高考真题 选修 不等式选讲

选修4-5 不等式选讲

考点不等式选讲

1.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x ﹣1|．（10分）

(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，

g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，

当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g

（x）的解集为（1，]；

当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．

当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．

综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；

（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在

[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，

故a的取值范围是[﹣1，1]．

2.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：

（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；

（Ⅱ）a+b≤2．

2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，

当且仅当= ，即a=b=1时取等号，

（Ⅱ）∵a3+b3=2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，

∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，

∴=ab，

由均值不等式可得：=ab≤（）2，

∴（a+b）3﹣2≤ ，

∴（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

3.（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x）= ，

当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；

当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；

综上，g（x）max= ，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．

4.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，

证明ac+bd≤8．

4. 证明：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，

令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．

∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos （α﹣β）≤8．当且仅当cos （α﹣β）=1时取等号．

因此ac+bd≤8．

5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.

5.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧x －4，x ≤－1，

3x －2，－1

－x ＋4，x >32，

y ＝f (x )的图象如图所示.

(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1

3或x ＝5，

故f (x )>1的解集为{x |15. 所以|f (x )|>1的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x <13或15.

6.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；

(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ⅠR 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.

因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.

(2)当x ⅠR 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，

所以当x ⅠR 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.Ⅰ 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).

7.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；

(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.

7.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－2x ，x ≤－12，

1，－12

2，

2x ，x ≥12

.

当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1

2； 当-12

2时，f (x )<2；

当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-1

2

(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1

8.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a