尺规作图画角
三角形的尺规作图
三角形的尺规作图
06
应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
解决几何问题
通过尺规作图，可以确定给定条件的 三角形形状，如等腰三角形、直角三 角形等。
通过三角形的尺规作图，可以解决各 种几何问题，如求三角形面积、证明 线段相等或垂直等。
证明几何定理
利用三角形的尺规作图，可以证明几 何定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理 等。
在奥林匹克数学竞赛中，三角形的尺规作图是常用的解题技巧之 一，用于解决几何问题。
数学奥林匹克国家队选拔赛
在数学奥林匹克国家队选拔赛中，三角形的尺规作图也是重要的考 察内容之一。
国际数学奥林匹克竞赛
在国际数学奥林匹克竞赛中，三角形的尺规作图也是选手必须掌握 的基本技能之一。
THANKS.
三角形的尺规作图
汇报人： 2024-01-02
目录
• 尺规作图的基本知识 • 三角形的性质和分类 • 三角形的尺规作图方法 • 特殊三角形的尺规作图 • 三角形的尺规作图技巧 • 三角形的尺规作图应用
尺规作图的基本知
01
识
尺规作图定义
尺规作图
使用无刻度的直尺和圆规进行图 形构造的方法。
限制条件
现代应用
尺规作图在几何学、工程 制图等领域有广泛的应用 。
02
三角形的性质和分
类
三角形的基本性质
三角形的不变形性
三角形的三边长度和三个 角的大小在尺规作图过程 中保持不变。
三角形的稳定性
三角形是一种稳定的几何 图形，不易发生形变。
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等 于180度。
三角形的边和角
直角三角形
总结词
直角三角形是一种有一个角为直角的三角形，其作图方法需要利用勾股定理。
八年级数学上册第1章知识点解读：尺规作图(青岛版)
知识点解读：尺规作图“尺规作图”问题是几何学习的重要内容之一，那么如何学好“用尺规作线段和角”呢？一、理解“尺规作图”的含义1、只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.显然，尺规作图的工具只能是直尺和圆规.其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆弧等.值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.2、基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1、用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2、用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1、已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2、求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3、作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.四、典题精析例1 如图，已知线段a 和b （a>b ）.求作：线段c ，使c=a －b.解析：作法：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取线段AB=a ；（3）在线段AB 上截取AC=b.则线段BC 就是所求作的线段.评注：用尺规作图，首先要弄明白所作的是什么图形，要作这个图形应从哪里入手.一些复杂的图形都是由简单的基本作图得到的.本题就是两次利用“作一条线段等于已知线段”.例2 如图，已知∠α和∠β（∠α>∠β），求作∠AOB ，使∠AOB =∠α－∠β.解析：作法：（1）作射线OA ；（2）以射线OA 为一边作∠AOC=∠α；（3）以O 为顶点，以射线OC 为一边，在∠AOC的内部作∠BOC=∠β.则∠AOB 就是所求作的角.评注：本题同样是两次运用基本图形——“作一个角等于已知角”.值得注意M B αβ A O C βα- ab α β的是作∠BOC时，应在∠AOC的内部，为什么不在∠AOC的外部呢？答案非常明显是两角的和.。
北师大版七年级数学下册用尺规作图作角课件
1
2
问题解决
请用没有刻度的直尺和圆规, 完成本节课开始 提出的问题.
B
F
H
D
A
G
C G’ E
以点C为顶点作∠FCE =∠BAC，则∠FCE的边CF 所在的直线即为所求.
拓展提升 过直线外一点P作已知直线l的平行线.
已知：直线l及l外一点P，
求作：直线l′，使l′过P点且l′∥l.
作法：1.过点P任意作直线a与l 交于Q. 2.以P为顶点，直线a为角的一边，在直线a同旁作 ∠2，使∠2=∠1(如图)，则∠2的另一边所在直线l′ 即为所求.
思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中 的基本作图，你能利用它作出其他图形吗？ 提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图.
随堂练习
你会作两个角 的和了吗？
1.已知：∠1，∠2， 求作：∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2.
1
2
随堂练习
你会作两个角 的差了吗？
2.已知：∠1，∠2，
求作：∠CDE，使得∠CDE= ∠1-∠2.
C，交OB于点D; (3)以点O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′A′于点C′; (4)以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于
点D’ ；
(5) 过点D’作射线O’B’.∠A’O’B’就是所求的角.
B D
B' D'
O
CA
O'
C' A'
议一议
如图，2-26已知∠AOB,∠EO'F,利用尺规作图，比较 他们的大小。
课堂小结
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧” 先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相 同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离 为半径.
