抛物线的焦点与准线

抛物线准线和焦点的探究一

抛物线准线和焦点的探究一导言：抛物线是圆锥曲线，有多种形式的解析式，本文探讨直角坐标系中二次函数曲线解析式与抛物线准线和焦点的关系。

在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U 形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。

它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。

焦点并不在准线上。

抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。

抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。

与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。

沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。

抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。

任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线-也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

探讨问题：面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线。

现抛物线（二次函数曲线）的解析式为：c bx ax y ++=2，那么准线和焦点是如何确定的。

（注，以下探究是不翻教科书、不查网上其他人的方法，根据自己对数学的理解来探究，方法是否正确和简洁等完成后再查对）本图的二次函数解析式为：()213212+-=x y 转换成通用形式为：2113212+-=x x y首先，焦点F 一定在对称轴上，否则出现上图中的情况，明显A M=BM ，FM≠FN ，不符合焦点的定义。

其次，准线垂直与对称轴，具体证明将另作探讨。

所以，焦点F 与准线L 的关系位置与上图所示.图中二次函数曲线的解析式为()23212+-=x y ,即2133212++=x x y 。

C F D ABLE M上图为局部放大图设焦点坐标为()f f y x ,，点M 坐标为()m m y x ,，准线的方程为l y y =。

抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线(高中知识有关)九上P54、活动2 (新书)一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55；理科选修(1-1) P56-59抛物线的儿个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.八亠XII7 ；“亠—彳b Acic — b~+l、亠八、“4QC —b?— 1公式：抛物线y = ax^ +bx+c的焦点为（一——’-------- ）,淮线为y = -------------------2a 4a 4a二、试题：1、(2010黄冈市，25, 15分)已知抛物线y = ax2 +bx + c(a^0)顶点为C (1, 1)且过原点O.过抛物线上一点P (x, y)向直线y =-作4 垂线，垂足为M,连FM (如图). (1)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=l上有一点F(l,—),求以PM为底边的4等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N (1, /),使PM=PN恒成立，若存在请求出(值，若不存在请说明理由.2、2012年山东潍坊市24.(本题满分11分)如图，己知抛物线与坐标轴分别交于4(一2, 0)、BQ, 0)、C(0, 一1)三点，过坐标原点0的直线尸&与抛物线交于M、N两点.分别过点C,D(0, —2)作平5 4行于x轴的直线/】、/2.(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线厶相切；(3)求线段MN的长(用R表示)，并证明M、N两点到直线12的距离之和等于线段的长.3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷y = A x24、如图所示，过点F （0, 1）的直线y=kx+b与抛物线给交于M （xi，yi）和N（X2，V2）两点（其中Xl<0, X2>0）・（1）求b的值.(2)求X1・X2的值.（3）分别过M, N作直线1： y=- 1的垂线，垂足分别是Mi和Ni.判断△ MiFNi的形状，并证明你的结论.4、2010年南通市中考试题（五中月考）28.（本小题满分14分）（2010年南通市）己知抛物线y = aW + bx + c经过4 （ -4, 3）、B （2,0）两点，当尸3和尸一3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C （0, -2）的直线/与x轴平行，O 为坐标原点.（1）求直线43和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，40为半径的圆记为04,判断直线/与的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为一1, P（加，/?）是抛物线y = ax2 + bx+c上的动点，当厶PDO的周长亲小时，求四边形CODP的面积.432111111 1 1 1 .-4-3 -2 -1O-11 2 3 4 x-2--3--4-（4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,（第28题）5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22. （14分）己知抛物线y = d/+b兀+ c（d工0）经过点4 （-2, 0）、B（0, 1）两点，且对称轴是y轴，经过点C （0, 2）的直线/与x轴平行，O为坐标原点，P、0为抛物线），=ax2 +bx+c （QH O）上的两动点。

抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F （0，1）的直线y=kx+b 与抛物线y =14y 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值．（2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．第22题图4、2010年南通市中考试题（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l与⊙A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积． 5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q 为抛物线c bx ax y ++=2（0≠a）上的两动点。

抛物线的三种表达式

抛物线的三种表达式一、抛物线的定义和特点1. 抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由一个定点F和一条定直线L组成。

