平面向量(沪教版)

专题：平面向量的概念知识梳理1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。

2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母a ，b…或用AB ，BC ，…表示.注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.3．模：向量的长度叫向量的模，记作a.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 注意：0和0是不同，0是一个数字，0 代表一个向量，不要弄混. 5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.aaa =0注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量b a,，若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 练习：★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的. ( × ) 解：有可能方向相反.2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( √ )3、零向量与任意的向量方向都相同。

( √ )4、向量就是一条有向的线段。

( × )5、若m n =，n k =，则m k =. ( √ )6、若,b a =，则.0=-b a(× )解：注意区分0和零向量.典例精讲例1（★）下列说法正确的是（D ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥若b c b a ∥∥,，则.c a ∥正确的是____④⑤______解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b可能是零向量例3. （★★）在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ C ）.A AB DC = .B AD AB AC += .C AB AD BD -= .D 0AD CB +=课堂检测1（★）下列说法中错误的是（ A ）(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行 (C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的2（★★）已知O 在ABC ∆所在平面内，且OC OB OA ==，且则点O 是ABC ∆的（ B ） A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心 解：向量经常会放在三角形中考虑，重心：中线交点，外心：垂直平分线交点，垂心：高（垂线）的交点，内心：角平分线的交点。

BA CD3（★★★）判断下列各命题的真假：（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向一定相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ C ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个解：假命题是（2）（4）（5）（6）;（2）向量a 与向量b 有一个为零向量，专题：平面向量的数量积知识梳理1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤ （1） 当0θ=时，表示向量a 与b 方向相同； （2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反； （3） 当2πθ=时，表示向量a 与b 相互垂直。

【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。

】2、 向量的数量积已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤），则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅．即||||cos a b a b θ⋅=（1）两个向量的数量积是一个实数；（2）20a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a =（3）已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．显然b 在a 方向上的投影等于||a ba ⋅．（4）a b ⋅的几何意义： a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．【数量积a b ⋅中的运算符号“•”不能写作“⨯”，也不能省略。

a 在b 方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；】3、向量数量积的运算律 ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()R b a b a b a ∈⋅=⋅=⋅λλλλ③分配律成立：()c b c a c b a ⋅±⋅=⋅±()b a c ±⋅=特别注意：（1）结合律不成立：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立ca b a ⋅=⋅不能得到⋅=c b（3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0④但是乘法公式成立： ()()22b a b a b a =-=-⋅+；()2222b b a a ba +⋅±=±2b a +⋅±=；等等。

⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ⋅= 4、向量数量积的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

a 与b 夹角为θ，则cos θ=a 与b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠a 与b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221x y x y ≠ 【引进向量的坐标表示和运算，揭示了向量的方向的本质属性。

】典例精讲例1. （★★）（1）已知向量a 与b 的夹角为θ，且3sin ,||55a θ==，则a 在b 的方向上的投影是 ；（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，||3AC =，求AC AB ⋅的值。

解：（1）a 与b 的夹角为θ，且3sin 5θ=，又0,||5a θπ≤≤=，4cos 5θ∴==±， 所以向量a 在向量b 方向上的投影是4||cos 5()45a θ=⋅±=±。

（2）90,ACB AC CB ∠=∴⊥，又,||3AB AC CB AC =+=，()(0)9AC AB AC AC CB AC AC AC CB AC CB ∴⋅=⋅+=⋅+⋅⋅== 【（1）a 在b 方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量； （2）找准向量的夹角，用好数量积公式是解决有关向量数量积问题的两个要点。

】 例2. （★★★）已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为4π，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。

解：a b +与a b λ+夹角为锐角，∴ ()()0a b a b λ+⋅+>即22(1)0a a b b λλ++⋅+>23cos34a b π⋅=⨯⨯= 5120λ∴+>,得125λ>-易知当1λ=时，a b +与a b λ+夹角为0︒1λ∴≠ 从而得12(,1)(1,)5λ∈-+∞ 【当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90)︒︒】 巩固练习1. （★★★）已知||3a =，||3b =，a 与b 的夹角为6π，试求2a b +与a b -的夹角的余弦值。

解：2a b +与a b -的夹角的余弦值31-2. （★★★★）已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为4π，当向量a b λ+与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。

解：λ<或λ>且1λ≠ 【0a b ⋅>是两向量夹角为锐角的必要不充分条件】例3. （★★★★）已知ABC ∆，()()=-1,2,=-1,2.AB k AC （1）若k =4，求ABC S ∆；（2）若三角形为直角三角形，求ABC S ∆. 解：(1)(3,2)AB =,设AB 与AC 为θ，cos||||AB ACAB AC θ⋅== ，则sin θ=1||||sin 42ABCSAB AC θ∴== （2）若90A ︒∠=,0AB AC ⋅=得5k =5ABCS ∴=若90,B ︒∠=0AB CB ⋅=得k =1或0（舍）1ABCS ∴=若90C ︒∠=,0AC CB ⋅=，得k =0（舍） 【向量在垂直关系中的应用】巩固练习（★★★）在直角三角形ABC ，(2,3),(1,)AB AC k ==，求实数k 的取值范围解：23k =-或113或32例4．（★★★）已知向量(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,且,a b 满足关系||3||ka b a kb +=-,(k为正实数).(1)求证:()()a b a b +⊥-; (2)求将a b ⋅表示为k 的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时,a b 的夹角θ. 解(1)证明: 2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-=(2)||3||ka b a kb +=-22()3()ka b a kb ∴+=-⇒2222222363k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+22222222cos sin 1,cos sin 121363a b k ka b ka b k ααββ=+==+=+⋅+=-⋅+又故2211,()(0)44k k a b f k k k k++⋅==>得故(3)110,()42k k k f k +>=≥= 当且仅当1k k =即k=1时,故f(x)的最小值是12， 此时1cos .0180.||||23a b a b πθθθ⋅==︒≤≤︒∴=又，【向量具有独立的一整套运算体系，它可以上下贯通，左右协调，前后衔接，具有很强的工具性。

】例5. （★★★）已知三角形ABC 的面积为30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A = （1） 求AB AC ⋅；（2） 若1c b -=，求a 的值。