函数值域求法总结及练习题

函 数 值 域 求 法
1．重难点归纳．
(1)求函数的值域．
此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
(2)函数的综合性题目．
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
(3)运用函数的值域解决实际问题． 2．值域的概念和常见函数的值域．
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域．
常见函数的值域：
一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．
二次函数()2
0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
，
当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤
--∞ ⎥⎝
⎦． 反比例函数()0k
y k x
=≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x
y a
a a =>≠且的值域为{}0y y >．
对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．
正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ．
3．求函数值域（最值）的常用方法．
一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域．
2、求函数11
y x =++的值域．
二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．
2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

1、求函数1
2+=
x x
y 的值域．
2、求函数224
1
x y x +=-的值域．
四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为
0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）
1、求函数3
27
4222++-+=x x x x y 的值域．
解：由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原 函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足
032)(2≠++=x x x f ，即R x ∈此时方程有实根即△0≥，
△[2
92(2)]4(2)(37)0[,2]2
y y y y =---+≥⇒∈-．
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2
9
,2-
==y y ）代回方程检验． 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,2
9
[-∈y ．
2、求函数2
1
22
x y x x +=
++的值域．
五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域．
解：由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t 从而得： )0(32
1341322≥+--=∴-=t t t y t x 变形得)0(8)1(22≥++-=t t y 即：]4,(-∞∈y ．
注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误．
六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）
1、求函数13y x x =-+-的值域。

分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数．
24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩
在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为),2[+∞． 七、不等式法 1、求函数1
(0)y x x x
=+
>的值域．
解答：12y x x =+
≥=，当且仅当1
,1x x x
==时取等号． 注意：
在使用此法时一定要注意a b +≥的前提条件是a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ．
八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式）
1、求函数1
22+--=x x x x y 的值域．
解答：观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有
4
3)21(1
11
11122222+
--
=+--+-=+--=x x x x x x x x x y ． 不妨令：)0)(()
(1
)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而
)
∞+⎢⎣⎡∈,4
3)(x f ． 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。

所以
⎝
⎛⎥⎦
⎤∈43,0)(x g 故)1,3
1⎢
⎣
⎡-∈y
2、如对于函数132x y x -=-，利用恒等变形，得到：)
23(31312331
)23(31--=---=x x x y ，
容易观察得出此函数的值域为11
(,)(,)33
y ∈-∞⋃+∞．
九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
练习
1．求下列函数的值域
①2
243y x x =-+． ②y x =+
③ y ＝21
3
x x +-． ④2224723x x y x x +-=++．
⑤37y x x =-++． ⑥9
3(0)4y x x x
=+>．
2、求函数12)(2
--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值
3、若函数2
()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。