在平面几何中，抛物线可以通过多种方式来表达和描述。

本文将介绍抛物线的三种常见表达式。

2. 抛物线的特点抛物线的特点主要包括： 1. 对称性：抛物线是关于焦点F的对称曲线。

2. 函数性：抛物线可以表示为函数的形式，即y = f(x)。

3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线是与抛物线垂直且通过焦点F的直线。

二、一般式表达式1. 一般式表达式的形式抛物线的一般式表达式是最常见和最基本的形式，它可以表示为： Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不同时为0。

2. 一般式表达式的特点一般式表达式具有以下特点： 1. 既包括了二次项又包括了一次项，可以表示出抛物线的倾斜程度和位置。

2. 通过系数A、B、C的符号和大小，可以确定抛物线的朝向和形状。

三、顶点式表达式1. 顶点式表达式的形式抛物线的顶点式表达式是以抛物线的顶点为基准，它可以表示为： y = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为常数，且a不等于0。

2. 顶点式表达式的特点顶点式表达式具有以下特点： 1. 通过顶点坐标(h, k)可以确定抛物线在平面坐标系中的位置。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和形状。

四、焦点和准线式表达式1. 焦点和准线式表达式的形式抛物线的焦点和准线式表达式是以抛物线的焦点和准线为基准，它可以表示为：4a(x - p)^2 = 4a(p - q)(y - k)其中，a、p、q、k为常数，且a不等于0。

2. 焦点和准线式表达式的特点焦点和准线式表达式具有以下特点： 1. 通过焦点坐标(p, k)和准线的位置可以确定抛物线的位置和形状。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和准线的位置。

五、总结抛物线是一种常见的二次曲线，本文介绍了抛物线的三种常见表达式：一般式表达式、顶点式表达式和焦点和准线式表达式。

抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b 与抛物线交于M（x1，y1）和N （x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．（1）求b的值．（2）求x1•x2的值．（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．4、2010年南通市中考试题（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．－1yxO（第28题）1234－2－4－33－1－2－3－4 41 2第22题图A B QOy xlPC5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q 为抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）上的两动点。

焦点准线抛物线公式

焦点准线抛物线公式
嘿，朋友！今天咱来聊聊焦点准线抛物线公式那些事儿。

抛物线的标准方程有好多呢，比如y² = 2px，这里的 p 可重要啦！就好像是抛物线的一个魔法数字。

哎呀，这就好比是一个游戏里决定角色能力的关键数值一样！比如说，y² = 4x，那这里的 p 就是 2 啦。

然后焦点坐标就是(p/2,0)，也就是(1,0)呀。

准线方程呢，就是 x = -p/2，那就是 x = -1 嘛。

这多清楚呀！
还有x² = 2py 这种呢，那焦点坐标就是(0,p/2)，准线方程就是 y = -p/2。

咱举个例子，x² = 4y，那 p 就是 2 咯，焦点不就是(0,1)，准线就是y = -1 嘛。

你说是不是很有趣呀？
这些公式就像一把钥匙，能打开抛物线这个神秘世界的大门哟，让我们更好地了解它的奥秘！你现在是不是对焦点准线抛物线公式更清楚一点啦？。

抛物线的性质与定理应用

抛物线的性质与定理应用抛物线是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和定理。

作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍抛物线的性质与定理，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、抛物线的基本性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的曲线，具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。

这个性质使得我们在研究抛物线时可以利用对称性简化问题，节省计算时间。

2. 焦点与准线的关系：抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

这个性质被广泛应用于抛物线的测量和设计中，例如卫星天线的调整和太阳能聚光器的设计等。

3. 切线性质：抛物线上的切线与准线垂直。

这个性质使得我们可以通过求解切线斜率为零的方程来确定抛物线上的顶点，从而得到抛物线的标准方程。

二、抛物线的定理应用1. 焦半径定理：焦半径定理是抛物线的一个重要定理，它指出抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。