用尺规作三角形、用三角形全等测距离 (2)
4.4&4.5用尺规作三角形、用三角形全等测距离尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.注意：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.题型1：基础尺规作图1.作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【变式1-1】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【变式1-2】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．已知两边及其夹角作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件"边角边"来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶题型2：已知两边及夹角做三角形2.已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【变式2-1】如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）已知两角及其夹边作三角形已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶题型3：已知两角及夹边做三角形3.已知：线段a，∠α，∠β．求作：△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β．【变式3-1】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：题型4：已知三边做三角形4.已知线段a、b、c，如图，求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b．（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-1】如图所示，已知线段a、b、h（h＜b）．求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．（要求：写出作法，并保留作图痕迹）题型5：利用尺规作图做全等三角形5.已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）【变式5-1】已知△ABC，（1）请用直尺和圆规作一个三角形，使所画三角形与△ABC全等；（2）请简要说明你所作的三角形与△ABC全等依据．利用三角形全等测两点之间的距离原理由于两个全等三角形的对应边相等，因此，利用三角形全等可以测量难以直接测量或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，根据是全等三角形的对应边相等.方法（1）构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形；（2）构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形；（3）构造三边分别相等的两个全等三角形.注意：利用三角形全等测两地之间的距离，关键是构建全等三角形、利用全等三角形的对应边相等间接计算两地之间的距离题型6：利用三角形全等测两点之间的距离6.如图，为了测量出池塘两端A、B之间的距离，小明先在地面上取一点C，分别连接AC，BC并延长至E，D，使CE=AC，CD=BC．这时，他测量出DE的长度是82米，就知道了A，B两点之间的距离．点A，B之间的距离是多少？请说明其中的道理．【变式6-1】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【变式6-2】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【变式6-3】如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．题型7：利用建立三角形全等的模型解实际问题7.为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？【变式7-1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【变式7-2】如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．【变式7-3】如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E 处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF=1米，BE=CD=20米，BD=58米，试求单元楼AB的高．。
初中数学尺规作图画角平分线 新课标 华东师大版ppt资料
第二页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
第七页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
可以看出，所画的射线OC是 （3）分别以 、 为圆心，
（5）经过
作
。
（4）以
为圆心，以 半径作弧，交
；
∠O的角平分线，根据图中的作图痕迹， 试把下图所示的角四等分
（3）分别以 、 为圆心， 第八页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
你能画一个角的角平分线
并写出画图步骤吗？
第五页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
试一试
试把下图所示的角四等分
第六页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
• 任意画一个三角形， 画出三个内角的角平 分线.（不写画法，保 留作图痕迹）
第七页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
联系知识综合运用
• 已知：两条线段 a、t
尺规作图画角平 分线
第一页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
复习
• 看图填空。
• （1）在
上截取
•
=
=
；
（2）以
为圆心，以
为半径作弧，交
于
。
第1题
第2题
第二页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
• （3）分别以
• 以大于 1 E F
于
2、
、
为圆心，
的长为半径作弧，两弧交
；
• （4）以O为圆心，以任意为半径作弧，
分别交 AOB的两边OA、OB
于
、
。
第三页，编辑于星期五：十三点 五十九分。
求作一个角等于已知角 POQ，
• 作法：（1）作
O1P1；
• （2）以O为圆心，以
交
；交
角的比较和尺规作图(角)
角的比较
还最后一个内容：
角的比较
B
O
角的比较
A
B’ B D
D’
O
C
A
O’
C’
A’
角的比较
试一试：
请你任意画一个角，然后用尺规作图 的方法作一个角等于已知角
角的比较
• 如图,已知∠ABC和∠DEF,试用尺规作图方
法比较两角的大小.
