等腰三角形中的分类讨论问题
有关等腰三角形的分类讨论专题
相关等腰三角形的分类议论专题：1．（1）等腰三角形有两边长为4cm 和 7cm，则周长为厘米。
（2）等腰三角形有两边长为3cm 和 7cm，则周长为厘米。
（3）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 10cm，则其他两边长为米。
（4）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 6cm，则其他两边长为米。
厘厘总结：等腰三角形波及到边的问题时，能够依据“腰”和“底边”来分类议论，但要利用三角形形三边关系来判断三角形能否存在。
稳固：（ 1）等腰三角形一边长为12cm，且是另一边长的，那么这个三角形的周长是厘米。
（ 2）假如等腰三角形一腰上的中线把它的周长分红15 和6 两部分，则底边的长是。
2．在△ ABC中，AB=AC，（1）若∠ A=30°，则∠ B=，∠C=。
（2）若∠ B=30°，则∠ A=，∠ C=。
（3）如有一个内角是 30°，则其他两个内角的度数为。
（4）如有一个内角是120°，则其他两个内角的度数为。
总结：在等腰三角形内角求解的问题中，能够按“顶角”但要利用三角形内角和判断三角形能否存在。
、“底角”来分类议论，稳固：假如等腰三角形的两个内角的比为4：1，求等腰三角形的顶角的度数。
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为度。
总结：等腰三角形中波及“高”的内角求解问题，能够依据三角形种类分类议论。
稳固：（ 1）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为度。
（ 2）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与另一腰的夹角为度。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
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“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
与等腰三角形有关的分类讨论问题
与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.一：与角有关的分类讨论例1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________分析：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.二：与边有关的分类讨论例2、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.分析：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.三：与高有关的分类讨论例3、一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.分析：因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为90°－35°＝55°.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180°－（90°－35°）＝125°故此等腰三角形的顶角为55°或125°.小结：此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论，特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解，请同学们注意体会.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，例4、美化环境，计划在某小区内用2请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.分析：例5、在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2）， 试在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形， 求符合条件的点P 的坐标 练习：1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角的度数_____度. 归纳：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直 线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ， 使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标 是3、练习如图，在网格图中找格点M ，使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴.baxAOA （－2，2）yxoPQPQPOCBA4、变式这样的点M 共有_________个5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是边BC 上一点，△EAD 是等腰直角三角形，∠EAD =90°，ED 与AC 相交于点F ， 联结CE . （1）说明∠B ＝∠ACE 的理由；（2）若△CFE 是等腰三角形，请求出∠BAD 的度数.6、已知如图点O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°， 将点O 绕点A 按顺时针方向旋转60°到点P ，联结OP 、CP （1）求证：△AOP 是等边三角形（2）若△COP 是等腰三角形，求 ∠BOC 的度数。
专题训练等腰三角形中的分类讨论
专题复习——等腰三角形中的分类讨论例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。
例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。
例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20 ,则等腰三角形的顶角度数为例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。
（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）LB例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。
则满足△OAB为等腰三角形的有B点共有个例3. P为直线1:32l y x A=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.等腰三角形中的分类讨论练习姓名：日期：指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。
下面就常见题型举例说明如下：一、角不确定时需分类讨论1、若等腰三角形的一个角为40°，则其他两个角分别为若等腰三角形的一个角为100°，则其他两个角分别为二、边不确定时需分类讨论2、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm，则它的周长是等腰三角形周长是20cm，一边长为8cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是20cm，一边长为4cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为三、高不确定时需分类讨论3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为四、其它（1）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长（3）一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长5、已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰三角形，一共可以作个6、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长7、如图，在等边ΔABC所在的平面内求一点P，使ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC都是等腰三角形，你能找到几个这样的点？画图描述他们的位置。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
等腰三角形中的分类讨论(含答案)
等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．
2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长．
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
1。
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。
分类讨论最关键的是要做到不重不漏，难点在于如何确定分类标准。
一般地，我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论：一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论，一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。
一、求等腰三角形的边长或周长问题例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3，则它的周长为.【解析】本题按照腰进行分类讨论即可，7和3都有可能是等腰三角形的腰，但由三角形三边关系可知，排除了3为腰长的可能。
但需注意的是，虽然本题答案只有一个，但过程中得要有分类讨论。
【答案】17二、求等腰三角形的角度例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数. 【解析】由于本题没有给出图形，所以题中腰上的高需要分类讨论，当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，此时顶角是30°；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，此时顶角为150°.【答案】30°或150°三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标例3. 在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。
