数和所有的约束函数均是设计变量的线性函数，故此 问题属线性约束优化问题，显然这样的问题无法直接使用极值条 件求解。
甲
9
3
4
乙
4
10
5
供应量 360
300
200
利润/元 60 120
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1-1 优化设计实例
设每天生产甲产品件 x1 ，乙产品件 x2
每天可获得的利润可用函数 f (x1, x2 ) 60x1 120x2
每天消耗的材料可用函数
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2
每天消耗的工时可用函数
第一章 优化设计的数学模型
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第一章 优化设计的数学模型
对任何一位设计者来说，总愿意作出最优设计方案，使 所设计的产品或工程设施有最好的使用性能和最低的材料消 耗与制造成本，以便获得最佳的经济效益和社会效益。
为此，自古以来，慎重的工程设计人员常常提供几种候 选设计方案，再从中择其“最优”者。
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1-1 优化设计实例
例 1-3 一种承受扭转的空心传动轴，已知传递的扭矩为T ，
试确定此传动轴的内、外径，以使其用料最少。
空心传动轴的截面积：
s (D2 d2)
4
扭转强度条件：
max


16DT (D4 d4)

[
]
扭转刚度条件：


32T
G(D4
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优化设计的应用领域
近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、 冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电 力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其 中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰 硕的成果。
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最优化设计工作包括以下两部分内容：
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机械最优化设计
就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性态、 几何尺寸关系或其它因素的限制(约束)范围内，选取设计变 量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。 设计变量、目标函数和约束条件这三者在设计空间(以设计变 量为坐标轴组成的实空间)的几何表示中构成设计问题。
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f (x) x(6 2x)2极大化
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1-1 优化设计实例
例 1-2 某工厂生产甲乙两种产品，生产每种产品所需的材 料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时 和电力见表1-1，试确定两种产品每天的产量，以使每天可能 获得的利润最大。
产品
表1-1 生产条件与供给数据 材料/kg 工时/h 电力/（kW*h）
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常规设计与优化设计的区别
常规设计的特点
由于设计时间和经费的限制，使所设计的候选方案的数目受 到很大限制。因此用常规的设计方法进行工程设计，特别是当影 响设计的因素很多时，只能得到有限候选方案中的最好方案、不 可能得到一切可能方案的“最优设计方案”。
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常规设计与优化设计的区别
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1-1 优化设计实例
例 1-1 一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的 方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边长， 以使做成的盒子具有最大的容积。
设裁去的四个小方块的边长为; 则盒子的容积可表示成的函数： 上述问题可描述为：
x
f (x) x(6 2x)2
求变量
x
使函数
优化设计的特点
“最优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来 的一项新技术。是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以 人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或 自动设计,可以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代 设计方法。其设计原则是最优设计；设计手段是电子计算机及计 算程序；设计方法是采用最优化数学方法。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自 重或体积，降低工程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计 者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力 从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
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优化设计的发展
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50年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的 微分法和变分法。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化， 并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二 次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线 性规划是其主要内容。此外，还有动态规划、几何规划和随机规 划等。在数学规划方法的基础上发展起来的最优化设计，是60年 代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计 方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著 提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬 勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领 域中得到应用。
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2
每天消耗的电力可用函数
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2
表示 表示， 表示， 表示，
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1-1 优化设计实例
上述生产计划问题可归结为：
求变量 使函数 满足条件
x1, x2
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 最大化
(1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。 建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出 约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变 量之间的函数关系式。 (2)采用适当的最优化方法，求解数学模型。 可归结为在给定的条件(例如约束条件)下求目标函数的 极值或最优值问题。
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g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360 g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300 g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200 g4 (x1, x2 ) x1 0 g5 (x1, x2 ) x2 0
这就是该问题的数学模型。
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