角的比较
小结：
• 本节课主要研究了角的大小比较的方法 和
用尺规作图法作一角等于已知角
角的比较
练习：
中山市民众镇新平中学
钟飞云
角的比较
[教学目标]
• 1。会用两种方法比较两个角的
大小 • 2。会用直尺圆规画一个角等于 已知角
角的比较
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、引入
1，试一试 同学们，你们要比较两个同学的身高有 哪些方法？
角的比较
2，回忆 两条线段大小比较的两种方法
A
B C D
• （1）叠合法
• （2）测量法
角的比较
角的比较
（1）测量法
•
小学我们学过用量角器测量一个角，角 的大小也可以按其度数比较．度数大的角 则大，度数小的则小．反之，角大度数大， 角小度数小．
角的比较
（2）叠合法
(顶点必须重合；一边必须重合；另一边落在其余 一边的同旁。角的大小只与角的开口程度有关，而 与角的边画出部分的长短无关。）
三种情况
• 1，∠1 = ∠2 • 2, ∠1 < ∠2 • 3, ∠1 > ∠2
角的比较
1
2
记作：∠1 = ∠2
返回
角的比较
尺规作图.精选
第9讲尺规作图1.尺规作图定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图2.五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作一条直线与已知直线垂直。
3.五种基本作图步骤：（1）作一条线段等于已知线段求作：线段AB等于线段a作法：如图，①先画射线AC．②然后用圆规在射线AC上截取AB＝a．线段AB就是所要作的线段．（2）作一个角等于已知角求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：如图，①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．（3）作已知角的平分线求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC。
OC就是所求的射线．（4）作线段的垂直平分线求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．（5）经过已知点作这条直线的垂线情况a：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线情况b：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．★注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．4.三角形的外接圆、三角形的内切圆的作法。
尺规作图作一个角等于已知角
∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
A’B’ 就是所求作的线段。 交射线A’ C’于点B’，
α
β
【读一读】 ：尺规作图
• ⑶过直线外一点P作已知直线l 的平行线。 并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。
∠ A ′ O ′ B ′就是所求作的角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
议一议
▪ ⑴这样作法正确吗？你应如何检验？ ▪ ⑵量一量，剪一剪，比一比。 ▪ (3)如果在角O外部另有一点C，你能用 尺规画∠COD，并使 ∠AOB=∠COD吗？
B
O
A
随堂练习: (任选一题)
第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。
已知∠ AOB，利用尺规作 • ⑴ ⑶过直线外一点P作已知直线l 的平行线。
以AB的长为半径画弧，
交射线A’ C’于点B’，
A’B’ 就是所求作的线段。
A’
B’ C’
▪ 利用尺规,作一个角等于 已知角. 已知：∠AOB(如图). 求作：∠AˊOˊBˊ，使 ∠ AˊOˊBˊ=∠AOB.
B
交流提纲： ⑴你是怎样思 考的； ⑵讨论：按怎 么样的顺序画 比较方便； ⑶画角时特别 应注意什么？
O
A
画一画 作法与示范
作法
示范
（1）作射线O′A′：
（2）以点O为圆心，以OC长为半径 画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径 画弧，交O′ A′于点C′； （4）以点C′为圆心，以CD长为半 径画弧，交前面的弧于点D ′ ；
（5）过点D ′作射线O ′ B ′ .
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
第05讲 尺规作图(1个知识点+7大题型+18道强化训练)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第05讲 尺规作图（1个知识点+7大题型+18道强化训练）课程标准学习目标①掌握尺规作图的方法；②学会用尺规作图画角、画边；①掌握尺规作图的方法；②学会用尺规作图画角、画边；知识点01：尺规作图尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、3.作三角形知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高作法：有规定名称时需格外注意字母的标注注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。
【即学即练1】1．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知AOB Ð，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA 、OB 于点E 、F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交前弧于点D ，画射线OD ．若27AOB Ð=°，则AOD Ð的度数为（ ）A ．27°B ．54°C ．63°D ．36°【即学即练2】2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，点C 在AOB Ð的边OB 上，用尺规作出了NCE AOD Ð=Ð，作图痕迹中，弧FG 是（ ）A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧【即学即练3】3．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（ ）A ．用量角器画出AOB Ð的平分线OCB ．已知a Ð，作AOB Ð，使2AOB a Ð=Ð．C ．用刻度尺画线段3cmAB =D ．用三角板过点P 作AB 的垂线【即学即练4】4．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知ABC V ，按如下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线EF ，分别交AB BC ，于点M ，N ；③连接AN ，若2,AM ACN =V 的周长为12，则ABC V 的周长为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13题型01 尺规作一个角等于已知角1．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）尺规作图：已知线段a 和a Ð．作一个ABC V ，使AB a =，AC 2a =，BAC a Ð=Ð．（要求：不写作法，保留作图痕迹）2．（23-24八年级上·陕西延安·期中）在ABC V 中，点D 是AB 上一点，请用尺规作图法，在BC 边上找一点E ，使得∥D E A C ．（保留作图痕迹，不写作法）3．（21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，点B 是射线AC 上一点，请用尺规作图法，求出线段BE ，使得BE AD ∥．（不写作法，保留作图痕迹）4．（22-23七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知AOB Ð，利用尺规作NMC Ð，使2NMC AOB Ð=Ð．（保留作图痕迹，不写作法）5．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知锐角a Ð和平角AOB Ð，在AOB Ð内部求作AOC Ð，使AOC Ð与a Ð互补．