三角形五心的证明

三角形五心

内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。

外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。

旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。

重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

内心：三条角平分线的交点

证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的

距离相等）得：

OD=OF，OF=OE

∴ OD=OE

∴AO为角BAC的平分线

外心：三条中垂线的交点

证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。

由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到

两端点的距离相等），得：

OA=OB，OA=OC.

∴OB=OC

∴点O在线段BC的中垂线上

∴OF为线段BC的中垂线

旁心：

证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的

距离相等）得：

OD=OF，OD=OE

∴ OF=OE

∴BO为角ABC的平分线

垂心：三条高的交点

证：连结DE，连结AO交BC于F点。

∵角BDC=角BEC=90°

∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。

∴角FBO=角CDE ······①

（同弦(弧)所对圆周角相等）

又∵角ODA=角AEO=90°

∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。

∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）

且角AOE=角BOF

∴角ADE=角BOF ······②

由①②可知，角OFB=角ODA=90°

∴AF为BC边上的高。

重心：三条中线的交点

方法一：

证：连结AO交BC于点F。

∵D为AB的中点

∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）

（底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)）

S△AOD=S△BOD

∴S△AOC=S△BOC ······①

同理可得：

S△BOC=S△AOB ······②

由①②得，S△AOC=S△AOB

又∵△AOC与△AOB底都为AO

∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。

对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。

∴S△AFB=S△AFC

又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC的距离）。

∴它们底相等，即：BF=CF

∴AF为三角形的中线。

方法二：

证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，

G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。

连GH交AF于点M。

∵DE为△ABC的中位线

∴DE#1/2BC （#表示平行且等于）

同理，可得：GH#1/2BC

∴DE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。

易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN

∵DG为△ABO的中位线

∴DG∥NM,即四边形DGMN为平行四边形

∴DN=GM

∴HM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。

∴AF为三角形的中线。

三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．

外心

三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．

垂心

三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

内心

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．

五心性质别记混，做起题来真是好。

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