三角形五心的证明
三角形的五心
三角形的五心内心（三角形三条内角平分线交点）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。
性质设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。
3、r=S/p。
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+∠A/2。
6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。
9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。
10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。
设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径r=外心外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
--WORD 格式--可编辑-----三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理 )序 名 定义号称三 三角形的三条边角的垂直平分线交形1于一点 ,这点称为 的三角形的外心 (外外 接圆圆心 )心三 三角形的三条内角角平分线交于一形 2点 ,这点称为三角 的形的内心 (内切圆内圆心 )心三角 三角形的三条中 3形 线交于一点 ,这点的 称为三角形的重重 心心 三角 三角形的三条高形4交于一点 ,这点称的 为三角形的垂心垂心图形AOBCAM FEKI BCD HAFEG BCDCED OAFBA性质1， 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；2， 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外1， 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2， 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一1， 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶ 2；2， 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等； 3， 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍；2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外 ；三 三角形的一条内 BD角角平分线与另两 C形 个外角平分线交 F1， 每个三角形都有三个旁心；2， 旁心到三边的距离相等5于一点 ,称为三角的 E旁 形的旁心 (旁切圆 I a心圆心 )附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
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三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五心(外心内心重心旁心)相关结论与应用汇总(精品)
(h
a)
b
(h
b)
a
h
(b
a)
0.
(h b) a 0
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形五心的证明
三角形五心的证明
三角形五心证明
三角形五心是一个普遍存在的几何定理，它说明在任何一个三角形中，其内部总是存在三条中垂线相交的心形，在每个角上还有两个凹点，就形
成了五点的心形。
在推导三角形五心定理前，我们先来看看三角形的基本概念：
定义1：三角形是由三条有限直线构成的面，这三条直线两两相交构
成三个点。
定义2：三角形的角是三条有限直线在其共同点处所形成的角，三角
形的三个角一定都是小于180°的角。
定义3：三角形的高是连接其三个顶点的直线与其对边的中垂线，每
一条高垂线将它所连接的对边截成两部分，称之为垂足。
现在我们开始推导三角形五心定理：
步骤一：证明存在三角形内部心形
同样，我们也可以在三角形B和三角形C的内角处做高为b/2和c/2
的垂线。
(完整版)三角形五心的证明
三角形五心内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点.外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。
旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点.重心：三条中线的交点。
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理(角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF,OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心:三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。
∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。
∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等)又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）.∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等)且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。
重心:三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。
∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得:S△BOC=S△AOB ······②由①②得,S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。
五心记忆口诀
五心记忆口诀
三角形五心记忆口诀如下：
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。
1.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形
的重心。
2.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫作三角形的外心。
3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫作三角形的垂心。