（不要求尺规作图）题型02 尺规作角的和、差6．（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，,a b ÐÐ，且a Ð大于Ðb ，求作AOB a b Ð=Ð-Ð（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）7．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：AOB Ð，求作：COD Ð，使2COD AOB Ð=Ð．8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中60,45a b °°Ð=Ð=，作120,15ABC DEF °°Ð=Ð=．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知a b ÐÐ、，利用直尺和圆规画AOB Ð，使AOB Ð的大小为a b Ð+Ð．（不写作法，保留作图痕迹．）10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知ABC V 的三边长分别为a b c B C Ða Ðb ==，，，，，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．(1)作线段EF a c =-；(2)作POQ a b Ð=+．题型03 过直线外一点作这条直线的平行11．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知MON Ð，A 、B 分别是射线OM ON ，上的点．(1)尺规作图；在MON Ð的内部确定一点C ，使得BC OA ∥且BC OA =（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）中，连接OC ，仅用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得OD CD =，并证明．12．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E 是BC 上一点，DEB ACB Ð=Ð．(1)过点D 作DF BC ∥交AC 于点F （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：AF DE =．13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知Rt ABC △，90B Ð=°用尺规过点A 作直线MN ，使得MN BC ∥．（保留作图痕迹，不写作法）14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，点P 为边AD 上一点，请用尺规作图法，在边BC 上求作一点Q ，使得P 、Q 到AB 的距离相等．15．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形ABC ，点E 是AB 上一点．(1)尺规作图：在BC 上找到一点F ，使得BFE C Ð=Ð；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接CE ，若110EFC Ð=°，且CE 平分ACB Ð，求FEC Ð的度数．题型04 尺规作图——作三角形16．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图：如图，线段BC 和一副三角尺，其中60,45a b °°Ð=Ð=．求作：以线段BC 为一条边作ABC V ，使得60,75ABC BAC ÐÐ=°=°．（要求：保留作图痕迹，不写作法）17．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：如图，线段a 、b 、c ．求作：ABC V ，使得BC a =，AC b =，AB c =．(保留作图痕迹，不写作法)18．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使得A b Ð=Ð，2B b Ð=Ð，边AB a =．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）已知：已知线段a ，b 和aÐ求作：ABC V 使BC a =，AC b =，BAC aÐ=Ð20．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37—38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：ABC V ．求作：A B C ¢¢¢V ，使得A B C ABC ¢¢¢V V ≌．作法：如图．（1）画DA E A ¢Ð=Ð；（2）在射线A D ¢上截取A B AB ¢¢=，在射线A E ¢上截取A C AC ¢=；（3）连接线段B C ¢¢，则A B C ¢¢¢V 即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在A B C ¢¢¢V 和ABC V 中，()()A B AB DA E A C ì=ïÐ=¢¢¢¢=¢Ðíïî∴A B C ¢¢¢≌______．△(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）①AAS ②ASA ③SAS ④SSS题型05 结合尺规作图的全等问题21．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：(1)画出所有与格点ABC V （顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与ABC V 有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ；(2)在DE 上画出点P ，使得PAC △的周长最小；(3)若网格上的最小正方形的边长为1，直接写出ABC V 的面积为______ ．22．（20-21七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法：已知：AOBÐ求作：A O B ¢¢¢Ð，使A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð，作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D ；（2）画一条射线O A ¢¢，以点O ¢为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ¢¢于点C ¢；（3）以点C ¢为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D ¢；（4）过点D ¢画射线O B ¢¢，则A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð．请你根据提供的材料完成下列问题．(1)请你证明A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð．(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．23．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为44´的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．要求：(1)三角形的三个顶点都在格点上．(2)与ABC V 全等，且位置不同．24．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在58´的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC V 的三个顶点都在小正方形的顶点上．(1)在图1中画ABD △（点D 在小正方形的顶点上），使得ABD △与ABC V 全等，且点D 在直线AB 的下方（点D 与点C 不重合）；(2)在图2中画ABE V （点E 在小正方形的顶点上），使得ABE V 与ABC V 全等，且AC BE P ；25．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，ABC V 的顶点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：(1)在图（1）中画出与ABC V 全等的三角形，且有条公共边：(2)在图（2）中画出与ABC V 全等的三角形，且有一个公共顶点：(3)在图（3）中画出与ABC V 全等的三角形，且有一个公共角．