这个定理可以用来解决很多与焦点和准线有关的实际问题，例如抛物线反射器的设计和抛物面反射望远镜的原理等。

2. 焦点坐标定理：焦点坐标定理是抛物线的另一个重要定理，它指出抛物线的焦点坐标为（p，0），其中p是焦准距。

这个定理可以用来确定抛物线的焦点位置，从而进一步求解抛物线的标准方程。

3. 抛物线的最值问题：抛物线在一定范围内的最值问题是数学中常见的优化问题。

通过求解抛物线的最值，我们可以确定抛物线的最高点、最低点以及最值对应的自变量值。

这个问题在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

三、抛物线的实际应用举例1. 抛物线的轨迹问题：假设有一个人站在地面上，以一定的初速度和角度抛出一个物体。

我们可以利用抛物线的轨迹性质来计算物体的飞行距离、最大高度和落地点等。

这个问题在射击、投掷和运动等领域都有实际应用。

2. 抛物线的抛物面反射望远镜：抛物面反射望远镜是一种常见的望远镜设计，它利用抛物线的焦点和准线性质来聚集光线，从而实现远距离的观测。

抛物线知识点总结(二)2024

抛物线知识点总结（二）引言概述抛物线是一个常见的数学曲线，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍关于抛物线的知识点，包括焦点、直角坐标系中的方程、顶点、开口方向以及抛物线与直线的交点等内容。

正文内容一、焦点1. 定义：焦点是抛物线上所有点到准线的距离都相等的点。

2. 焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。

3. 焦点的坐标：对于纵轴开口的抛物线，焦点的坐标为(p, 0)；对于横轴开口的抛物线，焦点的坐标为（0, p）。

4. 焦半径：焦点到顶点的距离被称为焦半径，记为r。

5. 焦半径的性质：焦半径与焦距之间存在着特定的关系，即r=p/2。

二、方程1. 横轴开口的抛物线方程：y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为顶点坐标，纵轴对称轴为x=h。

2. 纵轴开口的抛物线方程：x=a(y-k)²+h，其中(h, k)为顶点坐标，横轴对称轴为y=k。

3. 抛物线的一般方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且B² - 4AC ＜ 0。

4. 方程的性质：根据方程的形式，可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标以及是否与坐标轴相交等信息。