4.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫作三角形的内心。
5.旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫作三角形的旁心。
三角形
有三个旁心。
这个口诀是用来记忆三角形五心的，包括重心、外心、垂心、内心和旁心。
通过这个口诀，可以更好地理解和记忆三角形的五心性质和定理，从而更好地应用它们解决实际问题。
三角形五心相关结论与应用汇总
三角形五心相关结论与应用汇总三角形的五心分别是外心、内心、重心、旁心和垂心。
这五个点在三角形中各具特点，具有丰富的性质与应用。
1.外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等。
外心是三条中垂线的交点，同时也是三角形上各个边的垂直平分线的交点。
利用外心可以得到三角形的外接圆，进而可以确定三角形的形状。
2.内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形三条边的距离相等。
内心是三条角平分线的交点，同时也是三角形上各个边的角平分线的交点。
利用内心可以得到三角形的内切圆，进而可以确定三角形的形状。
3.重心是三角形三条中线（连接一个顶点和中点）的交点，重心离三角形三个顶点的距离都相等。
重心被认为是一个三角形的质心，可以将三角形视为一个平面上均匀分布的质点系统，重心就是该系统的质心。
在构造平衡结构等问题中，重心具有重要的作用。
4.旁心是指三角形的三个旁切圆的圆心，旁心到三角形对边的距离相等。
旁心到三角形两直角边的距离也相等。
旁心所在的直线与对边垂直，旁心是三角形上各个边的外角平分线的交点。
旁心在三角形的定位中有重要的用途，可以确定一些特殊的旁切圆。
5.垂心是指三角形三个顶点至对边的垂足所在的交点。
垂心到三角形各顶点的线段长度分别相等。
垂心所在的直线与对边垂直。
垂心具有一些特殊的性质，如垂心与外心、内心和重心共线等。
应用方面：1.构造外接圆和内切圆：利用外心和内心，可以分别构造三角形的外接圆和内切圆，确定三角形的形状。
2.求解三角形的位置：通过五心中的旁心，可以确定一些特殊的旁切圆和重心，用于求解三角形的位置。
3.确定三角形的特殊性质：通过五心可以确定一些特殊的线段和角度，进而推导出三角形的一些特殊性质。
4.建立平衡结构：利用重心作为质心，可以构建平衡结构，在建筑、工程等领域具有重要的应用。
5.解决几何问题：五心的性质可以应用于解决各种三角形相关的几何问题，如求解距离、角度、线段的长度等。
总之，三角形的五心具有丰富的性质和应用，可以用于解决三角形相关的几何问题，同时也可以应用于建筑、工程等领域。
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
三角形的五心
三角形的五心重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
三角形的重心三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.三角形的内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心.三角形有且只有一个内切圆.三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心.三角形有且只有一个外接圆.三角形的垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外 三角形的旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HE FABCMA 类例题例1 证明重心定理。
三角形五心性质[]
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三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是二角形的二内角平分线交点.也是二角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的 三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）文档来自于网络搜索 外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心. 垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心 文档来自于网络搜索二、三角形五心性质 内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、P 为AABC 所在平面上任意一点，点 0是A ABC 内心的充要条件是：向量— (ax PA + bx PB +c x PC)a +b +c3、O 为三角形的内心， A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于 N ，则有 AO : ON = AB : BN =AC :CN =(AB + AC): BC . 重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三 条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为 （X 1 + X 2 + X 3 y 1 + y 2 + y 3）3 3外心：1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心 在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合 档来自于网络搜索2、若0是 MBC 的外心，则N BOC=2NA （N A 为锐角或直角）或N BOC =360°-2N A (N A 为钝角).向另外两个顶点向量的点乘。
c^ d 2d 3, c^d 1d 3, c^ = d 1d 2 ；c = ci +c 2+c 3. 重心坐标：（°十°3 c '十c3 G + c2）.文档来自于网络搜索2c ' 2c ' 2c2 : 1.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d i , d 2 , d 3分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等垂心：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH =1:2.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline ))3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OB =OB OC =OC OA旁心:1、每个三角形都有三个旁心2、旁心到三边的距离相等注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三角形的五心定理
三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