点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。
按此分类讨论，若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，2-），或（0，222）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.【答案】（0，-4），（0，2-），（0，222），（0，-2）例4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。
等腰三角形动点问题分类讨论题型
等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。
比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。
像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。
比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。
假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。
想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。
要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。
在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。
像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。
等腰三角形中的分类讨论思想
3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个 三角形的各个内角的度数．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. (1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，如 图①所示． ∵∠DBC＝25°， ∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°. ∴∠ABC＝∠C＝65°. ∴∠A＝180°－2×65°＝50°. (2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的 内部时，
4．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线 相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．
解：此题分两种情况讨论： (1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ∠ADE＝40°，则∠A＝50°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D， ∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°. 故∠B的度数为65°或25°.
5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD 把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD. (1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5－3＝2(cm)． 但是当AB＝2 cm时，三边长分别为 2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不合题意，应舍去． 故腰长为8 cm.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，∴∠OBE＝∠OMF. ∴△OMF≌△OBE(ASA)． ∴BE＝MF. ∵AF＝1，∴FM＝1. ∴BE＝1. (2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交 AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4， ∴BE＝FM. ∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3. 综上所述，BE的长为1或3.
等腰三角形中的分类讨论63
等腰三角形中的分类讨论：1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为２、等腰三角形中，一个角是另一个角的两倍，求它各角的度数．３、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为____．４、等腰三角形的一个外角等于110°，则顶角的度数为．５、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
６、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是７、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为８、若等腰三角形的两边长分别为9cm和4cm，其周长为９、已知等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，则其它两边长分别是．10、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，这个等腰三角形的底和腰的长分别是。
11、等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，三角形各边的长．12、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，腰长为．13．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为2cm，则腰长为14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角的度数。
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35 °，则其顶角为17、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12A DB C，∠BAC的度数．18、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，等腰三角形的周长为．19.已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出20在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．21.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中正确的是( )(1)AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ACD边AD上的高.22.如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AＤ，已知AF=6，BC=10,BG=5.(1)求△ABC的面积；(2)求AC的长；(3)说明△ABC和△ACD的面积的关系.23.如图，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且PD //AB ，PE //AC ，求△PED 的周长．24.如图，在等腰△ABC 中，∠C=90°，如果点B 到∠A 的平分线AD 的距离为5cm,求AD 的长。
等腰三角形中的分类讨论
寄语——与同学共勉： 愿我们在座的每一位同学在学习 和生活中就像分类讨论一样去多方面 考虑问题，认识问题。 愿我们同学都能开心！
关于分类讨论
分类讨论的定义：当数学问题中的条件、结论 不确定时，就应分类讨论。 分类讨论思想是指 在解决一个问题时，将问题划分成几个能用不 同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加 以解决，从而使问题得到解决。
分类讨论解题的实质：是将整体问题化为部分 问题来解决。 分类讨论的原则：是不重复、不遗漏。讨论的 方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结 果，以使解题步骤完整。
4个
二、当顶角或底角不能确定时
1.已知等腰三角形的一个内角为80°， 则 外角为100°, 80°或50° 其顶角为___________ 2.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍， 则其顶角为____________ 120°或20°
分两种情况： ①顶角是底角的4倍 ②底角是顶角的4倍
三、由腰上的中线引起的分类讨论 1.一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中 线把其周长分为差是3的两部分，则这个等腰 8 三角形的腰长为_________ 2.一个等腰三角形一腰上的中线将其周长分 为9和12两部分，则这个等腰三角形的腰长 6或8 为________
等腰三角形中的分类讨论
1.你能说出什么情况下要分类讨论吗？ 2.你能说出等腰三角形中哪些情况下需要分 类讨论吗？
一、当腰长或底边长不能确定时 1.一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它 11或13 的周长等于_________ 2.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它 17 的周长等于_________ 3.如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为 10或7 10，则腰长为____________
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。
人教版初中数学八上 小专题(十三) 等腰三角形中的分类讨论
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在 y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 4 个.
