三角形五心的位置

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三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)

三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。

三角形的重心、垂心、内心、外心

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

之巴公井开创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1，每个三角形都有三个旁心；
2，旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)

之二胡藕藤创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)

三角形五心定理（三角形的重心,外心,垂心,心坎和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,心坎定理,旁心定理的总称.一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证实,十分简略.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量平均的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）重心的性质：1.重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2.重心和三角形3个极点构成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3.重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.二.三角形外心定理三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.外心的性质：1.三角形的三条边的垂直等分线交于一点,该点即为该三角形外心.2.若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3.当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.4.盘算外心的坐标应先盘算下列暂时变量：d1,d2,d3分离是三角形三个极点连向别的两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).5.外心到三极点的距离相等三.三角形垂心定理三角形的三条高（地点直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1.三角形三个极点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2.三角形外心O.重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3.垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4.垂心分每条高线的两部分乘积相等.定理证实已知：ΔABC中,AD.BE是两条高,AD.BE交于点O,衔接CO并延伸交AB于点F ,求证：CF⊥AB证实：衔接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A.B.D.E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB是以,垂心定理成立！四.三角形心坎定理三角形内切圆的圆心,叫做三角形的心坎.心坎的性质：1.三角形的三条内角等分线交于一点.该点即为三角形的心坎.2.直角三角形的心坎到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3.P为ΔABC地点平面上随意率性一点,点I是ΔABC心坎的充要前提是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4.O为三角形的心坎,A.B.C分离为三角形的三个极点,延伸AO 交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五.三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他双方的延伸线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心.旁心的性质：1.三角形一内角等分线和别的两极点处的外角等分线交于一点,该点即为三角形的旁心.2.每个三角形都有三个旁心.3.旁心到三边的距离相等.如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形随意率性两角的外角等分线和第三个角的内角等分线的交点.一个三角形有三个旁心,并且必定在三角形外.附：三角形的中间：只有正三角形才有中间,这时重心,心坎,外心,垂心,四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很主要,卖力控制莫记混．重心三条中线定订交,交点地位真奇巧, 交点定名为“重心”,重心性质要清楚明了,重心朋分中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵巧应用控制好．外心三角形有六元素,三个内角有三边．作三边的中垂线,三线订交共一点．此点界说为外心,用它可作外接圆．心坎外心莫记混,内切外接是症结．垂心三角形上作三高,三高必于垂心交．高线朋分三角形,消失直角三对整,直角三角形有十二,构成六对类似形, 四点共圆图中有,仔细剖析可找清.内心三角对应三极点,角角都有等分线, 三线订交定共点,叫做“心坎”有根源;点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“心坎”,如斯界说应当然．。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)(优选.)

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一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

【高中】三角形的五心【强烈推荐】[1]

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题类例题例1 证明重心定理。

三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)

2
三角形的内心
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)
1，三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；
2，直角三角Байду номын сангаас的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一
3
三角形的重心
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
1，三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶2；
2，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；
3，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
4
三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心
1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外；
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
序号
名称
定义
图形
性质
1
三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)
1，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；
2，锐角三角形的外心在三角形内；
3，直角三角形的外心在斜边中点；
4，钝角三角形的外心在三角形外
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1，每个三角形都有三个旁心；
2，旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形的五心及区间表示

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． 5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．A B COABCD EFGAB CD EF I aIK HE F D ABCM每个三角形都有三个旁切圆．区间何时用并集表示，何时用“和”或逗号表示如（-1，2），（6，8）有的时候则是（-1，2）∪（6，8）如果是不等式解集可以用下面的形式，如果是单调区间就用上面的，因为两个单调区间用并集符号链接后可能违背单调定义一般是涉及函数单调性的时候用","分开，因为单调性是指一个范围上的，而不是整个定义域上的。

比如说一个函数y=sinX 上，在[0，π/2] ，[3π/2.，2π]上是单调递增的，是两个断开的区间。

三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三角形的“五心”所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。

当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心（1个）定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的外心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。

二、三角形的内心（1个）定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. CE CD BD BF AF AE ===,,3. 三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的旁心（3个）定义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

性质：1. 旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

即，到三边距离相等。

2. 三角形有三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫旁心。

四、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。

ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。

直角三角形的垂心在直角顶点上。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

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百度百科三角形五心定律/view/1611086.htm一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O 是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

三角形五心及其性质

引言概述:三角形是几何学中最基本、最重要的图形之一，三角形的性质和特点被广泛研究和应用。

其中，三角形的五心是三角形内外最重要的五个点：重心、外心、垂心、内心和旁心。

五心之间的关系和性质对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。

本文将详细介绍三角形的五心及其性质。

正文内容：一、重心1. 三角形的重心是三边中线的交点，也是中位线和高线的交点。

2. 重心到顶点的距离是中点到顶点距离的2/3，是高线的距离的2/3。

3. 重心将三角形分割为六个三角形，其中三个三角形的面积相等。

二、外心1. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三角形的三条角平分线的交点。

2. 外心到顶点的距离等于外心到对边的距离，也等于外心到三角形内切圆的半径。

三、垂心1. 垂心是三边垂直平分线的交点，也是三角形内心和外心连线的中点。

2. 垂心到顶点的距离等于垂心到底边垂足的距离。

四、内心1. 三角形的内心是三边的内切圆的圆心，也是三边角平分线的交点。

2. 内心到三边的距离相等，等于三角形的内切圆的半径。

3. 内心到三角形各顶点的连线所围成的三个小三角形的面积相等。

五、旁心1. 旁心是三边的旁切圆的圆心，也是外角平分线的交点。

2. 旁心到其所在边的距离相等，等于旁切圆的半径。

3. 旁心和顶点之间的连线与三角形所在边垂直。

总结：三角形的五心（重心、外心、垂心、内心和旁心）是三角形内外部最重要的五个点，它们分别有着独特的性质和作用。

通过研究五心之间的关系和性质，可以更深入地理解三角形的结构和性质。

五心的位置和特点对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。

理解和应用五心的性质可以帮助我们更好地理解和应用三角形的定理与性质，从而更好地解决相关问题。

专题：三角形的五心汇总

专题:三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用,在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心"指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心（外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心(内切圆圆心）．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =错误!(a +b +c )，则r =错误!．特别的，在直角三角形中,有 r =错误!(a +b －c ）． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．上面的证明中,我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组"．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心）．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF 错误!错误!BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G ’，同理可证G 'B =2G ’E ，G ’A =2G ’D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G ’、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HEFD ABCMC证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ,因为EF 错误!错误!BC ，HI 错误!错误!BC ，所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ,GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点．即定理证毕．情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证:四边形GMAN 和△GBCC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N 。

三角形重心垂心外心内心

重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合,称为正三角形的中心. 三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心,
五心性质很重要,认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交,交点位置真奇巧,
交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓；
长短之比二比一,灵活运用掌握好．
垂心
三角形上作三高,三高必于垂心交．
高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形,
四点共圆图中有,细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点,角角都有平分线,
三线相交定共点,叫做“内心”有根源；
点至三边均等距,可作三角形内切圆,
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外心
三角形有六元素,三个内角有三边．
作三边的中垂线,三线相交共一点．
此点定义为“外心”,用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混,“内切”“外接”是关键．
按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下.。

三角形五心的证明(最新整理)

三角形五心内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。

外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。

旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。

（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。

重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。

由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心：三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。

∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。

∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等）又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。

∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。

重心：三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。

∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得：S△BOC=S△AOB ······②由①②得，S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。