三角形五心及证明
O ，A ，B ，C 对应的复数分别为O Z ，A Z ，B Z ，C Z 1，若O 是ABC ∆的重心，则：3A B CO Z Z Z Z ++= （式1）2，若O 是ABC ∆的内心，则： O A B C a bcZ Z Z Z a b c a b ca b c=++++++++ （式2）其中 ()()B C B C a Z Z Z Z =-- ()()A C A C b Z Z Z Z =-- ()()A B A B c Z Z Z Z =--3，若O 是ABC ∆的垂心，则：c o t c o t c ot c o t c o tc o t O A B C Z B C Z A C Z A B Z =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ （式3）其中 a r ga r g ()a r g ()C AC A B A B AZ Z A Z Z Z Z Z Z -==----argarg()arg()C BC B A B A BZ Z B Z Z Z Z Z Z -==----argarg()arg()A CA CBC B CZ Z C Z Z Z Z Z Z -==----4，若O 是ABC ∆的外心，则： c o s c o sc o s2s i n s i n 2s i ns i n2s i n s i nO A B C AB C Z Z Z Z B C C A A B =++⋅⋅⋅ （式4）其中 A ，B ，C 同3，5，旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 记A O 为ABC ∆中A 的内角平分线和,B C 两顶点处的外角平分线的交点， B O 为ABC ∆中B 的内角平分线和,A C 两顶点处的外角平分线的交点，FDECABO图1C O 为ABC ∆中C 的内角平分线和,A B 两顶点处的外角平分线的交点，A ABC a b cO Z Z Z a b c a b c a b c =-++-++-++-++ （式5）B A B Ca b cO Z Z Z a b c a b c a b c=-+-+-+-+ C A B Ca b cO Z Z Z a b c a b c a b c=-+-+-+-+- 证明如下：ABC ∆，O 为非顶点的任一点，连接,A O 交BC 于点D ，连接,B O 交AC 于点E ，连接,C O 交AB 于点F记：1AF FB λ= ，2BD DC λ= ，3CE EA λ= ， 4A O A D λ= ，5BO BE λ= ，6CO CF λ= ，22222221()1111AD AB BDAB BCAB AC AB AB AC λλλλλλλ=+=++=+-+=+++同理：333111BE BC BA λλλ=+++111111CF CA CB λλλ=+++由于B ，O ，E 共线，5BO BE λ=FDECABO图155553()1(1)1AO AB BOAB BE AB AE AB AB ACλλλλλ=+=+=+-=-+⋅+由于C ，O ，F 共线，6CO CF λ=661661()(1)1AO AC COAC CF AC AF AC AC ABλλλλλλ=+=+=+-=-+⋅+所以156165311111λλλλλλλ⎧-=⋅⎪+⎪⎨⎪-=⋅⎪+⎩⇒ 3531331631311(1)1λλλλλλλλλλλ+⎧=⎪++⎪⎨+⎪=⎪++⎩ 从而有553333133133133133131(1)1111(1)111111AO AB ACAB AC AB AC λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=-+⋅+++=-+⋅+++++=+++++又因为：O A AO Z Z =- ，B A AB Z Z =- ，C A AC Z Z =-所以： 3133133133131111O A B C Z Z Z Z λλλλλλλλλλλλ+=+++++++ （式6）1，O 为重心时，则1231λλλ===，带入（式6）有 1()3O A B C Z Z Z Z =++2，O 为内心时，由角平分线定理知：1b a λ=，2c b λ=，3a cλ= 带入（式6）有 O A B Ca bcZ Z Z Z a b c a b c a b c=++++++++ 3，O 为垂心时，若ABC ∆不是直角三角形时，1c o s c o s b A a B λ=，2cos cos a B b C λ=，3cos cos a Cc Aλ=2s i n a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =带入（式6）有c o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o ss i n c o s c o ss i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n c o s c o ss O AB C A a C B Z Z a C B b C A c A B b C A Z a C B b C A c A B c A B Z a C B b C A c A B A C B Z A C B B C A C A B ⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+in cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot BC A B C AZ A C B B C A C A BC A BZ A C B B C A C A BC BZ C B A C A BA CC B A C A B⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot B C A B CZ A BZ C B A C A BC B Z A C Z A B Z ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 其中：cot cot cot cot cot cot 1A B A C B C ⋅+⋅+⋅=这是因为：tan tan(())tan()tan tan 1tan tan C A B A B A B A Bπ=-+=-++=--⋅⇒tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++两边同时除以tan tan tan A B C ⋅⋅即可 若ABC ∆是直角三角形时，以A 为直角，则点A 为ABC ∆的垂心，cot 0A =，cot cot O A A Z Z B C Z ==⋅⋅ 满足（式3）；同理以B 为直角和以C 为直角也满足（式3）。
三角形的五心定理
1三角形的五心0.1外心定理定理0.1(外心定理)三角形三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形外接圆的圆心，称为外心。
如图，已知△ABC的三边a,b,c,以及三边的垂直平分线分别为l a,l b,l c,求证l a,l b,l c交于一点。