题型06 作角平分线26．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在ABC V 中，请用尺规作图法作出BAC Ð的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）27．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，2AOC COD Ð=Ð．(1)利用直尺和圆规作BOD Ð的平分线OE ；(2)如果77COE Ð=o ，求COD Ð的大小．28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知ABC V ，请用尺规作图法，在线段BC 上方求作一点D ，使得点D 到点B 和点C 的距离相等，且到边AC ，BC 的距离也相等．29．（2024·陕西西安·一模）已知ABC V ，请在AB 边上确定一点P ，使得点P 到AC BC 、的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）30．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在ABC V 中，902ACB BC AC Ð=°=，，将ABC V 向右平移一定距离后，得到DEF V ，且E 为BC 的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．(1)在图1中，作出ACB Ð的平分线CP ；(2)在图2中，作一个以C 为顶点的直角（已知直角除外）题型07 作垂线31．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，在ABC V 中，10cm AB =，6cm AC =．(1)利用尺规作BC 边的垂直平分线，交AB 于点D ，交BC 于点E ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接CD ，求ACD V 的周长．32．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A 、点B 以及直线l ．(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，若AM PN =，BN PM =，求证：MAP NPB Ð=Ð．33．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt ABC △中，请用尺规作图法作AB 边上的高CD 交AB 于点D ．(不写作法，保留作图痕迹)34．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，点O 在直线l 外，点A 在直线l 上，连接OA ．选择适当的工具作图．(1)在直线l 上作点B ，使得OB l ^于点B ；(2)连接OB ；(3)在直线l 上取一点C （不与A ，B 重合），连接OC ；(4)在OA ，OB ，OC 中，线段 最短，依据是 ．35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，ABC V 中，AB AC =．(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：Ð的角平分线，交BC于点H；①作A②作AB边的垂直平分线，垂足为点D，交AH于点O；=．(2)连接BO，OC，求证：OA OCA夯实基础V的（）1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是ABCA．角平分线B．高线C．中位线D．中线2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（）A．①⑤②④③B．①②④⑤③C．①④③⑤②D．②①③④⑤3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到AB，CD，EF三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有种选择．4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知AOB Ð，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若26AOB Ð=°，则AOD Ð的度数为 ．5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形ABCD ，利用尺规作图法作ABC Ð的平分线交CD 于点E ．（不写作法，保留作图痕迹）6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出ABC V 的BC 边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）B 能力提升1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知ABC V ，按如下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线EF ，分别交AB BC ，于点M ，N ；③连接AN ，若2,AM ACN =V 的周长为12，则ABC V 的周长为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．132．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在ABC V 中，90C Ð=°，以顶点A 为圆心，取适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若3CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N 两点，作直线MN ，直线MN 分别与BC 、AB 相交于D 、E 两点，连接AD ，则图中长度一定与AD 相等的线段是 ．4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC AB 、于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画两条弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，20AB =，则ABD △的面积是 ．5．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A 、点B 以及直线l ．(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，若AM PN =，BN PM =，求证：MAP NPB Ð=Ð．6．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知ABC V ，点D 在BC 边上．(1)求作DEF V ，使DEF ABC V V ≌，并满足点E 在BC 的延长线上，DF AB P ．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)根据你的作图方法，说明DEF ABC V V ≌的理由．C 综合素养1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC Ð的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在长方形ABCD 中，在AD AC 、上分别截取AE AF 、，使AE AF =，分别以E 、F 为圆心、以大于12EF 长为半径作弧，两弧在DAC Ð内交于点G ，作射线AG ；又分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ；射线AG 和直线MN 交于点P ，则a Ð的度数为（ ）A ．68°B ．56°C ．54°D ．45°3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，3cm BC =，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 为半径作弧，两弧分别交于点M ，N ，过点M ，N 作直线MN 交AB 于点P ，连接CP ．