突破17 竖直面内的圆周运动-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破

突破17 竖直面内的圆周运动

一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型

1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则( )

aR

A．小球的质量为b

R

B．当地的重力加速度大小为b

C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上

D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等

【答案】：ACD

【典例2】用长L ＝0.6 m的绳系着装有m ＝0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s2。求：

(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？

(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？

【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上

【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m 0 解得v 0＝＝ m/s ≈ 2.45 m/s

(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

V ＝ 3 m/s>v 0，水不会流出。

设桶底对水的压力为F ，则由牛顿第二定律有：mg ＋F ＝m L v2

解得F ＝m L v2－mg ＝0.5×(0.632

－10)N ＝2.5N

根据牛顿第三定律F ′＝－F

所以水对桶底的压力F ′＝2.5N ，方向竖直向上。

【跟踪短训】

1. 如图所示，一内壁光滑、质量为m 、半径为r 的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上．有一质量为m 的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率v 0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为( )

A ．m 0

B ．mg ＋m 0

C ．2mg ＋m 0

D ．2mg －m 0

【答案】C

2. (多选)如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动．对于半径R 不同的圆形轨道，小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相

互作用力．下列说法中正确的有( )．

A ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大

B ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小

C ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大

D ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 【答案】 AD

【解析】 在最高点时，由mg ＝m R v2

可得v ＝，所以半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大，A 正确；由机械能守恒可知21mv 2＋mg ×2R ＝21mv 02，所以v 0＝，由ω＝R v ＝R 5g

，

故半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小，D 正确．

3．(多选)如图所示，长为L 的轻杆一端固定质量为m 的小球，另一端固定转轴O ，现使小球在竖直平面内做圆周运动．P 为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的

速度大小为gL 9

，则以下判断正确的是( )．

A．小球不能到达P点

B．小球到达P点时的速度小于

C．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力

D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力

【答案】BD

4. 如图所示，轻杆长为3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时( )

A．球B的速度为零

B．球A的速度大小为

C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg

D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg

【答案】C

【解析】 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有

mg ＝m 2L vB2，解得v B ＝，故A 错误；由于球A 、B 的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝21，

故B 错误；球B 在最高点时，对杆无作用力，此时球A 所受重力和杆的作用力的合力提供

向心力，有F －mg ＝m L vA2

，解得：F ＝1.5mg ，则水平转轴对杆的作用力为1.5mg ，故C 正

确，D 错误。

二、竖直面内圆周运动与平抛运动组合

物体有时先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。

解题技巧

(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。

(2)速度是联系前后两个过程的关键物理量。

【典例1】 如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O 点，下端系一质量m ＝1.0 kg 的小球。现将小球拉到A 点(保持轻绳绷直)由静止释放，当它经过B 点时轻绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C 点，地面上的D 点与OB 在同一竖直线上，已知轻绳长 L ＝1.0 m ，B 点离地高度 H ＝1.0 m ，A 、B 两点的高度差h ＝0.5 m ，重力加速度g 取10 m/s 2，不计空气阻力，求：

(1)地面上D 、C 两点间的距离s ； (2)轻绳所受的最大拉力大小。