AOB C证明0.1BC边的垂直平分线为l a,AC边的垂直平分线为l b,设这两直线相交于点O.因为O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC;因为O在AC的垂直平分线上，所以OA=OC.所以OA=OB,故O在AB的垂直平分线上.即AB的垂直平分线过点O.所以三边的垂直平分线交于一点O.O到三个顶点的距离相等，O是外接圆的圆心.0.2内心定理定理0.2(内心定理)三角形三个内角的平分线交于一点，这点是三角形内切圆的圆心，称为内心.如图，在△ABC中，AD,BE,CF是三个内角的平分线，求证，这三线交于一点。
2 ABCEDI证明0.2设AD与BE交于一点I.设I到三边的距离为d a,d b,d c,因为I在A的平分线上,所以d b=d c,因为I在B的平分线上,所以d a=d c,所以d a=d b,故有I在C的平分线上，即CF经过点I.所以，三条角平分线交于一点I.I到三边的距离相等，因此，以I为圆心，该距离为半径，可作三角形的内切圆。
0.3旁心定理定理0.3(旁心定理)三角形一个内角的平分线与另外两个外角平分线交于一点，这点是三角形旁切圆的圆心，称作旁心.ABCO′旁心到三角形三边的距离也相等，证明方法与内心一样，证明略.3 0.4垂心定理定理0.4(垂心定理)三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心.如图，三角形ABC中，AD,BE,CF是三边的高，求证这三线交于一点.ABCDEFA′B′C′证明0.3如图，过△ABC的三个顶点作对边的平行线，如图标记交点为A′,B′,C′.BC//B′C′,AC//A′C′,四边形AC′BC为平行四边形,AC′=BC,BC//B′C′,AB//A′B′,四边形ABCB′为平行四边形,AB′=BC,所以AC′=AB′，点A是线段B′C′的中点.BC//B′C′,AD垂直于BC，故DA垂直于B′C′.所以DA是B′C′的垂直平分线.同理,F C是A′B′的垂直平分线，EB是A′C′的垂直平分线.在△A′B′C′中，由外心定理，可知这三线交于一点.即△ABC的三条高交于一点，这点是△ABC的垂心.0.5重心定理定理0.5(重心定理)三角形的三条中线交于一点，这点是三角形的重心.如图，三角形ABC的三中线为AD,BE,CF，求证，这三线交于一点.4DAB CEF GD ′K证明0.4设中线BE 与CF 交点为G ,直线AG 交BC 于点D ′.延长GE 到点K ，使得EK =GE ,连接AK ,CK ,则四边形AGCK 的对角线互相平分，四边形AGCK 为平行四变形.故GC //AK ,即F G //AK .F B =F A ，所以GB =GK .又AG //KC ,即GD ′//KC ,故D ′B =D ′C .所以D ′与BC 的中点D 重合.因此，三边上的中线交于一点G.由以上证明过程可知BG :GE =2:1，即重心到顶点与到对边中点的距离之比为2:1.外心、重心、垂心共线，见欧拉线.。
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三角形五心
内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。
旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。
重心：三条中线的交点。
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
内心：三条角平分线的交点
证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的
距离相等）得：
OD=OF，OF=OE
∴ OD=OE
∴AO为角BAC的平分线
外心：三条中垂线的交点
证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到
两端点的距离相等），得：
OA=OB，OA=OC.
∴OB=OC
∴点O在线段BC的中垂线上
∴OF为线段BC的中垂线
旁心：
证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的
距离相等）得：
OD=OF，OD=OE
∴ OF=OE
∴BO为角ABC的平分线
垂心：三条高的交点
证：连结DE，连结AO交BC于F点。
∵角BDC=角BEC=90°
∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。
∴角FBO=角CDE ······①
（同弦(弧)所对圆周角相等）
又∵角ODA=角AEO=90°
∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。
∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）
且角AOE=角BOF
∴角ADE=角BOF ······②
由①②可知，角OFB=角ODA=90°
∴AF为BC边上的高。
重心：三条中线的交点
方法一：
证：连结AO交BC于点F。
∵D为AB的中点
∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）
（底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)）
S△AOD=S△BOD
∴S△AOC=S△BOC ······①
同理可得：
S△BOC=S△AOB ······②
由①②得，S△AOC=S△AOB
又∵△AOC与△AOB底都为AO
∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。
对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。
∴S△AFB=S△AFC
又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC的距离）。
∴它们底相等，即：BF=CF
∴AF为三角形的中线。
方法二：
证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，
G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。
连GH交AF于点M。
∵DE为△ABC的中位线
∴DE#1/2BC （#表示平行且等于）
同理，可得：GH#1/2BC
∴DE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。
易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN
∵DG为△ABO的中位线
∴DG∥NM,即四边形DGMN为平行四边形
∴DN=GM
∴HM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。
∴AF为三角形的中线。
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。
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