若ABC V 的周长比BCP V 的周长大5cm ，则BCP V 的周长为 cm ．4．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC Ð内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ^于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM = ．5．（2024·广西南宁·二模）如图，在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，过点C 作CE AB ∥，连接AE ．(1)基本尺规作图：作ABF EAC Ð=Ð，交线段AC 于点F （保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BF AE =．6．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明CAD DAB Ð=Ð的依据是AFD AED △≌△，这两个三角形全等的判定条件是_________；【问题探究】（2）①构距离，造全等如图2，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90,B BAD Ð=°Ð和CDA Ð的平分线,AE DE 交于边BC 上一点E ．过点E 作EF AD ^于点F ．若12cm BC =，则EF =_________cm ；②巧翻折，造全等如图3，在ABC V 中，,AB AC AD <是ABC V 的角平分线，请说明B C Ð>Ð；小明在AC 上截取AE AB =．连接DE ，则()SAS ABD AED V V ≌．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在ABC V 中，60,,A BE CF Ð=°是ABC V 的两条角平分线，且,BE CF 交于点P ．请判断PE 与PF 之间的数量关系，并说明理由．。
用尺规作图画角优秀教案
能力、提高素养营造良好的氛围，铺设合理的途径，以求最大限度地发挥数学教学的功
能．教学设计以知识的探索为载体，让学生积极主动而又生动活泼地发展，成为数学学习中的主体．教学过程要借助画角展开，激发学生探索画角新方法的欲望．并能凭借直觉确立初步的自信．初一学生刚涉足几何，要让他们独立探索尺规作图，必有一定的难度．因为这不仅涉及作图过程，更涉及若干概念以及几何语言的表述．因此，教师要充分利用学生已有的知识（用量角器画角）和经验，依靠学生的群体智慧，将难点突破．同时利用量角器的度量、图形的剪辑和练习的变式等，从不同层面为学生提供思考的空间．学生口、眼、手、脑的协同活动，加之以激励性的语言评价，不断激发学生的兴趣、追求与自信．最后，用多媒体动态模拟、过程分解、色彩对比和闪烁显示，把用量角器画角与尺规作图进行了生动而有深刻的比较，使得学生的认知结构有了进一步的完善．
3、请学生用量角器量一量，∠ 与∠AOB相等吗？
4、请学生将所画的∠ 与∠AOB分别剪下，看
一看这两个角是否完全重合？
说明：
(1)在数学中，把只用直尺（没有刻度的）和圆规画图称为尺规作图．
(2)在画图中间过程中画出的图形（点、直线、弧线
等），也叫做画图痕迹．这些痕迹可画轻一些、淡一些．在初学画图时，通常要求保留画图痕迹．
巩固已学的画图方法，
比较用量角器画已知角与用尺规画已知角的原理。
总结归纳
本节课的中心是研究尺规作图，要求作一个角等于已知角．它的关键是确定求作角的终边位置．实践证明，用量角器画一个角等于已知角的原理与用尺规作图作一个角等于已知角的原理完全相同．许多知识都有其内在的联系，善于发现并重视这种内在联系，有助于我们找到解决问题的途径．
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角（知识梳理与考点分类讲解）1.尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图.2.直尺的功能：（1）在两点间连接一条线段；（2）过平面上的两点画直线；（3）作射线、线段或做延长线.3.圆规的功能：（1）以平面上任意一点为圆心，任意长为半径作圆或圆弧；（2）在直线上截取一条线段，使它等于已知线段.特别提醒：1.尺规作图是一种规定了作图工具，且能够有效地减少误差的较精确的作图方法.2.尺规作图是最基本最常见的作图方法，通常称为基本作图.【考点目录】【考点1【考点2】尺规作一个角等于已知角；【考点3】尺规作角的和与差；【考点4】过直线外一点作已知直线的平行线.【考点1】作特殊角；【例1】（2024上·安徽宿州·七年级校联考期末）利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹）（1）150︒．（2）15︒【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析【分析】（1）选用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的外部画一个有公共顶点，有一个公共边的90︒的角即可求解；（2）先用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的45︒的角即可求解．︒=︒+︒，（1）解：如图，1506090︒=︒-︒，（2）解：如图，156045【变式1】（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】C【分析】一副三角板，度数有：30 、45 、60 、90 ，根据度数组合，可以得到答案．解：利用一副三角板可以画出75 的角，是45 和30 角的组合故选：C．【点拨】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.【变式2】（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（）．A．75°B．105°C．110°D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
尺规作图画相同角的原理
尺规作图画相同角的原理
尺规作图是一种基于尺子和圆规的几何作图方法，可以用来作直线、平行线、垂直线、等分线、画圆等等。
而画相同角的原理主要包含以下几个步骤：
1. 给定一个初始角：首先，在纸上用尺子画出一条直线段AB，作为初始角的一条边。
这个线段就是尺规作图的基线。
2. 作基线上的等分线段：利用尺子，在基线上选取一个点C。
然后，以C为圆心，利用圆规量取一个合适的长度，画一个圆弧与线段AB相交于两个点D和E。
3. 以D和E为点作引线：分别以D和E为圆心，利用圆规的同样长度，在纸上画出两个圆弧。
两个圆弧与线段AB相交于两个点F和G。
4. 连接点A和F以及点A和G：用尺子连接点A和F，以及点A和G，得到线段AF和AG。
5. 以线段AF和AG为边作引线：分别以线段AF和AG为边，利用尺子，推定它们的延长线，画出两条无限延长线。
6. 作延长线上的相同角：选择延长线上的一个点H，利用尺子，画出与线段AF 和AG相交的两条直线。
由于线段AF和AG是基线上等分出的，所以相交的两条直线与线段AF和AG分别夹成相等的角。
通过以上步骤，就可以使用尺规作图的方法在纸上画出与初始角相等的角度。
1.6尺规作图课件浙教版数学八年级上册
C B
D
探究：为什么直线CD是线段AB的垂直平分线？
c
AC=b，BC=a.
作法：
A
(1) 作一条线段BC=a；
(2) 分别以B，C为圆心，以c，b为 B
C
半径画弧，两弧交于A点；
(3) 连接AB，AC，△ABC就是所求作的三角形.
课堂小结
尺规作图：在几何作图中，我们把只 使用_圆__规__和_没__有__刻__度__的直尺作图的 方法称为尺规作图. 概述下列尺规作图的步骤： ①作一个角等于已知角； ②作已知线段的垂直平分线.
证明：连结CA、CB、 DA、DB，
设AB与CD交于点O 由作法可得 AC=AD=BC=BD
AC＝BC
C
在△ACD和△BCD中
∠ACO＝∠BCO
AC＝BC
CO＝CO
AD＝BD
Aபைடு நூலகம்
O
B
∴△ACO≌△BCO(SAS)
CD＝CD
∴∠AOC =∠BOC,AO=B0
∴△ACD≌△BCD（SSS）∵∠AOC +∠BOC=180°
∴△OCD ≌ △O’C’D’（SSS） ∴ ∠A’O’B’=∠AOB
O
CA
B′ D′
O′
C′
A′
典例精讲
例1 已知: ∠α和∠β. 用直尺和圆规求作 ∠ABC, 使 ∠ABC=∠α-∠β.