第8题图
图1
（2）当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝ 90°－40°＝50°. 综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图2
类型三 已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论 7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也
是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
类型二 当三角形的形状不确定时需分类讨论 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数
为 65°或115° . 6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角度数为
40°，求∠B的度数. 解：分两种情况讨论： （1）当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－40° ＝50°.
D.56°或68°
3.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 45°或72° .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝25°，∠BAC＝100°，点P在△ABC的三边上运 动.当△PAC为等腰三角形时，求其顶角的度数. 解：∵∠ABC＝25°， ∠BAC＝100°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝55°. 分四种情况讨论： （1）如图1，当点P在AB上，且AP＝AC时，顶角为∠A＝100°；
图1
（2）如图2，当点P在BC上，且AC＝PC时，顶角为∠C＝55°；
图2 （3）如图3，当点P在BC上，且AC＝AP时，顶角为∠CAP＝180°－2∠C＝ 70°；
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
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等腰三角形中的分类讨论问题关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。
对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。
下面举例简要论述这两类问题：一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm，求周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8时，周长为8+8+10=26；当腰长为10时，周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm或28cm。
解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形；当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。
注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。
二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。
解：（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x，∴ 4x+4x+x=1800，∴ x=200，∴ 4x=800，于是三角形的各个内角的度数为：200，800，800。
（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x，∴ x+x+4x=1800，∴ x=300，∴ 4x=1200，于是三角形的各个内角的度数为：300，300，1200。
故三角形各个内角的度数为200，800，800或300，300，1200。
例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。
分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500，有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500。
因此需要分类讨论；解：（1）当顶角的外角等于1500时，则顶角=1800-1500=300，∴每个底角=（1800-顶角）÷2=750；（2）当底角的外角等于1500时，则每个底角=1800-1500=300；∴顶角=1800-底角⨯2=1800-300⨯2=1200；故三角形各个内角的度数为300，750，750或1200，300，300。
三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数。
分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。
解：设AB=AC，BD⊥AC；A （1）高与底边的夹角为250时，高一定在△ABC的内部，如图1，∵∠DBC=250，∴∠C=900-∠DBC=900-250=650，DB C∴ ∠ABC=∠C=650，∠A=1800-2×650=500。
（2）当高与另一腰的夹角为250时， 图1①如图2，高在△ABC 内部时，当∠ABD=250时，∠A=900-∠ABD=650，∴ ∠C=∠ABC=（1800-∠A ）÷2=57.50；②如图3，高在△ABC 外部时，∠ABD=250，∴∠BAD=900-∠ABD=900-250=650，∴ ∠BAC=1800-6500∴∠ABC=∠C=（1800-1150）÷2=32.50故三角形各内角为：650，650，500或650，650，57.50或1150，32.50，32.50。