5. 方程的变形：通过配方法或平方完成平方项，可以将抛物线方程转化为标准方程。

三、顶点1. 定义：顶点是抛物线上的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。

2. 顶点的坐标：顶点的横坐标即为方程中的h，纵坐标即为方程中的k。

3. 求顶点的方法：对于已知抛物线方程，可以通过将方程转化为标准形式，得到顶点的坐标。

4. 顶点与焦点的关系：焦点和顶点都是抛物线上的特殊点，它们之间有一定的几何关系。

5. 顶点的性质：顶点是抛物线的最值点，也是对称轴的中点。

四、开口方向1. 横轴开口：当抛物线以横轴为开口时，抛物线的方程为y=a(x-h)²+k。

2. 纵轴开口：当抛物线以纵轴为开口时，抛物线的方程为x=a(y-k)²+h。

抛物线的知识点高二

抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。

一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。

定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。

当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。

2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。

4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。

三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。

2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。

3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。

4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。

五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。

2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。

3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。

4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。

抛物线上的点到准线的公式

抛物线上的点到准线的公式抛物线是我们经常在日常生活中见到的一种曲线，它具有很多特点。

其中，抛物线上的点到准线的公式是一个非常重要的概念。

首先，我们来了解一下什么是抛物线。

抛物线是一种二次曲线，它的特点是与一个固定点（称为焦点）的距离与一条直线（称为准线）的距离相等。

这个固定点和直线也是抛物线的两个重要元素。

对于抛物线上的任意一点，它到准线的距离与它到焦点的距离有一定的关系。

这个关系可以用抛物线上点的坐标以及焦点和准线的位置公式来表示。

具体来说，对于一个一般式的抛物线y = ax² + bx + c，其中a不等于0，它的焦点坐标为（0，1/4a），准线的方程为y = -1/4a。

则抛物线上一点P（x,y）到准线的距离为：d=|y + 1/4a|这个公式可以用来求解抛物线上任意一点到准线的距离。

我们可以举一个具体的例子来说明这个公式的应用。

比如，我们考虑一个经典的抛物线问题：一个小球从高度为h的位置抛出，落地时的位置距离投掷点为d。

假设空气阻力可以忽略不计，抛物线与地面平行。

则小球到达地面时的速度为：v²=2g(h-d)其中，g是重力加速度，v是速度。

根据这个公式，我们可以计算出小球到达地面时的速度。

然后，我们可以使用抛物线上点到准线的公式，计算小球飞行过程中离地距离最远的点到准线的距离，从而得到小球的最远飞行距离。

这个例子说明了抛物线上点到准线的公式的实际应用价值。

通过这个公式，我们可以解决很多关于抛物线的实际问题，从物理学到工程学、建筑学等各个领域。

总之，抛物线上点到准线的公式是抛物线的重要性质之一，具有很广泛的应用价值。

掌握这个公式可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并解决很多实际问题。

抛物线的像与性质

抛物线的像与性质抛物线是一种常见的数学曲线，它具有独特的形状和一系列特殊的性质。

在本文中，我们将探讨抛物线的像以及与之相关的性质。

一、焦点和直角坐标系在了解抛物线像的性质之前，我们首先需要了解抛物线的基本构造。

抛物线由焦点F和直线l（称为准线）构成。

焦点F位于准线上方，对称轴与准线垂直相交于顶点V。

为了更好地描述抛物线的像和性质，我们使用直角坐标系来进行图示和计算。

假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x和y分别表示点的坐标。

二、抛物线的像1. 焦点和准线抛物线的焦点F与准线l之间存在着特殊的对应关系。

具体来说，抛物线上的任意一点P到焦点的距离与点P到准线的距离之比始终等于一个常数，称为离心率e。

2. 点到焦点的距离对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点F的距离可以表示为√((x - p)^2 + (y - q)^2)，其中(p, q)表示焦点F的坐标。

3. 点到准线的距离对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到准线l的距离可以表示为|y - c|/√(1 + a^2)。

4. 抛物线的像形成当抛物线的焦点F为实数对(p, q)，我们可以通过将抛物线上的每个点P(x, y)到焦点F的距离与点P到准线l的距离之比相等来确定抛物线的像。

三、抛物线的性质1. 对称性抛物线具有关于对称轴的对称性。

对于抛物线上的任意一点P，它与对称轴上的点Q关于对称轴对称。

2. 焦点与顶点的位置关系焦点F位于抛物线的对称轴上，且与顶点V的距离等于离心率e乘以对称轴的长度。

3. 切线与法线通过抛物线上的任意一点P，可以画一条与抛物线相切的直线，称为切线。

切线与通过点P且垂直于切线的直线，称为法线。

4. 焦点到切线的距离定理抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于点P到切线的垂直距离的两倍。

5. 焦距和离心率的关系对于给定的抛物线，焦距与离心率之间存在关系，即焦距等于离心率乘以对称轴的长度。

FMlH定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线

思考1：p的几何意义？
抛物线的焦点到准线的距离（p>0）
思考2：方程的特点？
(1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点所在的轴. p前面的正负号决定开口方向.
知识应用：
例题：（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 3 的焦点坐标及准线方程； 3 x
F ( ,0 ) 2
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
课堂小结：
1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式; 3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程. 2
x 8 y
变式训练：若抛物线的标准方程是 x = 6y 2 ，求它的焦点坐标及准线方程
巩固练习：
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2
（2）准线方程是x = ；
=12x y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
M
· ·F
探究点二：抛物线标准方程
问题二
设点F到直线l的距离为p （p>0)，如何建立坐标系，才能使抛物线的方程更简单？
l H
y
M
K
p的几何意义
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
· · F
x
问题三
（1）若定点F在定直线的l左侧呢？
（2）若定点F在定直线的l上方呢？
（3）若定点F在定直线的l下方呢？
l
F
·
l
﹒
F
﹒
F
l
探究点三：四种抛物线的对比

抛物线的焦点和准线关系

抛物线的焦点和准线关系抛物线是一种常见的二次函数曲线，具有特定的形状和性质。

在抛物线上，焦点和准线是两个重要的元素，它们之间存在一定的关系。

焦点的定义和性质焦点是抛物线上的一个特殊点，用F表示。

对于一个标准的抛物线，焦点位于顶点之上（对称轴上方），与准线相距相等。

焦点的性质如下:- 抛物线上的任意一点与焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

- 焦点是抛物线的对称中心，对称轴上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

准线的定义和性质准线是抛物线对称轴上的一条直线，通常表示为x = a，其中a 为常数。

准线与抛物线的焦点之间的距离称为焦距，用p表示。

准线的性质如下:- 准线是抛物线的对称轴，抛物线上的任意一点到准线的距离相等。

- 由焦点到准线的垂直线段长度等于焦距p。

焦点与准线的关系焦点和准线是密切相关的，它们之间的关系可以用以下公式表示：PF = PM其中，PF表示焦点F到抛物线上一点P的距离，PM表示点P 到准线的垂直距离。