作两个角等于∠α和∠β，且他们的一条边重合
整数度角的尺规作图
整数度角的尺规作图湖南娄底华达技校黄正洪在平面几何学中，人们不能用尺规作图的方法画出一个01的角来，这似乎成了常理，但如果能用非寻常手段来解决这个问题，则很多与此有关的问题都将迎刃而解，因此对这个方向的探索有一定意义。
为了实现心中的理想，在避开先贤们走过的弯路的同时，我们考虑到了必须从特殊角的特殊性中来寻找画作的契机，故在这里有必要对特殊角在平面几何学中的重要地位作一梳理。
首先要确认的是：常见的特殊角有030、045、060、090、0120等等，后来人们又在尺规五等分圆周的过程中认知了018、036、054、072等等也都是特殊角。
以上角度其所以被认为特殊，是因为它们都是能用尺规作图的方法画得出来，并且与其有关的函数值也都有其特殊性而定性。
前面列举的那些特殊角，在常见常用的一对三角板或其板角的拼凑上幽然傲立，尽享美誉，后面列举的这些特殊角，也只须借助一个黄金分割的特定方程即210X X+-=的功力就可以达到画出的目的，此言下之意即为，以特定方程的有用根11)/2X=为底，以1个单位之长为腰，便可以在平面上画出一个等腰三角形，而此等腰三角形的顶角即为36o，两底角即为072。
反其序而为之，则知顶角为036的等腰三角形与自身底角平分线所形成的相似三角形的边长之比即能造就上述独一无二的一元二次方程。
五等分圆周中的尺规之趣正是由此而生，这二者相辅相成，为数学王国的画法乐园增添了光鲜的一笔。
说到这里，我相信大家对特殊角的存在有了更为深刻的应象，现在我要说的是：对以上两组特殊角进行简单的加减，并从小到大安排好先后次序就会出现如下既具体又有规律的角度：3o、6o、9o、12o、15o、18o、021……无须仔细的推敲，便可认定这组特殊角的通项表达式为3on⨯(1,2,3......)n=。
由于特殊角同任意角一样可以不断二分，因而我们又认知了更特殊的角有这些特殊角的2n等分角，更更特殊的角还有这些被等分角的和差及其倍角。
尺规作图作一个角等于已知角(共10张PPT)
（5）过点D ′作射线O ′ B ′ .
⑶过直线外一点P作已知直线l 的平行线。
示
范
【读一读】 ：尺规作图
B
O
A
随堂练习: (任选一题)
• ⑴已知∠ AOB，利用尺规作 ∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
B
• ⑵已知角α，β(β＜α＜90°)求作一O个角，使它A
等于α+β知直线l 的平行线。
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′ A′于点C′；
尺规画∠COD，并使 ∠AOB=∠COD吗？ 所以∠ A ′ O ′ B ′就是所求作的角。
∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB. 所以∠ A ′ O ′ B ′就是所求作的角。
∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
示范
议一议
▪ ⑴这样作法正确吗？你应如何检验？
怎样作一条线段等于已知线段
▪ ⑵量一量，剪一剪，比一比。 交射线A’ C’于点B’，
⑵讨论：按怎么样的顺序画比较方便；
⑴这样作法正确吗？你应如何检验？
如果在角O外部另有一点C，你能用 作
法
▪ (3) （4）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D ′ ；
尺规作图（1） 作一个角等于已知角
复习
▪ 怎样作一条线段等于已知线段
利用直尺和圆规可以作出很多几何图形，你想知道我们是 如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？
已知：线段AB．
求作：线段A’ B’，使A’ B’＝AB．
作法与示范：
A
B
•作
法
•示
范
•(1) 作射线A’C’ ；
(2) 以点A’为圆心，
尺规作图画等角教学设计
尺规作图画等角教学设计一、教学目标本教学设计的目标是使学生了解尺规作图画等角的基本原理和步骤，能够熟练运用尺规作图画等角，并能够将所学的知识应用于实际问题中。
二、教学内容1. 尺规作图的基本原理和步骤；2. 等角的概念和性质；3. 尺规作图画等角的示范和练习。
三、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式引出尺规作图画等角的问题，让学生思考等角的概念和作图的重要性。
2. 知识讲解教师可以通过黑板演示的方式讲解尺规作图画等角的基本原理和步骤。
特别强调尺规的使用方法，如如何取得长度和角度，如何使用尺规来画等角等。
3. 示范演示教师可以通过示范演示的方式展示如何使用尺规作图画等角。
首先，教师可以以一个简单的例子开始，比如如何用尺规作图画一个等腰三角形。
然后，教师可以逐步引入更复杂的例子，如如何画一个正五边形等等。