四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 图3例5、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B 的度数。
分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形； 图4解：（1）如图4，AB 边的垂直平分线与AC 边交于点D ，∠ADE=40，则∠A=900-∠ADE=500， ∵AB=AC ， ∴∠B=（1800-500）÷2=650。
（2）如图5，AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向延长线交于点D ，∠ADE=400，则∠DAE=500， 图5∴∠BAC=1300，∵AB=AC ，∴∠B=（1800-1300）÷2=250，故∠B 的大小为650或250。
五、由腰上的中线引起的分类讨论例6、等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，求腰长。
分析：如图6，由于题目中的“一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ”，没有指明是“（AB+AD ）-（BC+CD ）”还是“（BC+CD ）-（AB+AD ）”的“差为3cm ”，因此必须 分两种情况讨论。
图6 解：如图6， ∵BD 为AC 边上的中线，∴AD=CD ，（1）当（AB+AD ）-（BC+CD ）B CA D ABCD A B C 400E D A B C DAD E400BC=3时，则AB-BC=3， ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；（2）当（BC+CD ）-（AB+AD ）=3时，则BC-AB=3，∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；但是当AB=2时，三边长为2，2，5；而2+2<5，不合题意，舍去；故腰长为8。
六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题例7、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB=500，∠ADB=800，求∠CAD 的度数。
分析：由于点C 、D 可以在线段AB 的同侧也可以在线段AB 的两侧，因此要分两种情况进行讨论。
解：（1）如图7，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时，∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上，∴CA=CB ，△CAB 是等腰三角形，又CE ⊥AB ， 图7∴CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ，而∠ACB=500，∴∠ACE=250，同理可得∠ADE=400，∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=400-250=150。
（2）如图8，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同（1）的方法可得∠ACE=250，∠ADE=400，于是∠CAD=1800-（∠ADE+∠ACE ） =1800-（400+250）=1800-650=1150。
故∠CAD 的度数为150或1150。
例8、如图9，已知△ABC 中，BC>AB>AC ，∠ACB=400，如果D 、E 是直线AB 上的两点，且AD=AC ，BE=BC ， 求∠DCE 的度数。
图9 分析：因为在不等边△ABC 中，D 、E 是直线AB 上的两点，所以点D 、E 可以在点A 的同侧，也可以在点A 的两侧，因此需要分类讨论。
解：（1）当点D 、E 在点A 的同侧，且都在BA 的延长线上时，如图10，10 A B C D EA B C D EC B A C B ADE C B A D ’E ’图11∵BE=BC ， ∴∠BEC=（1800-∠ABC ）÷2，∵AD=AC ， ∴∠ADC=（1800-∠DAC ）÷2=∠BAC ÷2，∵∠DCE=∠BEC-∠ADC ，∴∠DCE=（1800-∠ABC ）÷2-∠BAC ÷2=（1800-∠ABC-∠BAC ）÷2 =∠ACB ÷2=400÷2=200。
（2）当点D 、E 在点A 的同侧，且点D 在D ’的位置，E 在E ’的为时，如图11，与（1）类似地也可以求得E C D ''∠＝∠ACB ÷2=200。
（3）当点D 、E 在点A 的两侧，且E 点在E ’的位置时，如图12，图12 图13∵BE ’=BC ，∴()221800÷∠=÷'∠-='∠ABC E CB C E B ，∵AD=AC ， ∴∠ADC=（1800-∠DAC ）÷2=∠BAC ÷2，又∵()ADC C E B E DC ∠+'∠-='∠0180，∴()21800÷∠+∠-='∠BAC ABC E DC =1800-（1800-∠ACB ）÷2 =900+∠ACB ÷2=900+400÷2=1100。
（4）当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D ’的位置时，如图13， ∵AD ’=AC ，∴()()，2180218000÷∠-=÷'∠-='∠BAC AC D C D A ∵BE=BC ，∴∠BEC=（1800-∠ABC ）÷2，∴()()C D A BEC C D E EC D CE D '∠+∠-='∠+'∠-='∠00180180，=1800-〔（1800-∠ABC ）÷2+（1800-∠BAC ）÷2〕C B ADE ’ D C BA’E=（∠BAC+∠ABC）÷2=（1800-∠ACB）÷2 =（1800-400）÷2=700，故∠DCE的度数为200或1100或700。