抛物线的焦点与准线

抛

物

线

的

焦

点

与

准

线

（

高

中

知

识

有

关

）

九上P54、活动2（新书）

一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.

公式：抛物线c bx ax y ++=2

的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为a

b a

c y 4142--= 二、试题：

1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5

4

y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．

（1）求字母a ，b ，c 的值；

（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4

F ，求以PM 为底边的

等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．

2、2012年山东潍坊市

24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；

(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2

l 的距离之和等于线段MN 的长．

3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷

y =1

4

x 2

交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．

（1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值．

（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．

（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．

＝；

（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝100

9

，求点M 的坐标．

抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案

1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y

＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线5

4

y =垂直，可得

53344y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得31x =±P 坐标为（3114

）或（31-1

4），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN

可得54

y -()()22

1x y t -+-，

整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，23

24

t y =-（舍

去），故存在点N （1，3

4

），使PM ＝PN 恒成立．

【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0

（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线5

4

y =垂直，∴

533444y -=-，∴14

y =， 把1

4y =代入y ＝－x 2＋2x ，解得312x =±∴点P 坐标为（312+，14）或（312-，14

），

当点P 坐标为（312+，1

4）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，

当点P 坐标为（312-，1

4）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，

∴当点P 坐标为（312+，14）或（312-，1

4

）时，△PFM 为正三角形；

（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54

y -＝()()22

1x y t -+-，

两边同时平方得，2255162

y y -+＝()()22

1x y t -+-

∵y ＝－x 2＋2x ，∴239

20216

t yt y -+-=，

解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，3

4

），使PM ＝PN 恒成立．

【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形

【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．

【推荐指数】★★★★★

2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)

解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，

由⎩⎨⎧+-==-++=c b a c

c b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==41

1

0a c b