这个关系可以进一步转化为：PF = p其中，p表示焦距，也就是焦点到准线的距离。

焦点和准线的关系告诉我们，在抛物线上的任意一点，到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离，而且焦距是确定的。

总结抛物线的焦点和准线是抛物线的重要元素，它们之间存在着特定的关系。

焦点是抛物线的对称中心，准线是对称轴，两者之间的关系可以通过焦点与准线的距离来描述。

了解焦点和准线的性质和关系，有助于我们更好地理解和应用抛物线的相关知识。

以上是关于抛物线的焦点和准线关系的简要介绍。

如果需要更详细的内容或有其他问题，请随时与我联系。

抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F （0，1）的直线y=kx+b 与抛物线交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值．（2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．第22题图4、2010年南通市中考试题（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l与⊙A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积． 5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q为抛物线c bx ax y ++=2（0≠a）上的两动点。

抛物线焦点坐标公式

抛物线焦点坐标公式抛物线是一个常见的曲线形状，可以通过焦点和直线的关系来描述。

焦点坐标公式是用来计算抛物线焦点位置的公式。

在笛卡尔平面坐标系中，抛物线的焦点坐标可以使用以下公式计算：如果抛物线的准线是与y轴平行的线段，并且焦点位于x轴上，那么焦点的坐标形式为(0,p)，其中p是焦距。

如果抛物线的准线是与x轴平行的线段，并且焦点位于y轴上，那么焦点的坐标形式为(p,0)，其中p是焦距。

在抛物线一般情况下，可以使用标准形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c 来计算焦点坐标。

其中 a、b、c 是常数。

要计算焦点坐标，首先需要将抛物线方程转化为顶点坐标形式(h,k)。

顶点坐标公式为h=-b/(2a)和k=c-(b^2/(4a))。

然后，根据抛物线方程的类型，可以使用以下公式计算焦点坐标：1.如果抛物线开口向上（a>0），那么焦点坐标形式为(h,k+1/(4a))。

2.如果抛物线开口向下（a<0），那么焦点坐标形式为(h,k-1/(4a))。

这些公式是通过将标准形式的抛物线方程转化为顶点坐标形式，并利用几何关系推导得出的。

我们可以通过一个例子来说明如何计算抛物线焦点坐标。

假设我们有一个抛物线方程y=2x^2-4x+3首先，我们需要将抛物线方程转化为顶点坐标形式。

通过求解h和k，我们可以得到h=-(-4)/(2*2)=1和k=3-((-4)^2/(4*2))=-1然后，根据抛物线开口方向，我们可以确定焦点坐标形式。

由于a>0，这个抛物线开口向上。

所以焦点坐标形式为(1,-1+1/(4*2))=(1,-1+1/8)=(1,-7/8)。

因此，这个抛物线的焦点坐标为(1,-7/8)。

总结起来，抛物线焦点坐标可以通过将抛物线方程转化为顶点坐标形式，并利用抛物线开口方向来计算。

这个公式可以用来计算抛物线的焦点位置，以及研究抛物线的特性和行为。

与抛物线焦点弦有关的几个结论

与抛物线焦点弦有关的几个结论
抛物线是一种二次曲线，它的两个焦点和准线重要的概念。

在抛物线的作图中，弦也
是一个非常重要的元素。

抛物线的焦点弦指的是通过焦点连成的直线，它可以有助于更好地了解抛物线的特点。

下面将介绍抛物线与焦点弦之间的几个结论：
一、抛物线的焦点弦与抛物线的准线垂直：抛物线的准线是一条垂直于x轴或y轴的
直线，而抛物线的焦点弦也是垂直于这条准线的。