在示范过程中，教师需要清晰地展示每一步的操作，并解释原理和步骤。
4. 练习与巩固在示范演示后，教师可以安排学生进行小组或个人练习。
可以给学生发放练习题或让学生自己设计练习题。
学生可以使用尺规进行作图，然后相互检查和比较结果，以加深对尺规作图画等角的理解和掌握。
5. 拓展与应用教师可以设计一些拓展活动，让学生将所学的尺规作图画等角的知识应用于实际问题中。
例如，通过给定角度或长度，让学生设计一个等角形或等边三角形等等。
6. 总结与评价学生完成练习后，教师可以进行总结和评价。
可以请学生上台展示自己的作图结果，并提供反馈和建议。
通过总结和评价，让学生进一步了解和巩固所学的知识。
四、教学评价教师可以通过观察学生的学习态度、作图的准确性和速度来评价学生的掌握情况。
同时，可以通过学生的小组或个人展示、练习题的检查等方式来评价学生的学习成果。
五、教学资源本教学设计所需的教学资源包括黑板、粉笔、尺规和练习题等。
六、教学反思通过本教学设计，学生可以通过实际操作尺规进行作图，使学生更加深入地理解和掌握尺规作图画等角的方法和步骤。
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尺规作图画角
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课题 ：24.4.2 尺规作图（2）画角
【教学目标】：
1、使学生掌握一个角等于已知角的基本作图；；
2、初步训练学生用规范的语言叙述尺规作图的动作，达到作图准确，叙述正确；
3、灵活运用画一个角的尺规作图，画一些其他图形。
【重点难点】：
1、重点：掌握用尺规画一个角及灵活运用画一个角在画其他图形中的使用；
2、难点：画图的几何语言叙述。
【教学过程】：
一、创设问题情境，激发学生兴趣
问题：如图，要在长方形木板截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一
组对边中的一条边为AB 。
1、请过C 点画出与AB 平行的另一条边；
2、如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺能解决这个问题吗？
你想如何处理此问题？
分析：要在长方形木板上截一个平行四边形，按图的方式（平行四边形的一组对边在长方形的边
缘上），只要保证过点C 作出与AB 平行的另一条线段即可。
而要过点C 作AB 的平行线，可以通过作一个角等于BAC ∠即可。
本节我们就来一起学习用尺规作一个角等于已知角。
二、试一试
图24.4.3，∠AOB 为已知角，按下列步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于∠AOB ．
1、画射线O ′A ′；
2、以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C ，交OB 于D ；
3、以点O ′为圆心，以OC 长为半径画弧，交O ′A ′于C ′．；
4、以点C ′为圆心，以CD 长为半径画弧，交前一条弧于D ′；
5、经过点D ′画射线O ′B ′；
所以，∠A ′O ′B ′就是所要画的角。
用量角器验证你作的角与已知角是否相等。
（相等）
你能用所学的知识说明其中的理由吗？
（因为在作图过程知道：''OD O D =，''OC O C =，''CD C D =，所以△COD ≌△C'O'D'，根据全等三角形对应角相等，可知'''AOB A O B ∠=∠。
）
三、练一练
1、利用尺规完成本节课开始提出的问题。
图
24.4.3 C B
A
2、已知AOB ∠，利用尺规作'''A O B ∠，使'''2A O B AOB ∠=∠
3、课本Ｐ100 练习2
四、做一做
请你利用直尺和圆规分别画出满足图24.4.4和图24.4.5中条件的三角形ABC.
1、已知两边及夹角； （不写画法，保留作图痕迹） 学生讨论后，教师示范。
边叙述画法边画，学生跟着画。
（1）作MBN α∠=∠； （2）在射线BM 上截取AB a =； （3）在射线BN 上截取BC b =； （4）连结AC 。
所以，△ABC 就是所画的三角形。
还有其他的画法吗？动手试一试。
（如，先线段BC a =，画MBC α∠=∠，在射线BM 上截取AB a =，连结AC ，即得△ABC ）。
你从画图得到了什么？
同学们各抒己见。
（观察一个图形是由几个点确定了，能否画出这些点，若能，就可画出这个图形，若不能，就无法画出这个图形，为了便于分析，可画出草图）。
（2）已知两角及夹边.
画完后，同学相互交流，指出对方的不足，或向对方提出问题，并请同学上板演示。
五、说一说
1、你本节学到了什么？
2、在你所学的知识中重点是什么？
3、在你所学的知识中注意什么？
4、你在本节的学习过程有何想法？
六、作业
Ｐ103 习题24.4 2、3
图
24.4.4 ‘ 图24.4.5。