二、焦点弦是抛物线的对称轴：抛物线是一个对称图形，焦点弦也是抛物线的一个
对称轴。

因此，在进行图形操作时，如旋转、剪切等，我们可以以焦点弦作为对称轴，借
助它来操作图形。

三、抛物线的焦点距离等于它的准线距离的两倍：根据抛物线的定义，其准线距离为
它左右两个焦点的距离，那么抛物线的焦点弦距离就是准线距离的两倍。

四、抛物线的焦点弦与抛物线的坐标原点有关联：由于抛物线的准线与它的焦点弦都
是垂直的，那么抛物线弦的中心点就与抛物线的坐标原点关联起来了。

总而言之，抛物线的焦点弦是一个非常重要的概念，它与抛物线的准线有着十分密切
的关系，而且与抛物线的坐标原点也有一定的联系，有助于更好地描绘出抛物线图形，从
而更好地理解抛物线。

高二数学知识点总结抛物线

高二数学知识点总结抛物线抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有许多重要的性质和应用。

在高二数学学习中，我们需要掌握抛物线的定义、性质、标准方程和相关的解题方法。

下面将对这些知识点进行总结和概括。

1. 抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其定义是所有到一个定点（焦点F）和到一条直线（准线L）的距离相等的点的轨迹。

这个定点叫做焦点，准线叫做准线。

焦点到准线的距离叫做焦距，用字母p表示。

所有的抛物线都具有这个性质。

2. 抛物线的性质(1) 抛物线是对称的。

对于一个抛物线，以焦点为对称中心，准线为对称轴，抛物线上的每一个点关于对称轴对称。

(2) 抛物线的焦点和准线的位置关系。

焦点在平行于准线的直线上方时，抛物线开口向上；焦点在平行于准线的直线下方时，抛物线开口向下。

(3) 抛物线的顶点位置。

抛物线的顶点是其准线与对称轴的交点，也是其最高或最低点。

3. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c。

其中，a、b、c均为实数常数。

(1) 若a>0，则抛物线开口向上。

(2) 若a<0，则抛物线开口向下。

(3) 当抛物线的标准方程为y=ax^2 (a≠0)时，抛物线焦点在原点，准线为y=0轴。

4. 抛物线的平移与图像变换(1) 横向平移：抛物线沿x轴平移h个单位。

平移后的抛物线方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。

(2) 纵向平移：抛物线沿y轴平移k个单位。

平移后的抛物线方程为y=a(x^2-2hx+h^2)+b(x-h)+c+k。

5. 抛物线的相关解题方法(1) 求抛物线的焦点坐标：根据焦点的定义，使用平移和对称的思想，通过已知的抛物线方程可以求得焦点坐标。

(2) 求抛物线的顶点坐标：根据抛物线的对称性和平移性质，将抛物线方程转化为顶点形式，即可得到顶点坐标。

(3) 求抛物线与直线的交点坐标：将抛物线方程与直线方程联立，解方程组得到交点坐标。

(4) 求抛物线与抛物线的交点坐标：将两个抛物线方程联立，解方程组得到交点坐标。

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

p 0
p ,0 2
x p 2
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
x2 2 py
p 0
0, p 2
y p 2
x2 2 py
p 0
0, p 2
y p 2
已知抛物线标准方程，如何确定抛物线焦点位置及开口方向？
（2） 2 y 2 5x 0
(0, 1) 8
( 5 ,0) 8
y 1 8
x5 8
总结规律：一次项的字母定轴，一次项系数的符号定向。
例1.根据下列条件求抛物线的标准方程（1）焦点在x轴的正半轴上，并且p=5
解：由于焦点在x轴的正半轴上， p=5,2p=10
所以抛物线的标准方程为 y 2 10 x
（2）焦点F（0，-2）
解：由于焦点在y轴的负半轴上 - p 2 ，p=4,2p=8
2
所以抛物线的标准方程为
x 2 8y
（3）准线方程为 x 1 2
解：由题可知抛物线焦点在x轴的负半轴上
p 1， 22
p=1,2p=2
所以抛物线的标准方程为 y 2 -2x
求抛物线方程的方法——待定系数法
定轴向—求P值—写方程
练习:根据下列条件求抛物线的标准方程:
（1）焦点F（3，0）
2
2

E
p
o
2
整理得 y2 = 2px（p＞0）
·F x
p 2
上式称为抛物线的标准方程。焦点在x轴的正
半轴上，焦点坐标（ p ,0) ，准线方程 x p
2
2
其中p为正常数，它的几何意义是：焦点到准线的距离